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Programme officiel de mathématiques au Maroc — 1re année Bac Sciences Mathématiques : contenus, capacités et orientations pédagogiques

PMM · Programme officiel

Programme de mathématiques — 1re Bac SMSciences Mathématiquesبرنامج الرياضيات — الأولى بكالوريا علوم رياضية

4 domaines19 coursVersion bilingue
Accès direct aux domaines
IGéométrie planeالهندسة المستوية3 cours · Barycentre, produit scalaire analytique et rotation.Choisir le cours →IIGéométrie dans l’espaceالهندسة الفضائية5 cours · Vecteurs, géométrie analytique, produits scalaire et vectoriel.Choisir le cours →IIIAlgèbreالجبر5 cours · Logique, ensembles, applications, arithmétique et dénombrement.Choisir le cours →IVAnalyseالتحليل6 cours · Fonctions, suites, trigonométrie, limites et dérivation.Choisir le cours →
Domaine I

Géométrie planeI. الهندسة المستوية

01 Barycentre dans le plan المرجح في المستوى Ouvrir le cours
02 Étude analytique du produit scalaire et ses applications تحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته Ouvrir le cours
03 Rotation dans le plan الدوران في المستوى Ouvrir le cours
Domaine I · Cours 1

Barycentre dans le planالمرجح في المستوى

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
مرجح \(n\) نقطة \((2\le n\le4)\)؛ مركز الثقل؛
•
الخاصية المميزة للمرجح؛ الصمود؛ التجميعية؛
•
إحداثيتا المرجح في معلم معلوم.
  • Barycentre de \(n\) points, avec \((2\le n\le4)\) ; centre de gravité ;
  • propriété caractéristique du barycentre ; invariance par multiplication des coefficients ; associativité ;
  • coordonnées du barycentre dans un repère donné.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
استعمال المرجح في تبسيط تعبير متجهي؛
•
استعمال المرجح لإثبات استقامية ثلاث نقط من المستوى؛
•
استعمال المرجح في إثبات تقاطع المستقيمات؛
•
إنشاء مرجح \(n\) نقطة \((2\le n\le4)\)؛
•
استعمال المرجح في حل مسائل وتحديد محلات هندسية.
  • Utiliser le barycentre pour simplifier une expression vectorielle ;
  • utiliser le barycentre pour démontrer l’alignement de trois points du plan ;
  • utiliser le barycentre pour démontrer le concours de droites ;
  • construire le barycentre de \(n\) points, avec \((2\le n\le4)\) ;
  • utiliser le barycentre pour résoudre des problèmes et déterminer des lieux géométriques.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
قبل تعريف المرجح يستحسن التحسيس بالارتباط الموجود بين مفهوم المرجح في الرياضيات ومفاهيم أخرى من بعض مواد التخصص؛
•
ينبغي إبراز الدور الذي يلعبه المرجح والجداء السلمي في حل بعض المسائل الهندسية وتحديد بعض المحلات الهندسية، مثل:
\(\{M\in P\mid MA^2-MB^2=k\}\) \(\{M\in P\mid \vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k\}\) \(\{M\in P\mid MA^2+MB^2=k\}\) \(\{M\in P\mid \dfrac{MA}{MB}=k\}\) \(\{M\in P\mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\}\)
من خلال أمثلة.
  • Avant de définir le barycentre, il est recommandé de sensibiliser les élèves aux liens entre cette notion mathématique et certaines notions rencontrées dans les disciplines de spécialité ;
  • mettre en évidence le rôle du barycentre et du produit scalaire dans la résolution de problèmes géométriques et dans la détermination de lieux géométriques, à travers des exemples tels que :
    \(\{M\in P\mid MA^2-MB^2=k\}\) \(\{M\in P\mid \vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k\}\) \(\{M\in P\mid MA^2+MB^2=k\}\) \(\{M\in P\mid \dfrac{MA}{MB}=k\}\) \(\{M\in P\mid \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=k\}\)
Domaine I · Cours 2

Étude analytique du produit scalaire et ses applicationsتحليلية الجداء السلمي وتطبيقاته

Contenu du programme محتوى البرنامج

2.1. الصيغة التحليلية للجداء السلمي في معلم متعامد ممنظم

•
الصيغة التحليلية لمنظم متجهة ولمسافة نقطتين؛
•
صيغة \(\cos\theta\) وصيغة \(\sin\theta\)؛
•
متفاوته كوشي ـ شوارز والمتفاوتة المثلثية.

2.2. المستقيم في المستوى — دراسة تحليلية

•
المتجهة المنظمية لمستقيم؛
•
معادلة ديكارتية لمستقيم محدد بنقطة ومتجهة منظمية له؛
•
مسافة نقطة عن مستقيم.

2.3. الدائرة — دراسة تحليلية

•
معادلة ديكارتية لدائرة؛
•
تمثيل بارامتري لدائرة؛
•
دراسة مجموعة النقط:
\(\{M(x,y)\mid x^2+y^2+ax+by+c=0\}\)
•
دراسة الأوضاع النسبية لدائرة ومستقيم؛
•
معادلة ديكارتية لمستقيم مماس للدائرة في نقطة معلومة من الدائرة.

2.1. Expression analytique du produit scalaire dans un repère orthonormé

  • Expression analytique de la norme d’un vecteur et de la distance entre deux points ;
  • expressions de \(\cos\theta\) et de \(\sin\theta\) ;
  • inégalité de Cauchy–Schwarz et inégalité triangulaire.

2.2. La droite dans le plan — étude analytique

  • Vecteur normal à une droite ;
  • équation cartésienne d’une droite déterminée par un point et un vecteur normal ;
  • distance d’un point à une droite.

2.3. Le cercle — étude analytique

  • Équation cartésienne d’un cercle ;
  • représentation paramétrique d’un cercle ;
  • étude de l’ensemble des points :
    \(\{M(x,y)\mid x^2+y^2+ax+by+c=0\}\)
  • étude des positions relatives d’un cercle et d’une droite ;
  • équation cartésienne de la tangente à un cercle en un point donné de ce cercle.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
التعبير عن توازي وتعامد مستقيمين؛
•
حساب المسافات ومساحات وقياسات زوايا باستعمال الجداء السلمي؛
•
التعرف على مجموعة النقط \(M\) من المستوى التي تحقق العلاقة:
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
•
تحديد مركز وشعاع دائرة معرفة بمعادلتها الديكارتية؛
•
المرور من معادلة ديكارتية إلى تمثيل بارامتري والعكس؛
•
استعمال تحليلية الجداء السلمي في حل مسائل هندسية وجبرية.
  • Exprimer le parallélisme et l’orthogonalité de deux droites ;
  • calculer des distances, des aires et des mesures d’angles en utilisant le produit scalaire ;
  • reconnaître l’ensemble des points \(M\) du plan vérifiant :
    \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
  • déterminer le centre et le rayon d’un cercle défini par son équation cartésienne ;
  • passer d’une équation cartésienne à une représentation paramétrique, et réciproquement ;
  • mobiliser l’étude analytique du produit scalaire pour résoudre des problèmes géométriques et algébriques.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
تعتبر الدراسة التحليلية لدائرة مجالا خصبا لتوظيف تحليلية الجداء السلمي وخاصة منها المتعلقة بالمسافة والتعامد، لذا ينبغي الحرص على إبراز دور الطريقة التحليلية في حل بعض المسائل الهندسية؛
•
ينبغي استعمال الجداء السلمي في تحديد معادلة ديكارتية لدائرة في كلا الحالتين؛
•
يتم التطرق من خلال أنشطة إلى دائرة محددة بثلاث نقط غير مستقيمية؛
•
يتم بهذه المناسبة استغلال التوجيه التحليلي للمستوى لتقديم نماذج للحل المبياني لبعض المتراجحات غير الخطية بمجهولين.
  • L’étude analytique du cercle constitue un cadre privilégié pour mobiliser le produit scalaire, notamment dans les questions de distance et d’orthogonalité. Il convient donc de mettre en évidence le rôle de la méthode analytique dans la résolution de certains problèmes géométriques ;
  • utiliser le produit scalaire pour déterminer une équation cartésienne d’un cercle dans les deux configurations étudiées ;
  • aborder, à travers des activités, le cercle déterminé par trois points non alignés ;
  • exploiter le repérage analytique du plan afin de présenter des modèles de résolution graphique de certaines inéquations non linéaires à deux inconnues.
Domaine I · Cours 3

Rotation dans le planالدوران في المستوى

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
تعريف الدوران؛ الدوران العكسي لدوران؛ تفكيك دوران إلى مركب تماثلين متعامدين؛
•
خاصيات: الحفاظ على المسافة وعلى قياس زاوية موجهة وعلى المرجح وعلى التساير وعلى التوازي والتعامد؛
•
صورة مستقيم وقطعة ودائرة وزاوية وتقاطع شكلين بدوران؛
•
مركب دورانين.
  • Définition d’une rotation ; rotation réciproque d’une rotation ; décomposition d’une rotation en composée de deux symétries orthogonales ;
  • propriétés de conservation : distance, mesure d’un angle orienté, barycentre, alignement, parallélisme et orthogonalité ;
  • image d’une droite, d’un segment, d’un cercle, d’un angle et de l’intersection de deux figures par une rotation ;
  • composée de deux rotations.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
استعمال دوران معلوم في وضعية هندسية؛
•
إنشاء صور أشكال اعتيادية بدوران معلوم؛
•
التعرف على دوران واستعماله في حل مسائل هندسية (تحديد محلات هندسية، إنشاءات هندسية، ...)؛
•
التعرف على تقايس الأشكال باستعمال الدوران.
  • Utiliser une rotation donnée dans une situation géométrique ;
  • construire les images de figures usuelles par une rotation donnée ;
  • reconnaître une rotation et l’utiliser pour résoudre des problèmes géométriques, notamment pour déterminer des lieux géométriques ou effectuer des constructions géométriques ;
  • reconnaître l’isométrie de figures à l’aide d’une rotation.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يعرف الدوران انطلاقا من مركزه وزاويته؛
•
يعتبر إدخال الإحداثيات والصيغة التحليلية للدوران خارج المقرر.
  • Définir une rotation à partir de son centre et de son angle ;
  • l’introduction des coordonnées et de l’expression analytique d’une rotation est hors programme.
Hors programme — mention officielle Les coordonnées et l’expression analytique d’une rotation ne font pas partie du programme de ce niveau.
Domaine II

Géométrie dans l’espaceII. الهندسة الفضائية

04 Vecteurs de l’espace متجهات الفضاء Ouvrir le cours
05 Géométrie analytique de l’espace تحليلية الفضاء Ouvrir le cours
06 Produit scalaire dans \(V_3\) الجداء السلمي في \(V_3\) Ouvrir le cours
07 Applications du produit scalaire dans l’espace تطبيقات الجداء السلمي في الفضاء Ouvrir le cours
08 Produit vectoriel الجداء المتجهي Ouvrir le cours
Domaine II · Cours 1

Vecteurs de l’espaceمتجهات الفضاء

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
الحساب المتجهي في الفضاء؛
•
المتجهات المستقيمية؛ التعريف المتجهي لمستقيم؛ التعريف المتجهي لمستوى؛
•
المتجهات المستوائية.
  • Calcul vectoriel dans l’espace ;
  • vecteurs colinéaires ; définition vectorielle d’une droite ; définition vectorielle d’un plan ;
  • vecteurs coplanaires.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
التمكن من قواعد الحساب المتجهي في الفضاء؛
•
التعرف والتعبير عن استقامية متجهتين؛
•
التعرف والتعبير عن استوائية ثلاث متجهات؛
•
تطبيق الاستقامية والاستوائية في حل مسائل هندسية.
  • Maîtriser les règles du calcul vectoriel dans l’espace ;
  • reconnaître et exprimer la colinéarité de deux vecteurs ;
  • reconnaître et exprimer la coplanarité de trois vecteurs ;
  • utiliser la colinéarité et la coplanarité dans la résolution de problèmes géométriques.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يقدم مفهوم المتجهة والحساب المتجهي بنفس الكيفية التي قدم بها في المستوى، ويتم الاكتفاء بالتأويل الهندسي للاستقامية والاستوائية.
  • Introduire la notion de vecteur et le calcul vectoriel selon la même démarche que dans le plan, et se limiter à l’interprétation géométrique de la colinéarité et de la coplanarité.
Limite pédagogique L’étude de la colinéarité et de la coplanarité doit rester limitée à leur interprétation géométrique.
Domaine II · Cours 2

Géométrie analytique de l’espaceتحليلية الفضاء

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
إحداثيات نقطة بالنسبة لمعلم؛ إحداثيات متجهة بالنسبة لأساس؛ إحداثيات \(\vec{u}+\vec{v}\) و \(\lambda\vec{u}\)؛ إحداثيات \(\overrightarrow{AB}\)؛
•
محددة ثلاث متجهات؛
•
تمثيل بارامتري لمستقيم؛ الأوضاع النسبية لمستقيمين؛
•
تمثيل بارامتري لمستوى؛
•
معادلة ديكارتية لمستوى؛ الأوضاع النسبية لمستويين؛
•
معادلتان ديكارتان لمستقيم؛
•
الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى.
  • Coordonnées d’un point dans un repère ; coordonnées d’un vecteur dans une base ; coordonnées de \(\vec{u}+\vec{v}\) et de \(\lambda\vec{u}\) ; coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) ;
  • déterminant de trois vecteurs ;
  • représentation paramétrique d’une droite ; positions relatives de deux droites ;
  • représentation paramétrique d’un plan ;
  • équation cartésienne d’un plan ; positions relatives de deux plans ;
  • deux équations cartésiennes d’une droite ;
  • positions relatives d’une droite et d’un plan.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
ترجمة مفاهيم وخصائص الهندسة التآلفية والهندسة المتجهية بواسطة الإحداثيات؛
•
اختيار التمثيل المناسب (ديكارتي أو بارامتري) لدراسة الأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات وفي تأويل النتائج.
  • Traduire, à l’aide des coordonnées, les notions et les propriétés de la géométrie affine et de la géométrie vectorielle ;
  • choisir la représentation appropriée — cartésienne ou paramétrique — pour étudier les positions relatives des droites et des plans, puis interpréter les résultats.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يتم تحديد المعلم والأساس انطلاقا من أربع نقط غير مستوائية؛
•
يتم استعمال الإسقاط على مستوى بتواز مع مستقيم لتقديم إحداثيات نقطة (دون الإفراط في تناول الإسقاط)؛
•
يتم التركيز على الأداة التحليلية في دراسة الأوضاع النسبية للمستقيمات والمستويات في الفضاء.
  • Déterminer le repère et la base à partir de quatre points non coplanaires ;
  • utiliser la projection sur un plan parallèlement à une droite pour introduire les coordonnées d’un point, sans développer excessivement l’étude de la projection ;
  • privilégier l’outil analytique dans l’étude des positions relatives des droites et des plans de l’espace.
Limite pédagogique La projection est mobilisée uniquement pour introduire les coordonnées d’un point ; son étude ne doit pas être développée de manière excessive.
Domaine II · Cours 3

Produit scalaire dans \(V_3\)الجداء السلمي في \(V_3\)

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
تعريف؛
•
خاصيات: التماثلية؛ الخطانية؛
•
تعامد متجهتين؛
•
المعلم والأساس المتعامدان المنظمان؛
•
الصيغة التحليلية للجداء السلمي ولمنظم متجهة ولمسافة نقطتين.
  • Définition ;
  • propriétés : symétrie et linéarité ;
  • orthogonalité de deux vecteurs ;
  • repère orthonormé et base orthonormée ;
  • expressions analytiques du produit scalaire, de la norme d’un vecteur et de la distance entre deux points.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
التعبير والبرهنة على تعامد متجهتين باستعمال الجداء السلمي؛
•
التعبير متجهيا وتحليليا عن التعامد وخاصياته.
  • Exprimer et démontrer l’orthogonalité de deux vecteurs à l’aide du produit scalaire ;
  • exprimer vectoriellement et analytiquement l’orthogonalité et ses propriétés.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يتم تقديم الجداء السلمي في الفضاء وخاصياته كما تم تقديمه في المستوى؛
•
من أهداف هذا الجزء من البرنامج توظيف الجداء السلمي في التعبير عن الخاصيات المترية وعن التعامد تعبيرا تحليليا والتوصل إلى صيغ بعض المسافات.
  • Introduire le produit scalaire dans l’espace et ses propriétés selon la même démarche que dans le plan ;
  • utiliser le produit scalaire pour exprimer analytiquement les propriétés métriques et l’orthogonalité, puis établir des formules de calcul de certaines distances.
Domaine II · Cours 4

Applications du produit scalaire dans l’espaceتطبيقات الجداء السلمي في الفضاء

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
تحديد تحليلي للمجموعة:
\(\{M\in P\mid \vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k\}\)
•
المتجهة المنظمية لمستوى؛
•
معادلة ديكارتية لمستوى محدد بنقطة ومتجهة منظمية له؛
•
مسافة نقطة عن مستوى؛
•
دراسة تحليلية للفلكة؛
•
دراسة مجموعة النقط \(M(x,y,z)\) بحيث:
\(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\)
•
تقاطع فلكة ومستوى؛ المستوى المماس لفلكة في نقطة معلومة منها؛ تقاطع فلكة ومستقيم؛
•
تطبيقات في حل مسائل هندسية.
  • Détermination analytique de l’ensemble :
    \(\{M\in P\mid \vec{u}\cdot\overrightarrow{AM}=k\}\)
  • vecteur normal à un plan ;
  • équation cartésienne d’un plan déterminé par un point et un vecteur normal ;
  • distance d’un point à un plan ;
  • étude analytique de la sphère ;
  • étude de l’ensemble des points \(M(x,y,z)\) vérifiant :
    \(x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0\)
  • intersection d’une sphère et d’un plan ; plan tangent à une sphère en un point donné de celle-ci ; intersection d’une sphère et d’une droite ;
  • applications à la résolution de problèmes géométriques.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
تحديد مستوى بنقطة ومتجهة منظمية له؛
•
تحديد المستقيم المار من نقطة والعمودي على مستوى؛
•
تحديد معادلة ديكارتية لفلكة محددة بمركزها وشعاعها؛
•
تحديد تمثيل بارامتري لفلكة؛
•
التعرف على مجموعة النقط \(M\) من الفضاء التي تحقق العلاقة:
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
  • Déterminer un plan par un point et un vecteur normal ;
  • déterminer la droite passant par un point et perpendiculaire à un plan ;
  • déterminer une équation cartésienne d’une sphère définie par son centre et son rayon ;
  • déterminer une représentation paramétrique d’une sphère ;
  • reconnaître l’ensemble des points \(M\) de l’espace vérifiant :
    \(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\)
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يتعين حصر الدراسة التحليلية للأوضاع النسبية لفلكة ومستوى ولفلكة ومستقيم في أمثلة عددية دون التطرق إلى الحالة العامة؛
•
يتم توظيف الجداء السلمي في دراسة التوازي والتعامد في الفضاء.
  • Limiter l’étude analytique des positions relatives d’une sphère et d’un plan, ainsi que d’une sphère et d’une droite, à des exemples numériques, sans aborder le cas général ;
  • utiliser le produit scalaire dans l’étude du parallélisme et de l’orthogonalité dans l’espace.
Limite pédagogique L’étude générale des positions relatives sphère-plan et sphère-droite n’est pas demandée ; seuls des exemples numériques doivent être traités.
Domaine II · Cours 5

Produit vectorielالجداء المتجهي

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
توجيه الفضاء؛ ثلاثي الوجوه؛ المعلم والأساس الموجهان؛
•
تعريف هندسي للجداء المتجهي وتأويل منظمه؛
•
خاصيات: التخالفية؛ الخطانية؛
•
إحداثيات الجداء المتجهي لمتجهتين بالنسبة لأساس متعامد ممنظم مباشر؛
•
مسافة نقطة عن مستقيم.
  • Orientation de l’espace ; trièdre ; repère orienté et base orientée ;
  • définition géométrique du produit vectoriel et interprétation géométrique de sa norme ;
  • propriétés : antisymétrie et linéarité par rapport à chacun des deux vecteurs ;
  • coordonnées du produit vectoriel de deux vecteurs dans une base orthonormée directe ;
  • distance d’un point à une droite.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
حساب مساحة مثلث باستعمال الجداء المتجهي؛
•
تحديد معادلة مستوى محدد بثلاث نقط غير مستقيمية؛
•
تطبيق الجداء المتجهي في حل مسائل هندسية وفيزيائية.
  • Calculer l’aire d’un triangle à l’aide du produit vectoriel ;
  • déterminer une équation cartésienne du plan passant par trois points non alignés ;
  • utiliser le produit vectoriel pour résoudre des problèmes géométriques et physiques.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
ينبغي تعريف الجداء المتجهي بعد توجيه الفضاء باستعمال رجل أمبير مع إعطاء تأويله الهندسي؛
•
تقبل جميع خاصيات الجداء المتجهي.
  • Introduire le produit vectoriel après avoir orienté l’espace, en utilisant la règle du bonhomme d’Ampère et en donnant son interprétation géométrique ;
  • toutes les propriétés du produit vectoriel sont admises.
Résultats admis à ce niveau Toutes les propriétés du produit vectoriel sont admises.
Domaine III

AlgèbreIII. الجبر

09 Principes de logique مبادئ في المنطق Ouvrir le cours
10 Ensembles المجموعات Ouvrir le cours
11 Applications التطبيقات Ouvrir le cours
12 Arithmétique dans \(\mathbb Z\) الحسابيات في \(\mathbb Z\) Ouvrir le cours
13 Dénombrement التعداد Ouvrir le cours
Domaine III · Cours 1

Principes de logiqueمبادئ في المنطق

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
العبارات؛ العمليات على العبارات؛ الدوال العبارية؛ المكممات؛ العبارات المحكمة؛ القوانين المنطقية؛
•
الاستدلالات الرياضية: الاستدلال بالخلف؛ الاستدلال بمضاد العكس؛ الاستدلال بفصل الحالات؛ الاستدلال بالتكافؤ؛ الاستدلال بالتراجع.
  • Propositions ; opérations sur les propositions ; fonctions propositionnelles ; quantificateurs ; propositions quantifiées ; lois logiques ;
  • raisonnements mathématiques : raisonnement par l’absurde ; raisonnement par contraposition ; raisonnement par disjonction des cas ; raisonnement par équivalence ; raisonnement par récurrence.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
تحويل نص رياضي إلى كتابة ترميزية باستعمال الروابط والمكممات والعكس؛
•
التمكن من استعمال الاستدلال المناسب حسب الوضعية المدروسة؛
•
التمكن من صياغة براهين واستدلالات رياضية واضحة وسليمة منطقيا.
  • Traduire un texte mathématique en écriture symbolique à l’aide des connecteurs logiques et des quantificateurs, et réciproquement ;
  • utiliser le raisonnement approprié selon la situation étudiée ;
  • rédiger des démonstrations et des raisonnements mathématiques clairs et logiquement corrects.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
ينبغي تقريب العبارات والقوانين المنطقية وطرائق الاستدلال انطلاقا من أنشطة متنوعة ومختلفة مستقاة من الرصيد المعرفي للتلميذ ومن وضعيات رياضية سبق له التعامل معها؛
•
ينبغي تجنب البناء النظري والإفراط في استعمال جداول الحقيقة؛
•
يعتبر هذا الفصل فرصة لحل معادلات ومتراجحات لاجذرية وبعض المتفاوتات؛
•
إن درس المنطق لا ينتهي بانتهاء هذا الفصل بل ينبغي استثمار نتائجه، كلما سنحت الفرصة لذلك، بمختلف فصول المقرر اللاحقة.
  • Introduire progressivement les propositions, les lois logiques et les méthodes de raisonnement à partir d’activités variées, puisées dans les acquis des élèves et dans des situations mathématiques qu’ils ont déjà rencontrées ;
  • éviter une construction théorique et l’usage excessif des tables de vérité ;
  • mettre ce chapitre à profit pour résoudre des équations et des inéquations irrationnelles, ainsi que pour démontrer certaines inégalités ;
  • l’étude de la logique ne s’achève pas avec ce chapitre : ses acquis doivent être réinvestis, chaque fois que l’occasion se présente, dans les différents chapitres ultérieurs du programme.
Orientation pédagogique importante Éviter une formalisation théorique excessive et l’emploi abusif des tables de vérité. Les raisonnements étudiés doivent ensuite être réinvestis dans l’ensemble du programme.
Domaine III · Cours 2

Ensemblesالمجموعات

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
تحديد مجموعة بإدراك وبتفصيل؛ جزء مجموعة؛
•
مجموعة أجزاء مجموعة؛ الرمز \(\mathcal P(E)\)؛
•
التضمين؛ التساوي؛ المتممة؛
•
تقاطع واتحاد وفرق مجموعتين؛ قانونا مورغان؛
•
خاصيتا التقاطع والاتحاد؛
•
الجداء الديكارتي لمجموعتين.
  • Définition d’un ensemble en compréhension et en extension ; sous-ensemble ;
  • ensemble des parties d’un ensemble ; notation \(\mathcal P(E)\) ;
  • inclusion, égalité et complémentaire ;
  • intersection, réunion et différence de deux ensembles ; lois de De Morgan ;
  • propriétés de l’intersection et de la réunion ;
  • produit cartésien de deux ensembles.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
التعبير عن مجموعة بإدراك أو بتفصيل؛
•
التمكن من الربط بين قواعد المنطق والعمليات على المجموعات.
  • Décrire un ensemble en compréhension ou en extension ;
  • établir des liens entre les règles de logique et les opérations sur les ensembles.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يكتسي هذا الفصل أهمية بالغة؛ فبالإضافة إلى إمكانيات توظيف المنطق والاستدلالات بدرجة دقيقة ومحكمة فإن امتدادات المجموعات في دراسة البنيات تجعلها ذات أهمية بالغة؛
•
تقدم المجموعة \(\mathbb R^2\) كمثال لجداء ديكارتي لمجموعتين.
  • Ce chapitre revêt une importance particulière : au-delà de la mobilisation rigoureuse de la logique et des raisonnements, les prolongements de la théorie des ensembles dans l’étude des structures mathématiques lui confèrent une place essentielle ;
  • présenter \(\mathbb R^2\) comme exemple de produit cartésien de deux ensembles.
Domaine III · Cours 3

Applicationsالتطبيقات

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
تساوي تطبيقين؛
•
الصورة والصورة العكسية لجزء بتطبيق؛
•
التطبيق التبايني؛ التطبيق الشمولي؛ التطبيق التقابلي؛ التطبيق العكسي لتقابل؛
•
تركيب تطبيقين؛
•
قصور وتمديد تطبيق.
  • Égalité de deux applications ;
  • image directe et image réciproque d’une partie par une application ;
  • application injective ; application surjective ; application bijective ; application réciproque d’une bijection ;
  • composition de deux applications ;
  • restriction et prolongement d’une application.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
تحديد الصورة والصورة العكسية لمجموعة بتطبيق؛
•
تحديد التقابل العكسي لتطبيق واستعماله في حل مسائل؛
•
تحديد مركب تطبيقين وتفكيك تطبيق إلى تطبيقين أو أكثر بهدف تعيين خاصياته.
  • Déterminer l’image directe et l’image réciproque d’un ensemble par une application ;
  • déterminer l’application réciproque d’une bijection et l’utiliser dans la résolution de problèmes ;
  • déterminer la composée de deux applications et décomposer une application en deux applications ou davantage afin d’en établir les propriétés.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يبقى الهدف الأساسي من هذا الفصل هو تنظيم معارف التلاميذ والسمو بها وتوظيفها خلال السنة الدراسية واستثمار نتائجه، كلما سنحت الفرصة لذلك، بمختلف فصول المقرر اللاحقة.
  • L’objectif essentiel de ce chapitre est d’organiser et d’approfondir les connaissances des élèves, puis de les mobiliser tout au long de l’année scolaire. Ses résultats doivent être réinvestis, chaque fois que l’occasion se présente, dans les différents chapitres ultérieurs du programme.
Domaine III · Cours 4

Arithmétique dans \(\mathbb Z\)الحسابيات في \(\mathbb Z\)

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
القسمة الإقليدية وخصائصها؛
•
الأعداد الأولية؛ التفكيك إلى جداء عوامل أولية؛
•
المضاعف المشترك الأصغر \(\operatorname{ppcm}(a,b)\) أو \(a\vee b\)؛ القاسم المشترك الأكبر \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) أو \(a\wedge b\)؛ خصائص؛
•
خوارزمية إقليدس؛
•
الموافقة بترديد \(n\)؛ المجموعة \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) والعمليات.
  • Division euclidienne et ses propriétés ;
  • nombres premiers ; décomposition en produit de facteurs premiers ;
  • plus petit commun multiple \(\operatorname{ppcm}(a,b)\) ou \(a\vee b\) ; plus grand commun diviseur \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) ou \(a\wedge b\) ; propriétés ;
  • algorithme d’Euclide ;
  • congruence modulo \(n\) ; ensemble quotient \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) et opérations.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
توظيف خوارزمية إقليدس لتحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين؛
•
التعرف على \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) وعلى القواعد الحسابية بترديد \(n\)؛
•
استعمال الموافقة بترديد \(n\) في دراسة قابلية القسمة والعكس.
  • Utiliser l’algorithme d’Euclide pour déterminer le plus grand commun diviseur de deux entiers ;
  • reconnaître \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) et maîtriser les règles de calcul modulo \(n\) ;
  • utiliser les congruences modulo \(n\) dans l’étude de la divisibilité, et réciproquement.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
تمنح الفرصة لتوظيف مختلف الاستدلالات المنطقية خصوصا منها الاستدلال بالتراجع؛
•
ينبغي تزويد التلاميذ بتقنيات وأدوات دراسة خصائص الأعداد الصحيحة النسبية؛ أما خاصيات الموافقات بترديد \(n\) فتمكن من معالجة مسائل حول القسمة الإقليدية في \(\mathbb Z\) وتمهد للدراسة الجبرية للمجموعة \(\mathbb Z/n\mathbb Z\)؛
•
تعتبر الأعداد الأولية فيما بينها خارج المقرر.
  • Mettre ce chapitre à profit pour mobiliser différents types de raisonnements logiques, notamment le raisonnement par récurrence ;
  • fournir aux élèves des techniques et des outils pour étudier les propriétés des entiers relatifs. Les propriétés des congruences modulo \(n\) permettent de traiter des problèmes de division euclidienne dans \(\mathbb Z\) et préparent l’étude algébrique de \(\mathbb Z/n\mathbb Z\) ;
  • la notion de nombres premiers entre eux est hors programme.
Hors programme — mention officielle La notion de nombres premiers entre eux ne fait pas partie du programme de ce niveau.
Domaine III · Cours 5

Dénombrementالتعداد

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
المجموعة المنتهية؛ رئيسي مجموعة منتهية؛ الرمز \(\operatorname{card}(E)\)؛
•
المبدأ العام للتعداد؛ رئيسي جداء ديكارتي؛
•
رئيسي مجموعة التطبيقات من مجموعة منتهية نحو مجموعة منتهية؛
•
رئيسي مجموعة أجزاء مجموعة منتهية؛
•
رئيسي اتحاد وتقاطع مجموعتين منتهيتين؛
•
عدد الترتيبات؛ الرمز \(A_n^p\)؛
•
عدد التبديلات؛ الرمز \(n!\)؛
•
عدد التأليفات؛ الرمز \(C_n^p\)؛
•
خاصيات الأعداد \(C_n^p\)؛
•
صيغة الحدانية.
  • Ensemble fini ; cardinal d’un ensemble fini ; notation \(\operatorname{card}(E)\) ;
  • principe général du dénombrement ; cardinal d’un produit cartésien ;
  • cardinal de l’ensemble des applications d’un ensemble fini vers un ensemble fini ;
  • cardinal de l’ensemble des parties d’un ensemble fini ;
  • cardinal de l’union et de l’intersection de deux ensembles finis ;
  • nombre d’arrangements ; notation \(A_n^p\) ;
  • nombre de permutations ; notation \(n!\) ;
  • nombre de combinaisons ; notation \(C_n^p\) ;
  • propriétés des nombres \(C_n^p\) ;
  • formule du binôme.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
توظيف شجرة الاختيارات في حالات تعدادية؛
•
استعمال النموذج التعدادي المناسب حسب الوضعية المدروسة؛
•
تطبيق التعداد في حل مسائل متنوعة.
  • Utiliser un arbre de choix dans des situations de dénombrement ;
  • choisir le modèle de dénombrement adapté à la situation étudiée ;
  • appliquer les techniques de dénombrement à la résolution de problèmes variés.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
ينبغي تقديم التعداد بواسطة مبدإي الجداء والجمع وتقنية الشجرة؛
•
يمكن ربط الترتيبات بالتطبيقات التباينية والتبديلات بالتطبيقات التقابلية؛
•
ينبغي تنويع الأنشطة المستقاة من الحياة اليومية.
  • Introduire le dénombrement à partir des principes multiplicatif et additif, ainsi que de la technique de l’arbre ;
  • relier les arrangements aux applications injectives et les permutations aux applications bijectives ;
  • varier les activités en privilégiant des situations issues de la vie quotidienne.
Domaine IV

AnalyseIV. التحليل

14 Généralités sur les fonctions numériques عموميات حول الدوال العددية (تذكير وإضافات) Ouvrir le cours
15 Suites numériques عموميات حول المتتاليات العددية Ouvrir le cours
16 Calcul trigonométrique الحساب المثلثي Ouvrir le cours
17 Limite d’une fonction numérique نهاية دالة عددية Ouvrir le cours
18 Dérivation الاشتقاق Ouvrir le cours
19 Représentation graphique d’une fonction numérique التمثيل المبياني لدالة عددية Ouvrir le cours
Domaine IV · Cours 1

Généralités sur les fonctions numériquesعموميات حول الدوال العددية (تذكير وإضافات)

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
الدالة المكبورة، الدالة المصغورة؛ الدالة المحدودة؛ الدالة الدورية؛
•
مقارنة دالتين؛ التأويل الهندسي؛
•
مطاريف دالة؛
•
رتابة دالة عددية؛
•
تركيب دالتين عدديتين؛
•
رتابة مركب دالتين رتيبتين؛
•
التمثيل المبياني للدوال:
\(x\longmapsto\sqrt{x+a}\) \(x\longmapsto ax^3\) \(x\longmapsto E(x)\)
  • Fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée et fonction périodique ;
  • comparaison de deux fonctions et interprétation géométrique ;
  • extrema d’une fonction ;
  • monotonie d’une fonction numérique ;
  • composition de deux fonctions numériques ;
  • monotonie de la composée de deux fonctions monotones ;
  • représentation graphique des fonctions :
    \(x\longmapsto\sqrt{x+a}\) \(x\longmapsto ax^3\) \(x\longmapsto E(x)\)
    où \(E\) désigne la fonction partie entière.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
مقارنة تعبيرين باستعمال مختلف التقنيات؛
•
استنتاج تغيرات دالة أو مطاريفها أو إشارتها انطلاقا من تمثيلها المبياني أو من جدول تغيراتها؛
•
تحديد تغيرات الدالتين \(f+\lambda\) و \(\lambda f\) انطلاقا من تغيرات الدالة \(f\)؛
•
تحديد تغيرات الدالة \(g\circ f\) انطلاقا من تغيرات الدالتين \(f\) و \(g\)؛
•
مناقشة حلول معادلات من النوع:
\(f(x)=c\) \(f(x)=g(x)\)
انطلاقا من التمثيل المبياني؛
•
دراسة معادلات ومتراجحات باستعمال الدوال وتمثيلها.
  • Comparer deux expressions en utilisant différentes techniques ;
  • déduire les variations, les extrema ou le signe d’une fonction à partir de sa représentation graphique ou de son tableau de variations ;
  • déterminer les variations des fonctions \(f+\lambda\) et \(\lambda f\) à partir des variations de \(f\) ;
  • déterminer les variations de \(g\circ f\) à partir des variations de \(f\) et de \(g\) ;
  • discuter graphiquement les solutions d’équations du type :
    \(f(x)=c\) \(f(x)=g(x)\)
  • étudier des équations et des inéquations à l’aide des fonctions et de leurs représentations graphiques.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يتم تقديم هذا الجزء من خلال أمثلة للمراجعة مع بعض الإضافات؛ إنشاء المنحنيات الممثلة للدوال المرجعية التي سبقت دراستها بالإضافة إلى الدوال:
\(x\longmapsto\sqrt{x+a}\) \(x\longmapsto ax^3\) \(x\longmapsto E(x)\)
والدوال من الشكل \(f+\lambda\) بنفس الكيفية التي تم التطرق إليها بالجذع المشترك؛
•
تعتبر الدوال من الشكل \(x\longmapsto E(f(x))\) و \(x\longmapsto f(E(x))\) خارج المقرر؛
•
ينبغي تعويد التلاميذ على استنتاج تغيرات دالة عددية انطلاقا من تمثيلها المبياني، كما ينبغي الاهتمام بإنشاء المنحنيات؛
•
ينبغي تناول الحل المبياني لمعادلات ومتراجحات من النوع:
\(f(x)=c\) \(f(x)\le c\) \(f(x)\le g(x)\) \(f(x)=g(x)\) \(f(x)<g(x)\)
•
يمكن في حدود الإمكان استعمال الآلات الحاسبة والبرامج المعلوماتية المدمجة في الحاسوب والتي تمكن من دراسة الدوال؛
•
يستحسن معالجة وضعيات مختارة تنطلق من مواد التخصص.
  • Présenter ce chapitre à partir d’exemples de révision, enrichis de quelques compléments. Construire les courbes des fonctions de référence déjà étudiées, ainsi que celles des fonctions :
    \(x\longmapsto\sqrt{x+a}\) \(x\longmapsto ax^3\) \(x\longmapsto E(x)\)
    et des fonctions de la forme \(f+\lambda\), selon la même démarche que celle adoptée au tronc commun ;
  • les fonctions de la forme \(x\longmapsto E(f(x))\) et \(x\longmapsto f(E(x))\) sont hors programme ;
  • habituer les élèves à déduire les variations d’une fonction numérique à partir de sa représentation graphique et accorder une attention particulière à la construction des courbes ;
  • aborder la résolution graphique des équations et inéquations :
    \(f(x)=c\) \(f(x)\le c\) \(f(x)\le g(x)\) \(f(x)=g(x)\) \(f(x)<g(x)\)
  • utiliser, dans la mesure du possible, les calculatrices et les logiciels permettant l’étude des fonctions ;
  • traiter de préférence des situations choisies dans les disciplines de spécialité.
Hors programme — mention officielle Les fonctions \(x\longmapsto E(f(x))\) et \(x\longmapsto f(E(x))\) ne font pas partie du programme de ce niveau.
Domaine IV · Cours 2

Suites numériquesعموميات حول المتتاليات العددية

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
المتتاليات العددية؛
•
المتتالية التراجعية؛
•
المتتاليات المكبورة، المتتاليات المصغورة، المتتاليات المحدودة؛
•
رتابة متتالية؛
•
المتتاليات الحسابية؛
•
المتتاليات الهندسية.
  • Suites numériques ;
  • suites définies par récurrence ;
  • suites majorées, suites minorées et suites bornées ;
  • monotonie d’une suite ;
  • suites arithmétiques ;
  • suites géométriques.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
توظيف الاستدلال بالتراجع؛
•
التمكن من دراسة متتالية (إكبار، إصغار، رتابة)؛
•
التعرف على متتالية حسابية أو هندسية؛
•
حساب مجموع \(n\) حدا متتابعا من متتالية حسابية أو هندسية؛
•
التعرف على وضعيات لمتتاليات حسابية أو هندسية؛
•
استعمال المتتاليات الحسابية والمتتاليات الهندسية في حل مسائل.
  • Mobiliser le raisonnement par récurrence ;
  • étudier une suite du point de vue de la majoration, de la minoration et de la monotonie ;
  • reconnaître une suite arithmétique ou une suite géométrique ;
  • calculer la somme de \(n\) termes consécutifs d’une suite arithmétique ou géométrique ;
  • reconnaître des situations modélisées par des suites arithmétiques ou géométriques ;
  • utiliser les suites arithmétiques et géométriques pour résoudre des problèmes.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يمكن تقديم مفهوم المتتاليات التراجعية من خلال وضعيات مستقاة من مختلف المواد؛
•
يشكل درس المتتاليات فرصة لتعويذ التلاميذ على استعمال الأدوات المعلوماتية؛
•
ينبغي استغلال هذه المناسبة لتوظيف الاستدلال بالتراجع؛
•
ينبغي تناول المتتاليات التراجعية دون مغالاة.
  • Introduire la notion de suite définie par récurrence à partir de situations tirées de différentes disciplines ;
  • mettre à profit l’étude des suites pour familiariser les élèves avec l’utilisation des outils informatiques ;
  • exploiter ce chapitre pour mobiliser le raisonnement par récurrence ;
  • traiter les suites définies par récurrence sans développement excessif.
Limite pédagogique L’étude des suites définies par récurrence doit rester mesurée, sans développement excessif.
Domaine IV · Cours 3

Calcul trigonométriqueالحساب المثلثي

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
صيغ التحويل؛
•
تحويل الصيغة \(a\cos x+b\sin x\) .
  • Formules de transformation ;
  • transformation de l’expression \(a\cos x+b\sin x\) .
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
التمكن من مختلف صيغ التحويل؛
•
التمكن من حل معادلات ومتراجحات مثلثية تؤول في حلها إلى المعادلات والمتراجحات الأساسية؛
•
التمكن من تمثيل وقراءة حلول معادلة أو متراجحة مثلثية على الدائرة المثلثية.
  • Maîtriser les différentes formules de transformation ;
  • résoudre des équations et des inéquations trigonométriques qui se ramènent aux équations et aux inéquations fondamentales ;
  • représenter et lire, sur le cercle trigonométrique, les solutions d’une équation ou d’une inéquation trigonométrique.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
ينبغي توخي البساطة في تقديم هذا الفصل، وذلك باستعمال كل تقنية في متناول التلاميذ؛
•
يتم توظيف الدائرة المثلثية لحل متراجحات مثلثية بسيطة على مجال من \(\mathbb R\).
  • Privilégier la simplicité dans la présentation de ce chapitre, en utilisant toute technique accessible aux élèves ;
  • utiliser le cercle trigonométrique pour résoudre des inéquations trigonométriques simples sur un intervalle de \(\mathbb R\).
Domaine IV · Cours 4

Limite d’une fonction numériqueنهاية دالة عددية

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
النهاية المنتهية في نقطة؛ النهاية اللامنتهية في نقطة؛
•
النهايات المنتهية في \(+\infty\) و \(-\infty\)؛ النهاية اللامنتهية في \(+\infty\) و \(-\infty\)؛
•
النهاية على اليمين؛ النهاية على اليسار؛
•
العمليات على النهايات؛
•
نهايات الدوال الحدودية والدوال الجذرية؛ نهاية دوال من الشكل \(\sqrt{f}\) حيث \(f\) دالة اعتيادية؛
•
النهايات:
\(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}\)
•
النهايات والترتيب.
  • Limite finie en un point ; limite infinie en un point ;
  • limites finies en \(+\infty\) et en \(-\infty\) ; limites infinies en \(+\infty\) et en \(-\infty\) ;
  • limite à droite et limite à gauche ;
  • opérations sur les limites ;
  • limites des fonctions polynomiales et rationnelles ; limite de fonctions de la forme \(\sqrt{f}\), où \(f\) est une fonction usuelle ;
  • limites remarquables :
    \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(ax)}{x}\)
  • limites et ordre.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
حساب نهايات الدوال الحدودية والدوال الجذرية والدوال اللاجذرية؛
•
حساب نهايات الدوال المثلثية البسيطة باستعمال النهايات الاعتيادية؛
•
حل متراجحات من نوع
\(|f(x)-\ell|<\varepsilon\) \(f(x)>A\)
لإثبات أن \(f(x)\) تؤول إلى \(\ell\) في وضعيات بسيطة.
  • Calculer les limites de fonctions polynomiales, rationnelles et irrationnelles ;
  • calculer les limites de fonctions trigonométriques simples en utilisant les limites remarquables ;
  • résoudre des inéquations du type
    \(|f(x)-\ell|<\varepsilon\) \(f(x)>A\)
    afin d’établir, dans des situations simples, que \(f(x)\) tend vers \(\ell\).
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
يتم تقديم مفهوم النهاية بطريقة حدسية من خلال سلوك الدوال
\(x\longmapsto x^2\) \(x\longmapsto\sqrt{x}\) \(x\longmapsto x^3\) \(x\longmapsto x^n\)
ومقلوباتها بجوار الصفر و \(+\infty\) و \(-\infty\) ثم قبول هذه النهايات؛
•
بالاعتماد على خاصيات الترتيب في \(\mathbb R\) يتم حساب نهايات دوال تحقق:
\(|f(x)-\ell|\le u(x)\), حيث \(u(x)\to0\) \(f(x)\ge u(x)\), حيث \(u(x)\to+\infty\) \(f(x)\le u(x)\), حيث \(u(x)\to-\infty\)
•
ينبغي تعويد التلاميذ على إزالة الأشكال غير المحددة؛
•
ينحصر استعمال تعريف النهاية في البرهنة على بعض الخاصيات الواردة في البرنامج وحل بعض التمارين بهدف الاستئناس بالتعريف فقط.
  • Introduire intuitivement la notion de limite à partir du comportement des fonctions
    \(x\longmapsto x^2\) \(x\longmapsto\sqrt{x}\) \(x\longmapsto x^3\) \(x\longmapsto x^n\)
    et de leurs fonctions réciproques au voisinage de \(0\), de \(+\infty\) et de \(-\infty\), puis admettre ces limites ;
  • utiliser les propriétés d’ordre dans \(\mathbb R\) pour calculer les limites de fonctions vérifiant :
    \(|f(x)-\ell|\le u(x)\), avec \(u(x)\to0\) \(f(x)\ge u(x)\), avec \(u(x)\to+\infty\) \(f(x)\le u(x)\), avec \(u(x)\to-\infty\)
  • habituer les élèves à lever les formes indéterminées ;
  • limiter l’emploi de la définition de la limite à la démonstration de certaines propriétés du programme et à quelques exercices destinés uniquement à familiariser les élèves avec cette définition.
Limite pédagogique La définition de la limite doit être utilisée seulement pour démontrer certaines propriétés du programme et dans quelques exercices d’initiation ; elle ne doit pas faire l’objet d’un développement théorique autonome.
Domaine IV · Cours 5

Dérivationالاشتقاق

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
قابلية اشتقاق دالة في نقطة؛ العدد المشتق؛ التأويل الهندسي والمماس لمنحنى؛ تقريب دالة قابلة للاشتقاق في نقطة بدالة تآلفية؛
•
الاشتقاق على اليمين؛ الاشتقاق على اليسار؛ التأويل الهندسي ونصف المماس؛ مماس أو نصف مماس عمودي؛ النقطة المزواة؛
•
الاشتقاق على مجال؛ المشتقة الأولى؛ المشتقة الثانية؛ المشتقات المتتالية؛
•
اشتقاق الدوال:
\(f+g\) \(\lambda f\) \(fg\) \(\dfrac1f\) \(\dfrac fg\) \(f^n\;(n\in\mathbb Z)\) \(f(ax+b)\) \(\sqrt f\)
•
المعادلة التفاضلية:
\(y''+\omega^2y=0\)
  • Dérivabilité d’une fonction en un point ; nombre dérivé ; interprétation géométrique et tangente à une courbe ; approximation affine d’une fonction dérivable en un point ;
  • dérivabilité à droite et à gauche ; interprétation géométrique et demi-tangente ; tangente ou demi-tangente verticale ; point anguleux ;
  • dérivabilité sur un intervalle ; dérivée première, dérivée seconde et dérivées successives ;
  • dérivation des fonctions :
    \(f+g\) \(\lambda f\) \(fg\) \(\dfrac1f\) \(\dfrac fg\) \(f^n\;(n\in\mathbb Z)\) \(f(ax+b)\) \(\sqrt f\)
  • équation différentielle :
    \(y''+\omega^2y=0\)
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
تقريب دالة بجوار نقطة بدالة تآلفية؛
•
التعرف على أن العدد المشتق للدالة في \(x_0\) هو المعامل الموجه لمماس منحناها في النقطة التي أفصولها \(x_0\)؛
•
التعرف على المشتقة الأولى للدوال المرجعية؛
•
التمكن من تقنيات حساب مشتقة دالة؛
•
تحديد معادلة المماس لمنحنى دالة في نقطة وإنشاؤه؛
•
تحديد رتابة دالة انطلاقا من دراسة إشارة مشتقتها؛
•
تحديد إشارة دالة انطلاقا من جدول تغيراتها أو من تمثيلها المبياني؛
•
حل مسائل تطبيقية حول القيم الدنيا والقيم القصوية؛
•
تطبيق الاشتقاق في حساب بعض النهايات.
  • Approcher une fonction au voisinage d’un point par une fonction affine ;
  • reconnaître que le nombre dérivé en \(x_0\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse \(x_0\) ;
  • connaître les dérivées premières des fonctions de référence ;
  • maîtriser les techniques de calcul de la dérivée d’une fonction ;
  • déterminer l’équation de la tangente à une courbe en un point et construire cette tangente ;
  • déterminer la monotonie d’une fonction à partir du signe de sa dérivée ;
  • déterminer le signe d’une fonction à partir de son tableau de variations ou de sa représentation graphique ;
  • résoudre des problèmes d’application portant sur les valeurs minimales et maximales ;
  • appliquer la dérivation au calcul de certaines limites.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
من بين الأمثلة التي يمكن معالجتها: تقريب الدوال المعرفة بما يلي:
\(h\longmapsto(1+h)^2\) \(h\longmapsto(1+h)^3\) \(h\longmapsto\dfrac1{1+h}\) \(h\longmapsto\sqrt{1+h}\)
بجوار الصفر بدوال تآلفية؛
•
توظف النهاية \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) في تحديد مشتقة كل من الدالتين \(x\longmapsto\sin x\) و \(x\longmapsto\cos x\)؛
•
يتم البرهان على ما يلي:
\(f\) ثابتة على \(I\Rightarrow f'=0\) على \(I\) \(f\) قابلة للاشتقاق وتزايدية على \(I\Rightarrow f'\ge0\) على \(I\) \(f\) قابلة للاشتقاق وتناقصية على \(I\Rightarrow f'\le0\) على \(I\)
وتقبل الخاصيات العكسية في حالة \(f\) دالة قابلة للاشتقاق؛
•
يقبل الحل العام للمعادلة التفاضلية:
\(y''+\omega^2y=0\)
  • Parmi les exemples pouvant être traités, approcher au voisinage de \(0\), par des fonctions affines, les fonctions :
    \(h\longmapsto(1+h)^2\) \(h\longmapsto(1+h)^3\) \(h\longmapsto\dfrac1{1+h}\) \(h\longmapsto\sqrt{1+h}\)
  • utiliser la limite \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\) pour déterminer les dérivées des fonctions \(x\longmapsto\sin x\) et \(x\longmapsto\cos x\) ;
  • démontrer les propriétés suivantes :
    \(f\) constante sur \(I\Rightarrow f'=0\) sur \(I\) \(f\) dérivable et croissante sur \(I\Rightarrow f'\ge0\) sur \(I\) \(f\) dérivable et décroissante sur \(I\Rightarrow f'\le0\) sur \(I\)
    les propriétés réciproques étant admises pour une fonction dérivable ;
  • la solution générale de l’équation différentielle \(y''+\omega^2y=0\) est admise.
Résultats admis à ce niveau Les réciproques des propriétés reliant la monotonie au signe de la dérivée, ainsi que la solution générale de \(y''+\omega^2y=0\), sont admises.
Domaine IV · Cours 6

Représentation graphique d’une fonction numériqueالتمثيل المبياني لدالة عددية

Contenu du programme محتوى البرنامج
•
الفروع اللانهائية: المستقيمات المقاربة؛ الاتجاهات المقاربة؛
•
نقط الانعطاف؛ تقعر منحنى دالة؛
•
عناصر تماثل منحنى دالة.
  • Branches infinies : asymptotes et directions asymptotiques ;
  • points d’inflexion et concavité de la courbe d’une fonction ;
  • éléments de symétrie de la courbe d’une fonction.
Capacités attendues القدرات المنتظرة
•
حل مبياني لمعادلات ومتراجحات؛
•
استعمال الدورية وعناصر تماثل منحنى في اختصار مجموعة دراسة دالة؛
•
استعمال إشارة المشتقة الثانية لدراسة تقعر منحنى وتحديد نقط انعطافه؛
•
دراسة وتمثيل دوال حدودية ودوال جذرية ودوال لاجذرية؛
•
دراسة وتمثيل دوال مثلثية بسيطة.
  • Résoudre graphiquement des équations et des inéquations ;
  • utiliser la périodicité et les éléments de symétrie d’une courbe pour réduire l’ensemble d’étude d’une fonction ;
  • utiliser le signe de la dérivée seconde pour étudier la concavité d’une courbe et déterminer ses points d’inflexion ;
  • étudier et représenter des fonctions polynomiales, rationnelles et irrationnelles ;
  • étudier et représenter des fonctions trigonométriques simples.
Orientations pédagogiques توجيهات تربوية
•
ينبغي دراسة دوال لا يطرح حساب وإشارة مشتقتها صعوبة بالغة.
  • Étudier des fonctions dont le calcul de la dérivée et l’étude de son signe ne présentent pas de difficulté excessive.
Limite pédagogique Les fonctions étudiées doivent rester accessibles : le calcul de leur dérivée et l’étude de son signe ne doivent pas présenter de difficulté excessive.

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