Parcours Maths Maroc

Correction du devoir 3 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité 2. Dérivabilité 3. Signe de f′ 4. Variations 5. Courbe 6. Intervalle stable 7. Suite récurrente 8. Contraction 9. Identité trigonométrique 10. Expression explicite Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} -x+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\geq0,\\[2mm] \dfrac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right) & \text{si }x\lt0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la première expression : \[ f(0)=-0+\sqrt{0^2+1}=1. \] Lorsque \(x\to0^+\), on a : \[ f(x)=-x+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=0+1=1. \] Lorsque \(x\to0^-\), on a : \[ f(x)=\frac4\pi\operatorname{Arctan}\left(-x+\sqrt{x^2+1}\right). \] Or : \[ -x+\sqrt{x^2+1}\to1...

Correction du devoir 2 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir 1. Continuité en 0 2. Inégalité Arctan x ≤ x 3. Encadrements et dérivabilité 4. Variations 5. Branches infinies 6. Fonction réciproque 7. Suite récurrente Énoncé du devoir Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[ f(x)= \begin{cases} x-1+\sqrt{x^2+1} & \text{si }x\lt0,\\[2mm] \sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x} & \text{si }x\geq0. \end{cases} \] 1) Étudier la continuité de \(f\) en \(0\) Lire la réponse + Masquer la réponse − On calcule d’abord la valeur de \(f(0)\). Comme \(0\geq0\), on utilise la deuxième expression : \[ f(0)=\sqrt[3]{0-\operatorname{Arctan}(0)}=0. \] Lorsque \(x\to0^-\), on utilise la première expression : \[ f(x)=x-1+\sqrt{x^2+1}. \] Donc : \[ \lim_{x\to0^-}f(x) = 0-1+\sqrt{1} = 0. \] Lorsque \(x\to0^+\), on utilise la deuxième expression : \[ f(x)=\sqrt[3]{x-\operatorname{Arctan}x}....

Correction du devoir 1 — Problèmes de synthèse — Dérivation — Al Moufid Menu du devoir Partie I — Étude de g Partie II — Étude de f Partie I — Étude de la fonction \(g\) On considère la fonction numérique \(g\) définie par : \[ g(x)=\operatorname{Arctan}\left(\frac1{x-1}\right) - \frac{x}{(x-1)^2+1}. \] 1) Déterminer le domaine de définition de \(g\) Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(g\) contient le terme : \[ \frac1{x-1}. \] Il faut donc que : \[ x-1\neq0. \] Autrement dit : \[ x\neq1. \] Le dénominateur \((x-1)^2+1\) ne s’annule jamais, car : \[ (x-1)^2+1\gt0 \quad\text{pour tout }x\in\mathbb{R}. \] Le domaine de définition de \(g\) est : \[ D_g=\mathbb{R}\setminus\{1\}. \] 2) Montrer que, pour tout \(x\in D_g\), \[ g'(x)=\frac{2x-4}{\left((x-1)^2+1\right)^2}. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − Pour \(x\neq1\), posons : \[ A(x)=(x-1)^2+1. \] On a : \[ g(x)=\operatorname{Arctan}\...

Énoncé — Examen national 2013 Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B Niveau : 2e Bac Filière : Sciences Mathématiques A et B Matière : Mathématiques Durée : 4h Coefficient : 9 Total : 20 points Instructions générales : La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte cinq exercices indépendants deux à deux. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage des calculatrices non programmables est autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas permis. Sujet officiel au format PDF : Vous pouvez consulter l’énoncé officiel en PDF à partir du lien suivant : Lire l’énoncé officiel en PDF Accès rapide : Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5 Accès détaillé aux questions Composantes du sujet Exercice Domaine Points Exercice 1 Structures algébriques 3,5 points Exercice 2 Probabilités 3 points Exercice 3 Nombres complex...