Parcours Maths Maroc

Correction des exercices 69 à 74 — Théorèmes de Rolle, accroissements finis et dérivabilité — Al Moufid Menu des exercices Exercice 69 Exercice 70 Exercice 71 Exercice 72 Exercice 73 Exercice 74 Exercice 69 — Application du théorème de Rolle Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \] 1) Montrer qu’il existe \(a\in\mathbb{R}_{-}^{\ast}\) et \(b\in\mathbb{R}_{+}^{\ast}\) tels que : \[ f(a)\gt f(0)+1 \quad\text{et}\quad f(b)\gt f(0)+1. \] 2) En déduire qu’il existe \(\alpha\in]a;0[\) et \(\beta\in]0;b[\) tels que : \[ f(\alpha)=f(\beta). \] 3) Montrer qu’il existe \(c\in\mathbb{R}\) tel que : \[ f'(c)=0. \] 1) Existence de \(a\) et \(b\) Lire la réponse + Masquer la réponse − Comme : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \] alors, pour le réel \(f(0)+1\), il existe un réel \(a\lt0\) tel que : \[ f(a)\g...

Correction des exercices 35 à 42 — Théorème de Rolle et applications — Al Moufid Menu des exercices Exercice 35 Exercice 36 Exercice 37 Exercice 38 Exercice 39 Exercice 40 Exercice 41 Exercice 42 Exercice 35 Dans chacun des cas suivants, montrer que la fonction \(f\) vérifie les conditions du théorème de Rolle sur \(I\), puis déterminer un nombre réel \(c\) de \(I\) vérifiant \(f'(c)=0\). 1) \[ f(x)=x^3-6x^2+11x-6, \qquad I=[1;3]. \] Lire la réponse + Masquer la réponse − La fonction \(f\) est polynomiale. Elle est donc continue sur \([1;3]\) et dérivable sur \(]1;3[\). \[ f(1)=1-6+11-6=0 \] \[ f(3)=27-54+33-6=0. \] Ainsi, \(f(1)=f(3)\). Le théorème de Rolle assure l’existence d’au moins un réel \(c\in]1;3[\) tel que \(f'(c)=0\). \[ f'(x)=3x^2-...