Programme officiel de mathématiques au Maroc — 1re année Bac Sciences expérimentales et Sciences et technologies : contenus, capacités et orientations pédagogiques
Programme de mathématiques — 1re Bac SETSciences expérimentales · Sciences et technologiesبرنامج الرياضيات — الأولى بكالوريا علوم تجريبية وعلوم وتكنولوجيات
3 domaines9 coursVersion bilingue
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Géométrie planeI. الهندسة المستوية
Barycentre dans le planالمرجح في المستوى
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
مرجح n نقطة (2 ≤ n ≤ 4)؛ مركز الثقل؛
•
الخاصية المميزة للمرجح؛ الصمود؛ التجميعية؛
•
إحداثيتا المرجح في معلم معلوم.
- Barycentre de n points, avec 2 ≤ n ≤ 4 ; centre de gravité ;
- propriété caractéristique du barycentre ; invariance ; associativité ;
- coordonnées du barycentre dans un repère donné.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
استعمال المرجح في تبسيط تعبير متجهي؛
•
إنشاء مرجح n نقطة (2 ≤ n ≤ 4)؛
•
استعمال المرجح لإثبات استقامية ثلاث نقط من المستوى؛
•
استعمال المرجح في إثبات تقاطع المستقيمات؛
•
استعمال المرجح في حل مسائل هندسية وفيزيائية.
- Utiliser le barycentre pour simplifier une expression vectorielle ;
- construire le barycentre de n points, avec 2 ≤ n ≤ 4 ;
- utiliser le barycentre pour démontrer l’alignement de trois points du plan ;
- utiliser le barycentre pour démontrer que des droites sont concourantes ;
- utiliser le barycentre pour résoudre des problèmes géométriques et physiques.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
قبل تعريف المرجح يستحسن التحسيس بالارتباط الموجود بين مفهوم المرجح في الرياضيات ومفاهيم أخرى من بعض مواد التخصص؛
•
ينبغي إبراز الدور الذي يلعبه المرجح في حل بعض المسائل الهندسية.
- Avant d’introduire la définition du barycentre, il est recommandé de sensibiliser les élèves au lien entre la notion de barycentre en mathématiques et d’autres notions rencontrées dans certaines matières de spécialité ;
- mettre en évidence le rôle du barycentre dans la résolution de certains problèmes géométriques.
Rotationالدوران
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
تعريف الدوران؛ الدوران العكسي لدوران؛
•
الحفاظ على المسافة وعلى قياس زاوية موجهة وعلى المرجح؛
•
صورة مستقيم وقطعة ودائرة بدوران.
- Définition d’une rotation ; rotation réciproque d’une rotation ;
- conservation de la distance, de la mesure d’un angle orienté et du barycentre ;
- image d’une droite, d’un segment et d’un cercle par une rotation.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
إنشاء صور أشكال اعتيادية بدوران معلوم؛
•
التعرف على تقايس الأشكال باستعمال الدوران؛
•
استعمال دوران معلوم في وضعية هندسية بسيطة.
- Construire les images de figures usuelles par une rotation donnée ;
- reconnaître que des figures sont isométriques en utilisant la rotation ;
- utiliser une rotation donnée dans une situation géométrique simple.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يعرف الدوران انطلاقا من مركزه وزاويته؛
•
يعتبر إدخال الإحداثيات والصيغة التحليلية للدوران وتركيب دورانين خارج المقرر.
- Définir une rotation à partir de son centre et de son angle ;
- l’introduction des coordonnées, de l’expression analytique d’une rotation et de la composition de deux rotations est hors programme.
Hors programme — mention officielle
Les coordonnées, l’expression analytique d’une rotation et la composition de deux rotations ne font pas partie du programme de ce niveau.
Étude analytique du produit scalaire et ses applicationsتحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته
Contenu du programme
محتوى البرنامج
3.1. الصيغة التحليلية للجداء السلمي في معلم متعامد ممنظم:
•
الصيغة التحليلية لمنظم متجهة ولمسافة نقطتين؛
•
صيغة
\(\cos\theta\)
وصيغة
\(\sin\theta\)؛
3.2. المستقيم في المستوى (دراسة تحليلية):
•
المتجهة المنظمية لمستقيم؛
•
معادلة ديكارتية لمستقيم محدد بنقطة ومتجهة منظمية له؛
•
مسافة نقطة عن مستقيم.
3.3. الدائرة (دراسة تحليلية):
•
معادلة ديكارتية لدائرة؛
•
تمثيل بارامتري لدائرة؛
•
دراسة مجموعة النقط:
\(\{M(x\,;y)\,/\,x^2+y^2+ax+by+c=0\}\)
•
دراسة الأوضاع النسبية لدائرة ومستقيم؛
•
معادلة ديكارتية لمستقيم مماس لدائرة في نقطة معلومة من الدائرة.
3.1. Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé
- Expression analytique de la norme d’un vecteur et de la distance entre deux points ;
- expression de \(\cos\theta\) et expression de \(\sin\theta\).
3.2. La droite dans le plan — étude analytique
- Vecteur normal à une droite ;
- équation cartésienne d’une droite déterminée par un point et un vecteur normal ;
- distance d’un point à une droite.
3.3. Le cercle — étude analytique
- Équation cartésienne d’un cercle ;
- représentation paramétrique d’un cercle ;
-
étude de l’ensemble des points :
\(\{M(x\,;y)\,/\,x^2+y^2+ax+by+c=0\}\)
- étude des positions relatives d’un cercle et d’une droite ;
- équation cartésienne de la tangente à un cercle en un point donné de ce cercle.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التعبير عن توازي وتعامد مستقيمين؛
•
حساب قياسات زوايا ومساحات باستعمال الجداء السلمي؛
•
التعرف على مجموعة النقط من المستوى التي تحقق العلاقة:
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
•
تحديد مركز وشعاع دائرة معرفة بمعادلتها الديكارتية؛
•
المرور من معادلة ديكارتية إلى تمثيل بارامتري والعكس؛
•
استعمال تحليلية الجداء السلمي في حل مسائل هندسية وجبرية.
- Exprimer le parallélisme et l’orthogonalité de deux droites ;
- calculer des mesures d’angles et des aires en utilisant le produit scalaire ;
-
reconnaître l’ensemble des points du plan vérifiant la relation :
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
- déterminer le centre et le rayon d’un cercle défini par son équation cartésienne ;
- passer d’une équation cartésienne à une représentation paramétrique, et réciproquement ;
- utiliser l’étude analytique du produit scalaire pour résoudre des problèmes géométriques et algébriques.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
تعتبر الدراسة التحليلية لدائرة مجالا خصبا لتوظيف تحليلية الجداء
السلمي خاصة منها تلك المتعلقة بالمسافة والتعامد، لذا ينبغي الحرص
على إبراز دور الطريقة التحليلية في حل بعض المسائل الهندسية؛
•
ينبغي استعمال الجداء السلمي في تحديد معادلة ديكارتية لدائرة؛
•
يتم التطرق من خلال أنشطة إلى دائرة محددة بثلاث نقط غير مستقيمية؛
•
يتم بهذه المناسبة، استغلال التوجيه التحليلي للمستوى لتقديم نماذج
للحل المبياني لبعض المتراجحات غير الخطية بمجهولين.
- L’étude analytique du cercle constitue un cadre privilégié pour mobiliser l’étude analytique du produit scalaire, notamment dans les questions de distance et d’orthogonalité. Il convient donc de mettre en évidence le rôle de la méthode analytique dans la résolution de certains problèmes géométriques ;
- utiliser le produit scalaire pour déterminer une équation cartésienne d’un cercle ;
- aborder, à travers des activités, le cercle déterminé par trois points non alignés ;
- à cette occasion, exploiter le repérage analytique du plan afin de présenter des modèles de résolution graphique de certaines inéquations non linéaires à deux inconnues.
Géométrie dans l’espaceII. الهندسة الفضائية
Vecteurs de l’espaceمتجهات الفضاء
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
الحساب المتجهي في الفضاء؛
•
المتجهات المستقيمية؛ التعريف المتجهي لمستقيم؛
التعريف المتجهي لمستوى؛
•
المتجهات المستوائية.
- Calcul vectoriel dans l’espace ;
- vecteurs colinéaires ; définition vectorielle d’une droite ; définition vectorielle d’un plan ;
- vecteurs coplanaires.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من قواعد الحساب المتجهي في الفضاء؛
•
التعرف والتعبير عن استقامية متجهتين؛
•
التعرف والتعبير عن استوائية ثلاث متجهات؛
•
تطبيق الاستقامية والاستوائية في حل مسائل هندسية.
- Maîtriser les règles du calcul vectoriel dans l’espace ;
- reconnaître et exprimer la colinéarité de deux vecteurs ;
- reconnaître et exprimer la coplanarité de trois vecteurs ;
- appliquer la colinéarité et la coplanarité dans la résolution de problèmes géométriques.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يقدم مفهوم المتجهة والحساب المتجهي بنفس الكيفية التي قدم بها
في المستوى.
•
يتم الاكتفاء بالتأويل الهندسي للاستقامية والاستوائية.
- Introduire la notion de vecteur et le calcul vectoriel selon la même démarche que celle utilisée dans le plan ;
- se limiter à l’interprétation géométrique de la colinéarité et de la coplanarité.
Limite du programme
L’étude de la colinéarité et de la coplanarité doit rester limitée à
leur interprétation géométrique.
Géométrie analytique de l’espaceتحليلية الفضاء
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
إحداثيات نقطة بالنسبة لمعلم؛ إحداثيات متجهة بالنسبة لأساس؛
إحداثيات
\(\vec{u}+\vec{v}\)
و
\(\lambda\vec{u}\)؛
إحداثيات
\(\overrightarrow{AB}\)؛
•
محددة ثلاث متجهات؛
•
تمثيل بارامتري لمستقيم؛ الأوضاع النسبية لمستقيمين؛
•
تمثيل بارامتري لمستوى؛
•
معادلة ديكارتية لمستوى؛ الأوضاع النسبية لمستويين؛
•
معادلتان ديكارتان لمستقيم؛
•
الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى.
- Coordonnées d’un point dans un repère ; coordonnées d’un vecteur dans une base ; coordonnées de \(\vec{u}+\vec{v}\) et de \(\lambda\vec{u}\) ; coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) ;
- déterminant de trois vecteurs ;
- représentation paramétrique d’une droite ; positions relatives de deux droites ;
- représentation paramétrique d’un plan ;
- équation cartésienne d’un plan ; positions relatives de deux plans ;
- deux équations cartésiennes d’une droite ;
- positions relatives d’une droite et d’un plan.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
ترجمة مفاهيم وخاصيات الهندسة التآلفية والهندسة المتجهية بواسطة
الإحداثيات؛
•
البرهنة على استقامية متجهتين؛
•
البرهنة على استوائية ثلاث متجهات؛
•
اختيار التمثيل المناسب (ديكارتي أو بارامتري) لدراسة الأوضاع
النسبية للمستقيمات والمستويات وفي تأويل النتائج.
- Traduire, au moyen des coordonnées, les notions et les propriétés de la géométrie affine et de la géométrie vectorielle ;
- démontrer la colinéarité de deux vecteurs ;
- démontrer la coplanarité de trois vecteurs ;
- choisir la représentation appropriée — cartésienne ou paramétrique — pour étudier les positions relatives des droites et des plans et interpréter les résultats.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يتم تحديد المعلم والأساس انطلاقا من أربع نقط غير مستوائية؛
•
يتم استعمال الإسقاط على مستوى بتواز مع مستقيم لتقديم إحداثيات
نقطة (دون الإفراط في تناول الإسقاط)؛
•
يتم التركيز على الأداة التحليلية في دراسة الأوضاع النسبية
للمستقيمات والمستويات في الفضاء.
- Déterminer le repère et la base à partir de quatre points non coplanaires ;
- utiliser la projection sur un plan parallèlement à une droite pour introduire les coordonnées d’un point, sans développer excessivement l’étude de la projection ;
- mettre l’accent sur l’outil analytique dans l’étude des positions relatives des droites et des plans de l’espace.
Limite pédagogique
La projection est seulement mobilisée pour introduire les coordonnées
d’un point ; son étude ne doit pas être développée de manière excessive.
Algèbre et analyseIII. الجبر والتحليل
Principes de logiqueمبادئ في المنطق
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
العبارات؛ العمليات على العبارات؛ الدوال العبارية؛ المكممات؛
•
الاستدلالات الرياضية: الاستدلال بالخلف؛ الاستدلال بمضاد العكس؛
الاستدلال بفصل الحالات؛ الاستدلال بالتكافؤ؛ الاستدلال بالتراجع.
- Propositions ; opérations sur les propositions ; fonctions propositionnelles ; quantificateurs ;
- raisonnements mathématiques : raisonnement par l’absurde ; raisonnement par contraposition ; raisonnement par disjonction des cas ; raisonnement par équivalence ; raisonnement par récurrence.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من استعمال الاستدلال المناسب حسب الوضعية المدروسة؛
•
التمكن من صياغة براهين واستدلالات رياضية واضحة وسليمة منطقيا.
- Utiliser le raisonnement approprié selon la situation étudiée ;
- formuler des démonstrations et des raisonnements mathématiques clairs et logiquement corrects.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
ينبغي تقريب العبارات والقوانين المنطقية وطرائق الاستدلال انطلاقا
من أنشطة متنوعة ومختلفة مستقاة من الرصيد المعرفي للتلميذ ومن
وضعيات رياضية سبق له التعامل معها؛
•
ينبغي تجنب البناء النظري والإفراط في استعمال جداول الحقيقة؛
•
إن درس المنطق لا ينتهي بانتهاء هذا الفصل بل ينبغي استثمار نتائجه،
كلما سنحت الفرصة لذلك، بمختلف فصول المقرر اللاحقة.
- Introduire progressivement les propositions, les lois logiques et les méthodes de raisonnement à partir d’activités variées, puisées dans les acquis des élèves et dans des situations mathématiques qu’ils ont déjà rencontrées ;
- éviter une construction théorique et l’usage excessif des tables de vérité ;
- l’étude de la logique ne s’achève pas avec ce chapitre : ses acquis doivent être mobilisés, chaque fois que l’occasion se présente, dans les différents chapitres ultérieurs du programme.
Orientation officielle importante
L’enseignement doit éviter une formalisation théorique excessive et
l’emploi abusif des tables de vérité. Les raisonnements étudiés doivent
ensuite être réinvestis dans l’ensemble du programme.
Suites numériquesالمتتاليات العددية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
المتتاليات العددية؛
•
المتتالية التراجعية؛
•
المتتاليات المكبورة، المتتاليات المصغورة، المتتاليات المحدودة؛
•
رتابة متتالية؛
•
المتتاليات الحسابية؛
•
المتتاليات الهندسية.
- Suites numériques ;
- suites définies par récurrence ;
- suites majorées, suites minorées et suites bornées ;
- monotonie d’une suite ;
- suites arithmétiques ;
- suites géométriques.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
توظيف الاستدلال بالتراجع؛
•
التمكن من دراسة متتالية (إكبار، إصغار، رتابة)؛
•
التعرف على متتالية حسابية أو هندسية وتحديد أساسها وحدها الأول؛
•
حساب مجموع
\(n\)
حدا متتابعة من متتالية حسابية أو متتالية هندسية؛
•
التعرف على وضعيات لمتتاليات حسابية أو هندسية؛
•
استعمال المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية في حل مسائل.
- Mobiliser le raisonnement par récurrence ;
- étudier une suite du point de vue de la majoration, de la minoration et de la monotonie ;
- reconnaître une suite arithmétique ou géométrique et déterminer sa raison ainsi que son premier terme ;
- calculer la somme de \(n\) termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique ;
- reconnaître des situations faisant intervenir des suites arithmétiques ou géométriques ;
- utiliser les suites arithmétiques et géométriques pour résoudre des problèmes.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يمكن تقديم مفهوم المتتاليات التراجعية من خلال وضعيات مستقاة من
مختلف المواد؛
•
يشكل درس المتتاليات فرصة لتعويد التلاميذ على استعمال الأدوات
المعلوماتية؛
•
ينبغي استغلال هذه المناسبة لتوظيف الاستدلال بالتراجع؛
•
ينبغي تناول المتتاليات التراجعية دون مغالاة.
- Introduire la notion de suite définie par récurrence à partir de situations tirées de différentes disciplines ;
- mettre à profit l’étude des suites pour habituer les élèves à utiliser les outils informatiques ;
- exploiter cette occasion pour mobiliser le raisonnement par récurrence ;
- traiter les suites définies par récurrence sans développement excessif.
Limite pédagogique
L’étude des suites définies par récurrence doit rester mesurée, sans
développement excessif.
Calcul trigonométriqueالحساب المثلثي
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
صيغ التحويل؛
•
تحويل الصيغة
\(a\cos x+b\sin x\)
.
- Formules de transformation ;
- transformation de l’expression \(a\cos x+b\sin x\) .
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من مختلف صيغ التحويل؛
•
التمكن من حل معادلات ومتراجحات مثلثية تؤول في حلها إلى
المعادلات والمتراجحات الأساسية؛
•
التمكن من تمثيل وقراءة حلول معادلة أو متراجحة مثلثية على
الدائرة المثلثية.
- Maîtriser les différentes formules de transformation ;
- résoudre des équations et des inéquations trigonométriques qui se ramènent aux équations et aux inéquations fondamentales ;
- représenter et lire, sur le cercle trigonométrique, les solutions d’une équation ou d’une inéquation trigonométrique.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
ينبغي توخي البساطة في تقديم هذا الفصل وذلك باستعمال أي تقنية
في متناول التلاميذ؛
•
يتم توظيف الدائرة المثلثية لحل متراجحات مثلثية بسيطة على مجال
من
\(\mathbb{R}\).
- Privilégier la simplicité dans la présentation de ce chapitre, en utilisant toute technique accessible aux élèves ;
- utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des inéquations trigonométriques simples sur un intervalle de \(\mathbb{R}\).
Fonctions numériquesالدوال العددية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
4.1. عموميات حول الدوال العددية (تذكير وإضافات)
•
الدالة المكبورة، الدالة المصغورة؛ الدالة المحدودة؛ الدالة الدورية؛
•
مقارنة دالتين؛ التأويل الهندسي؛
•
مطاريف دالة؛
•
رتابة دالة عددية؛
•
تركيب دالتين عدديتين؛
•
رتابة مركب دالتين رتيبتين؛
•
التمثيل المبياني للدالتين:
\(x\longmapsto\sqrt{x+a}\)
\(x\longmapsto ax^3\)
4.2. نهاية دالة عددية
•
نهايات الدوال
\(x\mapsto x^2\)
و
\(x\mapsto\sqrt{x}\)
و
\(x\mapsto x^3\)
و
\(x\mapsto x^n\)
ونهايات مقلوبات هذه الدوال في الصفر و
\(+\infty\)
و
\(-\infty\)؛
•
النهاية المنتهية والنهاية اللامنتهية في نقطة؛
•
النهاية المنتهية والنهاية اللامنتهية في
\(+\infty\)
و
\(-\infty\)؛
•
العمليات على النهايات؛
•
النهاية على اليمين؛ النهاية على اليسار؛
•
نهايات الدوال الحدودية والدوال الجذرية؛
•
نهاية دوال من الشكل
\(\sqrt{f}\)
حيث
\(f\)
دالة اعتيادية؛
•
النهايات:
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}\)
•
النهايات والترتيب.
4.3. الاشتقاق وتمثيل الدوال
•
قابلية اشتقاق دالة في نقطة
\(x_0\)؛
العدد المشتق؛ التأويل الهندسي للعدد المشتق والمماس لمنحنى؛
تقريب دالة قابلة للاشتقاق في نقطة بدالة تآلفية؛
•
الاشتقاق على اليمين؛ الاشتقاق على اليسار؛ نصف مماس؛ مماس أو
نصف مماس عمودي؛
•
الاشتقاق على مجال؛ المشتقة الأولى؛ المشتقة الثانية؛
المشتقات المتتالية؛
•
اشتقاق الدوال:
\(f+g\)
\(\lambda f\)
\(fg\)
\(\dfrac1f\)
\(\dfrac fg\)
\(f^n\;(n\in\mathbb Z)\)
\(f(ax+b)\)
\(\sqrt f\)
•
رتابة دالة وإشارة مشتقتها؛ مطاريف دالة قابلة للاشتقاق على مجال؛
•
المعادلة التفاضلية:
\(y''+\omega^2y=0\)
4.4. التمثيل المبياني لدالة عددية
•
الفروع اللانهائية: المستقيمات المقاربة؛ الاتجاهات المقاربة؛
•
نقط الانعطاف؛ تقعر منحنى دالة؛
•
عناصر تماثل منحنى دالة.
4.1. Généralités sur les fonctions numériques — rappels et compléments
- Fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée et fonction périodique ;
- comparaison de deux fonctions et interprétation géométrique ;
- extrema d’une fonction ;
- monotonie d’une fonction numérique ;
- composition de deux fonctions numériques ;
- monotonie de la composée de deux fonctions monotones ;
-
représentation graphique des fonctions :
\(x\longmapsto\sqrt{x+a}\) \(x\longmapsto ax^3\)
4.2. Limite d’une fonction numérique
- Limites des fonctions \(x\mapsto x^2\), \(x\mapsto\sqrt{x}\), \(x\mapsto x^3\) et \(x\mapsto x^n\), ainsi que les limites de leurs inverses multiplicatifs au voisinage de \(0\), de \(+\infty\) et de \(-\infty\) ;
- limite finie et limite infinie en un point ;
- limite finie et limite infinie en \(+\infty\) et en \(-\infty\) ;
- opérations sur les limites ;
- limite à droite et limite à gauche ;
- limites des fonctions polynomiales et rationnelles ;
- limite de fonctions de la forme \(\sqrt f\), où \(f\) est une fonction usuelle ;
-
limites remarquables :
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}\)
- limites et ordre.
4.3. Dérivation et représentation des fonctions
- Dérivabilité d’une fonction en un point \(x_0\) ; nombre dérivé ; interprétation géométrique du nombre dérivé et tangente à une courbe ; approximation affine d’une fonction dérivable en un point ;
- dérivabilité à droite et à gauche ; demi-tangente ; tangente ou demi-tangente verticale ;
- dérivabilité sur un intervalle ; dérivée première, dérivée seconde et dérivées successives ;
-
dérivation des fonctions :
\(f+g\) \(\lambda f\) \(fg\) \(\dfrac1f\) \(\dfrac fg\) \(f^n\;(n\in\mathbb Z)\) \(f(ax+b)\) \(\sqrt f\)
- monotonie d’une fonction et signe de sa dérivée ; extrema d’une fonction dérivable sur un intervalle ;
-
équation différentielle :
\(y''+\omega^2y=0\)
4.4. Représentation graphique d’une fonction numérique
- Branches infinies : asymptotes et directions asymptotiques ;
- points d’inflexion et concavité de la courbe d’une fonction ;
- éléments de symétrie de la courbe d’une fonction.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
4.1. عموميات حول الدوال العددية
•
مقارنة تعبيرين باستعمال مختلف التقنيات؛
•
استنتاج تغيرات دالة أو القيم القصوى والدنيا لدالة انطلاقا من
تمثيلها المبياني أو من جدول تغيراتها؛
•
التعرف على تغيرات الدوال من الشكل
\(f+\lambda\)
و
\(\lambda f\)
انطلاقا من تغيرات الدالة
\(f\)؛
•
استعمال التمثيل المبياني للدالة أو جدول تغيراتها لتحديد صورة
مجال ولحل بعض المعادلات والمتراجحات؛
•
تحديد تغيرات
\(g\circ f\)
انطلاقا من تغيرات
\(g\)
و
\(f\).
4.2. نهاية دالة عددية
•
حساب نهايات الدوال الحدودية والدوال الجذرية؛
•
حساب نهايات الدوال المثلثية البسيطة باستعمال النهايات الاعتيادية.
4.3. الاشتقاق وتمثيل الدوال
•
تقريب دالة بجوار نقطة
\(x_0\)
بدالة تآلفية؛
•
التعرف على أن العدد المشتق للدالة في
\(x_0\)
هو المعامل الموجه لمماس منحنى الدالة في النقطة التي أفصولها
\(x_0\)؛
•
التعرف على مشتقات الدوال المرجعية؛
•
التمكن من تقنيات حساب مشتقة دالة؛
•
تحديد معادلة المماس لمنحنى دالة في نقطة وإنشاؤه؛
•
تحديد رتابة دالة انطلاقا من دراسة إشارة مشتقتها؛
•
تحديد إشارة دالة انطلاقا من جدول تغيراتها أو من تمثيلها المبياني؛
•
حل مسائل تطبيقية حول القيم الدنيا والقيم القصوية.
4.4. التمثيل المبياني لدالة عددية
•
حل مبياني لمعادلات ومتراجحات؛
•
استعمال الدورية وعناصر تماثل منحنى في اختصار مجموعة دراسة دالة؛
•
استعمال إشارة المشتقة الثانية لدراسة تقعر منحنى وتحديد نقط انعطافه؛
•
دراسة وتمثيل دوال حدودية ودوال جذرية ودوال لاجذرية؛
•
دراسة وتمثيل دوال مثلثية بسيطة.
4.1. Généralités sur les fonctions numériques
- Comparer deux expressions en utilisant différentes techniques ;
- déduire les variations, les valeurs maximales ou les valeurs minimales d’une fonction à partir de sa représentation graphique ou de son tableau de variations ;
- déterminer les variations des fonctions \(f+\lambda\) et \(\lambda f\) à partir des variations de \(f\) ;
- utiliser la représentation graphique ou le tableau de variations d’une fonction pour déterminer l’image d’un intervalle et résoudre certaines équations et inéquations ;
- déterminer les variations de \(g\circ f\) à partir des variations de \(g\) et de \(f\).
4.2. Limite d’une fonction numérique
- Calculer les limites de fonctions polynomiales et rationnelles ;
- calculer les limites de fonctions trigonométriques simples en utilisant les limites remarquables.
4.3. Dérivation et représentation des fonctions
- Approcher une fonction au voisinage d’un point \(x_0\) par une fonction affine ;
- reconnaître que le nombre dérivé en \(x_0\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(x_0\) ;
- connaître les dérivées des fonctions de référence ;
- maîtriser les techniques de calcul d’une dérivée ;
- déterminer l’équation de la tangente à une courbe en un point et construire cette tangente ;
- déterminer la monotonie d’une fonction à partir du signe de sa dérivée ;
- déterminer le signe d’une fonction à partir de son tableau de variations ou de sa représentation graphique ;
- résoudre des problèmes d’application portant sur les valeurs minimales et les valeurs extrémales.
4.4. Représentation graphique d’une fonction numérique
- Résoudre graphiquement des équations et des inéquations ;
- utiliser la périodicité et les éléments de symétrie d’une courbe pour réduire l’ensemble d’étude d’une fonction ;
- utiliser le signe de la dérivée seconde pour étudier la concavité d’une courbe et déterminer ses points d’inflexion ;
- étudier et représenter des fonctions polynomiales, rationnelles et irrationnelles ;
- étudier et représenter des fonctions trigonométriques simples.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
4.1. عموميات حول الدوال العددية
•
ينبغي تعويد التلاميذ على استنتاج تغيرات دالة عددية انطلاقا من
تمثيلها المبياني. كما ينبغي الاهتمام بإنشاء المنحنيات؛
•
ينبغي تناول الحل المبياني للمعادلات ومتراجحات من النوع
\(f(x)=c\)
\(f(x)\le c\)
\(f(x)=g(x)\)
\(f(x)<g(x)\)
في حدود الإمكان؛
•
يمكن في حدود الإمكان استعمال الآلات الحاسبة والبرامج المعلوماتية
المدمجة في الحاسوب والتي تمكن من دراسة الدوال؛
•
يستحسن معالجة وضعيات مختارة تنطلق من ميادين أخرى.
4.2. نهاية دالة عددية
•
يتم تقديم مفهوم النهاية بطريقة حدسية من خلال سلوك الدوال المرجعية
المحددة في البرنامج ومقلوباتها بجوار الصفر و
\(+\infty\)
و
\(-\infty\)
وقبول هذه النهايات؛
•
يتم الاعتماد على خاصيات الترتيب في
\(\mathbb R\)
لحساب نهايات دوال بسيطة تحقق:
\(|f(x)-\ell|\le u(x)\), حيث \(u(x)\to0\)
\(f(x)\ge u(x)\), حيث \(u(x)\to+\infty\)
\(f(x)\le u(x)\), حيث \(u(x)\to-\infty\)
•
تعتبر العمليات على النهايات المنتهية واللامنتهية مقبولة وينبغي
تعويد التلاميذ على الاستعمال الصحيح لها؛
•
ينبغي تعويد التلاميذ على إزالة الأشكال غير المحددة البسيطة؛
•
إن أي دراسة نظرية لمفهوم النهاية تعتبر خارج المقرر.
4.3. الاشتقاق وتمثيل الدوال
•
من بين الأمثلة التي يمكن معالجتها: تقريب الدوال المعرفة بما يلي:
\(h\mapsto(1+h)^2\)
\(h\mapsto(1+h)^3\)
\(h\mapsto\dfrac1{1+h}\)
\(h\mapsto\sqrt{1+h}\)
بجوار الصفر بدوال تآلفية؛
•
توظف النهاية
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\)
في تحديد مشتقة كل من الدالتين
\(x\mapsto\sin x\)
و
\(x\mapsto\cos x\)؛
•
تقبل المبرهنات المتعلقة بالرتابة وإشارة المشتقة الأولى؛
•
يقبل الحل العام للمعادلة التفاضلية:
\(y''+\omega^2y=0\)
4.4. التمثيل المبياني لدالة عددية
•
ينبغي الاقتصار على تحديد نهايات دوال بسيطة، كدوال حدودية من
الدرجة الثانية والثالثة أو دوال من الشكل:
\(x\mapsto ax+b+\varphi(x)\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0\)
عند محددات مجموعات تعريفها وتحديد فروعها اللانهائية؛
•
ينبغي دراسة دوال لا يطرح حساب وإشارة مشتقاتها صعوبة بالغة؛
•
ينبغي تناول الحل المبياني لمعادلات ومتراجحات من النوع:
\(f(x)=c\)
\(f(x)\le c\)
\(f(x)=g(x)\)
\(f(x)\le g(x)\)
\(f(x)<g(x)\)
حيث
\(f\)
و
\(g\)
دالتان من بين الدوال الواردة في البرنامج إذا لم يكن الحل الجبري
في المتناول.
4.1. Généralités sur les fonctions numériques
- Habituer les élèves à déduire les variations d’une fonction numérique à partir de sa représentation graphique et accorder une attention particulière à la construction des courbes ;
-
aborder, dans la mesure du possible, la résolution graphique des
équations et inéquations :
\(f(x)=c\) \(f(x)\le c\) \(f(x)=g(x)\) \(f(x)<g(x)\)
- utiliser, dans la mesure du possible, les calculatrices et les logiciels intégrés à l’ordinateur permettant l’étude des fonctions ;
- traiter de préférence des situations choisies dans d’autres domaines.
4.2. Limite d’une fonction numérique
- Introduire intuitivement la notion de limite à partir du comportement des fonctions de référence du programme et de leurs réciproques au voisinage de \(0\), de \(+\infty\) et de \(-\infty\), ces limites étant admises ;
-
utiliser les propriétés d’ordre dans \(\mathbb R\) pour calculer
les limites de fonctions simples vérifiant :
\(|f(x)-\ell|\le u(x)\), avec \(u(x)\to0\) \(f(x)\ge u(x)\), avec \(u(x)\to+\infty\) \(f(x)\le u(x)\), avec \(u(x)\to-\infty\)
- admettre les règles opératoires sur les limites finies et infinies, tout en habituant les élèves à les employer correctement ;
- habituer les élèves à lever les formes indéterminées simples ;
- toute étude théorique de la notion de limite est hors programme.
4.3. Dérivation et représentation des fonctions
-
Parmi les exemples pouvant être traités, approcher au voisinage de
\(0\), par des fonctions affines, les fonctions :
\(h\mapsto(1+h)^2\) \(h\mapsto(1+h)^3\) \(h\mapsto\dfrac1{1+h}\) \(h\mapsto\sqrt{1+h}\)
- utiliser la limite \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) pour déterminer les dérivées des fonctions \(x\mapsto\sin x\) et \(x\mapsto\cos x\) ;
- les théorèmes relatifs à la monotonie et au signe de la dérivée première sont admis ;
- la solution générale de l’équation différentielle \(y''+\omega^2y=0\) est admise.
4.4. Représentation graphique d’une fonction numérique
- Se limiter au calcul des limites de fonctions simples — fonctions polynomiales du deuxième ou du troisième degré, ou fonctions de la forme \(x\mapsto ax+b+\varphi(x)\) avec \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=0\) — aux bornes de leur domaine, ainsi qu’à la détermination de leurs branches infinies ;
- étudier des fonctions dont le calcul de la dérivée et l’étude de son signe ne présentent pas de difficulté excessive ;
-
traiter graphiquement les équations et inéquations :
\(f(x)=c\) \(f(x)\le c\) \(f(x)=g(x)\) \(f(x)\le g(x)\) \(f(x)<g(x)\)lorsque \(f\) et \(g\) appartiennent aux fonctions du programme et que la résolution algébrique n’est pas accessible.
Hors programme — mention explicite
Toute étude théorique de la notion de limite est exclue. L’introduction
doit rester intuitive et s’appuyer sur les fonctions de référence et
les propriétés d’ordre.
Résultats admis à ce niveau
Les théorèmes reliant la monotonie au signe de la dérivée première,
ainsi que la solution générale de
\(y''+\omega^2y=0\), sont admis.
Limites pédagogiques
L’étude graphique doit porter sur des fonctions simples dont la dérivée
et son signe restent accessibles. Les limites et les branches infinies
sont traitées dans le cadre précis indiqué par le programme.
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