Programme officiel de mathématiques au Maroc — 2e Bac Sciences Mathématiques A et B : contenus, capacités et orientations pédagogiques
Deuxième année du baccalauréat — Sciences Mathématiques A et B برنامج الرياضيات بالسنة الثانية من سلك البكالوريا — مسلكا العلوم الرياضية «أ» و«ب»
2 domaines
11 cours
Programme commun SM A et B
Programme officiel corrigé
Choisissez d’abord un domaine, puis le cours à consulter. Cette page réunit
le programme commun officiel de la deuxième année du baccalauréat Sciences
Mathématiques A et B.
Consulter le programme
Entrer dans le programme
Choisissez un domaine, puis sélectionnez le cours souhaité.
I
Analyse
7 cours : suites, fonctions numériques, primitives, logarithmes et exponentielles, accroissements finis, équations différentielles et calcul intégral.
Choisir un cours
II
Algèbre et géométrie
4 cours : arithmétique dans ℤ, nombres complexes, probabilités et structures algébriques.
Choisir un cours
Analyse I. التحليل
Choisissez votre cours
Ce domaine contient 7 cours.
Sélectionnez le cours que vous souhaitez consulter.
Analyse — Suites numériques
I. التحليل
1. المتتاليات العددية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
نهاية متتالية؛
•
نهاية المتتاليات من نوع:
\(\left(n^\alpha\right)_n,\quad \alpha\in\mathbb{R}_+^*\)
\(\left(a^n\right)_n,\quad a\in\mathbb{R}_+^*\)
•
المتتالية المتقاربة؛ المتتالية المتباعدة؛
•
العمليات على نهايات المتتاليات؛ النهايات والترتيب؛
مصاديق التقارب؛
•
المتتاليات المتحادية؛ تقارب متتالية تزايدية ومكبورة
أو متتالية تناقصية ومصغورة؛ حالة متتالية تزايدية وغير مكبورة؛
•
دراسة المتتاليات التراجعية من الشكل
\(u_{n+1}=f(u_n)\)
حيث
\(f\)
دالة متصلة على مجال
\(I\)
و
\(f(I)\subset I\)؛
•
نهاية مركب متتالية ودالة متصلة.
- Limite d’une suite ;
-
limites des suites de la forme :
\(\left(n^\alpha\right)_n,\quad \alpha\in\mathbb{R}_+^*\) \(\left(a^n\right)_n,\quad a\in\mathbb{R}_+^*\)
- suite convergente et suite divergente ;
- opérations sur les limites de suites ; limites et ordre ; critères de convergence ;
- suites adjacentes ; convergence d’une suite croissante et majorée, ou d’une suite décroissante et minorée ; cas d’une suite croissante non majorée ;
- étude des suites définies par récurrence sous la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\), où \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) et vérifie \(f(I)\subset I\) ;
- limite de la composée d’une suite et d’une fonction continue.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
استعمال المتتاليات الهندسية والمتتاليات الحسابية في دراسة أمثلة
من متتاليات من الشكل:
\(u_{n+1}=au_n+b\)
\(\displaystyle u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}\)
أو متتاليات تراجعية أخرى؛
•
توظيف التأطير وخصائص الترتيب في البرهنة على أن متتالية تؤول إلى
عدد أو إلى اللانهاية، وذلك باعتماد تعريف نهاية متتالية في أمثلة
خاصة؛
•
استعمال نهايات المتتاليات المرجعية ومصاديق التقارب لتحديد نهايات
متتاليات عددية؛
•
دراسة المتتاليات التراجعية من الشكل
\(u_{n+1}=f(u_n)\)
حيث
\(f\)
متصلة على مجال
\(I\)
وتحقق
\(f(I)\subset I\)؛
•
تحديد نهاية مركب متتالية ودالة متصلة، بالنسبة لمتتاليات من النوع
\(v_n=f(u_n)\)؛
•
توظيف المتتاليات المتحادية في تأطير عدد حقيقي بأعداد عشرية؛
•
تأطير تكامل دالة متصلة على مجال، أو مساحة حيز محصور بين منحنى
دالة متصلة على قطعة
\([a,b]\)
ومحور الأفاصيل والمستقيمين
\(x=a\)
و
\(x=b\)
باستعمال طريقة المستطيلات مثلا.
-
Utiliser les suites géométriques et arithmétiques pour étudier des
exemples de suites de la forme :
\(u_{n+1}=au_n+b\) \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}\)ainsi que d’autres suites définies par récurrence ;
- mobiliser les encadrements et les propriétés d’ordre pour démontrer qu’une suite tend vers un nombre réel ou vers l’infini, en utilisant la définition de la limite dans des cas particuliers ;
- utiliser les limites des suites de référence et les critères de convergence pour déterminer les limites de suites numériques ;
- étudier les suites définies par récurrence sous la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\), avec \(f\) continue sur un intervalle \(I\) et \(f(I)\subset I\) ;
- déterminer la limite d’une suite composée de la forme \(v_n=f(u_n)\) ;
- utiliser des suites adjacentes pour encadrer un nombre réel par des nombres décimaux ;
- encadrer une intégrale d’une fonction continue sur un intervalle, ou l’aire du domaine compris entre sa courbe sur \([a,b]\), l’axe des abscisses et les droites \(x=a\) et \(x=b\), par exemple au moyen de la méthode des rectangles.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
تتم ممارسة بعض الأنشطة الرياضية مثل دراسة سلوك المتتاليات
الاعتيادية:
\(\left(\sqrt n\right)_{n\ge0}\)
\(\left(n^2\right)_{n\ge0}\)
\(\left(\dfrac1{\sqrt n}\right)_{n\ge1}\)
\(\left(\dfrac1{n^2}\right)_{n\ge1}\)
عندما يؤول
\(n\)
إلى
\(+\infty\)
لتقريب مفهوم نهاية متتالية، باستعمال برنامج مثل
Excel على سبيل المثال، ثم تقديم تعريف
النهاية المنتهية واللامنتهية وربطهما بنهاية دالة عددية عند
\(+\infty\)؛
•
ينحصر استعمال تعريف النهاية في البرهنة على بعض الخصائص الواردة
في البرنامج وممارسة بعض الأنشطة بهدف الاستئناس به فقط، لأن
استعمال تعريف نهاية متتالية ليس هدفا للبرنامج؛
•
يتم التركيز أكثر على استعمال نهايات المتتاليات الاعتيادية
ومصاديق التقارب في دراسة نهايات المتتاليات؛
•
للتعبير عن أن متتالية تؤول إلى
\(\ell\)
نستعمل أن كل مجال مفتوح مركزه
\(\ell\)
يحتوي على جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة؛ وللتعبير
عن أنها تؤول إلى
\(+\infty\)
نستعمل أن كل مجال مفتوح من الشكل
\(]a,+\infty[\)
يحتوي على جميع حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة؛
•
تتم البرهنة على مصاديق التقارب، وعلى الخاصية:
إذا كان
\(u_n<a\)
لكل
\(n\)
وكانت المتتالية
\((u_n)\)
متقاربة نحو
\(\ell\)
فإن
\(\ell\le a\)،
كما تتم البرهنة على مبرهنة المتتاليتين المتحادتين؛
•
تتم دراسة نهاية المتتالية
\(\left(a^n\right)_{n\ge0}\)
حيث
\(a\in\mathbb{R}_+^*\)
والمتتالية
\(\left(n^r\right)_{n\ge1}\)
حيث
\(r\in\mathbb{Q}^*\)
واعتبارهما من النهايات الاعتيادية؛
•
تتم معالجة مسائل تؤول إلى دراسة متتاليات تراجعية في حالات خاصة،
من الأنواع:
\(u_{n+1}=au_n+b\)
\(\displaystyle u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}\)
\(u_{n+1}=f(u_n),\quad f(I)\subset I\)
\(v_n=f(u_n)\)
•
تقدم الخاصيتان الآتيتان:
إذا كانت
\((u_n)\)
من النوع
\(u_{n+1}=f(u_n)\)
حيث
\(f\)
متصلة على
\(I\)
و
\(f(I)\subset I\)
وكانت متقاربة نحو
\(\ell\)
فإن
\(f(\ell)=\ell\)؛
وإذا كانت
\((u_n)\)
متقاربة نحو
\(\ell\)
وكانت
\(f\)
متصلة في
\(\ell\)
فإن
\(v_n=f(u_n)\)
متقاربة نحو
\(f(\ell)\).
-
Mettre en œuvre des activités portant sur le comportement de suites
usuelles telles que :
\(\left(\sqrt n\right)_{n\ge0}\) \(\left(n^2\right)_{n\ge0}\) \(\left(\dfrac1{\sqrt n}\right)_{n\ge1}\) \(\left(\dfrac1{n^2}\right)_{n\ge1}\)lorsque \(n\to+\infty\), afin d’introduire progressivement la notion de limite d’une suite, par exemple à l’aide d’un tableur comme Excel. Présenter ensuite les limites finies et infinies et les relier aux limites des fonctions numériques en \(+\infty\) ;
- limiter l’emploi de la définition de la limite à la démonstration de certaines propriétés du programme et à quelques activités d’initiation : la maîtrise formelle de cette définition n’est pas un objectif du programme ;
- privilégier l’utilisation des limites de suites usuelles et des critères de convergence dans l’étude des limites ;
- exprimer qu’une suite tend vers \(\ell\) en indiquant que tout intervalle ouvert centré en \(\ell\) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang ; pour une limite égale à \(+\infty\), utiliser les intervalles de la forme \(]a,+\infty[\) ;
- démontrer les critères de convergence, la propriété selon laquelle une suite vérifiant \(u_n<a\) pour tout \(n\) et convergeant vers \(\ell\) satisfait \(\ell\le a\), ainsi que le théorème des suites adjacentes ;
- étudier les limites de \(\left(a^n\right)_{n\ge0}\), avec \(a\in\mathbb{R}_+^*\), et de \(\left(n^r\right)_{n\ge1}\), avec \(r\in\mathbb{Q}^*\), puis les considérer comme des limites usuelles ;
-
traiter des problèmes conduisant, dans des cas particuliers, à des
suites définies par récurrence de la forme :
\(u_{n+1}=au_n+b\) \(\displaystyle u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}\) \(u_{n+1}=f(u_n),\quad f(I)\subset I\) \(v_n=f(u_n)\)
- présenter les deux propriétés suivantes : si une suite vérifie \(u_{n+1}=f(u_n)\), avec \(f\) continue sur \(I\) et \(f(I)\subset I\), et converge vers \(\ell\), alors \(f(\ell)=\ell\). Par ailleurs, si \(u_n\to\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(u_n)\to f(\ell)\).
Limite pédagogique
La définition formelle de la limite d’une suite sert uniquement à
justifier certaines propriétés et à familiariser les élèves avec la
notion. Sa maîtrise technique ne constitue pas un objectif autonome
du programme.
Analyse — Étude des fonctions numériques
I. التحليل
2. الدوال العددية — 1. دراسة الدوال
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
الاتصال في نقطة؛ الاتصال على اليمين؛ الاتصال على اليسار؛
الاتصال على مجال، بالنسبة للدوال الحدودية والجذرية والمثلثية
والدالة
\(x\longmapsto\sqrt{x}\)؛
•
صورة مجال وصورة قطعة بدالة متصلة؛
•
مبرهنة القيم الوسيطية؛ حالة دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال؛
•
الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال؛
•
الاتصال والاشتقاق؛
•
مشتقة مركب دالتين قابلتين للاشتقاق؛
•
مشتقة الدالة العكسية؛
•
القوى الجذرية
\(x^r,\quad r\in\mathbb{Q}^*\)
وخصائصها؛
•
مشتقة الدالة
\(x\longmapsto\sqrt[n]{x},\quad n\ge1\)
؛
•
نماذج من دراسة الدوال.
- Continuité en un point, à droite et à gauche ; continuité sur un intervalle, pour les fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et la fonction \(x\longmapsto\sqrt{x}\) ;
- image d’un intervalle et image d’un segment par une fonction continue ;
- théorème des valeurs intermédiaires ; cas d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ;
- fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ;
- continuité et dérivabilité ;
- dérivée de la composée de deux fonctions dérivables ;
- dérivée d’une fonction réciproque ;
- puissances rationnelles \(x^r,\quad r\in\mathbb{Q}^*\) et leurs propriétés ;
- dérivée de la fonction \(x\longmapsto\sqrt[n]{x},\quad n\ge1\) ;
- modèles d’étude de fonctions.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
تحديد صورة قطعة أو مجال بدالة متصلة، وبدالة متصلة ورتيبة قطعا؛
•
تطبيق مبرهنة القيم الوسيطية في دراسة بعض المعادلات والمتراجحات
أو دراسة إشارة بعض التعابير؛
•
استعمال طريقة التفريع الثنائي
(la dichotomie)
في تحديد قيم مقربة لحلول المعادلة
\(f(x)=\lambda\)
أو تأطير هذه الحلول؛
•
تطبيق مبرهنة القيم الوسيطية ومبرهنة الدالة التقابلية في حالة
دالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال؛
•
حساب مشتقات الدوال الاعتيادية؛
•
تحديد رتابة دالة انطلاقا من إشارة مشتقتها؛
•
تحديد إشارة دالة انطلاقا من جدول تغيراتها أو من تمثيلها المبياني؛
•
الحل المبياني لمعادلات من الشكل
\(f(x)=g(x)\)
ومتراجحات من الشكل
\(f(x)\le g(x)\)؛
•
تحديد رتابة الدالة العكسية لدالة متصلة ورتيبة قطعا على مجال
وتمثيلها مبيانيا؛
•
تحديد العدد المشتق في نقطة للدالة العكسية لدالة؛
•
حل مسائل تطبيقية حول القيم الدنيا والقيم القصوى؛
•
دراسة وتمثيل دوال لاجذرية ودوال مثلثية.
- Déterminer l’image d’un segment ou d’un intervalle par une fonction continue, puis par une fonction continue et strictement monotone ;
- appliquer le théorème des valeurs intermédiaires à l’étude d’équations, d’inéquations ou du signe de certaines expressions ;
- utiliser la méthode de dichotomie pour déterminer des valeurs approchées des solutions de \(f(x)=\lambda\) ou pour encadrer ces solutions ;
- appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la bijection à une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ;
- calculer les dérivées des fonctions usuelles ;
- déterminer la monotonie d’une fonction à partir du signe de sa dérivée ;
- déterminer le signe d’une fonction à partir de son tableau de variations ou de sa représentation graphique ;
- résoudre graphiquement des équations de la forme \(f(x)=g(x)\) et des inéquations de la forme \(f(x)\le g(x)\) ;
- déterminer la monotonie de la fonction réciproque d’une fonction continue et strictement monotone, puis construire sa représentation graphique ;
- déterminer le nombre dérivé, en un point, d’une fonction réciproque ;
- résoudre des problèmes d’application portant sur les valeurs minimales et maximales ;
- étudier et représenter des fonctions irrationnelles et des fonctions trigonométriques.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يعتمد التعريف التالي: نقول إن دالة
\(f\)
متصلة في نقطة
\(x_0\)
إذا كان
\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\)
؛
•
تقبل النتائج المتعلقة باتصال الدوال الحدودية والجذرية والمثلثية
والدالة
\(x\longmapsto\sqrt{x}\)
مع التركيز على تطبيقاتها؛
•
يقبل أن صورة قطعة بدالة متصلة هي قطعة، وأن صورة مجال هي أيضا
مجال، ثم تستنتج مبرهنة القيم الوسيطية؛
•
تقبل استمرارية
\(f+g\)
و
\(fg\)
و
\(\lambda f\)
عندما تكون
\(f\)
و
\(g\)
متصلتين على مجال
\(I\)؛
•
يقبل أن
\(g\circ f\)
متصلة على
\(I\)
إذا كانت
\(f\)
متصلة على
\(I\)
و
\(g\)
متصلة على
\(f(I)\)؛
•
يذكر بمفهوم الاشتقاق وتطبيقاته من خلال أنشطة متنوعة تبرز أهميته
في الدراسة الموضعية والشاملة للدوال، وفي تحديد التغيرات
والمطاريف والإشارة وحل المتراجحات ودراسة تقعر منحنى دالة؛
•
تعتبر الدوال العكسية للدوال المثلثية الاعتيادية خارج البرنامج؛
•
تصان مكتسبات التلاميذ حول الاشتقاق والنهايات والتقريب التآلفي
وعناصر التماثل والفروع اللانهائية والحل المبياني، من خلال دراسة
أمثلة لدوال حدودية وجذرية ولاجذرية ومثلثية؛
•
ينبغي الاقتصار على نماذج من الدوال اللاجذرية لا تطرح دراسة إشارة
مشتقتها صعوبات، والتطرق إلى المعادلات اللاجذرية من خلال نماذج؛
•
تستعمل الكتابة التفاضلية
\(dy=f'(x)\,dx\)
؛
•
تعتبر دراسة الدوال من الشكل
\(x\longmapsto\sqrt[n]{u(x)},\quad n\ge3\)
حيث
\(u(x)\)
دالة موجبة، خارج البرنامج؛ ويقتصر على تحديد مشتقتها.
- Adopter la définition suivante : une fonction \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) ;
- admettre les résultats relatifs à la continuité des fonctions polynomiales, rationnelles, trigonométriques et de \(x\longmapsto\sqrt{x}\), en privilégiant leurs applications ;
- admettre que l’image d’un segment par une fonction continue est un segment et que l’image d’un intervalle est un intervalle, puis en déduire le théorème des valeurs intermédiaires ;
- admettre la continuité de \(f+g\), \(fg\) et \(\lambda f\) lorsque \(f\) et \(g\) sont continues sur un intervalle \(I\) ;
- admettre que \(g\circ f\) est continue sur \(I\) lorsque \(f\) est continue sur \(I\) et \(g\) est continue sur \(f(I)\) ;
- réinvestir la dérivation au moyen d’activités variées montrant son rôle dans l’étude locale et globale des fonctions : variations, extrema, signe, inéquations et concavité ;
- les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques usuelles sont hors programme ;
- consolider les acquis relatifs à la dérivation, aux limites, à l’approximation affine, aux symétries, aux branches infinies et à la résolution graphique à travers des exemples de fonctions polynomiales, rationnelles, irrationnelles et trigonométriques ;
- se limiter à des modèles de fonctions irrationnelles dont l’étude du signe de la dérivée reste accessible, et aborder les équations irrationnelles uniquement à travers des exemples ;
- utiliser l’écriture différentielle \(dy=f'(x)\,dx\) ;
- l’étude des fonctions de la forme \(x\longmapsto\sqrt[n]{u(x)},\quad n\ge3\) , avec \(u(x)>0\), est hors programme ; seule la détermination de leur dérivée est demandée.
Hors programme — mentions officielles
Les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques usuelles ne
sont pas étudiées. Pour les fonctions
\(x\longmapsto\sqrt[n]{u(x)}\), avec \(n\ge3\) et \(u(x)>0\),
seule la dérivée est demandée.
Analyse — Fonctions primitives
I. التحليل
3. الدوال الأصلية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
الدوال الأصلية لدالة متصلة على مجال؛
•
الدوال الأصلية لمجموع دالتين؛
•
الدوال الأصلية لجداء دالة في عدد حقيقي.
- Primitives d’une fonction continue sur un intervalle ;
- primitives de la somme de deux fonctions ;
- primitives du produit d’une fonction par un nombre réel.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
تحديد الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية؛
•
استعمال صيغ الاشتقاق لتحديد الدوال الأصلية لدالة على مجال.
- Déterminer les primitives des fonctions usuelles ;
- utiliser les formules de dérivation pour déterminer les primitives d’une fonction sur un intervalle.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
تحدد الدوال الأصلية للدوال الاعتيادية انطلاقا من القراءة العكسية
لجداول مشتقات هذه الدوال.
- Déterminer les primitives des fonctions usuelles par lecture inverse des tableaux de dérivées correspondants.
Méthode pédagogique officielle
Les primitives usuelles sont introduites à partir des formules de
dérivation déjà connues, par lecture inverse des tableaux de dérivées.
Analyse — Fonctions logarithmiques et exponentielles
I. التحليل
4. الدوال اللوغاريتمية والأسية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
دالة اللوغاريتم النيبيري:
- تعريف وخصائص جبرية؛
- الرمز \(\ln\) ودراسة الدالة \(x\longmapsto\ln(x)\)؛
- المشتقة اللوغاريتمية لدالة؛
- الدوال الأصلية للدالة \(x\longmapsto\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) .
•
دالة اللوغاريتم للأساس
\(a\):
- تعريف وخصائص؛
- دالة اللوغاريتم العشري.
•
الدالة الأسية النيبيرية:
- تعريف وخصائص جبرية؛
- الرمز \(\exp\) ودراسة الدالة \(x\longmapsto\exp(x)\)؛
- العدد \(e\) والكتابة \(e^x\)؛
- الدوال الأصلية للدالة \(x\longmapsto u'(x)e^{u(x)}\) .
•
الدالة الأسية للأساس
\(a\):
- تعريف وخصائص؛
- مشتقة الدالة \(x\longmapsto a^x\).
-
Fonction logarithme népérien :
- définition et propriétés algébriques ;
- notation \(\ln\) et étude de la fonction \(x\longmapsto\ln(x)\) ;
- dérivée logarithmique d’une fonction ;
- primitives de la fonction \(x\longmapsto\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) .
-
Fonction logarithme de base
\(a\) :
- définition et propriétés ;
- logarithme décimal.
-
Fonction exponentielle népérienne :
- définition et propriétés algébriques ;
- notation \(\exp\) et étude de la fonction \(x\longmapsto\exp(x)\) ;
- nombre \(e\) et notation \(e^x\) ;
- primitives de la fonction \(x\longmapsto u'(x)e^{u(x)}\) .
-
Fonction exponentielle de base
\(a\) :
- définition et propriétés ;
- dérivée de la fonction \(x\longmapsto a^x\).
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من الحساب الجبري على اللوغاريتمات؛
•
التمكن من حل معادلات ومتراجحات ونظمات لوغاريتمية؛
•
معرفة وتطبيق اللوغاريتم العشري، خاصة في حل المعادلات من نوع
\(10^x=a\)؛
•
التمكن من النهايات اللوغاريتمية الأساسية وتوظيفها؛
•
التمكن من دراسة وتمثيل دوال تحتوي صيغتها على الدالة اللوغاريتمية؛
•
التمكن من حل معادلات ومتراجحات ونظمات أسية نيبيرية؛
•
التمكن من نهايات الدالة الأسية النيبيرية الأساسية وتوظيفها؛
•
التمكن من دراسة وتمثيل دوال تحتوي صيغتها على الدالة الأسية
النيبيرية؛
•
التمكن من دراسة وتمثيل دوال تحتوي صيغتها على الدالة الأسية
النيبيرية ودالة اللوغاريتم النيبيري؛
•
تحديد قيم مقربة للعدد
\(e^a\)
حيث
\(a\)
عدد حقيقي، أو تحديد قيمة مقربة للعدد
\(a\)
إذا كان
\(e^a\)
عددا معلوما، باستعمال أداة معلوماتية.
- Maîtriser le calcul algébrique sur les logarithmes ;
- résoudre des équations, des inéquations et des systèmes logarithmiques ;
- connaître et utiliser le logarithme décimal, notamment pour résoudre des équations de la forme \(10^x=a\) ;
- maîtriser les limites logarithmiques usuelles et les appliquer ;
- étudier et représenter des fonctions dont l’expression contient la fonction logarithme ;
- résoudre des équations, des inéquations et des systèmes exponentiels ;
- maîtriser les limites usuelles de la fonction exponentielle népérienne et les appliquer ;
- étudier et représenter des fonctions dont l’expression contient la fonction exponentielle népérienne ;
- étudier et représenter des fonctions faisant intervenir à la fois la fonction exponentielle népérienne et le logarithme népérien ;
- déterminer, à l’aide d’un outil numérique, une valeur approchée de \(e^a\) pour \(a\in\mathbb R\), ou une valeur approchée de \(a\) lorsque \(e^a\) est connu.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يتم مباشرة بعد درس الدوال الأصلية تقديم دالة اللوغاريتم باعتبارها
الدالة الأصلية للدالة
\(x\longmapsto\dfrac1x\)
المعرفة على المجال
\(]0,+\infty[\)
والتي تنعدم في
\(1\)؛
•
الدالة الأسية النيبيرية هي التقابل العكسي لدالة اللوغاريتم
النيبيري؛
•
لكل عدد
\(a\)
موجب قطعا لدينا
\(a^b=e^{b\ln a}\)
؛
•
يتم قبول
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\)
؛
•
تعتبر النهايات المرتبطة بالدالة اللوغاريتمية النيبيرية والدالة
الأسية النيبيرية، بالإضافة إلى النهايات الآتية حيث
\(n\in\mathbb N^*\)،
نهايات أساسية:
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\)
\(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0\)
\(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0\)
•
تستعمل الدوال اللوغاريتمية والدوال الأسية في حل مسائل متنوعة.
- Présenter la fonction logarithme immédiatement après le cours sur les primitives, comme l’unique primitive de \(x\longmapsto\dfrac1x\) sur \(]0,+\infty[\) qui s’annule en \(1\) ;
- présenter la fonction exponentielle népérienne comme la fonction réciproque du logarithme népérien ;
- pour tout réel \(a>0\), utiliser la relation \(a^b=e^{b\ln a}\) ;
- admettre la limite \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\) ;
-
considérer comme limites usuelles, pour
\(n\in\mathbb N^*\) :
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0\) \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty\) \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^n e^x=0\) \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x^n\ln x=0\)
- mobiliser les fonctions logarithmiques et exponentielles dans la résolution de problèmes variés.
Résultats admis et limites usuelles
La limite
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\)
est admise. Les quatre limites comparant logarithme, exponentielle et
puissances sont considérées comme des limites usuelles.
Analyse — Théorème des accroissements finis
I. التحليل
4. مبرهنة التزايدات المنتهية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
مبرهنة رول؛
•
مبرهنة التزايدات المنتهية؛
•
متفاوِتة التزايدات المنتهية؛
•
الخاصية المميزة لدالة ثابتة أو تزايدية قطعا على مجال.
- Théorème de Rolle ;
- théorème des accroissements finis ;
- inégalité des accroissements finis ;
- caractérisation d’une fonction constante ou strictement croissante sur un intervalle.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من التأويل الهندسي لمبرهنة رول ومبرهنة التزايدات المنتهية
ومتفاوِتة التزايدات المنتهية؛
•
تطبيق هذه المبرهنات على المتتاليات العددية من نوع
\(u_{n+1}=f(u_n)\)
أو في تأطير التعابير والصيغ الجبرية أو الأعداد الحقيقية.
- Maîtriser l’interprétation géométrique du théorème de Rolle, du théorème des accroissements finis et de l’inégalité des accroissements finis ;
- appliquer ces théorèmes à l’étude de suites numériques de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\), à l’encadrement d’expressions et de formules algébriques, ou à l’encadrement de nombres réels.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يتم التركيز على تطبيقات مبرهنة رول ومبرهنة التزايدات المنتهية
ومتفاوِتة التزايدات المنتهية في تأطير وإكبار وإصغار التعابير
الجبرية ودراسة المتتاليات العددية؛
•
ينبغي التركيز على التأويلات الهندسية لمختلف المبرهنات والخاصيات
الواردة في هذه الفقرة، لتدعيم دقة البراهين المقدمة وجعلها
هندسية بدل الاقتصار على استنتاجات جبرية فقط.
- Mettre l’accent sur les applications du théorème de Rolle, du théorème des accroissements finis et de son inégalité à l’encadrement, à la majoration et à la minoration d’expressions algébriques, ainsi qu’à l’étude des suites numériques ;
- privilégier les interprétations géométriques des théorèmes et propriétés de cette partie afin de renforcer la rigueur des démonstrations et de ne pas les réduire à de simples déductions algébriques.
Orientation essentielle
Les applications et les interprétations géométriques constituent le
cœur de cette partie, notamment pour les encadrements et l’étude des
suites numériques.
Analyse — Équations différentielles
I. التحليل
5. المعادلات التفاضلية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
المعادلة التفاضلية:
\(y'=ay+b\)
•
المعادلة التفاضلية:
\(y''+ay'+by=0\)
-
Équation différentielle :
\(y'=ay+b\)
-
équation différentielle :
\(y''+ay'+by=0\)
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
حل المعادلة
\(y'=ay+b\)؛
•
حل المعادلة
\(y''+ay'+by=0\)
؛
•
حل معادلات تفاضلية تؤول في حلها إلى المعادلتين السابقتين.
- Résoudre l’équation \(y'=ay+b\) ;
- résoudre l’équation \(y''+ay'+by=0\) ;
- résoudre des équations différentielles qui se ramènent, par transformation, aux deux équations précédentes.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
حل المعادلة
\(y'=ay+b\)
وتوظيفها في وضعيات من مواد التخصص؛
•
حل المعادلة
\(y''+ay'+by=0\)
وتوظيفها في وضعيات من مواد التخصص؛
•
يقبل الحل العام للمعادلة التفاضلية
\(y''+ay'+by=0\)
.
- Résoudre l’équation \(y'=ay+b\) et la mobiliser dans des situations issues des matières de spécialité ;
- résoudre l’équation \(y''+ay'+by=0\) et la mobiliser dans des situations issues des matières de spécialité ;
- admettre la solution générale de l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\) .
Résultat admis
La solution générale de l’équation différentielle
\(y''+ay'+by=0\) est admise.
Analyse — Calcul intégral
I. التحليل
6. الحساب التكاملي
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
تكامل دالة متصلة على قطعة؛
•
خاصيات التكامل: علاقة شال، الخطية، التكامل والترتيب،
القيمة المتوسطة؛
•
تقنيتا حساب التكامل: استعمال الدوال الأصلية؛
المكاملة بالأجزاء؛
•
حساب المساحات والحجوم.
- Intégrale d’une fonction continue sur un segment ;
- propriétés de l’intégrale : relation de Chasles, linéarité, intégration et ordre, valeur moyenne ;
- techniques de calcul d’intégrales : utilisation des primitives et intégration par parties ;
- calcul d’aires et de volumes.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
حساب تكامل دوال بتوظيف تقنيتي حساب التكامل؛
•
التمكن من حساب مساحة حيز المستوى المحصور بين منحنيين
ومستقيمين موازيين لمحور الأراتيب؛
•
التمكن من حساب حجم المجسم المولد بدوران منحنى دالة
حول محور الأفاصيل.
- Calculer des intégrales en mobilisant les deux techniques de calcul du programme ;
- calculer l’aire d’un domaine plan compris entre deux courbes et deux droites parallèles à l’axe des ordonnées ;
- calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe d’une fonction autour de l’axe des abscisses.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
ينبغي تقديم تكامل دالة على قطعة انطلاقا من مفهوم دالة أصلية
لدالة متصلة؛
•
تقبل جميع الخاصيات ويمكن تأويلها هندسيا باستعمال المساحة.
- Introduire l’intégrale d’une fonction sur un segment à partir de la notion de primitive d’une fonction continue ;
- admettre toutes les propriétés de l’intégrale et les interpréter géométriquement à l’aide de la notion d’aire.
Résultats admis
Les propriétés de l’intégrale sont admises. Leur interprétation
géométrique s’appuie sur la notion d’aire.
Algèbre et géométrie II. الجبر والهندسة
Choisissez votre cours
Ce domaine contient 4 cours.
Sélectionnez le cours que vous souhaitez consulter.
Algèbre et géométrie — Arithmétique dans \(\mathbb Z\)
II. الجبر والهندسة
1. الحسابيات
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
نظم العد في الأساس
\(b\)
حيث
\(b\ge2\)؛
•
الأعداد الأولية فيما بينها؛ مبرهنة كوص؛ مبرهنة بزو؛
•
حل المعادلة
\(ax+by=c\)
في
\(\mathbb Z\times\mathbb Z\)؛
•
الموافقة بترديد
\(n\)
(تذكير)؛
•
المجموعة
\(\mathbb Z/n\mathbb Z\)؛
العمليات في
\(\mathbb Z/n\mathbb Z\)
وخاصياتها؛
•
المبرهنة الأساسية في الحسابيات؛
•
المجموعة
\(\mathbb Z/p\mathbb Z\)
في حالة
\(p\)
عدد أولي؛
•
مبرهنة فيرما
(petit théorème de Fermat).
- Systèmes de numération de base \(b\), avec \(b\ge2\) ;
- entiers premiers entre eux ; théorème de Gauss ; théorème de Bézout ;
- résolution de l’équation \(ax+by=c\) dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) ;
- congruence modulo \(n\) — rappel ;
- ensemble \(\mathbb Z/n\mathbb Z\), opérations dans cet ensemble et propriétés ;
- théorème fondamental de l’arithmétique ;
- ensemble \(\mathbb Z/p\mathbb Z\) lorsque \(p\) est premier ;
- petit théorème de Fermat.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
توظيف التفكيك إلى عوامل أولية في تحديد المضاعف المشترك الأصغر
والقاسم المشترك الأكبر لعددين أو أكثر؛
•
كتابة عدد صحيح طبيعي في نظمة عد لأساس معلوم؛
•
جمع وجداء عددين في نظمة عد لأساس معلوم؛
•
توظيف الموافقة بترديد
\(n\)
في وضعيات حسابياتية؛
•
توظيف مبرهنات كوص وبزو وفيرما في وضعيات حسابياتية؛
•
توظيف خوارزمية إقليدس في تحديد القاسم المشترك الأكبر وفي تحديد
معاملات بزو؛
•
حل المعادلة
\(ax+by=c\)
في
\(\mathbb Z\times\mathbb Z\).
- Utiliser la décomposition en facteurs premiers pour déterminer le plus petit commun multiple et le plus grand commun diviseur de deux entiers ou davantage ;
- écrire un entier naturel dans un système de numération de base connue ;
- additionner et multiplier deux nombres écrits dans un système de numération de base connue ;
- utiliser les congruences modulo \(n\) dans des situations arithmétiques ;
- appliquer les théorèmes de Gauss, de Bézout et de Fermat dans des situations arithmétiques ;
- utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer le plus grand commun diviseur et des coefficients de Bézout ;
- résoudre l’équation \(ax+by=c\) dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\).
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
يتم توليف المكتسبات التي سبق التطرق لها في الجذع المشترك العلمي
والسنة الأولى من شعبة العلوم الرياضية؛
•
ينبغي التركيز على الدقة في البراهين والوضوح في التعبير عند
صياغة البرهان؛
•
تتم دراسة بعض الخوارزميات، مثل خوارزمية إقليدس وغربال
إيراطوسطنس، وتطبيقاتها؛
•
تتم البرهنة على أن مجموعة الأعداد الأولية غير منتهية؛
•
ينبغي دراسة بعض المعادلات الديوفانتية؛
•
تطبق مبرهنة غوص ومبرهنة بزو ومبرهنة فيرما والمبرهنة الأساسية في
الحسابيات؛
•
تتم معالجة أمثلة من تقنيات التشفير من خلال تمارين للتحسيس بهذا
المفهوم.
- Faire la synthèse des acquis étudiés au tronc commun scientifique et en première année de la filière Sciences Mathématiques ;
- mettre l’accent sur la précision des démonstrations et sur la clarté de leur rédaction ;
- étudier certaines procédures algorithmiques, notamment l’algorithme d’Euclide et le crible d’Ératosthène, ainsi que leurs applications ;
- démontrer que l’ensemble des nombres premiers est infini ;
- étudier quelques équations diophantiennes ;
- appliquer les théorèmes de Gauss, de Bézout et de Fermat ainsi que le théorème fondamental de l’arithmétique ;
- traiter, au moyen d’exercices, quelques exemples de techniques de chiffrement afin de sensibiliser les élèves à cette notion.
Orientation essentielle
La précision des démonstrations, les algorithmes arithmétiques, les
équations diophantiennes et quelques applications au chiffrement
doivent être effectivement travaillés.
Algèbre et géométrie — Nombres complexes
II. الجبر والهندسة
2. الأعداد العقدية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
المجموعة
\(\mathbb C\)؛
الكتابة الجبرية لعدد عقدي؛ تساوي عددين عقديين؛ الجزء الحقيقي
والجزء التخيلي لعدد عقدي؛ مرافق عدد عقدي وخاصياته؛
•
العمليات على الأعداد العقدية؛
•
المستوى العقدي؛ لحق نقطة؛ لحق متجهة؛ صورة عدد عقدي؛
•
معيار عدد عقدي؛ المعيار والمسافة؛ المتفاوتة المثلثية؛ مجموعة
الأعداد العقدية التي معيارها واحد
\((U,\cdot)\)
والدائرة المثلثية؛
•
عمدة عدد عقدي غير منعدم؛
•
الشكل المثلثي لعدد عقدي؛ الإحداثيات القطبية لنقطة من المستوى
المنسوب إلى معلم متعامد وممنظم؛ زاوية متجهتين وعمدة خارج
لحقيهما؛ التأويل الهندسي للكتابتين:
\(\dfrac{z-a}{z-b}\)
\(\dfrac{z-a}{z'-b}\)
•
الترميز الأسي لعدد عقدي غير منعدم؛ صيغتا أويلر وصيغة موافر؛
إخطار وتعميل الحدوديات المثلثية؛
•
الجذور من الرتبة
\(n\)
للوحدة؛ الجذور من الرتبة
\(n\)
لعدد عقدي غير منعدم؛ زمرة الجذور النونية للوحدة
\((U_n,\cdot)\)؛
•
المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول عقدي واحد ومعاملاتها أعداد
عقدية؛ العلاقة بين المعاملات والحلول؛
•
الصيغ العقدية للتحويلات الاعتيادية في المستوى: الإزاحة؛ التماثل؛
التحاكي؛ الدوران.
- Ensemble \(\mathbb C\) ; écriture algébrique d’un nombre complexe ; égalité de deux nombres complexes ; parties réelle et imaginaire ; conjugué et propriétés ;
- opérations sur les nombres complexes ;
- plan complexe ; affixe d’un point ; affixe d’un vecteur ; image d’un nombre complexe ;
- module d’un nombre complexe ; module et distance ; inégalité triangulaire ; ensemble \((U,\cdot)\) des nombres complexes de module \(1\) et cercle trigonométrique ;
- argument d’un nombre complexe non nul ;
-
forme trigonométrique d’un nombre complexe ; coordonnées polaires
d’un point du plan rapporté à un repère orthonormé ; angle de deux
vecteurs et argument du quotient de leurs affixes ; interprétation
géométrique des écritures :
\(\dfrac{z-a}{z-b}\) \(\dfrac{z-a}{z'-b}\)
- notation exponentielle d’un nombre complexe non nul ; formules d’Euler et de Moivre ; linéarisation et factorisation d’expressions trigonométriques ;
- racines \(n\)-ièmes de l’unité ; racines \(n\)-ièmes d’un nombre complexe non nul ; groupe \((U_n,\cdot)\) des racines \(n\)-ièmes de l’unité ;
- équation du second degré à une inconnue complexe et à coefficients complexes ; relations entre les coefficients et les solutions ;
- écritures complexes des transformations usuelles du plan : translation, symétrie, homothétie et rotation.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من الحساب الجبري على الأعداد العقدية؛
•
التأويل الهندسي للتعابير والصيغ العقدية؛
•
توظيف الأعداد العقدية في الحساب المثلثي، ولاسيما صيغ التحويل
والإخطار والنشر؛
•
تأويل المفاهيم الهندسية باستعمال الأداة العقدية: المسافة بين
نقطتين، قياس الزوايا، المرجح، استقامية النقط، استقامية وتعامد
المتجهات، تداور أربع نقط؛
•
حل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد؛
•
حل معادلات تؤول في حلها إلى حل معادلات من الدرجة الثانية بمجهول
واحد؛
•
التأويل الهندسي لمجموعة حلول المعادلة
\(z^n=1\)
وحل هذه المعادلة؛
•
تحديد الصيغ العقدية للتحويلات الاعتيادية؛
•
توظيف الصيغ العقدية للتحويلات الاعتيادية لدراسة وضعيات هندسية.
- Maîtriser le calcul algébrique sur les nombres complexes ;
- donner une interprétation géométrique aux expressions et écritures complexes ;
- utiliser les nombres complexes en calcul trigonométrique, notamment pour les formules de transformation, de linéarisation et de développement ;
- interpréter à l’aide des nombres complexes des notions géométriques : distance entre deux points, mesure des angles, barycentre, alignement de points, colinéarité et orthogonalité de vecteurs, cocyclicité de quatre points ;
- résoudre une équation du second degré à une inconnue ;
- résoudre des équations se ramenant à une équation du second degré à une inconnue ;
- interpréter géométriquement l’ensemble des solutions de \(z^n=1\) et résoudre cette équation ;
- déterminer les écritures complexes des transformations usuelles ;
- utiliser ces écritures pour étudier des configurations géométriques.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
ينبغي التحسيس بضرورة إدخال الأعداد العقدية بشكل مختصر ومركز؛
•
نظرا لما يكتسيه التمثيل الهندسي من أهمية في ترسيخ مفهوم العدد
العقدي، فإن تناوله ينطلق مباشرة مع بداية الفصل ويواكب تقديم جل
المفاهيم المقررة، لبلورة التأويلات الهندسية للمقابل والمرافق
والمعيار والعمدة ومجموع عددين عقديين وجدائهما وضرب عدد عقدي في
عدد حقيقي؛
•
توظف صيغ التحويل المثلثية وتستعمل الأعداد العقدية في إيجاد بعض
صيغ التحويل المثلثية؛
•
ينبغي العمل على جعل التلاميذ قادرين على توظيف الأعداد العقدية
كأداة من بين الأدوات الأخرى لحل المسائل الهندسية؛
•
يعتبر هذا الفصل مناسبة للتذكير وتوليف أهم النتائج حول
التحويلات الاعتيادية في المستوى؛
•
تتم معالجة مركب دورانين، ومركب دوران وإزاحة، ومركب تحاكي وإزاحة،
ومركب دوران وتحاكي من خلال أمثلة.
- Introduire les nombres complexes de façon concise et ciblée ;
- en raison de l’importance de la représentation géométrique pour installer le concept de nombre complexe, la mettre en place dès le début du chapitre et l’associer à la plupart des notions : opposé, conjugué, module, argument, somme, produit et multiplication par un réel ;
- mobiliser les formules de transformation trigonométrique et utiliser les nombres complexes pour établir certaines de ces formules ;
- rendre les élèves capables d’employer les nombres complexes comme un outil parmi d’autres pour résoudre des problèmes géométriques ;
- profiter de ce chapitre pour rappeler et synthétiser les principaux résultats relatifs aux transformations usuelles du plan ;
- traiter, à travers des exemples, la composée de deux rotations, d’une rotation et d’une translation, d’une homothétie et d’une translation, ainsi que d’une rotation et d’une homothétie.
Orientation essentielle
La représentation géométrique doit accompagner l’ensemble du chapitre :
les nombres complexes sont étudiés à la fois comme objets algébriques
et comme outils de résolution de problèmes géométriques.
Algèbre et géométrie — Calcul des probabilités
II. الجبر والهندسة
3. حساب الاحتمالات
Contenu du programme
محتوى البرنامج
•
التجارب العشوائية؛ فضاء احتمالي منته؛ فرضية تساوي الاحتمالات؛
•
الاحتمال الشرطي؛ استقلالية حدثين؛ استقلالية اختبارين؛
•
المتغير العشوائي؛ قانون احتمال متغير عشوائي؛ حالة القانون
الحداني؛ الأمل الرياضي؛ دالة التجزيء؛ المغايرة؛ الانحراف
الطرازي.
- Expériences aléatoires ; espace probabilisé fini ; hypothèse d’équiprobabilité ;
- probabilité conditionnelle ; indépendance de deux événements ; indépendance de deux épreuves ;
- variable aléatoire ; loi de probabilité d’une variable aléatoire ; cas de la loi binomiale ; espérance mathématique ; fonction de répartition ; variance ; écart type.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
حساب احتمال اتحاد حدثين، واحتمال تقاطع حدثين، واحتمال الحدث
المضاد لحدث؛
•
توظيف الاحتمال الشرطي لتحديد احتمال تقاطع حدثين؛
•
استعمال النموذج التعدادي المناسب حسب الوضعية المدروسة؛
•
التعرف على استقلال حدثين، وانسجام حدثين؛
•
تحديد قانون احتمال متغير عشوائي؛
•
التعرف على القانون الحداني وتطبيقه في وضعيات من مواد التخصص.
- Calculer la probabilité de l’union de deux événements, de leur intersection et de l’événement contraire d’un événement ;
- utiliser la probabilité conditionnelle pour déterminer la probabilité de l’intersection de deux événements ;
- utiliser le modèle de dénombrement approprié à la situation étudiée ;
- reconnaître l’indépendance de deux événements et leur compatibilité ;
- déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire ;
- reconnaître la loi binomiale et l’appliquer dans des situations issues des disciplines de spécialité.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
ينبغي تجنب أي تقديم نظري لمفهوم الاحتمال؛
•
من خلال إعادة تجربة عشوائية بسيطة عددا كبيرا من المرات
(رمي قطعة نقدية، سحب كرة من كيس، ...) تتبين استقرار تردد حدث
عشوائي ثم تقبل هذه النتيجة؛ ويمكن استعمال اللمس
rand
من الآلة الحاسبة العلمية أو الآلة الحاسبة العلمية القابلة
للبرمجة أو البرامج المدمجة في الحاسوب لهذه الغاية؛
•
ينبغي الانطلاق من وضعيات ملموسة ومتدرجة تجعل التلاميذ يتدربون
تدريجيا على وصف تجارب عشوائية باستعمال لغة الاحتمال؛
•
يقدم احتمال حدث انطلاقا من استقرار تردده؛
•
يعزز تقديم مفاهيم الاحتمالات بأمثلة متنوعة تغطي مختلف الحالات
الممكنة؛
•
يطبق الاحتمال في وضعيات متنوعة ذات الارتباط بمواد التخصص؛
•
يكون الاحتمال مناسبة للتذكير بأهم النتائج حول التعداد.
- Éviter toute présentation théorique du concept de probabilité ;
- répéter un grand nombre de fois une expérience aléatoire simple — lancer d’une pièce, tirage d’une boule dans un sac, etc. — afin de mettre en évidence la stabilisation de la fréquence d’un événement aléatoire, puis admettre ce résultat ; utiliser au besoin la fonction \(\operatorname{rand}\) d’une calculatrice scientifique, une calculatrice programmable ou un logiciel informatique ;
- partir de situations concrètes et progressives permettant aux élèves d’apprendre à décrire des expériences aléatoires avec le langage des probabilités ;
- introduire la probabilité d’un événement à partir de la stabilisation de sa fréquence ;
- consolider les notions de probabilités au moyen d’exemples variés couvrant les différentes situations possibles ;
- appliquer les probabilités à des situations variées liées aux disciplines de spécialité ;
- profiter de ce chapitre pour rappeler les principaux résultats de dénombrement.
Limite pédagogique
La probabilité est introduite expérimentalement à partir de la
stabilisation des fréquences. Toute présentation théorique générale
du concept est à éviter.
Algèbre et géométrie — Structures algébriques
II. الجبر والهندسة
4. البنيات الجبرية
Contenu du programme
محتوى البرنامج
1. قانون التركيب الداخلي
•
أمثلة متنوعة: مجموعة الدوال المعرفة على مجال؛ مجموعة الحدوديات
التي درجتها أصغر أو تساوي
\(n\)؛
مجموعتا المصفوفات المربعة
\(M_2(\mathbb R)\)
و
\(M_3(\mathbb R)\)؛
المجموعات
\(\mathbb Z/n\mathbb Z\)؛
مختلف مجموعات التحويلات مزودة بعملية التركيب؛
•
قانون تركيب داخلي؛ جزء مستقر؛ قانون مستخلص؛ خاصيات قانون تركيب
داخلي: التجميعية، التبادلية، العنصر المحايد، العنصر المماثل،
والكتابتان
\(na\)
و
\(a^n\)؛
•
التشاكل والتشاكل التقابلي بين مجموعتين مزودتين بقانوني تركيب
داخليين.
2. الزمرة
•
الزمرة؛ قواعد الحساب في زمرة؛ زمرة جزئية؛ الخاصية المميزة
لزمرة جزئية؛
•
تشاكل زمرتين؛ زمرتان متشاكلتان تقابليا؛ صورة زمرة بتشاكل
تقابلي.
3. الحلقة والجسم
•
الحلقة: تعريف وأمثلة؛ تطبيقات الحلقة الكاملة؛
•
الجسم: تعريف وأمثلة، خاصيات.
4. الفضاء المتجهي الحقيقي
•
قانون تركيب خارجي؛ تعريف فضاء متجهي حقيقي؛ قواعد الحساب في فضاء
متجهي حقيقي؛ الفضاء المتجهي الجزئي؛ الخاصية المميزة لفضاء متجهي
جزئي؛ التأليفات الخطية لأسرة من متجهات في فضاء متجهي حقيقي؛
الارتباط والاستقلال الخطيان؛ أساس فضاء متجهي حقيقي.
1. Loi de composition interne
- Exemples variés : ensemble des fonctions définies sur un intervalle ; polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) ; matrices carrées \(M_2(\mathbb R)\) et \(M_3(\mathbb R)\) ; ensembles \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) ; ensembles de transformations munis de la composition ;
- loi de composition interne ; partie stable ; loi induite ; propriétés d’une loi interne : associativité, commutativité, élément neutre, élément symétrique, notations \(na\) et \(a^n\) ;
- homomorphisme et isomorphisme entre deux ensembles munis de lois de composition internes.
2. Groupe
- Groupe ; règles de calcul dans un groupe ; sous-groupe ; caractérisation d’un sous-groupe ;
- homomorphisme de groupes ; groupes isomorphes ; image d’un groupe par un isomorphisme.
3. Anneau et corps
- Anneau : définition et exemples ; applications relatives aux anneaux intègres ;
- corps : définition, exemples et propriétés.
4. Espace vectoriel réel
- Loi de composition externe ; définition d’un espace vectoriel réel ; règles de calcul ; sous-espace vectoriel ; caractérisation d’un sous-espace vectoriel ; combinaisons linéaires d’une famille de vecteurs ; dépendance et indépendance linéaires ; base d’un espace vectoriel réel.
Capacités attendues
القدرات المنتظرة
•
التمكن من تقنيات العمليات على مختلف البنيات الاعتيادية؛
•
توظيف بنيات المجموعات الاعتيادية لدراسة بنيات مجموعات أخرى؛
•
مقارنة بنيتين جبريتين أو نقل بنية جبرية من مجموعة إلى أخرى
باستعمال مفهوم التشاكل والتشاكل التقابلي.
- Maîtriser les techniques de calcul dans les différentes structures usuelles ;
- utiliser les structures d’ensembles usuels pour étudier les structures d’autres ensembles ;
- comparer deux structures algébriques ou transporter une structure algébrique d’un ensemble à un autre à l’aide des notions d’homomorphisme et d’isomorphisme.
Orientations pédagogiques
توجيهات تربوية
•
الاقتصار على مجموعة الدوال المعرفة على مجال؛ مجموعة الحدوديات
التي درجتها أصغر أو تساوي
\(n\)؛
مجموعة المصفوفات المربعة؛ المجموعات
\(\mathbb Z/n\mathbb Z\)؛
مختلف مجموعات التحويلات مزودة بعملية التركيب؛
•
ينبغي التركيز على العمليات الأساسية على المصفوفات المربعة؛
•
يتم تقديم مختلف التعاريف معززة بأمثلة اعتيادية؛
•
يتم التركيز على الزمرة الجزئية والفضاء المتجهي الجزئي في
علاقتهما بالزمر والفضاءات الاعتيادية؛
•
ينبغي التعامل مع عدة نماذج من العمليات على مختلف المجموعات
الواردة في البرنامج: الأعداد، التحويلات، المصفوفات، التطبيقات،
\(\mathbb Z/n\mathbb Z\)
و
\(U_n\)
وغيرها؛
•
يتم تناول بنية
\((M_n(\mathbb R),+,\times)\)
وبنية
\((M_n(\mathbb R),+,\cdot)\)
حيث
\(n=2,3\).
- Se limiter aux ensembles suivants : fonctions définies sur un intervalle ; polynômes de degré inférieur ou égal à \(n\) ; matrices carrées ; ensembles \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) ; ensembles de transformations munis de la composition ;
- mettre l’accent sur les opérations fondamentales sur les matrices carrées ;
- accompagner les différentes définitions d’exemples usuels ;
- insister sur les notions de sous-groupe et de sous-espace vectoriel dans leur relation avec les groupes et espaces usuels ;
- traiter plusieurs modèles de lois sur les ensembles du programme : nombres, transformations, matrices, applications, \(\mathbb Z/n\mathbb Z\), \(U_n\), etc. ;
- étudier la structure d’anneau \((M_n(\mathbb R),+,\times)\) et la structure d’espace vectoriel \((M_n(\mathbb R),+,\cdot)\), pour \(n=2,3\).
Limite pédagogique
L’étude doit rester centrée sur les structures et exemples usuels du
programme, avec une attention particulière aux matrices carrées,
aux sous-groupes, aux sous-espaces vectoriels et aux isomorphismes.
- Obtenir le lien
- X
- Autres applications
- Obtenir le lien
- X
- Autres applications
Commentaires
Enregistrer un commentaire