Correction des exercices 24 à 27 — Dérivation et étude des fonctions
Manuel Al Moufid · 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 24 à 27 prolongent l’étude de la dérivation en faisant intervenir plusieurs lectures complémentaires du nombre dérivé. On commence par utiliser la dérivée de la fonction Arctangente pour calculer des limites, puis on exploite graphiquement le lien entre dérivée, pente d’une tangente et variations d’une fonction. Les exercices suivants demandent de calculer une dérivée, d’en étudier le signe et d’en déduire les intervalles de monotonie ainsi que les extrema. Une attention particulière doit être portée aux domaines de définition et aux extrémités des intervalles, où la dérivabilité peut être seulement à droite. L’objectif est de reconnaître, avant chaque calcul, la propriété du cours qui permet de passer correctement de la dérivée à l’information recherchée sur la fonction ou sur sa courbe.
Exercice 24 — Limites et nombre dérivé de la fonction Arctan
La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est définie et dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ (\operatorname{Arctan})'(x)=\frac1{1+x^2}. \]Ainsi, lorsqu’un quotient prend la forme \[ \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{x-a}, \] on reconnaît directement la définition du nombre dérivé de \(\operatorname{Arctan}\) au point \(a\). Si le numérateur ou le dénominateur contient un facteur supplémentaire, il faut d’abord le mettre en évidence.
Soit \(a\) un réel quelconque. Montrer que :
\[ \lim_{x\to a} \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{x-a} = \frac{1}{1+a^2}. \]Afficher la correction Masquer la correction
La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\[ (\operatorname{Arctan})'(a)=\frac{1}{1+a^2}. \]Par définition du nombre dérivé en \(a\) :
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Comme \(\operatorname{Arctan}(1)=\dfrac{\pi}{4}\), la limite est le nombre dérivé de \(\operatorname{Arctan}\) en \(1\) :
\[ (\operatorname{Arctan})'(1)=\frac{1}{1+1^2}. \]Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(\operatorname{Arctan}(\sqrt3)=\dfrac{\pi}{3}\), on obtient :
\[ (\operatorname{Arctan})'(\sqrt3) = \frac{1}{1+(\sqrt3)^2}. \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons \(a=-\dfrac{\sqrt3}{3}\). On a :
\[ \operatorname{Arctan}(a)=-\frac{\pi}{6} \qquad\text{et}\qquad 3x+\sqrt3=3(x-a). \]Donc :
\[ \lim_{x\to a} \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{3(x-a)} = \frac13\,(\operatorname{Arctan})'(a). \]Or :
\[ (\operatorname{Arctan})'(a) = \frac{1}{1+a^2} = \frac{1}{1+\frac13} = \frac34. \]Afficher la correction Masquer la correction
Comme \(\operatorname{Arctan}(-1)=-\dfrac{\pi}{4}\), on écrit :
\[ 4\operatorname{Arctan}x+\pi = 4\left(\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}(-1)\right). \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to-1} \frac{4\operatorname{Arctan}x+\pi}{x+1} = 4(\operatorname{Arctan})'(-1) = \frac{4}{1+(-1)^2}. \]Exercice 25 — Lecture graphique de la dérivée et variations
Le nombre dérivé \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\). Une tangente horizontale a donc pour coefficient directeur \(0\), ce qui correspond à \(f'(a)=0\).
Le signe de la dérivée permet également de lire les variations : lorsque \(f'(x)\geq0\), la fonction est croissante sur l’intervalle considéré ; lorsque \(f'(x)\leq0\), elle est décroissante. Le graphique permet ici de retrouver directement ces informations.
Le dessin suivant présente la courbe d’une fonction \(f\) sur l’intervalle \([-3;3]\) :
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Le nombre dérivé \(f'(x)\) est nul lorsque la tangente à la courbe est horizontale.
Le graphique montre deux tangentes horizontales, aux abscisses \(-2\) et \(1\).
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Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(-2\) :
\[ \lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=f'(-2). \]La tangente étant horizontale en \(-2\), \(f'(-2)=0\).
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Le graphique donne \(f(2)=0\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2). \]La tangente tracée au point d’abscisse \(2\) passe par \((1;1)\), \((2;0)\) et \((3;-1)\). Son coefficient directeur est donc \(-1\).
Résoudre dans \([-3;3]\) l’inéquation \(f'(x)\geq0\).
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La dérivée est positive lorsque la fonction est croissante, et elle est nulle aux abscisses des tangentes horizontales.
La courbe est croissante de \(-2\) à \(1\).
Dresser le tableau de variations de \(f\).
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D’après la courbe :
\(f\) est strictement décroissante sur \([-3;-2]\), de \(f(-3)=0\) jusqu’au minimum \(f(-2)=-1\).
\(f\) est strictement croissante sur \([-2;1]\), de \(-1\) jusqu’au maximum \(f(1)=2\).
\(f\) est strictement décroissante sur \([1;3]\), de \(2\) jusqu’à \(f(3)=-1\).
Donner son équation.
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On lit \(f(1)=2\) et \(f'(1)=0\). L’équation de la tangente est :
\[ y=f'(1)(x-1)+f(1). \]Donner son équation.
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On lit \(f(2)=0\) et \(f'(2)=-1\). Par conséquent :
\[ y=f'(2)(x-2)+f(2)=-1(x-2). \]Exercice 26 — Dérivées et variations
Pour étudier les variations d’une fonction dérivable sur un intervalle, on commence par calculer \(f'(x)\), puis on cherche son signe. Si \(f'(x)\geq0\), la fonction est croissante ; si \(f'(x)\leq0\), elle est décroissante. Lorsque la dérivée change de signe, la fonction peut présenter un maximum ou un minimum.
Il faut également respecter le domaine de définition. Aux extrémités du domaine, la dérivabilité peut nécessiter une étude séparée, notamment lorsque la fonction contient une racine.
Sur \(I=\mathbb{R}\), on considère :
\[ f(x)=x^4-4x. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Or :
\[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0. \]Ainsi, \(f'(x)\) a le signe de \(x-1\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1]\), puis strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
De plus :
\[ f(1)=-3, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Sur \(I=\mathbb{R}\), on considère :
\[ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Comme \(x^2+1>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), la fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\[ f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1. \]Pour tout réel \(x\), on a \(x<\sqrt{x^2+1}\). Par conséquent :
\[ f'(x)<0. \]La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Aux extrémités :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]Et, par multiplication par la quantité conjuguée :
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]Sur \(I=\mathbb{R}^{+}\), on considère :
\[ f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Pour \(x\geq0\) :
\[ x^3-3x^2+8 = 4+(x-2)^2(x+1) \geq4. \]Le radicand est donc strictement positif. La fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+}\) et :
\[ f'(x) = \frac{3x^2-6x} {3\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}\right)^2} = \frac{x(x-2)} {\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}\right)^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Sur \(\mathbb{R}^{+}\), le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(x(x-2)\).
Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \([0;2]\), puis strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
\[ f(0)=2, \qquad f(2)=\sqrt[3]{4}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Sur \(I=\mathbb{R}^{+}\), on considère :
\[ f(x)=6x-4x\sqrt[3]{x}+1. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Pour \(x>0\), on écrit \(x\sqrt[3]{x}=x^{4/3}\), d’où :
\[ f'(x)=6-\frac{16}{3}\sqrt[3]{x}. \]À droite de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^+}\left(6-4\sqrt[3]{x}\right) = 6. \]La fonction est donc dérivable à droite en \(0\).
Résolvons \(f'(x)=0\) sur \(]0;+\infty[\) :
\[ \sqrt[3]{x}=\frac98 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\left(\frac98\right)^3=\frac{729}{512}. \]Posons \(\alpha=\dfrac{729}{512}\). Alors \(f'(x)>0\) sur \([0;\alpha[\) et \(f'(x)<0\) sur \(]\alpha;+\infty[\).
Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \([0;\alpha]\), puis strictement décroissante sur \([\alpha;+\infty[\).
\[ f(0)=1, \qquad f(\alpha) = 1+\frac32\alpha = \frac{3211}{1024}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]Sur \(I=]-\pi;\pi]\), on considère :
\[ f(x)=2\sin x+\cos(2x). \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Les zéros de \(f'\) dans \(]-\pi;\pi]\) sont :
\[ -\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\pi}{2}, \qquad \frac{5\pi}{6}. \]L’étude des signes des deux facteurs donne :
\(f'(x)<0\) sur \(]-\pi;-\frac{\pi}{2}[\).
\(f'(x)>0\) sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}[\).
\(f'(x)<0\) sur \(]\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}[\).
\(f'(x)>0\) sur \(]\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6}[\).
\(f'(x)<0\) sur \(]\frac{5\pi}{6};\pi]\).
Les valeurs utiles sont :
\[ \lim_{x\to-\pi^+}f(x)=1,\quad f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-3,\quad f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac32, \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac32,\quad f(\pi)=1. \]Par conséquent, \(f\) décroît de \(1\) à \(-3\), croît de \(-3\) à \(\frac32\), décroît jusqu’à \(1\), croît jusqu’à \(\frac32\), puis décroît jusqu’à \(1\).
Sur \(I=]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}[\), on considère :
\[ f(x)=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Sur \(I\), la fonction \(\tan\) est définie et \(\tan x+1>0\). Par la formule du quotient :
\[ f'(x) = \frac{(1+\tan^2x)(\tan x+1)-(\tan x-1)(1+\tan^2x)} {(\tan x+1)^2}. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{2(1+\tan^2x)}{(\tan x+1)^2} >0. \]La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{4}^+}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}f(x)=1. \]Sur \(I=\mathbb{R}^{+}\), on considère :
\[ f(x)=\operatorname{Arctan}(x-2\sqrt{x}). \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Pour \(x>0\), posons \(u(x)=x-2\sqrt{x}\). Alors :
\[ u'(x)=1-\frac1{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)}{1+u(x)^2} = \frac{\sqrt{x}-1} {\sqrt{x}\left(1+(x-2\sqrt{x})^2\right)}. \]Le dénominateur est strictement positif. Ainsi, \(f'(x)<0\) sur \(]0;1[\), \(f'(1)=0\), et \(f'(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
À l’extrémité \(0\), \(f(0)=0\). De plus, en posant \(u=x-2\sqrt{x}\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u} \left(1-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) \longrightarrow -\infty. \]La fonction n’est donc pas dérivable à droite en \(0\) au sens fini ; sa courbe admet une demi-tangente verticale à droite, dirigée vers le bas.
La fonction est strictement décroissante sur \([0;1]\), puis strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=\operatorname{Arctan}(-1)=-\frac{\pi}{4}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}. \]Exercice 27 — Étude d’une fonction avec racine cubique
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1;+\infty[\) par :
\[ f(x)=x-\sqrt[3]{x+1}. \]La fonction racine cubique est définie sur \(\mathbb R\), mais sa dérivée fait intervenir une puissance au dénominateur. Dans cette étude, la formule de dérivation sera donc utilisée pour \(x>-1\), tandis que le point \(x=-1\), extrémité du domaine, sera étudié directement avec le quotient de dérivabilité à droite.
Une fois la dérivée calculée, son signe permet de déterminer les variations et d’identifier le minimum de la fonction.
Vérifier que :
\[ f\left(\frac{\sqrt3}{9}-1\right) = -\frac{2\sqrt3}{9}-1. \]Afficher la correction Masquer la correction
Posons :
\[ x_0=\frac{\sqrt3}{9}-1. \]Alors :
\[ x_0+1=\frac{\sqrt3}{9} = \left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{x_0+1}=\frac{\sqrt3}{3}. \]Par conséquent :
\[ f(x_0) = \frac{\sqrt3}{9}-1-\frac{\sqrt3}{3} = -1-\frac{2\sqrt3}{9}. \]Calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]Afficher la correction Masquer la correction
Pour \(x>0\), on factorise par \(x\) :
\[ f(x) = x\left( 1-\frac{\sqrt[3]{x+1}}{x} \right). \]Or :
\[ \frac{\sqrt[3]{x+1}}{x} = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x^3}} = \sqrt[3]{\frac1{x^2}+\frac1{x^3}} \longrightarrow0. \]Le facteur entre parenthèses tend donc vers \(1\), tandis que \(x\to+\infty\).
Étudier la dérivabilité à droite de \(f\) en \(-1\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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On a \(f(-1)=-1\). Pour \(x>-1\) :
\[ \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{x+1-\sqrt[3]{x+1}}{x+1}. \]En posant \(t=x+1\), avec \(t\to0^+\), on obtient :
\[ \frac{t-\sqrt[3]{t}}{t} = 1-\frac{1}{\sqrt[3]{t^2}} \longrightarrow-\infty. \]La fonction \(f\) n’est donc pas dérivable à droite en \(-1\) au sens fini.
Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]-1;+\infty[\).
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Pour \(x>-1\), on a \(x+1>0\). Ainsi :
\[ f'(x) = 1-\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2}. \]On peut également écrire :
Dresser le tableau de variations de \(f\).
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Résolvons \(f'(x)=0\) :
\[ 1-\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2}=0 \] \[ \Longleftrightarrow \left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2=\frac13. \]Comme \(x+1>0\), on obtient :
\[ \sqrt[3]{x+1}=\frac{\sqrt3}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\sqrt3}{9}-1. \]Posons \(x_0=\dfrac{\sqrt3}{9}-1\). Alors \(f'(x)<0\) sur \(]-1;x_0[\), et \(f'(x)>0\) sur \(]x_0;+\infty[\).
La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \([-1;x_0]\), puis strictement croissante sur \([x_0;+\infty[\).
\[ f(-1)=-1, \qquad f(x_0)=-1-\frac{2\sqrt3}{9}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Ces quatre exercices montrent les principales façons d’exploiter la dérivée. Elle permet d’abord de calculer certaines limites lorsqu’un quotient représente un nombre dérivé. Graphiquement, elle correspond au coefficient directeur de la tangente et son signe décrit le sens de variation de la fonction. Dans une étude algébrique, il faut donc calculer \(f'(x)\), déterminer son signe, puis relier ce signe aux intervalles de croissance ou de décroissance.
Le domaine reste indispensable tout au long de l’étude : une racine, une tangente trigonométrique ou une extrémité d’intervalle peut imposer des conditions particulières. Lorsqu’un point appartient au bord du domaine, le quotient de dérivabilité à droite permet de préciser le comportement local de la courbe et, éventuellement, de mettre en évidence une demi-tangente verticale.
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
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