Correction des exercices 37 à 39 — Suites associées, contraction et convergence
Al Moufid — Suites numériques — 2e Bac Sciences Mathématiques
Exercice 37
On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=2\pi \] et : \[ u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n} + \cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right) \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0 \] et : \[ \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \] 2. Montrer que la suite \(\left(\frac1{u_n}\right)\) est arithmétique, puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1. Positivité et congruence
Lire la réponse +
Montrons simultanément par récurrence que :
\[ u_n\gt0 \]et :
\[ \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \]Initialisation
Pour \(n=0\) :
\[ u_0=2\pi\gt0. \]De plus :
\[ \frac{\pi^2}{u_0} = \frac{\pi^2}{2\pi} = \frac{\pi}{2}. \]Donc :
\[ \frac{\pi^2}{u_0} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \]Hérédité
Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ u_n\gt0 \]et :
\[ \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \]Il existe alors un entier relatif \(k\) tel que :
\[ \frac{\pi^2}{u_n} = \frac{\pi}{2}+2k\pi. \]Par périodicité de la fonction cosinus :
\[ \cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}+2k\pi\right) = 0. \]La relation de récurrence devient donc :
\[ u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n}. \]Comme :
\[ \pi u_n\gt0 \]et :
\[ \pi+2u_n\gt0, \]on obtient :
\[ u_{n+1}\gt0. \]D’autre part :
\[ \begin{aligned} \frac{\pi^2}{u_{n+1}} &= \frac{ \pi^2(\pi+2u_n) }{ \pi u_n }\\ &= \frac{\pi^2}{u_n}+2\pi. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \frac{\pi^2}{u_{n+1}} \equiv \frac{\pi^2}{u_n} \pmod{2\pi}. \]D’après l’hypothèse de récurrence :
\[ \frac{\pi^2}{u_{n+1}} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0 } \]et :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad \frac{\pi^2}{u_n} \equiv \frac{\pi}{2} \pmod{2\pi}. } \]La congruence permet d’obtenir : \[ \cos\left(\frac{\pi^2}{u_n}\right)=0. \] La relation de récurrence, qui semblait compliquée, devient alors une relation homographique simple.
2. Étude de la suite réciproque
Lire la réponse +
Nous avons montré que :
\[ u_{n+1} = \frac{\pi u_n}{\pi+2u_n}. \]Comme \(u_n\gt0\), on peut prendre les inverses :
\[ \begin{aligned} \frac1{u_{n+1}} &= \frac{\pi+2u_n}{\pi u_n}\\ &= \frac{\pi}{\pi u_n} + \frac{2u_n}{\pi u_n}\\ &= \frac1{u_n}+\frac2\pi. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ \frac1{u_{n+1}} = \frac1{u_n}+\frac2\pi. } \]La suite :
\[ \left(\frac1{u_n}\right) \]est donc arithmétique de raison :
\[ \boxed{\frac2\pi}. \]Son premier terme est :
\[ \frac1{u_0} = \frac1{2\pi}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} \frac1{u_n} &= \frac1{u_0} + n\frac2\pi\\ &= \frac1{2\pi} + \frac{2n}{\pi}. \end{aligned} \]En réduisant au même dénominateur :
\[ \frac1{u_n} = \frac{4n+1}{2\pi}. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ u_n = \frac{2\pi}{4n+1}. } \]3. Limite de la suite
Lire la réponse +
On a :
\[ u_n = \frac{2\pi}{4n+1}. \]Or :
\[ 4n+1\longrightarrow+\infty. \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=0. } \]Exercice 38
Soit : \[ a\in\mathbb R_+^*. \] On considère la suite \((u_n)\) définie par : \[ u_0=\alpha, \qquad \alpha\gt\sqrt[3]{a}, \] et : \[ u_{n+1} = \frac13 \left( 2u_n+\frac{a}{u_n^2} \right) \qquad(\forall n\in\mathbb N). \] 1.a) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. \] 1.b) Montrer que : \[ u_{n+1}-\sqrt[3]{a} = \frac{ 2u_n+\sqrt[3]{a} }{ 3u_n^2 } \left( u_n-\sqrt[3]{a} \right)^2. \] 1.c) Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt\sqrt[3]{a}, \] puis en déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
2.a) Montrer que : \[ u_{n+1}-\sqrt[3]{a} \le \frac23 \left( u_n-\sqrt[3]{a} \right). \] 2.b) En déduire que : \[ u_{n+1}-\sqrt[3]{a} \le \left(\frac23\right)^n \left( u_0-\sqrt[3]{a} \right). \] 2.c) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
1.a) Positivité de la suite
Lire la réponse +
Posons :
\[ r=\sqrt[3]{a}. \]Ainsi :
\[ a=r^3 \qquad\text{et}\qquad r\gt0. \]On a :
\[ u_0=\alpha\gt r\gt0. \]Supposons que, pour un certain entier \(n\in\mathbb N\), on ait :
\[ u_n\gt0. \]Alors :
\[ 2u_n\gt0 \]et :
\[ \frac{a}{u_n^2}\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1} = \frac13 \left( 2u_n+\frac{a}{u_n^2} \right) \gt0. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt0. } \]1.b) Factorisation de l’écart à \(r\)
Lire la réponse +
On a :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-r &= \frac13 \left( 2u_n+\frac{r^3}{u_n^2} \right) -r\\ &= \frac{ 2u_n^3+r^3-3ru_n^2 }{ 3u_n^2 }. \end{aligned} \]Or :
\[ 2u_n^3-3ru_n^2+r^3 = (2u_n+r)(u_n-r)^2. \]Donc :
\[ \boxed{ u_{n+1}-r = \frac{2u_n+r}{3u_n^2} (u_n-r)^2. } \]C’est-à-dire :
\[ \boxed{ u_{n+1}-\sqrt[3]{a} = \frac{ 2u_n+\sqrt[3]{a} }{ 3u_n^2 } \left( u_n-\sqrt[3]{a} \right)^2. } \]1.c) Minoration, monotonie et convergence
Lire la réponse +
Montrons que :
\[ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt r. \]Cette propriété est vraie au rang \(0\), puisque :
\[ u_0=\alpha\gt r. \]Supposons que :
\[ u_n\gt r. \]Dans l’identité précédente :
\[ u_{n+1}-r = \frac{2u_n+r}{3u_n^2} (u_n-r)^2, \]le coefficient :
\[ \frac{2u_n+r}{3u_n^2} \]est strictement positif et :
\[ (u_n-r)^2\gt0. \]Donc :
\[ u_{n+1}-r\gt0. \]Ainsi :
\[ u_{n+1}\gt r. \]Par récurrence :
\[ \boxed{ (\forall n\in\mathbb N)\qquad u_n\gt r=\sqrt[3]{a}. } \]Étudions maintenant la monotonie :
\[ \begin{aligned} u_{n+1}-u_n &= \frac13 \left( 2u_n+\frac{a}{u_n^2} \right) -u_n\\ &= \frac{ a-u_n^3 }{ 3u_n^2 }. \end{aligned} \]Comme :
\[ u_n\gt r, \]on a :
\[ u_n^3\gt r^3=a. \]Donc :
\[ a-u_n^3\lt0. \]Le dénominateur étant strictement positif :
\[ u_{n+1}-u_n\lt0. \]Ainsi :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est strictement décroissante}. } \]La suite est décroissante et minorée par \(r\). D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (u_n)\text{ est convergente}. } \]2.a) Inégalité de contraction
Lire la réponse +
On part de :
\[ u_{n+1}-r = \frac{2u_n+r}{3u_n^2} (u_n-r)^2. \]Comme \(u_n-r\gt0\), on écrit :
\[ u_{n+1}-r = \frac{ (2u_n+r)(u_n-r) }{ 3u_n^2 } (u_n-r). \]Or :
\[ \begin{aligned} (2u_n+r)(u_n-r) &= 2u_n^2-ru_n-r^2\\ &\le 2u_n^2. \end{aligned} \]Donc :
\[ \frac{ (2u_n+r)(u_n-r) }{ 3u_n^2 } \le \frac23. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ u_{n+1}-r \le \frac23(u_n-r). } \]C’est-à-dire :
\[ \boxed{ u_{n+1}-\sqrt[3]{a} \le \frac23 \left( u_n-\sqrt[3]{a} \right). } \]2.b) Itération de l’inégalité
Lire la réponse +
En appliquant successivement l’inégalité précédente :
\[ u_n-r \le \left(\frac23\right)^n (u_0-r). \]Donc :
\[ u_{n+1}-r \le \left(\frac23\right)^{n+1} (u_0-r). \]Comme :
\[ 0\lt\frac23\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac23\right)^{n+1} \le \left(\frac23\right)^n. \]On retrouve donc l’inégalité demandée :
\[ \boxed{ u_{n+1}-r \le \left(\frac23\right)^n (u_0-r). } \]L’itération fournit en réalité l’encadrement plus précis : \[ u_{n+1}-r \le \left(\frac23\right)^{n+1} (u_0-r). \] L’encadrement demandé dans le manuel est donc correct, mais légèrement moins précis.
2.c) Limite de la suite
Lire la réponse +
On a :
\[ 0 \lt u_{n+1}-r \le \left(\frac23\right)^n (u_0-r). \]Or :
\[ \left(\frac23\right)^n (u_0-r) \longrightarrow0. \]D’après le théorème d’encadrement :
\[ u_{n+1}-r\longrightarrow0. \]Donc :
\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n = r = \sqrt[3]{a}. } \]Exercice 39
Soit \((u_n)\) une suite croissante et majorée. Pour tout entier \(n\ge1\), on pose : \[ v_n = \frac{ u_1+u_2+\cdots+u_n }{n}. \] 1. Montrer que la suite \((v_n)\) est croissante.
2. En déduire que la suite \((v_n)\) est convergente.
1. Monotonie de la suite \((v_n)\)
Lire la réponse +
D’après la définition :
\[ nv_n = u_1+u_2+\cdots+u_n. \]Donc :
\[ \begin{aligned} v_{n+1} &= \frac{ u_1+u_2+\cdots+u_n+u_{n+1} }{ n+1 }\\ &= \frac{ nv_n+u_{n+1} }{ n+1 }. \end{aligned} \]Calculons la différence :
\[ \begin{aligned} v_{n+1}-v_n &= \frac{ nv_n+u_{n+1} }{ n+1 } - v_n\\ &= \frac{ nv_n+u_{n+1}-(n+1)v_n }{ n+1 }\\ &= \frac{ u_{n+1}-v_n }{ n+1 }. \end{aligned} \]Comme la suite \((u_n)\) est croissante :
\[ u_1 \le u_2 \le \cdots \le u_n \le u_{n+1}. \]Donc, pour tout entier \(k\) tel que \(1\le k\le n\) :
\[ u_k\le u_{n+1}. \]En sommant :
\[ u_1+u_2+\cdots+u_n \le nu_{n+1}. \]En divisant par \(n\gt0\) :
\[ v_n\le u_{n+1}. \]Par conséquent :
\[ u_{n+1}-v_n\ge0. \]Ainsi :
\[ v_{n+1}-v_n\ge0. \]Donc :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est croissante}. } \]2. Majoration et convergence
Lire la réponse +
La suite \((u_n)\) est majorée. Il existe donc un réel \(M\) tel que :
\[ u_n\le M \qquad(\forall n\in\mathbb N). \]En particulier :
\[ u_1\le M, \quad u_2\le M, \quad\ldots,\quad u_n\le M. \]En sommant :
\[ u_1+u_2+\cdots+u_n \le nM. \]En divisant par \(n\gt0\) :
\[ v_n \le M. \]Donc :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est majorée}. } \]La suite \((v_n)\) est croissante et majorée. D’après le théorème de convergence monotone :
\[ \boxed{ (v_n)\text{ est convergente}. } \]L’énoncé demande seulement de démontrer la convergence de \((v_n)\). Il n’est pas nécessaire ici de démontrer que \((v_n)\) et \((u_n)\) ont la même limite.
Cet article propose une correction détaillée des exercices 37 à 39 de la partie Exercices de perfectionnement du chapitre Suites numériques du manuel Al Moufid. Ces exercices utilisent des suites associées pour simplifier les études : suite réciproque, écart à une racine cubique et suite des moyennes arithmétiques.
Savoir choisir une transformation adaptée à la suite étudiée : prendre l’inverse d’une relation homographique, contrôler l’écart entre une suite et un point fixe, ou étudier la moyenne des premiers termes d’une suite croissante.
- Utiliser une congruence pour simplifier une relation trigonométrique.
- Transformer une suite récurrente en suite arithmétique en prenant les inverses.
- Factoriser l’écart entre \(u_{n+1}\) et un point fixe.
- Établir une inégalité de contraction.
- Comparer une moyenne arithmétique au plus grand terme d’une suite croissante.
- Appliquer le théorème de convergence monotone.
Une suite associée bien choisie peut transformer une relation compliquée en une suite arithmétique, faire apparaître une contraction ou permettre d’utiliser directement le théorème de convergence monotone.
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Commentaires
Enregistrer un commentaire