Parcours Maths Maroc

Correction du devoir 4 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir Partie A — Étude de f Partie B — Approximation de α Partie A — Étude d’une fonction auxiliaire On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) par : \[ f(x)=x^3+4x^2+6x-1. \] 1) Calculer \(f(0)\), \(f\left(\dfrac12\right)\), \(f(1)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule directement : \[ f(0)=0+0+0-1=-1. \] Ensuite : \[ f\left(\frac12\right) = \left(\frac12\right)^3 + 4\left(\frac12\right)^2 + 6\left(\frac12\right) - 1. \] Donc : \[ f\left(\frac12\right) = \frac18+1+3-1 = \frac18+3 = \frac{25}{8}. \] De même : \[ f(1)=1+4+6-1=10. \] Enfin, lorsque \(x\to+\infty\), le terme dominant est \(x^3\). Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \] \[ f(0)=-1,\qquad f\left(\frac12\right)=\frac{25}{8},\qquad f(1)=10, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \] 2) Calcu...

Correction du devoir 3 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité 2. Dérivabilité 3. Signe de f′ 4. Variations 5. Courbe 6. Intervalle stable 7. Suite récurrente 8. Contraction 9. Identité trigonométrique 10. Expression explicite Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} -x+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\geq0,\\[2mm] \dfrac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right) & \text{si }x\lt0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la première expression : \[ f(0)=-0+\sqrt{0^2+1}=1. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ f(x)=-x+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0+1=1. \] Lorsque \(x\to0^-\), on a : \[ f(x)=\frac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \] Or : \[ -x+\sqrt{x^2+1}\to1...

Correction du devoir 2 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité en 0 2. Inégalité Arctan x ≤ x 3. Encadrements et dérivabilité 4. Variations 5. Branches infinies 6. Fonction réciproque 7. Suite récurrente Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-1+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\lt0,\\[2mm] \sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x} & \text{si }x\geq0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord la valeur de \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la deuxième expression : \[ f(0)=\sqrt[3]{0-\operatorname{Arctan}(0)}=0. \] Lorsque \(x\to0^-\), on utilise la première expression : \[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^-}f(x) = 0-1+\sqrt{1} = 0. \] Lorsque \(x\to0^+\), on utilise la deuxième expression : \[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}....

Correction du devoir 1 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir Partie I — Étude de g Partie II — Étude de f Partie I — Étude de la fonction \(g\) On considère la fonction numérique \(g\) définie par : \[ g(x)=\operatorname{Arctan}\left(\frac1{x-1}\right) - \frac{x}{(x-1)^2+1}. \] 1) Déterminer le domaine de définition de \(g\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(g\) contient le terme : \[ \frac1{x-1}. \] Il faut donc que : \[ x-1\neq0. \] Autrement dit : \[ x\neq1. \] Le dénominateur \((x-1)^2+1\) ne s’annule jamais, car : \[ (x-1)^2+1\gt0 \quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}. \] Le domaine de définition de \(g\) est : \[ D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}. \] 2) Montrer que, pour tout \(x\in D_g\), \[ g'(x)=\frac{2x-4}{\left((x-1)^2+1\right)^2}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour \(x\neq1\), posons : \[ A(x)=(x-1)^2+1. \] On a : \[ g(x)=\operatorname{Arctan}\...

Correction des exercices 78 à 82 — Fonction réciproque, suites et applications — Al Moufid Menu des exercices Exercice 78 Exercice 79 Exercice 80 Exercice 81 Exercice 82 Exercice 78 — Fonction réciproque et suite récurrente Correction d’énoncé : Dans l’énoncé scanné, on lit \[ f(x)=\frac{1}{1-\sin(2x)}. \] Avec cette expression, l’image de \(I\) n’est pas \[ J=\left[\frac12;+\infty\right[. \] Pour que toutes les questions soient cohérentes, notamment \(J=\left[\frac12;+\infty\right[\), \(K=[1;2]\), \(g(K)\subset K\) et \(u_0=1\), on corrige l’expression en : \[ f(x)=\frac{1}{4(1-\sin(2x))}. \] Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \[ I=\left]\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12}\right] \] par : \[ f(x)=\frac{1}{4(1-\sin(2x))}. \] 1) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J=\left[\dfrac12,+\infty\right[\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est continue sur \(I\), ...