Parcours Maths Maroc

Correction du devoir 2 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité en 0 2. Inégalité Arctan x ≤ x 3. Encadrements et dérivabilité 4. Variations 5. Branches infinies 6. Fonction réciproque 7. Suite récurrente Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-1+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\lt0,\\[2mm] \sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x} & \text{si }x\geq0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord la valeur de \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la deuxième expression : \[ f(0)=\sqrt[3]{0-\operatorname{Arctan}(0)}=0. \] Lorsque \(x\to0^-\), on utilise la première expression : \[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^-}f(x) = 0-1+\sqrt{1} = 0. \] Lorsque \(x\to0^+\), on utilise la deuxième expression : \[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}....

Correction des exercices 78 à 82 — Fonction réciproque, suites et applications — Al Moufid Menu des exercices Exercice 78 Exercice 79 Exercice 80 Exercice 81 Exercice 82 Exercice 78 — Fonction réciproque et suite récurrente Correction d’énoncé : Dans l’énoncé scanné, on lit \[ f(x)=\frac{1}{1-\sin(2x)}. \] Avec cette expression, l’image de \(I\) n’est pas \[ J=\left[\frac12;+\infty\right[. \] Pour que toutes les questions soient cohérentes, notamment \(J=\left[\frac12;+\infty\right[\), \(K=[1;2]\), \(g(K)\subset K\) et \(u_0=1\), on corrige l’expression en : \[ f(x)=\frac{1}{4(1-\sin(2x))}. \] Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \[ I=\left]\frac{\pi}{4};\frac{5\pi}{12}\right] \] par : \[ f(x)=\frac{1}{4(1-\sin(2x))}. \] 1) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J=\left[\dfrac12,+\infty\right[\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est continue sur \(I\), ...

Correction des exercices 64 à 68 — Inégalités trigonométriques, fonction réciproque et suites — Al Moufid Menu des exercices Exercice 64 Exercice 65 Exercice 66 Exercice 67 Exercice 68 Exercice 64 — Inégalités trigonométriques Montrer géométriquement ce qui suit : \[ 1)\quad \forall x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],\qquad \frac{2}{\pi}x\leq \sin x\leq x \] \[ 2)\quad \forall x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],\qquad 1-\frac{2}{\pi}x\leq \cos x\leq \frac{\pi}{2}-x \] \[ 3)\quad \forall x\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right],\qquad x\leq \tan x\leq \frac{4}{\pi}x \] 1) Encadrement de \(\sin x\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Sur l’intervalle \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), la courbe de la fonction sinus est située au-dessus de la corde qui relie les points : \[ A(0,0) \qquad\text{et}\qquad B\left(\frac{\pi}{2},1\right). \] L’équation de cette corde est : \[ y=\frac{2}{\pi}x. \] Donc : \[ \frac{2}{\pi}x\leq \sin x. \] D’autre part, la tangente...

Correction des exercices 62 à 63 — Fonction réciproque, méthode de Newton et suites — Al Moufid Menu des exercices Exercice 62 Exercice 63 Exercice 62 On considère la fonction \(f\) définie sur \(I=[0;8]\) par : \[ f(x)=\sqrt{\left(4-\sqrt[3]{x^2}\right)^3}. \] 1-a) Montrer que : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-8}{x}=-\infty \] et interpréter géométriquement le résultat obtenu Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour \(x\in[0;8]\), on a : \[ \sqrt[3]{x^2}=x^{\frac23} \qquad\text{et}\qquad f(x)=\left(4-x^{\frac23}\right)^{\frac32}. \] De plus : \[ f(0)=4^{\frac32}=8. \] Pour \(x\gt0\), posons : \[ u=\sqrt{4-x^{\frac23}}. \] Alors \(u\to2\) lorsque \(x\to0^+\), et : \[ f(x)-8=u^3-2^3=(u-2)(u^2+2u+4). \] Or : \[ u-2 = \frac{u^2-4}{u+2} = -\frac{x^{\frac23}}{u+2}. \] Par conséquent : \[ \frac{f(x)-8}{x} = -\frac1{x^{\frac13}} \cdot \frac{u^2+2u+4}{u+2}. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ \frac{u^2+2u+4}{u+2} \longrightarrow \frac{4+4+4}{4}=3...