Parcours Maths Maroc

Correction du Devoir 3 — Moyennes arithmétiques et convergence des suites Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu du devoir 3 Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Énoncé : Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite réelle. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ S_n=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}. \] 1. On suppose que \(u_n\longrightarrow0\). a) Soit \(\varepsilon\gt0\). Montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\) : \[ |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n}+\varepsilon, \] où \(M\) est une constante dépendant des premiers termes de la suite. b) En déduire que : \[ S_n\longrightarrow0. \] 2. On considère la suite définie par : \[ u_n=(-1)^n. \] Étudier la convergence de \((S_n)\) et comparer avec celle de \((u_n)\). 3. On suppose que : \[ u_n\longrightarrow\ell. \] Montrer que : \[ ...

Correction des exercices 37 à 39 — Suites associées, contraction et convergence Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques Menu des exercices Exercice 37 Exercice 38 Exercice 39 Exercice 37 Énoncé : On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=2\pi \] et : \[ u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n} + \cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right) \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0 \] et : \[ \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \] 2. Montrer que la suite \(\left(\frac1{u_n}\right)\) est arithmétique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\). 3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\). 1. Positivité et congruence Lire la réponse + Masquer la réponse − Montrons simultanément par récurrence que : \[ u_n\gt0 \] et : \[ \f...