Correction du devoir 4 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid
Partie A — Étude d’une fonction auxiliaire
On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) par : \[ f(x)=x^3+4x^2+6x-1. \]
1) Calculer \(f(0)\), \(f\left(\dfrac12\right)\), \(f(1)\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\)
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On calcule directement :
\[ f(0)=0+0+0-1=-1. \]Ensuite :
\[ f\left(\frac12\right) = \left(\frac12\right)^3 + 4\left(\frac12\right)^2 + 6\left(\frac12\right) - 1. \]Donc :
\[ f\left(\frac12\right) = \frac18+1+3-1 = \frac18+3 = \frac{25}{8}. \]De même :
\[ f(1)=1+4+6-1=10. \]Enfin, lorsque \(x\to+\infty\), le terme dominant est \(x^3\). Donc :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]2) Calculer \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations de \(f\)
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La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), car c’est une fonction polynomiale.
Pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\), on a :
\[ f'(x)=3x^2+8x+6. \]Pour \(x\geq0\), les trois termes \(3x^2\), \(8x\) et \(6\) sont positifs, et \(6\gt0\). Donc :
\[ f'(x)\gt0 \quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}_+. \]Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\).
Pour tout \(x\in[0;+\infty[\), \[ f'(x)=3x^2+8x+6\gt0. \] La fonction \(f\) est donc strictement croissante sur \([0;+\infty[\), de \[ f(0)=-1 \] vers \(+\infty\).
3) Prouver que \(f\) s’annule une fois et une seule sur \([0;+\infty[\) en un point \(\alpha\), et que \(\alpha\in\left]0;\dfrac12\right[\)
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La fonction \(f\) est continue sur \([0;+\infty[\), car c’est une fonction polynomiale.
On a :
\[ f(0)=-1\lt0 \]et :
\[ f\left(\frac12\right)=\frac{25}{8}\gt0. \]Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réel :
\[ \alpha\in\left]0;\frac12\right[ \]tel que :
\[ f(\alpha)=0. \]De plus, \(f\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\). Elle ne peut donc s’annuler qu’une seule fois.
4) Déterminer le signe de \(f\) sur \([0;\alpha[\) et sur \(]\alpha;+\infty[\)
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La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\), et elle s’annule en \(\alpha\).
Donc, pour \(0\leq x\lt\alpha\), on a :
\[ f(x)\lt f(\alpha)=0. \]Et pour \(x\gt\alpha\), on a :
\[ f(x)\gt f(\alpha)=0. \]Partie B — Détermination d’une valeur approchée de \(\alpha\)
On considère la fonction \(g\) définie pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) par : \[ g(x)=\frac{1}{x^2+4x+6}. \]
1) Déterminer un encadrement de \(x^2+4x+6\) pour \(x\in\left[0;\dfrac12\right]\), et en déduire que \(0\leq g(x)\lt\dfrac12\)
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Soit :
\[ x\in\left[0;\frac12\right]. \]On a :
\[ x^2\geq0 \quad\text{et}\quad 4x\geq0. \]Donc :
\[ x^2+4x+6\geq6. \]D’autre part, comme \(0\leq x\leq\dfrac12\), on a :
\[ x^2\leq\frac14 \quad\text{et}\quad 4x\leq2. \]Donc :
\[ x^2+4x+6\leq \frac14+2+6=\frac{33}{4}. \]Ainsi :
\[ 6\leq x^2+4x+6\leq\frac{33}{4}. \]Comme le dénominateur est strictement positif, on obtient :
\[ 0\lt g(x)\leq \frac16. \]Or :
\[ \frac16\lt\frac12. \]2) Montrer que pour tout \(x\in\left[0;\dfrac12\right]\), \(\left|g'(x)\right|\leq\dfrac5{36}\)
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La fonction \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\), et :
\[ g'(x) = -\frac{2x+4}{(x^2+4x+6)^2}. \]Donc :
\[ |g'(x)| = \frac{2x+4}{(x^2+4x+6)^2}. \]Pour \(x\in\left[0;\dfrac12\right]\), on a :
\[ 2x+4\leq 5. \]D’autre part :
\[ x^2+4x+6\geq6. \]Donc :
\[ (x^2+4x+6)^2\geq36. \]Par conséquent :
\[ |g'(x)| = \frac{2x+4}{(x^2+4x+6)^2} \leq \frac5{36}. \]3) On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=g(u_n)\)
a) Prouver que pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n\in\left[0;\dfrac12\right]\)
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On a :
\[ u_0=0\in\left[0;\frac12\right]. \]Supposons que :
\[ u_n\in\left[0;\frac12\right]. \]D’après la question 1, on a :
\[ 0\lt g(u_n)\lt\frac12. \]Donc :
\[ u_{n+1}=g(u_n)\in\left[0;\frac12\right]. \]b) Prouver que \(g(\alpha)=\alpha\), puis en déduire que pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
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Comme \(\alpha\) est l’unique solution de \(f(x)=0\), on a :
\[ \alpha^3+4\alpha^2+6\alpha-1=0. \]Donc :
\[ \alpha^3+4\alpha^2+6\alpha=1. \]En factorisant par \(\alpha\), on obtient :
\[ \alpha(\alpha^2+4\alpha+6)=1. \]Comme \(\alpha\neq0\), on obtient :
\[ \alpha=\frac1{\alpha^2+4\alpha+6}. \]Donc :
\[ g(\alpha)=\alpha. \]D’autre part, on sait que :
\[ u_n\in\left[0;\frac12\right] \quad\text{et}\quad \alpha\in\left[0;\frac12\right]. \]La fonction \(g\) est continue sur \(\left[0;\dfrac12\right]\) et dérivable sur \(\left]0;\dfrac12\right[\), avec :
\[ |g'(x)|\leq\frac5{36}. \]D’après l’inégalité des accroissements finis :
\[ |g(u_n)-g(\alpha)| \leq \frac5{36}|u_n-\alpha|. \]Or :
\[ u_{n+1}=g(u_n) \quad\text{et}\quad g(\alpha)=\alpha. \]c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et donner sa limite
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Par récurrence, l’inégalité précédente donne :
\[ |u_n-\alpha| \leq \left(\frac5{36}\right)^n|u_0-\alpha|. \]Comme :
\[ 0\lt\frac5{36}\lt1, \]on a :
\[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac5{36}\right)^n=0. \]Donc, par encadrement :
\[ \lim_{n\to+\infty}|u_n-\alpha|=0. \]d) Justifier que \(u_0\leq\alpha\leq u_1\), puis montrer par récurrence que :
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Ainsi :
\[ u_{2n+3}=g(u_{2n+2}) \geq g(\alpha) = \alpha. \]En appliquant encore \(g\) à \(u_{2n+2}\leq\alpha\), on obtient :
\[ u_{2n+2}=g(u_{2n+1}) \leq g(\alpha) = \alpha. \]La fonction \(g\) étant décroissante, l’inégalité \(\alpha\leq u_{2n+1}\) donne :
\[ u_{2n}\leq\alpha\leq u_{2n+1}. \]La propriété est vraie pour \(n=0\). Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\),
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad u_{2n}\leq\alpha\leq u_{2n+1}. \]Montrons maintenant par récurrence que :
Comme \(0=u_0\lt\alpha\), on obtient en appliquant \(g\) :
\[ g'(x) = -\frac{2x+4}{(x^2+4x+6)^2} \lt0. \]De plus, \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R_+\), car :
\[ u_0=0\lt\alpha. \]On a :
Ce devoir de synthèse porte sur l’étude d’une fonction polynomiale auxiliaire, puis sur la détermination d’une valeur approchée de sa racine positive à l’aide d’une fonction contractante et d’une suite récurrente.
L’objectif est de relier le signe d’une fonction polynomiale à une méthode d’approximation par suite. On utilise les variations, le théorème des valeurs intermédiaires, l’inégalité des accroissements finis et un raisonnement par récurrence pour encadrer la solution.
Ressources liées
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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