Énoncé Examen National 2013 — Session de Rattrapage — 2e Bac Sciences Mathématiques

Énoncé — Examen national 2013

Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points

Instructions générales :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte cinq exercices indépendants deux à deux. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage des calculatrices non programmables est autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas permis.

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Accès rapide :
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Accès détaillé aux questions

Composantes du sujet

Exercice	Domaine	Points
Exercice 1	Structures algébriques	3,5 points
Exercice 2	Probabilités	3 points
Exercice 3	Nombres complexes	3,5 points
Exercice 4	Analyse	8,25 points
Exercice 5	Analyse	1,75 point

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Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points

Les parties I et II sont indépendantes.

Partie I

Pour tout deux éléments de l’intervalle :

\[ G=]1,2[ \]

on pose :

\[ x*y=\frac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)}{(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)} \]

0,5 ptI-1 Montrer que \(*\) est une loi de composition interne dans \(G\)

On rappelle que \((\mathbb R_+^*,\times)\) est un groupe commutatif.

On considère l’application \(f\) de \(\mathbb R_+^*\) vers \(G\), définie par :

\[ f(x)=\frac{x+2}{x+1} \]

0,75 ptI-2-a Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) dans \((G,*)\)

0,5 ptI-2-b En déduire que \((G,*)\) est un groupe commutatif dont on déterminera l’élément neutre

Partie II

On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire dont le zéro est :

\[ O=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]

et l’unité est :

\[ I=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]

On rappelle aussi que \((M_3(\mathbb R),+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel, et on pose :

\[ A=\begin{pmatrix} 0&3&2\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]

0,5 ptII-1-a Vérifier que \(A^3=O\) et en déduire que \(A\) est un diviseur de zéro dans l’anneau \((M_3(\mathbb R),+,\times)\)

0,5 ptII-1-b Vérifier que : \[ (A^2-A+I)(A+I)=I \] et en déduire que la matrice \(A+I\) admet un inverse dans \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) que l’on déterminera

Pour tout \(a\) et \(b\) de \(\mathbb R\), on pose :

\[ M(a,b)=aI+bA \]

et l’on considère l’ensemble :

\[ E=\{M(a,b)\;/\;(a,b)\in\mathbb R^2\} \]

0,75 ptII-2 Montrer que \((E,+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel dont on déterminera une base

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Exercice 2 — Probabilités — 3 points

Une urne contient 3 boules rouges et 4 boules noires indiscernables au toucher.

Partie I

On tire au hasard successivement et avec remise quatre boules de l’urne, et on considère la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de boules noires tirées.

1 ptI-1 Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)

0,5 ptI-2 Calculer \(E(X)\), l’espérance mathématique de la variable aléatoire \(X\)

Partie II

On réalise l’expérience aléatoire suivante en trois étapes :

Étape 1 : On tire une boule de l’urne, on marque sa couleur et on la remet dans l’urne.

Étape 2 : On ajoute dans l’urne 5 boules de même couleur que la boule tirée à l’étape 1.

Étape 3 : On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne qui contient alors 12 boules après l’étape 2.

On considère les événements suivants :

\[ N:\text{ « la boule tirée à l’étape 1 est noire »} \] \[ R:\text{ « la boule tirée à l’étape 1 est rouge »} \] \[ E:\text{ « toutes les boules tirées à l’étape 3 sont noires »} \]

0,5 ptII-1 Montrer que : \[ P(E\cap N)=\frac{12}{55} \]

0,5 ptII-2 Calculer \(P(E)\)

0,5 ptII-3 Calculer la probabilité de l’événement \(R\) sachant que \(E\) est réalisé

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Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points

Partie I

Soit \(a\) un nombre complexe différent de \(1\). On considère dans l’ensemble \(\mathbb C\) l’équation :

\[ (E):\quad 2z^2-2(a-1)z+(a-1)^2=0 \]

0,5 ptI-1 Montrer que : \[ z_1=\frac{a-1}{2}(1+i) \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{a-1}{2}(1-i) \] sont les deux solutions de l’équation \((E)\)

On prend :

\[ a=e^{i\theta}\qquad\text{avec}\qquad 0<\theta<\pi \]

0,5 ptI-2-a Montrer que : \[ a-1=2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)} \]

1 ptI-2-b En déduire la forme trigonométrique de \(z_1\) et \(z_2\)

Partie II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).

On admet que :

\[ \operatorname{Re}(a)<0 \]

et on considère les points :

\[ A(a),\qquad B(-i),\qquad C(i),\qquad B'(1) \]

0,5 ptII-1 Déterminer, en fonction de \(a\), les affixes des points \(J\) et \(K\), milieux respectifs de \([AC]\) et \([AB]\)

Soit \(r_1\) la rotation de centre \(J\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(r_2\) la rotation de centre \(K\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

On pose :

\[ C'=r_1(C) \qquad\text{et}\qquad A'=r_2(A) \]

et soient \(c'\) l’affixe de \(C'\) et \(a'\) l’affixe de \(A'\).

0,5 ptII-2 Montrer que : \[ a'=z_1 \qquad\text{et}\qquad c'=z_2 \]

0,5 ptII-3 Calculer : \[ \frac{a'-c'}{a-1} \] et en déduire que la droite \((AB')\) est une hauteur du triangle \(A'B'C'\)

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Exercice 4 — Analyse — 8,25 points

1) Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ \begin{cases} f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2\ln^2x}},&x>0\\[2mm] f(0)=1 \end{cases} \]

0,5 pt1-a Montrer que \(f\) est continue à droite au point \(0\), puis calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \]

0,5 pt1-b Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite au point \(0\). On pourra utiliser le résultat : \[ \lim_{x\to0^+}x\ln^2x=0 \]

0,5 pt1-c Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que : \[ \forall x>0, \qquad f'(x)=\frac{-x\ln x(1+ \ln x)}{\left(1+x^2\ln^2x\right)^{\frac32}} \]

0,5 pt1-d Donner le tableau de variation de la fonction \(f\)

2) Soit \(F\) la fonction numérique définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt \]

et soit \((C_F)\) la courbe représentative de \(F\) dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\).

0,25 pt2-a Déterminer une primitive de la fonction : \[ x\mapsto \frac1{x\ln x} \] sur l’intervalle \([e,+\infty[\)

0,5 pt2-b Montrer que : \[ \forall t\geq e, \qquad t\ln t\leq \sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq \sqrt2\,t\ln t \]

0,75 pt2-c Montrer que : \[ \forall x\geq e, \qquad \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \ln(\ln x) \]

0,5 pt2-d En déduire que : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \]

0,5 pt2-e Montrer que \((C_F)\) admet deux points d’inflexion dont on déterminera les abscisses

1 pt2-f Construire \((C_F)\). On prend \(F(1)\simeq0,5\) et \(F\left(\dfrac1e\right)\simeq0,4\).

3) Pour tout \(x\in[0,+\infty[\), on pose :

\[ \varphi(x)=x-F(x) \]

0,75 pt3-a Montrer que : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty \] et étudier les variations de \(\varphi\)

0,5 pt3-b Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), l’équation : \[ \varphi(x)=n \] admet une seule solution \(\alpha_n\) dans l’intervalle \([0,+\infty[\)

0,5 pt3-c Montrer que : \[ \forall n\in\mathbb N, \qquad \alpha_n\geq n \] puis calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\alpha_n \]

0,5 pt4-a Montrer que : \[ \forall n\geq1, \qquad 0\leq \frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \leq \frac{F(n)}n+f(n) \]

On pourra utiliser le théorème des accroissements finis.

0,5 pt4-b Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n} \]

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Exercice 5 — Analyse — 1,75 point

Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose :

\[ u_n=\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2} \qquad\text{et}\qquad v_n=\ln(u_n) \]

0,25 pt1 Vérifier que : \[ \forall n\geq1, \qquad v_n=n^2\big(\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1))\big) \]

0,5 pt2 En utilisant le théorème des accroissements finis, montrer que : \[ \forall n\geq1, \quad \exists c\in]n,n+1[, \qquad v_n=\frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)} \]

0,5 pt3 Montrer que : \[ \forall n\geq1, \qquad \frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan(n)} < v_n < \frac{-n^2}{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} \]

0,5 pt4 Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n \]

FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION RATTRAPAGE — SCIENCES MATHÉMATIQUES