Correction des exercices 35 à 42 — Théorème de Rolle et applications — Al Moufid
Exercice 35
Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction \(f\) vérifie les conditions du théorème de Rolle sur \(I\), puis déterminer un nombre réel \(c\) de \(I\) vérifiant \(f'(c)=0\).
1)
\[ f(x)=x^3-6x^2+11x-6, \qquad I=[1;3]. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est polynomiale. Elle est donc continue sur \([1;3]\) et dérivable sur \(]1;3[\).
\[ f(1)=1-6+11-6=0 \] \[ f(3)=27-54+33-6=0. \]Ainsi, \(f(1)=f(3)\). Le théorème de Rolle assure l’existence d’au moins un réel \(c\in]1;3[\) tel que \(f'(c)=0\).
\[ f'(x)=3x^2-12x+11. \]Résolvons :
\[ 3c^2-12c+11=0. \]Le discriminant vaut :
\[ \Delta=(-12)^2-4\times3\times11=12. \]Donc :
\[ c=\frac{12\pm\sqrt{12}}{6} = 2\pm\frac{\sqrt3}{3}. \]2)
\[ f(x)=x-\sqrt[3]{4x}+2017, \qquad I=[0;2]. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est continue sur \([0;2]\). Elle est dérivable sur \(]0;2[\), car \(4x\gt0\) sur cet intervalle.
\[ f(0)=2017 \] \[ f(2)=2-\sqrt[3]{8}+2017=2017. \]Ainsi, \(f(0)=f(2)\). Le théorème de Rolle assure l’existence d’au moins un réel \(c\in]0;2[\) tel que \(f'(c)=0\).
Pour \(x\in]0;2[\) :
\[ f'(x) = 1-\frac{4}{3\left(\sqrt[3]{4x}\right)^2}. \]Résolvons \(f'(c)=0\) :
\[ 1-\frac{4}{3\left(\sqrt[3]{4c}\right)^2}=0 \] \[ \Longleftrightarrow 3\left(\sqrt[3]{4c}\right)^2=4 \] \[ \Longleftrightarrow \sqrt[3]{4c}=\frac{2\sqrt3}{3}. \]En élevant au cube :
\[ 4c=\left(\frac{2\sqrt3}{3}\right)^3 = \frac{8\sqrt3}{9}. \]Par conséquent :
\[ c=\frac{2\sqrt3}{9}. \]3)
\[ f(x)=\pi x-3\sqrt3\,\operatorname{Arctan}x+1, \qquad I=[0;\sqrt3]. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est continue sur \([0;\sqrt3]\) et dérivable sur \(]0;\sqrt3[\), car la fonction \(\operatorname{Arctan}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
\[ f(0)=1. \]Comme \(\operatorname{Arctan}(\sqrt3)=\dfrac{\pi}{3}\), on a :
\[ f(\sqrt3) = \pi\sqrt3 - 3\sqrt3\times\frac{\pi}{3} + 1 = 1. \]Ainsi, \(f(0)=f(\sqrt3)\). Le théorème de Rolle assure l’existence d’au moins un réel \(c\in]0;\sqrt3[\) tel que \(f'(c)=0\).
\[ f'(x) = \pi-\frac{3\sqrt3}{1+x^2}. \]Résolvons :
\[ \pi-\frac{3\sqrt3}{1+c^2}=0 \] \[ \Longleftrightarrow 1+c^2=\frac{3\sqrt3}{\pi} \] \[ \Longleftrightarrow c^2=\frac{3\sqrt3}{\pi}-1. \]Comme \(c\in]0;\sqrt3[\), on retient la racine positive :
Exercice 36
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=x^2-4x. \]On considère les points \(A(1;-3)\) et \(B(4;0)\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\) de \(f\). Déterminer le point \(M(a;f(a))\) tel que la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point \(M\) soit parallèle à la droite \((AB)\).
Lire la réponse +
La fonction \(f\) est continue sur \([1;4]\) et dérivable sur \(]1;4[\). D’après le théorème des accroissements finis, il existe au moins un réel \(a\in]1;4[\) tel que :
\[ f'(a)=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}. \]Le coefficient directeur de la droite \((AB)\) est :
\[ \frac{0-(-3)}{4-1}=1. \]Or :
\[ f'(x)=2x-4. \]La tangente au point \(M(a;f(a))\) est parallèle à \((AB)\) lorsque :
\[ 2a-4=1. \]Donc :
\[ a=\frac52. \]Enfin :
\[ f\left(\frac52\right) = \frac{25}{4}-10 = -\frac{15}{4}. \]Exercice 37
On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ g(x)=|x|-2\sqrt{|x|}. \]1) Justifier la continuité de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
Lire la réponse +
La fonction \(x\mapsto|x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et prend ses valeurs dans \([0;+\infty[\).
La fonction racine carrée étant continue sur \([0;+\infty[\), la fonction \(x\mapsto\sqrt{|x|}\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Par somme de fonctions continues :
2) Déterminer \(g'(x)\) sur les intervalles \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(\mathbb{R}_{-}^{*}\).
Lire la réponse +
Si \(x\gt0\), alors \(|x|=x\), donc :
\[ g(x)=x-2\sqrt{x} \]et :
\[ g'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}. \]Si \(x\lt0\), alors \(|x|=-x\), donc :
\[ g(x)=-x-2\sqrt{-x}. \]Par dérivation :
\[ g'(x)=-1+\frac{1}{\sqrt{-x}}. \]3) Vérifier que :
\[ g\left(-\frac14\right)=g\left(\frac14\right). \]Lire la réponse +
Comme \(\left|-\frac14\right|=\frac14\), on a également :
\[ g\left(-\frac14\right) = \frac14-2\times\frac12 = -\frac34. \]4) Montrer que :
\[ \forall x\in \left]-\frac14;\frac14\right[ \setminus\{0\}, \qquad g'(x)\neq0. \]Lire la réponse +
Si \(x\in]0;\frac14[\), alors \(\sqrt{x}\lt\frac12\), donc :
\[ \frac{1}{\sqrt{x}}\gt2. \]Ainsi :
\[ g'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}\lt-1, \]donc \(g'(x)\neq0\).
Si \(x\in]-\frac14;0[\), alors \(0\lt-x\lt\frac14\), donc :
\[ \frac{1}{\sqrt{-x}}\gt2. \]Ainsi :
\[ g'(x)=-1+\frac{1}{\sqrt{-x}}\gt1, \]donc \(g'(x)\neq0\).
5) Montrer que :
\[ \exists c\in\left]-\frac14;2\right[ \quad\text{tel que}\quad g'(c)=0. \]Lire la réponse +
Sur \(]0;+\infty[\) :
\[ g'(x)=1-\frac{1}{\sqrt{x}}. \]On a :
\[ g'(x)=0 \Longleftrightarrow \sqrt{x}=1 \Longleftrightarrow x=1. \]Or :
\[ 1\in\left]-\frac14;2\right[. \]Exercice 38
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x)=(x^2-1)(x-2)^4(x+3)^2(x+4)^7. \]Montrer que l’équation \(f'(x)=0\) admet au moins quatre solutions dans \(\mathbb{R}\).
Lire la réponse +
La fonction \(f\) est polynomiale. Elle est donc continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
Ses cinq zéros distincts sont :
\[ -4,\quad -3,\quad -1,\quad 1,\quad 2. \]Sur \([-4;-3]\), on a \(f(-4)=f(-3)=0\). D’après le théorème de Rolle, il existe :
\[ c_1\in]-4;-3[ \quad\text{tel que}\quad f'(c_1)=0. \]Sur \([-3;-1]\), il existe :
\[ c_2\in]-3;-1[ \quad\text{tel que}\quad f'(c_2)=0. \]Sur \([-1;1]\), il existe :
\[ c_3\in]-1;1[ \quad\text{tel que}\quad f'(c_3)=0. \]Sur \([1;2]\), il existe :
\[ c_4\in]1;2[ \quad\text{tel que}\quad f'(c_4)=0. \]Les quatre intervalles ouverts sont deux à deux disjoints. Les réels \(c_1,c_2,c_3,c_4\) sont donc distincts.
Exercice 39
On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;1]\) par :
\[ f(x)=x\sin\left(\frac{\pi}{x}\right) \quad\text{si }x\in]0;1], \qquad f(0)=0. \]1) Soit \(n\) un entier naturel non nul. Montrer qu’il existe un élément :
\[ c_n\in \left]\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}\right[ \]tel que :
\[ f'(c_n)=0. \]Lire la réponse +
Pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\), la fonction \(f\) est continue sur :
\[ \left[\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}\right] \]et dérivable sur l’intervalle ouvert correspondant.
\[ f\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}\sin(n\pi) = 0 \]et :
\[ f\left(\frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{n+1}\sin((n+1)\pi) = 0. \]Les conditions du théorème de Rolle sont donc vérifiées. Il existe alors :
2) En déduire que l’équation :
\[ \tan x=x \]admet une infinité de solutions dans \(\mathbb{R}\).
Lire la réponse +
Pour tout \(x\in]0;1]\) :
\[ f'(x) = \sin\left(\frac{\pi}{x}\right) - \frac{\pi}{x} \cos\left(\frac{\pi}{x}\right). \]Comme \(f'(c_n)=0\), on a :
\[ \sin\left(\frac{\pi}{c_n}\right) = \frac{\pi}{c_n} \cos\left(\frac{\pi}{c_n}\right). \]On a nécessairement :
\[ \cos\left(\frac{\pi}{c_n}\right)\neq0. \]En effet, si ce cosinus était nul, le sinus correspondant vaudrait \(1\) ou \(-1\), ce qui contredirait l’égalité précédente.
On peut donc diviser par ce cosinus :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{c_n}\right) = \frac{\pi}{c_n}. \]Posons :
\[ u_n=\frac{\pi}{c_n}. \]Comme :
\[ c_n\in \left]\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}\right[, \]on obtient :
\[ u_n\in]n\pi;(n+1)\pi[. \]Ainsi :
\[ \tan u_n=u_n. \]Les intervalles \(]n\pi;(n+1)\pi[\), pour \(n\in\mathbb{N}^{*}\), sont deux à deux disjoints. Les nombres \(u_n\) sont donc distincts.
Exercice 40
Soit \(f\) la fonction définie par :
\[ f(x)=\sin x-x^2. \]1) Montrer que :
\[ \exists\alpha\in \left]\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right[ \quad\text{tel que}\quad f(\alpha)=0. \]Lire la réponse +
La fonction \(f\) est continue sur \(\left[\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right]\).
\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt2}{2} - \frac{\pi^2}{16}. \]Or \(\pi^2\lt8\sqrt2\). Par exemple, cette inégalité résulte de \(\pi\lt\frac{22}{7}\) et \(\sqrt2\gt\frac75\). Ainsi :
\[ f\left(\frac{\pi}{4}\right)\gt0. \]D’autre part, puisque \(\pi\gt2\) :
\[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1-\frac{\pi^2}{4} \lt0. \]D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe donc :
2) En déduire que l’équation :
\[ \cos x-2x=0 \]admet une solution sur \(\mathbb{R}_{+}\). Cette solution est-elle unique ? Justifier.
Lire la réponse +
On a :
\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(\alpha)=0. \]La fonction \(f\) est continue sur \([0;\alpha]\) et dérivable sur \(]0;\alpha[\). D’après le théorème de Rolle, il existe \(c\in]0;\alpha[\) tel que :
\[ f'(c)=0. \]Or :
\[ f'(x)=\cos x-2x. \]Ainsi :
\[ \cos c-2c=0. \]L’équation admet donc au moins une solution dans \(\mathbb{R}_{+}\).
Pour l’unicité, posons :
\[ \varphi(x)=\cos x-2x. \]Pour tout \(x\in\mathbb{R}_{+}\) :
\[ \varphi'(x)=-\sin x-2. \]Comme \(\sin x\geq-1\), on a :
\[ \varphi'(x)\leq-1\lt0. \]La fonction \(\varphi\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_{+}\). Elle ne peut s’annuler qu’une seule fois.
Exercice 41
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). Soient \(x_1,x_2,x_3\) trois éléments distincts de \(I\) tels que :
\[ 2f(x_2)=f(x_1)+f(x_3). \]Montrer que :
\[ \exists c\in I \quad\text{tel que}\quad f'(c)=0. \]Lire la réponse +
Considérons le contre-exemple suivant :
\[ I=\mathbb{R}, \qquad f(x)=x, \] \[ x_1=0, \qquad x_2=1, \qquad x_3=2. \]Les trois réels sont distincts et :
\[ 2f(x_2)=2f(1)=2 \]tandis que :
\[ f(x_1)+f(x_3)=f(0)+f(2)=0+2=2. \]La condition imprimée est donc satisfaite. Cependant :
\[ f'(x)=1 \qquad \text{pour tout }x\in\mathbb{R}. \]Il n’existe donc aucun réel \(c\in I\) tel que \(f'(c)=0\).
Exercice 42
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\) et deux fois dérivable sur \(]a;b[\), telle que :
\[ f(a)=f(b)=0 \]et :
\[ f''(x)\neq0 \qquad \text{pour tout }x\in]a;b[. \]Montrer par l’absurde que :
\[ \forall x\in]a;b[, \qquad f(x)\neq0. \]Lire la réponse +
Supposons, par l’absurde, qu’il existe un réel \(c\in]a;b[\) tel que :
\[ f(c)=0. \]Comme \(f(a)=f(c)=0\), la fonction \(f\) vérifie les conditions du théorème de Rolle sur \([a;c]\). Il existe donc :
\[ \alpha\in]a;c[ \quad\text{tel que}\quad f'(\alpha)=0. \]De même, puisque \(f(c)=f(b)=0\), le théorème de Rolle appliqué sur \([c;b]\) donne l’existence de :
\[ \beta\in]c;b[ \quad\text{tel que}\quad f'(\beta)=0. \]On a alors :
\[ a\lt\alpha\lt c\lt\beta\lt b. \]La fonction \(f\) étant deux fois dérivable sur \(]a;b[\), la fonction \(f'\) est continue sur \([\alpha;\beta]\) et dérivable sur \(]\alpha;\beta[\).
De plus :
\[ f'(\alpha)=f'(\beta)=0. \]Le théorème de Rolle appliqué à \(f'\) sur \([\alpha;\beta]\) assure l’existence de :
\[ \gamma\in]\alpha;\beta[ \quad\text{tel que}\quad (f')'(\gamma)=0. \]Donc :
\[ f''(\gamma)=0. \]Ceci contredit l’hypothèse :
\[ f''(x)\neq0 \qquad \text{pour tout }x\in]a;b[. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
Commentaires
Enregistrer un commentaire