Parcours Maths Maroc

Correction de l’exercice 49 — Suite récurrente, encadrement et limite Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu de l’exercice 49 Question 1 Question 2 Question 3 Énoncé : Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=a \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \] 1. On suppose dans cette question que \(a=1\). Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \] 2. On suppose maintenant que \(a\gt1\). a) Montrer que la suite \((x_n)\) est décroissante et minorée. b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite. 3. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par : \[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \] a) Montrer que la fonction \(f_n\) es...

Correction des exercices 15 à 17 — Suites récurrentes et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 15 Exercice 16 Exercice 17 Exercice 15 Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur : \[ I=\left[0,\frac14\right] \] par : \[ f(x)=x^2+\frac34x. \] 1. Déterminer \(f(I)\). 2. On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=\frac15 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n) \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \] a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le\frac14. \] b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\). c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. d) Calculer sa limite. 1. Détermination de \(f(I)\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(I\), et pour tout \(x\in I\) : \[ f'(x)=2x+\frac34. \] ...

Correction des exercices 28 à 31 — Dérivabilité de la fonction réciproque — Al Moufid Menu des exercices Exercice 28 Exercice 29 Exercice 30 Exercice 31 Exercice 28 — Bijection et dérivée de la fonction réciproque Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=]-\infty;2]\) par : \[ f(x)=\sqrt{2-x}-x. \] 1) Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer. Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est continue sur \(I\). Pour tout \(x\in]-\infty;2[\), elle est dérivable et : \[ f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{2-x}}-1. \] Comme \(\sqrt{2-x}>0\), on a : \[ f'(x) Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \(I\). D’autre part : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty \] car \(f(x)=\sqrt{2-x}-x\geq -x\), et : \[ f(2)=-2. \] Par conséquent, l’im...