Correction des exercices 15 à 17 — Suites récurrentes et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 15
Soit \(f\) la fonction définie sur : \[ I=\left[0,\frac14\right] \] par : \[ f(x)=x^2+\frac34x. \] 1. Déterminer \(f(I)\).
2. On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=\frac15 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n) \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \] a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le\frac14. \] b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).
c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
d) Calculer sa limite.
1. Détermination de \(f(I)\)
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La fonction \(f\) est dérivable sur l’intervalle \(I\), et pour tout \(x\in I\) :
\[ f'(x)=2x+\frac34. \]Comme \(x\ge0\), on a :
\[ 2x+\frac34\gt0. \]Ainsi, la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\left[0,\frac14\right]\).
Par conséquent :
\[ f(I) = \left[ f(0), f\left(\frac14\right) \right]. \]Calculons les images des extrémités :
\[ f(0)=0. \]Et :
\[ \begin{aligned} f\left(\frac14\right) &= \left(\frac14\right)^2 + \frac34\cdot\frac14\\ &= \frac1{16}+\frac3{16}\\ &= \frac14. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{ f(I)=\left[0,\frac14\right]=I. } \]L’égalité \(f(I)=I\) montre que l’intervalle \(\left[0,\frac14\right]\) est stable par \(f\). Ainsi, si \(u_n\in I\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in I\).
2.a) Encadrement des termes de la suite
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Montrons par récurrence que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le\frac14. \]Pour \(n=0\), on a :
\[ u_0=\frac15. \]Or :
\[ 0\le\frac15\le\frac14. \]La propriété est donc vraie au rang \(0\).
Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ u_n\in I. \]Comme \(f(I)=I\), on obtient :
\[ f(u_n)\in I. \]Or :
\[ u_{n+1}=f(u_n). \]Donc :
\[ u_{n+1}\in I. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le\frac14. } \]2.b) Monotonie de la suite
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on calcule :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= u_n^2+\frac34u_n-u_n\\ &= u_n^2-\frac14u_n\\ &= u_n\left(u_n-\frac14\right). \end{aligned} \]Or, d’après la question précédente :
\[ 0\le u_n\le\frac14. \]Donc :
\[ u_n\ge0 \]et :
\[ u_n-\frac14\le0. \]Par conséquent :
\[ u_n\left(u_n-\frac14\right)\le0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}-u_n\le0. \]Donc :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante.}} \]2.c) Convergence de la suite
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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\).
D’après le théorème de convergence monotone, toute suite décroissante et minorée est convergente.
\[ \boxed{(u_n)\text{ est convergente.}} \]2.d) Calcul de la limite
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Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]Comme :
\[ 0\le u_n\le\frac14, \]on a nécessairement :
\[ 0\le\ell\le\frac14. \]La fonction \(f\) est continue sur \(I\). En passant à la limite dans :
\[ u_{n+1}=f(u_n), \]on obtient :
\[ \ell=f(\ell). \]Ainsi :
\[ \ell=\ell^2+\frac34\ell. \]Donc :
\[ \ell^2-\frac14\ell=0. \]En factorisant :
\[ \ell\left(\ell-\frac14\right)=0. \]Les solutions possibles sont :
\[ \ell=0 \qquad\text{ou}\qquad \ell=\frac14. \]Cependant, la suite est décroissante. Donc :
\[ u_n\le u_0=\frac15. \]Par passage à la limite :
\[ \ell\le\frac15. \]La valeur \(\frac14\) est donc impossible. Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. } \]Exercice 16
Soit \(g\) la fonction définie sur : \[ I=]1,+\infty[ \] par : \[ g(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}. \] 1. Montrer que, pour tout \(x\in I\) : \[ g(x)\ge3. \] 2. On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=5 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=g(u_n) \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \] a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad u_n\ge3. \] b) Montrer que la suite \((u_n)\) est monotone.
c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente, puis calculer sa limite.
1. Minoration de \(g(x)\)
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Soit \(x\in I\). On a alors \(x\gt1\), donc :
\[ x-1\gt0. \]Calculons :
\[ \begin{aligned} g(x)-3 &= \frac{x^2-3x+6}{x-1}-3\\ &= \frac{x^2-3x+6-3(x-1)}{x-1}\\ &= \frac{x^2-6x+9}{x-1}\\ &= \frac{(x-3)^2}{x-1}. \end{aligned} \]Comme :
\[ (x-3)^2\ge0 \]et :
\[ x-1\gt0, \]on obtient :
\[ g(x)-3\ge0. \]Donc :
\[ \boxed{ (\forall x\in I)\qquad g(x)\ge3. } \]2.a) Minoration des termes de la suite
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La minoration est demandée à partir du rang \(1\). Calculons d’abord \(u_1\) :
\[ \begin{aligned} u_1 &=g(u_0)\\ &=g(5)\\ &= \frac{5^2-3\cdot5+6}{5-1}\\ &= \frac{25-15+6}{4}\\ &=4. \end{aligned} \]Donc :
\[ u_1\ge3. \]Supposons maintenant que, pour un certain entier \(n\ge1\), on ait :
\[ u_n\ge3. \]Alors \(u_n\in I\), car \(u_n\gt1\). D’après la première question :
\[ g(u_n)\ge3. \]Or :
\[ u_{n+1}=g(u_n). \]Donc :
\[ u_{n+1}\ge3. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad u_n\ge3. } \]2.b) Monotonie de la suite
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Pour tout \(n\in\mathbb N\), on a :
\[ u_{n+1}-u_n=g(u_n)-u_n. \]Pour tout \(x\gt1\), calculons :
\[ \begin{aligned} g(x)-x &= \frac{x^2-3x+6}{x-1}-x\\ &= \frac{x^2-3x+6-x(x-1)}{x-1}\\ &= \frac{x^2-3x+6-x^2+x}{x-1}\\ &= \frac{-2x+6}{x-1}\\ &= \frac{2(3-x)}{x-1}. \end{aligned} \]Pour tout \(n\ge1\), on a \(u_n\ge3\). Donc :
\[ 3-u_n\le0 \]et :
\[ u_n-1\gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}-u_n = \frac{2(3-u_n)}{u_n-1} \le0. \]Donc, pour tout \(n\ge1\) :
\[ u_{n+1}\le u_n. \]De plus :
\[ u_1=4\lt5=u_0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante sur }\mathbb N.} \]2.c) Convergence et limite
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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(3\). D’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.
Notons :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]Comme \(u_n\ge3\) à partir du rang \(1\), on a :
\[ \ell\ge3. \]En particulier :
\[ \ell\gt1. \]La fonction \(g\) est continue sur \(]1,+\infty[\). En passant à la limite dans :
\[ u_{n+1}=g(u_n), \]on obtient :
\[ \ell=g(\ell). \]Donc :
\[ \ell= \frac{\ell^2-3\ell+6}{\ell-1}. \]Comme \(\ell-1\ne0\), on multiplie par \(\ell-1\) :
\[ \ell(\ell-1)=\ell^2-3\ell+6. \]Ainsi :
\[ \ell^2-\ell=\ell^2-3\ell+6. \]Donc :
\[ 2\ell=6. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=3. } \]Exercice 17
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+u_n^2 \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \] 1. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
2. Montrer par l’absurde que la suite \((u_n)\) n’est pas majorée.
3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1. Positivité et croissance de la suite
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Montrons d’abord que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. \]Pour \(n=0\) :
\[ u_0=1\gt0. \]Supposons que, pour un certain entier \(n\), on ait :
\[ u_n\gt0. \]Alors :
\[ u_{n+1}=u_n+u_n^2. \]Comme \(u_n\gt0\) et \(u_n^2\gt0\), on obtient :
\[ u_{n+1}\gt0. \]Par récurrence :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. \]Étudions maintenant la différence :
\[ u_{n+1}-u_n=u_n^2. \]Comme \(u_n\gt0\), on a :
\[ u_n^2\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}-u_n\gt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]2. Montrons par l’absurde que la suite n’est pas majorée
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Supposons, par l’absurde, que la suite \((u_n)\) soit majorée.
Comme elle est croissante et majorée, le théorème de convergence monotone permettrait de conclure qu’elle est convergente.
Notons alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell. \]En passant à la limite dans la relation :
\[ u_{n+1}=u_n+u_n^2, \]on obtient :
\[ \ell=\ell+\ell^2. \]Donc :
\[ \ell^2=0. \]Ainsi :
\[ \ell=0. \]Mais la suite est croissante et :
\[ u_0=1. \]Donc, pour tout \(n\in\mathbb N\) :
\[ u_n\ge1. \]Par passage à la limite, on devrait avoir :
\[ \ell\ge1. \]Cela contredit \(\ell=0\).
L’hypothèse selon laquelle \((u_n)\) est majorée est donc fausse.
\[ \boxed{(u_n)\text{ n’est pas majorée.}} \]3. Limite de la suite
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La suite \((u_n)\) est croissante et non majorée.
D’après le résultat du cours, toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty. } \]Cet article propose une correction détaillée des exercices 15 à 17 du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Ces exercices portent sur les suites récurrentes de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\), les intervalles stables, la monotonie, le théorème de convergence monotone et le calcul de la limite.
Apprendre à étudier une suite récurrente selon une démarche rigoureuse : vérifier que tous ses termes appartiennent à un intervalle donné, étudier son sens de variation, montrer qu’elle est bornée, puis utiliser la relation de récurrence pour déterminer sa limite.
Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), on suit généralement les étapes suivantes :
1. Vérifier que la suite est bien définie.
2. Montrer qu’un intervalle \(I\) est stable par \(f\).
3. Étudier le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
4. Utiliser le théorème de convergence monotone.
5. Si \(u_n\to\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors : \[ \ell=f(\ell). \] Il faut ensuite choisir la solution compatible avec les propriétés déjà démontrées.
Exercice 15 : on utilise un intervalle stable, la décroissance et l’équation du point fixe pour obtenir la limite \(0\).
Exercice 16 : on montre que les termes restent supérieurs ou égaux à \(3\), puis que la suite est décroissante et converge vers \(3\).
Exercice 17 : on étudie une suite croissante non majorée. Un raisonnement par l’absurde montre qu’elle ne peut pas avoir de limite finie, donc elle tend vers \(+\infty\).
L’équation \(\ell=f(\ell)\) ne prouve pas à elle seule qu’une suite converge. Il faut d’abord établir la convergence de la suite, puis utiliser la continuité de \(f\) pour déterminer les valeurs possibles de la limite.
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Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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