Correction des exercices 17 à 19 — Calcul des dérivées de fonctions composées — Al Moufid
Exercice 17 — Fonctions composées, quotients et trigonométrie
1) Fonction avec racine carrée
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La racine carrée impose \(x\geq0\). Ainsi :
\[ D_f=[0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\), posons \(u(x)=3x+4\sqrt{x}\). Alors :
\[ u'(x)=3+\frac2{\sqrt{x}}. \]Par dérivation d’une fonction composée :
\[ \boxed{ f'(x)= -\left(3+\frac2{\sqrt{x}}\right) \sin\left(3x+4\sqrt{x}\right) }, \qquad x\gt0. \]Étudions aussi l’extrémité \(0\). Comme \(f(0)=1\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{\cos\left(3x+4\sqrt{x}\right)-1} {\left(3x+4\sqrt{x}\right)^2} \cdot \frac{\left(3x+4\sqrt{x}\right)^2}{x}. \]Or :
\[ \lim_{t\to0}\frac{\cos t-1}{t^2}=-\frac12 \]et :
\[ \lim_{x\to0^+} \frac{\left(3x+4\sqrt{x}\right)^2}{x} = 16. \]2) Quotient trigonométrique
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Le dénominateur doit être non nul :
\[ \sin x\neq1 \Longleftrightarrow x\neq\frac{\pi}{2}+2k\pi, \qquad k\in\mathbb Z. \]Donc :
\[ D_f= \mathbb R\setminus \left\{ \frac{\pi}{2}+2k\pi\ ;\ k\in\mathbb Z \right\}. \]Sur \(D_f\), la formule du quotient donne :
\[ f'(x) = \frac{ 3\cos x(\sin x-1) - (3\sin x-1)\cos x } {(\sin x-1)^2}. \]Le numérateur se simplifie en \(-2\cos x\).
3) Puissance d’une fonction rationnelle
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Le trinôme \(x^2+3x+7\) ne s’annule jamais, car :
\[ \Delta=9-28=-19\lt0. \]Ainsi \(D_f=\mathbb R\). Posons :
\[ u(x)=\frac{x+1}{x^2+3x+7}. \]On a :
\[ u'(x) = \frac{ x^2+3x+7-(x+1)(2x+3) } {(x^2+3x+7)^2} = \frac{-x^2-2x+4}{(x^2+3x+7)^2}. \]Comme \(f=u^3\) :
4) Racine carrée d’un polynôme
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On factorise :
\[ x^3+x^2=x^2(x+1). \]La condition \(x^2(x+1)\geq0\) donne :
\[ D_f=[-1;+\infty[. \]Comme :
\[ f(x)=|x|\sqrt{x+1}, \]on obtient, pour \(x\in]-1;0[\) :
\[ \boxed{ f'(x)= -\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} } \]et, pour \(x\gt0\) :
\[ \boxed{ f'(x)= \frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}} }. \]En \(0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{|x|}{x}\sqrt{x+1}. \]La limite à gauche vaut \(-1\), tandis que la limite à droite vaut \(1\).
En \(-1\), le quotient de dérivabilité à droite tend vers \(+\infty\).
5) Cosinus d’une fonction rationnelle
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Le domaine est :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\left\{\frac23\right\}. \]Posons :
\[ u(x)=\frac{2x+1}{3x-2}. \]Alors :
\[ u'(x) = \frac{2(3x-2)-3(2x+1)}{(3x-2)^2} = -\frac7{(3x-2)^2}. \]6) Sinus d’une fonction rationnelle
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Comme \(1+x^2\gt0\), le domaine est \(D_f=\mathbb R\). Posons :
\[ u(x)=\frac{1+x}{1+x^2}. \]Alors :
\[ u'(x) = \frac{1+x^2-2x(1+x)}{(1+x^2)^2} = \frac{1-2x-x^2}{(1+x^2)^2}. \]7) Produit de deux fonctions trigonométriques
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Par la règle du produit :
8) Fonction composée \(\sin(\cos x)\)
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Par composition :
9) Produit avec la fonction tangente
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Il faut avoir \(x\neq0\) et :
\[ \cos\left(\frac1x\right)\neq0. \]Donc :
\[ D_f= \mathbb R\setminus \left( \{0\} \cup \left\{ \frac{2}{(2k+1)\pi}\ ;\ k\in\mathbb Z \right\} \right). \]Sur ce domaine :
\[ \left(\tan\frac1x\right)' = -\frac1{x^2\cos^2(1/x)}. \]La règle du produit donne :
Exercice 18 — Compositions trigonométriques et racines
1) Composition de sinus et cosinus
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Posons :
\[ u(x)=\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right). \]Alors :
\[ u'(x)= \sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right). \]2) Racine carrée d’une expression trigonométrique
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La présence de \(\dfrac1x\) impose \(x\neq0\). De plus :
\[ 1 \leq 2+\sin\left(x+\frac1x\right) \leq3, \]donc le radical est toujours strictement positif. Ainsi :
\[ D_f=\mathbb R^\ast. \]Sur \(D_f\) :
3) Racine quatrième d’une puissance trigonométrique
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La tangente doit être définie. Ainsi :
\[ \cos\left(\sqrt[3]{x}\right)\neq0 \]c’est-à-dire :
\[ D_f= \mathbb R\setminus \left\{ \left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)^3 \ ;\ k\in\mathbb Z \right\}. \]Pour \(x\neq0\), \(x\in D_f\), posons \(t=\sqrt[3]{x}\). Alors :
\[ \boxed{ f'(x)= \frac{ \tan^3t\left(1+\tan^2t\right) } { 3x^{2/3} \left(1+\tan^4t\right)^{3/4} }, \qquad t=\sqrt[3]{x}. } \]Étudions \(x=0\). On a \(f(0)=1\), et :
\[ \frac{f(x)-1}{x} = \frac{ (1+\tan^4\sqrt[3]{x})^{1/4}-1 } { \tan^4\sqrt[3]{x} } \cdot \frac{ \tan^4\sqrt[3]{x} }{x}. \]Le premier facteur tend vers \(\dfrac14\). En posant \(t=\sqrt[3]{x}\), le second devient :
\[ \frac{\tan^4t}{t^3} = t\left(\frac{\tan t}{t}\right)^4 \longrightarrow0. \]Exercice 19 — Fonctions comportant Arctangente
1) Produit avec la fonction Arctangente
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Par la règle du produit :
2) Produit avec \(\operatorname{Arctan}\sqrt{x}\)
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La racine carrée impose :
\[ D_f=[0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\) :
\[ \left(\operatorname{Arctan}\sqrt{x}\right)' = \frac1{2\sqrt{x}(1+x)}. \]Donc :
\[ \boxed{ f'(x)= \operatorname{Arctan}\sqrt{x} + \frac{\sqrt{x}}{2(1+x)} }, \qquad x\gt0. \]En \(0\), \(f(0)=0\), et :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \operatorname{Arctan}\sqrt{x} \longrightarrow0. \]3) Racine cubique de la fonction Arctangente
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La fonction est définie sur \(\mathbb R\). Pour \(x\neq0\) :
\[ \boxed{ f'(x)= \frac1{ 3(1+x^2) \left(\operatorname{Arctan}x\right)^{2/3} } }. \]En \(0\), on écrit :
\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{ \sqrt[3]{\operatorname{Arctan}x} }{x}. \]En utilisant \(\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{Arctan}x}{x}=1\), ce quotient tend vers \(+\infty\) des deux côtés.
4) Racine carrée de \(x+\operatorname{Arctan}x\)
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Posons :
\[ u(x)=x+\operatorname{Arctan}x. \]On a :
\[ u'(x)=1+\frac1{1+x^2}\gt0 \]et \(u(0)=0\). Ainsi :
\[ u(x)\geq0 \Longleftrightarrow x\geq0. \]Donc :
\[ D_f=[0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\) :
En \(0\), le quotient de dérivabilité à droite tend vers \(+\infty\).
5) Quotient comportant la fonction Arctangente
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Le dénominateur impose :
\[ D_f=]0;+\infty[. \]Pour \(x\gt0\), on écrit \(f(x)=x^{-1/2}\operatorname{Arctan}x\). Donc :
6) Arctangente d’une fonction rationnelle
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Le quotient intérieur impose :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1;1\}. \]Posons :
\[ u(x)=\frac{2x}{1-x^2}. \]Alors :
\[ u'(x)=\frac{2(1+x^2)}{(1-x^2)^2} \]et :
\[ 1+u(x)^2 = \frac{(1+x^2)^2}{(1-x^2)^2}. \]7) Somme de deux puissances comportant Arctangente
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La fonction est dérivable sur \(\mathbb R\). Pour le premier terme :
\[ \left(\operatorname{Arctan}(\sin x)\right)' = \frac{\cos x}{1+\sin^2x}. \]Pour le second :
\[ \left(\operatorname{Arctan}x-x\right)' = \frac1{1+x^2}-1 = -\frac{x^2}{1+x^2}. \]8) Combinaison de fonctions Arctangente
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Les quotients intérieurs imposent :
\[ D_f=\mathbb R\setminus\{-1\}. \]Pour :
\[ u(x)=\frac{x-1}{x+1}, \]on obtient :
\[ u'(x)=\frac2{(x+1)^2} \]et :
\[ 1+u(x)^2 = \frac{2(x^2+1)}{(x+1)^2}. \]Donc :
\[ \left[ 3\operatorname{Arctan}u(x) \right]' = \frac3{x^2+1}. \]D’autre part :
\[ \left[ \operatorname{Arctan}\left(\frac1{x+1}\right) \right]' = -\frac1{x^2+2x+2}. \]La règle du produit donne finalement :
Hammou Boudraa — Enseignant des mathématiques
Lycée Oum Erbiaâ — M’rirt
Travail personnel destiné à l’accompagnement des élèves de 2e Bac Sciences Mathématiques.
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