Correction des exercices 15 à 17 — Suites numériques — Manuel Al Moufid

Correction des exercices 15 à 17 — Suites numériques

Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques

15 16 17

Ces trois exercices approfondissent l’étude des suites récurrentes au niveau 2e Bac Sciences Mathématiques. La démarche centrale consiste à contrôler d’abord les termes de la suite, puis à étudier leur monotonie avant d’utiliser un résultat de convergence. Dans les exercices 15 et 16, on établit une stabilité ou une minoration, puis on obtient une suite décroissante et bornée. La limite est ensuite déterminée à partir de la relation de récurrence, après avoir justifié le passage à la limite par la continuité. L’exercice 17 présente l’autre situation importante du cours : une suite croissante dont on prouve qu’elle n’est pas majorée. À chaque étape, il faut donc identifier le résultat adapté, vérifier ses conditions d’application, puis interpréter ce que le calcul permet réellement de conclure.

Exercice 15

Énoncé

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=\left[0,\frac14\right]\) par :

\[ f(x)=x^2+\frac34x. \]

1.

Déterminer \(f(I)\).

2.

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=\frac15 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=f(u_n) \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

a) Montrer que :

\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le\frac14. \]

b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

d) Calculer sa limite.

1. Détermination de \(f(I)\)

Repère utile. Le signe de \(f'\) donne les variations de \(f\) sur \(I\).

Méthode. Vérifier \(f'(x)\gt0\), puis utiliser la croissance de \(f\) pour déterminer l’image de l’intervalle.

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La fonction \(f\) est dérivable sur \(I\) et, pour tout \(x\in I\) :

\[ f'(x)=2x+\frac34. \]

Comme \(x\ge0\), on a \(f'(x)\gt0\). Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(I\). Par conséquent :

\[ f(I)=\left[f(0),f\left(\frac14\right)\right]. \]

Or :

\[ f(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f\left(\frac14\right)=\frac1{16}+\frac3{16}=\frac14. \]

\[ \boxed{f(I)=\left[0,\frac14\right]=I.} \]

Interprétation. L’égalité \(f(I)=I\) montre que l’intervalle \(I\) est stable par \(f\) : si \(u_n\in I\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in I\).

2.a) Encadrement des termes

Repère de cours. Un intervalle stable permet de contrôler les termes d’une suite récurrente.

Méthode. Utiliser la récurrence avec \(u_0\in I\) et \(f(I)=I\).

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Montrons par récurrence que \(u_n\in I\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Initialisation. On a :

\[ u_0=\frac15 \qquad\text{et}\qquad 0\le\frac15\le\frac14. \]

Donc \(u_0\in I\).

Hérédité. Supposons que \(u_n\in I\) pour un certain \(n\in\mathbb N\). Comme \(f(I)=I\), on obtient :

\[ u_{n+1}=f(u_n)\in I. \]

Conclusion. Par récurrence, \(u_n\in I\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N)\qquad 0\le u_n\le\frac14.} \]

Interprétation. Tous les termes restent dans \(I\), ce qui fournira les signes et les bornes utiles ensuite.

2.b) Monotonie de la suite

Repère de cours. Le signe de \(u_{n+1}-u_n\) donne la monotonie.

Méthode. Factoriser la différence et exploiter l’encadrement obtenu en 2.a.

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Pour tout \(n\in\mathbb N\) :

\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &=u_n^2+\frac34u_n-u_n\\ &=u_n\left(u_n-\frac14\right). \end{aligned} \]

D’après la question précédente, \(u_n\ge0\) et \(u_n-\frac14\le0\). Ainsi :

\[ u_{n+1}-u_n\le0. \]

\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante.}} \]

Interprétation. La suite décroît tout en restant minorée par \(0\).

2.c) Convergence de la suite

Repère de cours. Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Méthode. La décroissance et la minoration par \(0\) vérifient exactement les conditions du théorème.

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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(0\). D’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

\[ \boxed{(u_n)\text{ est convergente.}} \]

Interprétation. Une limite réelle existe ; il reste à en déterminer la valeur.

2.d) Calcul de la limite

Repère de cours. Après convergence, la continuité permet d’obtenir l’équation vérifiée par la limite.

Méthode. Passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), puis retenir la solution compatible avec les résultats précédents.

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Notons \(\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\). Comme \(0\le u_n\le\frac14\), on a \(0\le\ell\le\frac14\).

La fonction \(f\) est continue sur \(I\). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), on obtient :

\[ \ell=f(\ell)=\ell^2+\frac34\ell. \]

Donc :

\[ \ell\left(\ell-\frac14\right)=0, \]

d’où \(\ell=0\) ou \(\ell=\frac14\).

Or la suite est décroissante, donc \(u_n\le u_0=\frac15\). Par passage à la limite, \(\ell\le\frac15\), ce qui exclut \(\ell=\frac14\).

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=0.} \]

Interprétation. La seule limite compatible avec la décroissance à partir de \(u_0=\frac15\) est \(0\).

Exercice 16

Énoncé

Soit \(g\) la fonction définie sur \(I=]1,+\infty[\) par :

\[ g(x)=\frac{x^2-3x+6}{x-1}. \]

1.

Montrer que, pour tout \(x\in I\) :

\[ g(x)\ge3. \]

2.

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=5 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=g(u_n) \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

a) Montrer que :

\[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad u_n\ge3. \]

b) Montrer que la suite \((u_n)\) est monotone.

c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente, puis calculer sa limite.

1. Minoration de \(g(x)\)

Repère utile. Pour montrer \(g(x)\ge3\), on étudie le signe de \(g(x)-3\).

Méthode. Mettre le numérateur sous forme d’un carré et utiliser \(x-1\gt0\) sur \(I\).

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Soit \(x\in I\). Alors \(x\gt1\), donc \(x-1\gt0\). Calculons :

\[ \begin{aligned} g(x)-3 &=\frac{x^2-3x+6}{x-1}-3\\ &=\frac{x^2-6x+9}{x-1}\\ &=\frac{(x-3)^2}{x-1}. \end{aligned} \]

Comme \((x-3)^2\ge0\) et \(x-1\gt0\), on a \(g(x)-3\ge0\).

\[ \boxed{(\forall x\in I)\qquad g(x)\ge3.} \]

Interprétation. L’image d’un élément de \(I\) reste au moins égale à \(3\), donc strictement supérieure à \(1\).

2.a) Minoration des termes

Repère de cours. Une propriété sur les termes peut être propagée par récurrence.

Méthode. Vérifier \(u_1\ge3\), puis appliquer la minoration de \(g\) lorsque \(u_n\in I\).

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La minoration est demandée à partir du rang \(1\). Calculons :

\[ u_1=g(5)=\frac{25-15+6}{4}=4\ge3. \]

Supposons que \(u_n\ge3\) pour un certain entier \(n\ge1\). Alors \(u_n\in I\), et la première question donne :

\[ u_{n+1}=g(u_n)\ge3. \]

Par récurrence, tous les termes sont ainsi définis et :

\[ \boxed{(\forall n\in\mathbb N^*)\qquad u_n\ge3.} \]

Interprétation. À partir du rang \(1\), les termes restent dans \([3,+\infty[\subset I\).

2.b) Monotonie de la suite

Repère de cours. On étudie la monotonie par le signe de \(u_{n+1}-u_n\).

Méthode. Simplifier \(g(x)-x\), puis utiliser \(u_n\ge3\) et \(u_n-1\gt0\).

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Pour tout \(x\gt1\) :

\[ \begin{aligned} g(x)-x &=\frac{x^2-3x+6-x(x-1)}{x-1}\\ &=\frac{2(3-x)}{x-1}. \end{aligned} \]

Pour tout \(n\ge1\), on a \(u_n\ge3\). Ainsi, \(3-u_n\le0\) et \(u_n-1\gt0\), donc :

\[ u_{n+1}-u_n=\frac{2(3-u_n)}{u_n-1}\le0. \]

De plus, \(u_1=4\lt5=u_0\). Par conséquent :

\[ \boxed{(u_n)\text{ est décroissante sur }\mathbb N.} \]

Interprétation. Avec \(u_1\lt u_0\), la décroissance vaut sur tout \(\mathbb N\).

2.c) Convergence et limite

Repère de cours. Une suite décroissante et minorée converge ; la continuité permet ensuite le passage à la limite.

Méthode. Appliquer d’abord la convergence monotone, puis l’équation de point fixe sur \(]1,+\infty[\).

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La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(3\). D’après le théorème de convergence monotone, elle est convergente.

Notons \(\ell=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\). Comme \(u_n\ge3\) pour \(n\ge1\), on a \(\ell\ge3\), donc \(\ell\gt1\).

La fonction \(g\) est continue sur \(]1,+\infty[\). En passant à la limite dans \(u_{n+1}=g(u_n)\), on obtient :

\[ \ell=\frac{\ell^2-3\ell+6}{\ell-1}. \]

Comme \(\ell-1\ne0\), on peut multiplier par \(\ell-1\) :

\[ \ell(\ell-1)=\ell^2-3\ell+6, \]

d’où \(2\ell=6\), puis \(\ell=3\).

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=3.} \]

Interprétation. La suite décroît vers la borne \(3\), qui vérifie aussi l’équation de point fixe.

Exercice 17

Énoncé

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0=1 \qquad\text{et}\qquad u_{n+1}=u_n+u_n^2 \quad\text{pour tout }n\in\mathbb N. \]

1.

Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

2.

Montrer par l’absurde que la suite \((u_n)\) n’est pas majorée.

3.

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

1. Positivité et croissance de la suite

Repère de cours. La croissance se déduit du signe de \(u_{n+1}-u_n\).

Méthode. Établir d’abord la positivité, puis étudier la différence de deux termes consécutifs.

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Montrons d’abord par récurrence que \(u_n\gt0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Initialisation. \(u_0=1\gt0\).

Hérédité. Si \(u_n\gt0\), alors :

\[ u_{n+1}=u_n+u_n^2\gt0. \]

Conclusion. \(u_n\gt0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Par ailleurs :

\[ u_{n+1}-u_n=u_n^2\gt0. \]

\[ \boxed{(u_n)\text{ est strictement croissante.}} \]

Interprétation. La suite augmente strictement et vérifie en particulier \(u_n\ge1\).

2. Caractère non majoré

Repère de cours. Une suite croissante et majorée est convergente.

Méthode. Supposer la majoration, obtenir une limite finie, puis faire apparaître une contradiction.

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Supposons, par l’absurde, que la suite \((u_n)\) soit majorée. Comme elle est croissante, le théorème de convergence monotone permettrait d’affirmer qu’elle converge vers un réel \(\ell\).

En passant à la limite dans la relation \(u_{n+1}=u_n+u_n^2\), les fonctions polynomiales étant continues, on obtiendrait :

\[ \ell=\ell+\ell^2. \]

Donc \(\ell^2=0\), puis \(\ell=0\).

Mais la suite est croissante et \(u_0=1\), donc \(u_n\ge1\) pour tout \(n\in\mathbb N\). Par passage à la limite, on aurait \(\ell\ge1\), ce qui contredit \(\ell=0\).

\[ \boxed{(u_n)\text{ n’est pas majorée.}} \]

Interprétation. La suite est donc à la fois croissante et non majorée.

3. Limite de la suite

Repère de cours. Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

Méthode. Les deux conditions étant déjà établies, le résultat du cours s’applique directement.

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La suite \((u_n)\) est croissante et non majorée. D’après le résultat du cours, toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty.} \]

Interprétation. Les termes dépassent toute borne réelle lorsque le rang devient suffisamment grand.

Repères méthodologiques

• Pour une suite définie par \(u_{n+1}=f(u_n)\), on vérifie d’abord que tous les termes sont définis, souvent grâce à un intervalle stable par \(f\).
• L’équation \(\ell=f(\ell)\) ne prouve pas la convergence : elle s’utilise seulement après avoir établi l’existence de la limite et justifié le passage à la limite par la continuité de \(f\).
• Une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\) ; une suite décroissante et minorée est convergente.

Conclusion générale

Ces exercices montrent qu’une étude de suite récurrente se construit par étapes : contrôle des termes, monotonie, bornes, convergence, puis calcul de la limite lorsque celui-ci est justifié. L’équation de point fixe n’intervient donc qu’après l’existence de la limite. Lorsque la suite est au contraire croissante et non majorée, le cours permet de conclure directement qu’elle tend vers \(+\infty\).

Ressources liées

• Suites numériques — Al Moufid
• Al Moufid — 2e Bac Sciences Mathématiques

Correction rédigée par Professeur Hammou Boudraa — Parcours Maths Maroc (PMM)
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt

Note : Ce site est une ressource pédagogique indépendante et n'est pas affilié aux éditeurs du manuel Al Moufid.