Correction des exercices 24 à 27 — Nombre dérivé et monotonie — Al Moufid
Exercice 24 — Limites et nombre dérivé de la fonction Arctan
1) Soit \(a\) un réel quelconque. Montrer que :
\[ \lim_{x\to a} \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{x-a} = \frac{1}{1+a^2}. \]Lire la réponse +
La fonction \(\operatorname{Arctan}\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\[ (\operatorname{Arctan})'(a)=\frac{1}{1+a^2}. \]Par définition du nombre dérivé en \(a\) :
2-a) Calculer :
\[ \lim_{x\to1} \frac{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{4}}{x-1}. \]Lire la réponse +
Comme \(\operatorname{Arctan}(1)=\dfrac{\pi}{4}\), la limite est le nombre dérivé de \(\operatorname{Arctan}\) en \(1\) :
\[ (\operatorname{Arctan})'(1)=\frac{1}{1+1^2}. \]2-b) Calculer :
\[ \lim_{x\to\sqrt3} \frac{\operatorname{Arctan}x-\frac{\pi}{3}}{x-\sqrt3}. \]Lire la réponse +
Comme \(\operatorname{Arctan}(\sqrt3)=\dfrac{\pi}{3}\), on obtient :
\[ (\operatorname{Arctan})'(\sqrt3)=\frac{1}{1+(\sqrt3)^2}. \]2-c) Calculer :
\[ \lim_{x\to-\frac{\sqrt3}{3}} \frac{\operatorname{Arctan}x+\frac{\pi}{6}}{3x+\sqrt3}. \]Lire la réponse +
Posons \(a=-\dfrac{\sqrt3}{3}\). On a :
\[ \operatorname{Arctan}(a)=-\frac{\pi}{6} \qquad\text{et}\qquad 3x+\sqrt3=3(x-a). \]Donc :
\[ \lim_{x\to a} \frac{\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}a}{3(x-a)} = \frac13\,(\operatorname{Arctan})'(a). \]Or :
\[ (\operatorname{Arctan})'(a) = \frac{1}{1+a^2} = \frac{1}{1+\frac13} = \frac34. \]2-d) Calculer :
\[ \lim_{x\to-1} \frac{4\operatorname{Arctan}x+\pi}{x+1}. \]Lire la réponse +
Comme \(\operatorname{Arctan}(-1)=-\dfrac{\pi}{4}\), on écrit :
\[ 4\operatorname{Arctan}x+\pi = 4\left(\operatorname{Arctan}x-\operatorname{Arctan}(-1)\right). \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to-1} \frac{4\operatorname{Arctan}x+\pi}{x+1} = 4(\operatorname{Arctan})'(-1) = \frac{4}{1+(-1)^2}. \]Exercice 25 — Lecture graphique de la dérivée et variations
Le dessin suivant présente la courbe d’une fonction \(f\) sur l’intervalle \([-3;3]\) :
1) Résoudre l’équation \(f'(x)=0\).
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Le nombre dérivé \(f'(x)\) est nul lorsque la tangente à la courbe est horizontale.
Le graphique montre deux tangentes horizontales, aux abscisses \(-2\) et \(1\).
2 — Première limite :
\[ \lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}. \]Lire la réponse +
Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(-2\) :
\[ \lim_{x\to-2}\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=f'(-2). \]La tangente étant horizontale en \(-2\), \(f'(-2)=0\).
2 — Deuxième limite :
\[ \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2}. \]Lire la réponse +
Le graphique donne \(f(2)=0\). Ainsi :
\[ \lim_{x\to2}\frac{f(x)}{x-2} = \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2). \]La tangente tracée au point d’abscisse \(2\) passe par \((1;1)\), \((2;0)\) et \((3;-1)\). Son coefficient directeur est donc \(-1\).
3-a) Résoudre dans \([-3;3]\) l’inéquation \(f'(x)\geq0\).
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La dérivée est positive lorsque la fonction est croissante, et elle est nulle aux abscisses des tangentes horizontales.
La courbe est croissante de \(-2\) à \(1\).
3-b) Dresser le tableau de variations de \(f\).
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D’après la courbe :
\(f\) est strictement décroissante sur \([-3;-2]\), de \(f(-3)=0\) jusqu’au minimum \(f(-2)=-1\).
\(f\) est strictement croissante sur \([-2;1]\), de \(-1\) jusqu’au maximum \(f(1)=2\).
\(f\) est strictement décroissante sur \([1;3]\), de \(2\) jusqu’à \(f(3)=-1\).
4 — Tangente au point d’abscisse \(1\) : donner son équation.
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On lit \(f(1)=2\) et \(f'(1)=0\). L’équation de la tangente est :
\[ y=f'(1)(x-1)+f(1). \]4 — Tangente au point d’abscisse \(2\) : donner son équation.
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On lit \(f(2)=0\) et \(f'(2)=-1\). Par conséquent :
\[ y=f'(2)(x-2)+f(2)=-1(x-2). \]Exercice 26 — Dérivées et variations
1) Sur \(I=\mathbb{R}\), on considère :
\[ f(x)=x^4-4x. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Or :
\[ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0. \]Ainsi, \(f'(x)\) a le signe de \(x-1\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty;1]\), puis strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
De plus :
\[ f(1)=-3, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]2) Sur \(I=\mathbb{R}\), on considère :
\[ f(x)=\sqrt{x^2+1}-x. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Comme \(x^2+1>0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), la fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\[ f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}-1. \]Pour tout réel \(x\), on a \(x<\sqrt{x^2+1}\). Par conséquent :
\[ f'(x)<0. \]La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\).
Aux extrémités :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \]Et, par multiplication par la quantité conjuguée :
\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]3) Sur \(I=\mathbb{R}^{+}\), on considère :
\[ f(x)=\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Pour \(x\geq0\) :
\[ x^3-3x^2+8 = 4+(x-2)^2(x+1) \geq4. \]Le radicand est donc strictement positif. La fonction est dérivable sur \(\mathbb{R}^{+}\) et :
\[ f'(x) = \frac{3x^2-6x} {3\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}\right)^2} = \frac{x(x-2)} {\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2+8}\right)^2}. \]Le dénominateur est strictement positif. Sur \(\mathbb{R}^{+}\), le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(x(x-2)\).
Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \([0;2]\), puis strictement croissante sur \([2;+\infty[\).
\[ f(0)=2, \qquad f(2)=\sqrt[3]{4}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]4) Sur \(I=\mathbb{R}^{+}\), on considère :
\[ f(x)=6x-4x\sqrt[3]{x}+1. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Pour \(x>0\), on écrit \(x\sqrt[3]{x}=x^{4/3}\), d’où :
\[ f'(x)=6-\frac{16}{3}\sqrt[3]{x}. \]À droite de \(0\) :
\[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to0^+}\left(6-4\sqrt[3]{x}\right) = 6. \]La fonction est donc dérivable à droite en \(0\).
Résolvons \(f'(x)=0\) sur \(]0;+\infty[\) :
\[ \sqrt[3]{x}=\frac98 \quad\Longleftrightarrow\quad x=\left(\frac98\right)^3=\frac{729}{512}. \]Posons \(\alpha=\dfrac{729}{512}\). Alors \(f'(x)>0\) sur \([0;\alpha[\) et \(f'(x)<0\) sur \(]\alpha;+\infty[\).
Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \([0;\alpha]\), puis strictement décroissante sur \([\alpha;+\infty[\).
\[ f(0)=1, \qquad f(\alpha) = 1+\frac32\alpha = \frac{3211}{1024}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty. \]5) Sur \(I=]-\pi;\pi]\), on considère :
\[ f(x)=2\sin x+\cos(2x). \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Les zéros de \(f'\) dans \(]-\pi;\pi]\) sont :
\[ -\frac{\pi}{2}, \qquad \frac{\pi}{6}, \qquad \frac{\pi}{2}, \qquad \frac{5\pi}{6}. \]L’étude des signes des deux facteurs donne :
\(f'(x)<0\) sur \(]-\pi;-\frac{\pi}{2}[\).
\(f'(x)>0\) sur \(]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{6}[\).
\(f'(x)<0\) sur \(]\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}[\).
\(f'(x)>0\) sur \(]\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{6}[\).
\(f'(x)<0\) sur \(]\frac{5\pi}{6};\pi]\).
Les valeurs utiles sont :
\[ \lim_{x\to-\pi^+}f(x)=1,\quad f\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-3,\quad f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac32, \] \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,\quad f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac32,\quad f(\pi)=1. \]Par conséquent, \(f\) décroît de \(1\) à \(-3\), croît de \(-3\) à \(\frac32\), décroît jusqu’à \(1\), croît jusqu’à \(\frac32\), puis décroît jusqu’à \(1\).
6) Sur \(I=]-\dfrac{\pi}{4};\dfrac{\pi}{2}[\), on considère :
\[ f(x)=\frac{\tan x-1}{\tan x+1}. \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Sur \(I\), la fonction \(\tan\) est définie et \(\tan x+1>0\). Par la formule du quotient :
\[ f'(x) = \frac{(1+\tan^2x)(\tan x+1)-(\tan x-1)(1+\tan^2x)} {(\tan x+1)^2}. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{2(1+\tan^2x)}{(\tan x+1)^2} >0. \]La fonction \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
\[ \lim_{x\to-\frac{\pi}{4}^+}f(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to\frac{\pi}{2}^-}f(x)=1. \]7) Sur \(I=\mathbb{R}^{+}\), on considère :
\[ f(x)=\operatorname{Arctan}(x-2\sqrt{x}). \]Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(I\).
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Pour \(x>0\), posons \(u(x)=x-2\sqrt{x}\). Alors :
\[ u'(x)=1-\frac1{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}. \]Donc :
\[ f'(x) = \frac{u'(x)}{1+u(x)^2} = \frac{\sqrt{x}-1} {\sqrt{x}\left(1+(x-2\sqrt{x})^2\right)}. \]Le dénominateur est strictement positif. Ainsi, \(f'(x)<0\) sur \(]0;1[\), \(f'(1)=0\), et \(f'(x)>0\) sur \(]1;+\infty[\).
À l’extrémité \(0\), \(f(0)=0\). De plus, en posant \(u=x-2\sqrt{x}\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\operatorname{Arctan}u}{u} \left(1-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) \longrightarrow -\infty. \]La fonction n’est donc pas dérivable à droite en \(0\) au sens fini ; sa courbe admet une demi-tangente verticale à droite, dirigée vers le bas.
La fonction est strictement décroissante sur \([0;1]\), puis strictement croissante sur \([1;+\infty[\).
\[ f(0)=0, \qquad f(1)=\operatorname{Arctan}(-1)=-\frac{\pi}{4}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{\pi}{2}. \]Exercice 27 — Étude d’une fonction avec racine cubique
On considère la fonction \(f\) définie sur \([-1;+\infty[\) par :
\[ f(x)=x-\sqrt[3]{x+1}. \]1 — Première partie : vérifier que :
\[ f\left(\frac{\sqrt3}{9}-1\right) = -\frac{2\sqrt3}{9}-1. \]Lire la réponse +
Posons :
\[ x_0=\frac{\sqrt3}{9}-1. \]Alors :
\[ x_0+1=\frac{\sqrt3}{9} = \left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^3. \]Donc :
\[ \sqrt[3]{x_0+1}=\frac{\sqrt3}{3}. \]Par conséquent :
\[ f(x_0) = \frac{\sqrt3}{9}-1-\frac{\sqrt3}{3} = -1-\frac{2\sqrt3}{9}. \]1 — Deuxième partie : calculer :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x). \]Lire la réponse +
Pour \(x>0\), on factorise par \(x\) :
\[ f(x) = x\left( 1-\frac{\sqrt[3]{x+1}}{x} \right). \]Or :
\[ \frac{\sqrt[3]{x+1}}{x} = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x^3}} = \sqrt[3]{\frac1{x^2}+\frac1{x^3}} \longrightarrow0. \]Le facteur entre parenthèses tend donc vers \(1\), tandis que \(x\to+\infty\).
2) Étudier la dérivabilité à droite de \(f\) en \(-1\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
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On a \(f(-1)=-1\). Pour \(x>-1\) :
\[ \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{x+1-\sqrt[3]{x+1}}{x+1}. \]En posant \(t=x+1\), avec \(t\to0^+\), on obtient :
\[ \frac{t-\sqrt[3]{t}}{t} = 1-\frac{1}{\sqrt[3]{t^2}} \longrightarrow-\infty. \]La fonction \(f\) n’est donc pas dérivable à droite en \(-1\) au sens fini.
3 — Dérivée : calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]-1;+\infty[\).
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Pour \(x>-1\), on a \(x+1>0\). Ainsi :
\[ f'(x) = 1-\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2}. \]On peut également écrire :
3 — Variations : dresser le tableau de variations de \(f\).
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Résolvons \(f'(x)=0\) :
\[ 1-\frac{1}{3\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2}=0 \] \[ \Longleftrightarrow \left(\sqrt[3]{x+1}\right)^2=\frac13. \]Comme \(x+1>0\), on obtient :
\[ \sqrt[3]{x+1}=\frac{\sqrt3}{3} \quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{\sqrt3}{9}-1. \]Posons \(x_0=\dfrac{\sqrt3}{9}-1\). Alors \(f'(x)<0\) sur \(]-1;x_0[\), et \(f'(x)>0\) sur \(]x_0;+\infty[\).
La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \([-1;x_0]\), puis strictement croissante sur \([x_0;+\infty[\).
\[ f(-1)=-1, \qquad f(x_0)=-1-\frac{2\sqrt3}{9}, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty. \]Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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