Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 35 à 42 — Théorème de Rolle et applications — Al Moufid Menu des exercices Exercice 35 Exercice 36 Exercice 37 Exercice 38 Exercice 39 Exercice 40 Exercice 41 Exercice 42 Exercice 35 Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction \(f\) vérifie les conditions du théorème de Rolle sur \(I\), puis déterminer un nombre réel \(c\) de \(I\) vérifiant \(f'(c)=0\). 1) \[ f(x)=x^3-6x^2+11x-6, \qquad I=[1;3]. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est polynomiale. Elle est donc continue sur \([1;3]\) et dérivable sur \(]1;3[\). \[ f(1)=1-6+11-6=0 \] \[ f(3)=27-54+33-6=0. \] Ainsi, \(f(1)=f(3)\). Le théorème de Rolle assure l’existence d’au moins un réel \(c\in]1;3[\) tel que \(f'(c)=0\). \[ f'(x)=3x^2-...

Correction détaillée des exercices 41 à 42 Existence, unicité, signe d’un polynôme et méthode de dichotomie — Manuel Al Moufid Présentation : Les six questions ont été comparées aux énoncés originaux. Chaque question est rappelée intégralement avant sa correction. Méthodes essentielles : continuité et changement de signe pour l’existence ; stricte monotonie pour l’unicité ; factorisation par les racines pour le signe d’un polynôme ; conservation du changement de signe pour la dichotomie. Menu des exercices Exercice 41 Exercice 42 Exercice 41 Existence et unicité de solutions — signe d’un polynôme. Menu des questions — Exercice 41 Question 1 Question 2 Question 3-a Question 3-b Méthode : pour l’existence, utiliser le théorème des valeurs intermédiaires ; pour l’unicité, montrer que la fonction est strictement monotone. 1) Montrer que l’équation \[ x^5+x^3-x^2+x+1=0 \] admet une unique solution dans ...