Correction du devoir 2 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid
Énoncé du devoir
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-1+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\lt0,\\[2mm] \sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x} & \text{si }x\geq0. \end{cases} \]
1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\)
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On calcule d’abord la valeur de \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la deuxième expression :
\[ f(0)=\sqrt[3]{0-\operatorname{Arctan}(0)}=0. \]Lorsque \(x\to0^-\), on utilise la première expression :
\[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^-}f(x) = 0-1+\sqrt{1} = 0. \]Lorsque \(x\to0^+\), on utilise la deuxième expression :
\[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}. \]Comme :
\[ \lim_{x\to0^+}\left(x-\operatorname{Arctan}x\right)=0, \]et comme la fonction racine cubique est continue sur \(\mathbb{R}\), on obtient :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0. \]2) Montrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\), \(\operatorname{Arctan}x\leq x\)
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On considère la fonction :
\[ \varphi(x)=x-\operatorname{Arctan}x \]définie sur \(\mathbb{R}_+\). Elle est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et :
\[ \varphi'(x)=1-\frac1{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2}. \]Donc :
\[ \varphi'(x)\geq0 \quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}_+. \]Ainsi, \(\varphi\) est croissante sur \(\mathbb{R}_+\). Comme :
\[ \varphi(0)=0-\operatorname{Arctan}(0)=0, \]on obtient :
\[ \varphi(x)\geq0. \]3) Encadrements, limite et dérivabilité en \(0\)
3-a) Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\),
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Majoration
On pose :
\[ \psi(x)=\frac{x^3}{3}-x+\operatorname{Arctan}x. \]La fonction \(\psi\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et :
\[ \psi'(x)=x^2-1+\frac1{1+x^2}. \]En réduisant au même dénominateur :
\[ \psi'(x) = \frac{x^4}{1+x^2}. \]Donc :
\[ \psi'(x)\geq0 \quad\text{sur }\mathbb{R}_+. \]Comme \(\psi(0)=0\), on a :
\[ \psi(x)\geq0. \]Ainsi :
\[ \frac{x^3}{3}-x+\operatorname{Arctan}x\geq0. \]Donc :
\[ x-\operatorname{Arctan}x\leq\frac{x^3}{3}. \]Minoration
On pose maintenant :
\[ \theta(x)=x-\operatorname{Arctan}x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}. \]La fonction \(\theta\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et :
\[ \theta'(x) = 1-\frac1{1+x^2}-x^2+x^4. \]Or :
\[ 1-\frac1{1+x^2}=\frac{x^2}{1+x^2}. \]Donc :
\[ \theta'(x) = \frac{x^2}{1+x^2}-x^2+x^4. \]En réduisant au même dénominateur, on obtient :
\[ \theta'(x)=\frac{x^6}{1+x^2}. \]Donc :
\[ \theta'(x)\geq0 \quad\text{sur }\mathbb{R}_+. \]Comme \(\theta(0)=0\), on a :
\[ \theta(x)\geq0. \]Ainsi :
\[ x-\operatorname{Arctan}x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\geq0. \]Donc :
\[ x-\operatorname{Arctan}x\geq\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5}. \]3-b) Calculer :
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Pour \(x\gt0\), on divise l’encadrement précédent par \(x^3\gt0\). On obtient :
\[ \frac13-\frac{x^2}{5} \leq \frac{x-\operatorname{Arctan}x}{x^3} \leq \frac13. \]Lorsque \(x\to0^+\), les deux membres extrêmes tendent vers \(\dfrac13\). Donc, par encadrement :
3-c) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\)
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On étudie les nombres dérivés à gauche et à droite en \(0\).
À gauche
Pour \(x\lt0\), on a :
\[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \]Comme \(f(0)=0\), le quotient de dérivabilité à gauche est :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x}. \]On écrit :
\[ \frac{x-1+\sqrt{x^2+1}}{x} = 1+\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x}=0. \]Donc :
\[ f'_g(0)=1. \]À droite
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}. \]Le quotient de dérivabilité à droite est :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}}{x}. \]Comme \(x\gt0\), on peut écrire :
\[ \frac{\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}}{x} = \sqrt[3]{\frac{x-\operatorname{Arctan}x}{x^3}}. \]D’après la question précédente :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{x-\operatorname{Arctan}x}{x^3} = \frac13. \]Donc :
\[ f'_d(0)=\sqrt[3]{\frac13}. \]Comme :
\[ 1\neq\sqrt[3]{\frac13}, \]les nombres dérivés à gauche et à droite ne sont pas égaux.
4) Étudier les variations de la fonction \(f\)
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Sur \(]-\infty;0[\)
Pour \(x\lt0\), on a :
\[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \]Cette fonction est dérivable sur \(]-\infty;0[\), et :
\[ f'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}. \]Comme \(x\lt0\), on a :
\[ \sqrt{x^2+1}\gt |x|=-x. \]Donc :
\[ -1\lt\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\lt0. \]Par conséquent :
\[ f'(x)\gt0. \]Donc \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty;0[\).
Sur \(]0;+\infty[\)
Pour \(x\gt0\), on pose :
\[ h(x)=x-\operatorname{Arctan}x. \]D’après la question 2, on a \(h(x)\geq0\), et même \(h(x)\gt0\) pour \(x\gt0\).
La fonction \(f\) s’écrit :
\[ f(x)=\sqrt[3]{h(x)}. \]Pour \(x\gt0\), la fonction est dérivable, et :
\[ f'(x) = \frac{h'(x)}{3\left(h(x)\right)^{2/3}}. \]Or :
\[ h'(x)=1-\frac1{1+x^2} = \frac{x^2}{1+x^2} \gt0. \]Donc :
\[ f'(x)\gt0 \quad\text{pour tout }x\gt0. \]Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).
Comme \(f\) est continue en \(0\), il reste à comparer les valeurs situées
de part et d’autre de \(0\).
Pour \(x\lt0\), on a
\[
\sqrt{x^2+1}\lt1-x,
\]
car les deux membres sont positifs et
\[
x^2+1\lt(1-x)^2
\Longleftrightarrow
x\lt0.
\]
Ainsi,
\[
f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}\lt0.
\]
Pour \(x\gt0\), l’inégalité stricte
\[
\operatorname{Arctan}x\lt x
\]
donne
\[
f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}\gt0.
\]
Donc, si \(x_1\lt0\lt x_2\), alors
\[
f(x_1)\lt f(0)=0\lt f(x_2).
\]
on obtient une croissance stricte sur tout \(\mathbb{R}\).
Les limites utiles sont :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1, \qquad f(0)=0, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Elle croît de la limite \(-1\), lorsque \(x\to-\infty\), jusqu’à \(f(0)=0\), puis elle continue à croître de \(0\) vers \(+\infty\).
5) Branches infinies et construction de la courbe
5-a) Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\)
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Au voisinage de \(-\infty\)
Pour \(x\lt0\), on a :
\[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \]On calcule :
\[ f(x)+1=x+\sqrt{x^2+1}. \]En rationalisant :
\[ x+\sqrt{x^2+1} = \frac{x^2-(x^2+1)}{x-\sqrt{x^2+1}} = \frac{-1}{x-\sqrt{x^2+1}}. \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a :
\[ x-\sqrt{x^2+1}\to-\infty. \]Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)+1\right)=0. \]Au voisinage de \(+\infty\)
Pour \(x\gt0\), on a :
\[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}. \]Comme :
\[ \operatorname{Arctan}x\leq\frac{\pi}{2}, \]on a :
\[ x-\operatorname{Arctan}x\geq x-\frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]De plus, d’après \(\operatorname{Arctan}x\geq0\) pour \(x\geq0\), on a :
\[ 0\leq x-\operatorname{Arctan}x\leq x. \]Ainsi :
\[ 0\leq \frac{f(x)}{x} = \frac{\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}}{x} \leq \frac{\sqrt[3]{x}}{x}. \]Or :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt[3]{x}}{x}=0. \]Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0. \]5-b) Construire la courbe \(\mathcal C\)
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Pour construire la courbe, on utilise les informations suivantes :
- \(f\) est continue en \(0\), avec \(f(0)=0\).
- \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
- Au voisinage de \(-\infty\), la courbe admet l’asymptote horizontale \(y=-1\).
- Au voisinage de \(+\infty\), la courbe admet une branche parabolique dirigée par l’axe des abscisses.
- À gauche de \(0\), la demi-tangente a pour équation \(y=x\).
- À droite de \(0\), la demi-tangente a pour équation : \[ y=\sqrt[3]{\frac13}\,x. \]
6) Restriction de \(f\) à \(I=\mathbb{R}_{-}^{\ast}\) et fonction réciproque
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Il n’y a donc aucune solution étrangère et, en remplaçant \(y\) par la variable \(x\), on obtient :
\[ \sqrt{x^2+1}=y+1-x. \]L’égalité obtenue après élévation au carré implique alors bien :
\[ y+1-x = \frac{(y+1)^2+1}{2(y+1)} \gt0. \]De plus :
Vérifions que cette valeur convient. Puisque \(y\in]-1;0[\), son numérateur \(y(y+2)\) est négatif et son dénominateur est positif ; ainsi \(x\lt0\), donc \(x\in I\).
\[ x=\frac{y(y+2)}{2(y+1)}. \]Comme \(y\in]-1;0[\), on a \(y+1\gt0\), d’où :
\[ 2x(y+1)=y(y+2). \]Après simplification :
\[ x^2+1=(y+1-x)^2. \]Le membre de droite est positif pour la solution recherchée. En élevant au carré :
\[ \sqrt{x^2+1}=y+1-x. \]Donc :
\[ y=x-1+\sqrt{x^2+1}. \]Soit \(y\in J\). Cherchons \(x\in I\) tel que \(y=g(x)\). On a :
Expression de \(g^{-1}\)
De plus :
Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \[ I=]-\infty;0[. \] La fonction \(g\) est continue et strictement croissante sur \(I\).
7) Suite récurrente
On considère la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \[ u_0=1, \qquad u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)}. \]
7-a) Montrer que \((u_n)\) est strictement décroissante et en déduire qu’elle est convergente
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On montre d’abord que :
\[ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n\gt0. \]On a \(u_0=1\gt0\). Supposons que \(u_n\gt0\). D’après la question 2, on a :
\[ u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)\geq0. \]Comme \(u_n\gt0\), on a même :
\[ u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}=\sqrt[3]{u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)}\gt0. \]Ainsi, par récurrence :
\[ \forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n\gt0. \]Pour montrer que \((u_n)\) est strictement décroissante, on utilise l’encadrement :
\[ u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)\leq\frac{u_n^3}{3}. \]Comme \(u_n\gt0\), on obtient :
\[ u_{n+1} = \sqrt[3]{u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)} \leq \sqrt[3]{\frac{u_n^3}{3}} = \sqrt[3]{\frac13}\,u_n. \]Or :
\[ 0\lt\sqrt[3]{\frac13}\lt1. \]Donc :
\[ u_{n+1}\lt u_n. \]De plus, elle est minorée par \(0\), car \(u_n\gt0\) pour tout \(n\). Une suite décroissante et minorée est convergente.
7-b) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
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D’après ce qui précède, on a :
\[ u_n\gt0. \]Donc :
\[ u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)\geq0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}\geq0. \]De plus, d’après l’encadrement obtenu à la question 3-a :
\[ u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)\leq\frac{u_n^3}{3}. \]En appliquant la fonction racine cubique, qui est croissante sur \(\mathbb{R}_+\), on obtient :
\[ u_{n+1} = \sqrt[3]{u_n-\operatorname{Arctan}(u_n)} \leq \sqrt[3]{\frac{u_n^3}{3}}. \]Donc :
7-c) En déduire la limite de la suite \((u_n)\)
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Posons :
\[ q=\sqrt[3]{\frac13}. \]On a :
\[ 0\lt q\lt1. \]D’après la question précédente :
\[ 0\leq u_{n+1}\leq q u_n. \]Par récurrence, on obtient :
\[ 0\leq u_n\leq q^n u_0. \]Comme \(u_0=1\), on a :
\[ 0\leq u_n\leq q^n. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty}q^n=0. \]Par encadrement :
Ce devoir de synthèse porte sur une fonction définie par morceaux. Il mobilise la continuité, la dérivabilité en un point, les encadrements de \(x-\operatorname{Arctan}x\), l’étude des variations, les branches infinies, la fonction réciproque et une suite récurrente.
L’objectif est de montrer comment exploiter les encadrements pour étudier une racine cubique composée, justifier la dérivabilité à droite et à gauche, construire un tableau de variations et conclure sur la convergence d’une suite récurrente.
Ressources liées
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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