Correction de l’exercice 49 — Suite récurrente, encadrement et limite
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Soit \(a\) un réel supérieur ou égal à \(1\) et \((x_n)\) la suite numérique définie par : \[ x_0=a \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\) : \[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \] 1. On suppose dans cette question que \(a=1\). Montrer par récurrence que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \] 2. On suppose maintenant que \(a\gt1\).
a) Montrer que la suite \((x_n)\) est décroissante et minorée.
b) En déduire que la suite \((x_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite.
3. On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par : \[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \] a) Montrer que la fonction \(f_n\) est croissante sur l’intervalle : \[ \left[ 0;\frac1{\sqrt{n+1}} \right]. \] b) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 0\lt x_n\le\frac1{n+1}. \] c) Montrer que, pour tout \(k\in\mathbb N^*\) : \[ \frac1{x_{k+1}}-\frac1{x_k} = (k+1)x_k. \] d) En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) : \[ \frac1{n-1+\dfrac1{x_1}} \le x_n \le \frac1{n+1}. \] e) Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}nx_n. \]
1. Cas particulier \(a=1\)
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Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. \]Initialisation
Pour \(n=1\), on a :
\[ \begin{aligned} x_1 &= \frac{x_0}{1+x_0^2}\\ &= \frac1{1+1}\\ &= \frac12. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac1{1+1}=\frac12. \]La propriété est donc vraie au rang \(1\).
Hérédité
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N^*\), on ait :
\[ x_n=\frac1{n+1}. \]Alors :
\[ \begin{aligned} x_{n+1} &= \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}\\ &= \frac{\dfrac1{n+1}} {1+(n+1)\dfrac1{(n+1)^2}}\\ &= \frac{\dfrac1{n+1}} {1+\dfrac1{n+1}}\\ &= \frac{\dfrac1{n+1}} {\dfrac{n+2}{n+1}}\\ &= \frac1{n+2}. \end{aligned} \]La propriété est donc vraie au rang \(n+1\).
Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. } \]2. Cas \(a\gt1\)
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2.a) Positivité et monotonie
Montrons d’abord que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad x_n\gt0. \]On a :
\[ x_0=a\gt1. \]Donc \(x_0\gt0\).
Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\) :
\[ x_n\gt0. \]Alors :
\[ 1+(n+1)x_n^2\gt0. \]Par conséquent :
\[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2} \gt0. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad x_n\gt0. } \]La suite \((x_n)\) est donc minorée par \(0\).
De plus, comme \(x_n\gt0\) :
\[ (n+1)x_n^2\gt0. \]Donc :
\[ 1+(n+1)x_n^2\gt1. \]Par conséquent :
\[ \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2} \lt x_n. \]Or :
\[ x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2}. \]Ainsi :
\[ x_{n+1}\lt x_n. \]Finalement :
\[ \boxed{ (x_n)\text{ est strictement décroissante et minorée par }0. } \]2.b) Convergence et limite
La suite \((x_n)\) est décroissante et minorée. Elle est donc convergente.
Posons :
\[ \lim_{n\to+\infty}x_n=\ell. \]Comme \(x_n\gt0\), on a :
\[ \ell\ge0. \]Supposons que :
\[ \ell\gt0. \]La suite étant décroissante et convergeant vers \(\ell\), on a :
\[ \ell\le x_n\le x_0=a. \]Donc :
\[ x_n^2\ge\ell^2. \]Ainsi :
\[ 1+(n+1)x_n^2 \ge 1+(n+1)\ell^2. \]Par conséquent :
\[ 0 \lt x_{n+1} = \frac{x_n}{1+(n+1)x_n^2} \le \frac{a}{1+(n+1)\ell^2}. \]Or :
\[ \frac{a}{1+(n+1)\ell^2} \longrightarrow0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ x_{n+1}\longrightarrow0. \]Mais, puisque :
\[ x_n\longrightarrow\ell, \]on a également :
\[ x_{n+1}\longrightarrow\ell. \]Donc :
\[ \ell=0, \]ce qui contredit l’hypothèse \(\ell\gt0\).
Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}x_n=0. } \]3. Encadrement de la suite
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On reste dans le cas \(a\gt1\).
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on considère la fonction \(f_n\) définie sur \(\mathbb R^+\) par :
\[ f_n(x) = \frac{x}{1+(n+1)x^2}. \]La relation de récurrence s’écrit :
\[ x_{n+1}=f_n(x_n). \]3.a) Monotonie de \(f_n\)
La fonction \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb R^+\).
Pour tout \(x\in\mathbb R^+\) :
\[ \begin{aligned} f_n'(x) &= \frac{ 1+(n+1)x^2-2(n+1)x^2 }{ \left[1+(n+1)x^2\right]^2 }\\ &= \frac{ 1-(n+1)x^2 }{ \left[1+(n+1)x^2\right]^2 }. \end{aligned} \]Le dénominateur est strictement positif.
Pour :
\[ x\in \left[ 0;\frac1{\sqrt{n+1}} \right], \]on a :
\[ 0\le x\le\frac1{\sqrt{n+1}}. \]Donc :
\[ (n+1)x^2\le1. \]Ainsi :
\[ 1-(n+1)x^2\ge0. \]Par conséquent :
\[ f_n'(x)\ge0. \]Finalement :
\[ \boxed{ f_n\text{ est croissante sur } \left[ 0;\frac1{\sqrt{n+1}} \right]. } \]3.b) Majoration de \(x_n\)
Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 0\lt x_n\le\frac1{n+1}. \]Pour \(n=1\) :
\[ x_1 = \frac{a}{1+a^2}. \]Or :
\[ (a-1)^2\ge0. \]Donc :
\[ a^2-2a+1\ge0, \]d’où :
\[ 2a\le1+a^2. \]Les deux membres étant strictement positifs :
\[ \frac{a}{1+a^2} \le \frac12. \]Ainsi :
\[ 0\lt x_1\le\frac12. \]La propriété est donc vraie au rang \(1\).
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ 0\lt x_n\le\frac1{n+1}. \]Comme \(n+1\ge1\), on a :
\[ \frac1{n+1} \le \frac1{\sqrt{n+1}}. \]Donc :
\[ 0\lt x_n \le \frac1{n+1} \le \frac1{\sqrt{n+1}}. \]La fonction \(f_n\) étant croissante sur :
\[ \left[ 0;\frac1{\sqrt{n+1}} \right], \]on obtient :
\[ f_n(x_n) \le f_n\left(\frac1{n+1}\right). \]Or :
\[ x_{n+1}=f_n(x_n). \]De plus :
\[ \begin{aligned} f_n\left(\frac1{n+1}\right) &= \frac{\dfrac1{n+1}} {1+(n+1)\dfrac1{(n+1)^2}}\\ &= \frac{\dfrac1{n+1}} {1+\dfrac1{n+1}}\\ &= \frac1{n+2}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ 0\lt x_{n+1}\le\frac1{n+2}. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 0\lt x_n\le\frac1{n+1}. } \]3.c) Relation entre les inverses
Pour tout \(k\in\mathbb N^*\) :
\[ x_{k+1} = \frac{x_k}{1+(k+1)x_k^2}. \]Comme \(x_k\gt0\), on peut écrire :
\[ \begin{aligned} \frac1{x_{k+1}} &= \frac{1+(k+1)x_k^2}{x_k}\\ &= \frac1{x_k}+(k+1)x_k. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ \frac1{x_{k+1}}-\frac1{x_k} = (k+1)x_k. } \]3.d) Encadrement de \(x_n\)
Pour \(n\ge2\), en sommant la relation précédente pour \(k\) allant de \(1\) à \(n-1\), on obtient :
\[ \sum_{k=1}^{n-1} \left( \frac1{x_{k+1}}-\frac1{x_k} \right) = \sum_{k=1}^{n-1}(k+1)x_k. \]La somme du membre de gauche est télescopique :
\[ \frac1{x_n}-\frac1{x_1} = \sum_{k=1}^{n-1}(k+1)x_k. \]D’après la question précédente :
\[ x_k\le\frac1{k+1}. \]Donc :
\[ (k+1)x_k\le1. \]Ainsi :
\[ \sum_{k=1}^{n-1}(k+1)x_k \le \sum_{k=1}^{n-1}1 = n-1. \]Par conséquent :
\[ \frac1{x_n}-\frac1{x_1} \le n-1. \]Donc :
\[ \frac1{x_n} \le n-1+\frac1{x_1}. \]Les deux membres étant strictement positifs :
\[ x_n \ge \frac1{n-1+\dfrac1{x_1}}. \]D’autre part :
\[ x_n\le\frac1{n+1}. \]Ainsi, pour tout \(n\ge2\) :
\[ \frac1{n-1+\dfrac1{x_1}} \le x_n \le \frac1{n+1}. \]Pour \(n=1\), l’inégalité de gauche devient :
\[ \frac1{\dfrac1{x_1}} \le x_1, \]c’est-à-dire :
\[ x_1\le x_1. \]L’encadrement est donc valable pour tout \(n\in\mathbb N^*\) :
\[ \boxed{ \frac1{n-1+\dfrac1{x_1}} \le x_n \le \frac1{n+1}. } \]3.e) Limite de \(nx_n\)
D’après l’encadrement précédent :
\[ \frac1{n-1+\dfrac1{x_1}} \le x_n \le \frac1{n+1}. \]En multipliant par \(n\gt0\) :
\[ \frac{n}{n-1+\dfrac1{x_1}} \le nx_n \le \frac{n}{n+1}. \]Or :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n-1+\dfrac1{x_1}} = 1 \]et :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{n}{n+1} = 1. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}nx_n=1. } \]Lorsque \(a=1\) :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad x_n=\frac1{n+1}. } \]Lorsque \(a\gt1\) :
\[ \boxed{ (x_n)\text{ est strictement décroissante et minorée par }0. } \] \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}x_n=0. } \] \[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad 0\lt x_n\le\frac1{n+1}. } \] \[ \boxed{ \frac1{x_{k+1}}-\frac1{x_k} = (k+1)x_k. } \] \[ \boxed{ \frac1{n-1+\dfrac1{x_1}} \le x_n \le \frac1{n+1}. } \] \[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}nx_n=1. } \]Cet article propose une correction détaillée de l’exercice 49 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. L’exercice porte sur l’étude d’une suite récurrente, sa monotonie, sa convergence, son encadrement et le calcul de la limite de \(nx_n\).
Utiliser le raisonnement par récurrence, le théorème de convergence des suites monotones, l’étude d’une fonction et une somme télescopique pour encadrer une suite et déterminer une limite.
- Étudier le cas particulier \(a=1\).
- Montrer que la suite est décroissante et minorée lorsque \(a\gt1\).
- Déterminer sa limite.
- Étudier la monotonie de la fonction \(f_n\).
- Établir une première majoration de \(x_n\).
- Utiliser une relation entre les inverses de deux termes consécutifs.
- Encadrer \(x_n\), puis calculer la limite de \(nx_n\).
La relation entre les inverses : \[ \frac1{x_{k+1}}-\frac1{x_k} = (k+1)x_k \] permet d’obtenir une somme télescopique, puis un encadrement de \(x_n\). Cet encadrement permet enfin de calculer la limite de \(nx_n\).
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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