Correction du Devoir 3 — Moyennes arithmétiques et convergence des suites
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Soit \((u_n)_{n\ge1}\) une suite réelle. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ S_n=\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}. \] 1. On suppose que \(u_n\longrightarrow0\).
a) Soit \(\varepsilon\gt0\). Montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que, pour tout \(n\ge n_0\) : \[ |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n}+\varepsilon, \] où \(M\) est une constante dépendant des premiers termes de la suite.
b) En déduire que : \[ S_n\longrightarrow0. \]
2. On considère la suite définie par : \[ u_n=(-1)^n. \] Étudier la convergence de \((S_n)\) et comparer avec celle de \((u_n)\).
3. On suppose que : \[ u_n\longrightarrow\ell. \] Montrer que : \[ S_n\longrightarrow\ell. \]
4. On suppose que : \[ u_n\longrightarrow+\infty. \] Montrer que : \[ S_n\longrightarrow+\infty. \]
1. Cas où \(u_n\longrightarrow0\)
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Soit \(\varepsilon\gt0\).
Puisque :
\[ u_n\longrightarrow0, \]il existe un entier \(n_0\ge1\) tel que :
\[ (\forall n\ge n_0)\qquad |u_n|\le\varepsilon. \]1.a) Majoration de \(|S_n|\)
Les termes :
\[ u_1,u_2,\ldots,u_{n_0-1} \]sont en nombre fini.
Lorsque \(n_0\ge2\), posons :
\[ M = \max \left( |u_1|, |u_2|, \ldots, |u_{n_0-1}| \right). \]Si \(n_0=1\), la première somme est vide et on peut prendre :
\[ M=0. \]Pour tout entier \(n\ge n_0\) :
\[ S_n = \frac{ u_1+\cdots+u_{n_0-1} + u_{n_0}+\cdots+u_n }{n}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} |S_n| &\le \frac{ |u_1|+\cdots+|u_{n_0-1}| }{n}\\ &\quad+ \frac{ |u_{n_0}|+\cdots+|u_n| }{n}. \end{aligned} \]D’une part :
\[ |u_1|+\cdots+|u_{n_0-1}| \le M(n_0-1). \]D’autre part, pour tout \(k\ge n_0\) :
\[ |u_k|\le\varepsilon. \]La somme :
\[ |u_{n_0}|+\cdots+|u_n| \]contient \(n-n_0+1\) termes. Donc :
\[ |u_{n_0}|+\cdots+|u_n| \le (n-n_0+1)\varepsilon. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} |S_n| &\le \frac{M(n_0-1)}{n} + \frac{(n-n_0+1)\varepsilon}{n}\\ &\le \frac{M(n_0-1)}{n} + \varepsilon. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ (\forall n\ge n_0)\qquad |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n} + \varepsilon. } \]1.b) Limite de \((S_n)\)
Soit \(\eta\gt0\).
Comme :
\[ u_n\longrightarrow0, \]il existe un entier \(n_0\ge1\) tel que :
\[ (\forall n\ge n_0)\qquad |u_n|\le\frac{\eta}{2}. \]D’après la question précédente :
\[ |S_n| \le \frac{M(n_0-1)}{n} + \frac{\eta}{2}. \]Or :
\[ \frac{M(n_0-1)}{n}\longrightarrow0. \]Il existe donc un entier \(N\ge n_0\) tel que :
\[ (\forall n\ge N)\qquad \frac{M(n_0-1)}{n} \le \frac{\eta}{2}. \]Ainsi, pour tout \(n\ge N\) :
\[ |S_n| \le \frac{\eta}{2} + \frac{\eta}{2} = \eta. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=0. } \]On sépare la somme en deux parties : les premiers termes, qui sont en nombre fini, puis les termes situés après le rang \(n_0\), qui sont tous petits en valeur absolue.
2. Cas où \(u_n=(-1)^n\)
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Pour tout entier \(n\ge1\) :
\[ u_n=(-1)^n. \]On a donc :
\[ S_n = \frac{ -1+1-1+1-\cdots+(-1)^n }{n}. \]Rangs pairs
Pour \(n=2p\) :
\[ u_1+u_2+\cdots+u_{2p}=0. \]Donc :
\[ S_{2p}=0. \]Rangs impairs
Pour \(n=2p+1\) :
\[ u_1+u_2+\cdots+u_{2p+1}=-1. \]Donc :
\[ S_{2p+1} = -\frac1{2p+1}. \]Ainsi :
\[ S_{2p}\longrightarrow0 \]et :
\[ S_{2p+1}\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=0. } \]Cependant, la suite \((u_n)\) n’est pas convergente, car :
\[ u_{2p}=1 \]et :
\[ u_{2p+1}=-1. \]3. Cas où \(u_n\longrightarrow\ell\)
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On suppose que :
\[ u_n\longrightarrow\ell. \]Posons :
\[ v_n=u_n-\ell. \]Alors :
\[ v_n\longrightarrow0. \]D’après la question 1 :
\[ \frac{v_1+v_2+\cdots+v_n}{n} \longrightarrow0. \]Or :
\[ \begin{aligned} \frac{v_1+v_2+\cdots+v_n}{n} &= \frac{ (u_1-\ell)+(u_2-\ell)+\cdots+(u_n-\ell) }{n}\\ &= \frac{ u_1+u_2+\cdots+u_n-n\ell }{n}\\ &= S_n-\ell. \end{aligned} \]Donc :
\[ S_n-\ell\longrightarrow0. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=\ell. } \]4. Cas où \(u_n\longrightarrow+\infty\)
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On suppose que :
\[ u_n\longrightarrow+\infty. \]Montrons que :
\[ S_n\longrightarrow+\infty. \]Soit \(A\gt0\).
Puisque :
\[ u_n\longrightarrow+\infty, \]il existe un entier \(n_0\ge1\) tel que :
\[ (\forall n\ge n_0)\qquad u_n\ge2A. \]Posons :
\[ C=u_1+u_2+\cdots+u_{n_0-1}. \]Pour tout entier \(n\ge n_0\) :
\[ \begin{aligned} S_n &= \frac{ C+u_{n_0}+u_{n_0+1}+\cdots+u_n }{n}\\ &\ge \frac{C}{n} + \frac{2A(n-n_0+1)}{n}. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac{C}{n} + \frac{2A(n-n_0+1)}{n} \longrightarrow2A. \]Il existe donc un entier \(N\ge n_0\) tel que, pour tout \(n\ge N\) :
\[ \frac{C}{n} + \frac{2A(n-n_0+1)}{n} \ge A. \]Ainsi :
\[ (\forall n\ge N)\qquad S_n\ge A. \]Comme \(A\gt0\) est arbitraire :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty. } \]Cet article propose une correction détaillée du Devoir 3 de la partie Problèmes de synthèse — Se préparer aux devoirs du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid.
Étudier le comportement de la moyenne arithmétique des premiers termes d’une suite, établir des résultats de convergence et examiner si leurs réciproques sont vraies.
Lorsque la suite \((u_n)\) possède une limite réelle, la moyenne arithmétique de ses \(n\) premiers termes possède la même limite. La réciproque n’est pas toujours vraie.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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