Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 24 à 27 — Nombre dérivé et monotonie — Al Moufid Menu des exercices Exercice 24 Exercice 25 Exercice 26 Exercice 27 Exercice 24 — Limites et nombre dérivé de la fonction Arctan 1) Soit \(a\) un réel quelconque. Montrer que : \[ \lim_{x\to a} \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{x-a} = \frac{1}{1+a^2}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et : \[ (\operatorname{Arctan})'(a)=\frac{1}{1+a^2}. \] Par définition du nombre dérivé en \(a\) : \[ \boxed{ \lim_{x\to a} \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{x-a} = \frac{1}{1+a^2}} \] 2-a) Calculer : \[ \lim_{x\to1} \frac{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}{x-1}. \] ...

Correction des exercices 17 à 19 — Calcul des dérivées de fonctions composées — Al Moufid Menu des exercices Exercice 17 Exercice 18 Exercice 19 Exercice 17 — Fonctions composées, quotients et trigonométrie 1) Fonction avec racine carrée \[ f(x)=\cos\left(3x+4\sqrt{x}\right). \] Lire la réponse + Masquer la réponse − La racine carrée impose \(x\geq0\). Ainsi : \[ D_f=[0;+\infty[. \] Pour \(x\gt0\), posons \(u(x)=3x+4\sqrt{x}\). Alors : \[ u'(x)=3+\frac2{\sqrt{x}}. \] Par dérivation d’une fonction composée : \[ \boxed{ f'(x)= -\left(3+\frac2{\sqrt{x}}\right) \sin\left(3x+4\sqrt{x}\right) }, \qquad x\gt0. \] Étudions aussi l’extrémité \(0\). Comme \(f(0)=1\) : \[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{\cos\left(3x+4\sqrt{x}\right)-1} {\left(3x+4\sqrt{x}\right)^2} \cdot \frac{\left(3x+4\sqrt{x}\right)^2}{x}. \] Or : \[ \lim_{t\to0}\frac{\cos t-1}{t^2}=-\frac12 \] et : \[ \lim_{x\to0^+} \frac{\left(3x+4\sqrt{x}\right)^2}{x} = 16. \] \[ \boxed{f...