Énoncé — Examen national 2013
Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B
Compétences et points clés
Le national SM rattrapage 2013 associe groupe, matrices, urnes et analyse. Les deux exercices d’analyse utilisent une fonction définie par une intégrale et une transformation logarithmique de suite ; le TAF fournit des comparaisons quantitatives.
Prérequis à revoir : stabilité, associativité et homomorphismes; événements, intersections et arbres pondérés; continuité sur un segment et dérivabilité.
Rappels de cours utiles
Lois de composition et groupes. Vérifier d’abord que la loi reste dans l’ensemble considéré et qu’elle est bien définie. Un groupe exige associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Le neutre dépend de la loi : il n’est pas automatiquement le nombre zéro ou le nombre un. Un isomorphisme demande aussi la bijectivité.
Conditionnement. Conditionner par un événement de probabilité strictement positive revient à restreindre l’univers à cet événement. Une probabilité conditionnelle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection par celle de l’événement connu. Pour plusieurs étapes, décrire les branches et actualiser les données avant chaque tirage.
Théorème des accroissements finis. Le TAF demande une fonction continue sur un segment et dérivable à son intérieur. Il relie une pente de sécante à un nombre dérivé en un point intérieur. Pour obtenir un encadrement, contrôler les valeurs de la dérivée sur tout l’intervalle utilisé.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Dans la partie algébrique, vérifier la stabilité et la bijectivité des applications utilisées. Dans les urnes, séparer les expériences avec remise des étapes qui modifient les effectifs. Dans la suite finale, appliquer le TAF à la fonction pertinente sur le segment entre deux entiers consécutifs, puis encadrer la dérivée.
Filière : Sciences Mathématiques A et B
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte cinq exercices indépendants deux à deux. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage des calculatrices non programmables est autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas permis.
Sujet officiel au format PDF :
Vous pouvez consulter l’énoncé officiel en PDF à partir du lien suivant :
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Exercice | Domaine | Points |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Structures algébriques | 3,5 points |
| Exercice 2 | Probabilités | 3 points |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 4 | Analyse | 8,25 points |
| Exercice 5 | Analyse | 1,75 point |
Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I
Pour tout deux éléments de l’intervalle :
\[ G=]1,2[ \]on pose :
\[ x*y=\frac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}{(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)} \]On rappelle que \((\mathbb R_+^*,\times)\) est un groupe commutatif.
On considère l’application \(f\) de \(\mathbb R_+^*\) vers \(G\), définie par :
\[ f(x)=\frac{x+2}{x+1} \]Partie II
On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire dont le zéro est :
\[ O=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]et l’unité est :
\[ I=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]On rappelle aussi que \((M_3(\mathbb R),+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel, et on pose :
\[ A=\begin{pmatrix} 0&3&2\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]Pour tout \(a\) et \(b\) de \(\mathbb R\), on pose :
\[ M(a,b)=aI+bA \]et l’on considère l’ensemble :
\[ E=\{M(a,b)\;/\;(a,b)\in\mathbb R^2\} \]Exercice 2 — Probabilités — 3 points
Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher.
Partie I
On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l’urne, et on considère la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de boules noires tirées.
Partie II
On réalise l’expérience aléatoire suivante en trois étapes :
Étape 1 : On tire une boule de l’urne, on marque sa couleur et on la remet dans l’urne.
Étape 2 : On ajoute dans l’urne 5 boules de même couleur que la boule tirée à l’étape 1.
Étape 3 : On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne qui contient alors 12 boules après l’étape 2.
On considère les événements suivants :
\[ N:\text{ « la boule tirée à l’étape 1 est noire »} \] \[ R:\text{ « la boule tirée à l’étape 1 est rouge »} \] \[ E:\text{ « toutes les boules tirées à l’étape 3 sont noires »} \]Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Partie I
Soit \(a\) un nombre complexe différent de \(1\). On considère dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation :
\[ (E):\quad 2z^2-2(a-1)z+(a-1)^2=0 \]On prend :
\[ a=e^{i\theta}\qquad\text{avec}\qquad 0<\theta<\pi \]Partie II
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).
On admet que :
\[ \operatorname{Re}(a)<0 \]et on considère les points :
\[ A(a),\qquad B(-i),\qquad C(i),\qquad B'(1) \]Soit \(r_1\) la rotation de centre \(J\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(r_2\) la rotation de centre \(K\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).
On pose :
\[ C'=r_1(C) \qquad\text{et}\qquad A'=r_2(A) \]et soient \(c'\) l’affixe de \(C'\) et \(a'\) l’affixe de \(A'\).
Exercice 4 — Analyse — 8,25 points
1) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ \begin{cases} f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2\ln^2x}},&x>0\\[2mm] f(0)=1 \end{cases} \]2) Soit \(F\) la fonction numérique définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt \]et soit \((C_F)\) la courbe représentative de \(F\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\).
3) Pour tout \(x\in[0,+\infty[\), on pose :
\[ \varphi(x)=x-F(x) \]On pourra utiliser le théorème des accroissements finis.
Exercice 5 — Analyse — 1,75 point
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose :
\[ u_n=\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2} \qquad\text{et}\qquad v_n=\ln(u_n) \]FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION RATTRAPAGE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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