Limites de fonctions exponentielles — Exercices 04 et 05 corrigés

Limites de fonctions exponentielles

Exercices 04 et 05 — Calcul de limites et identités logarithmiques

Présentation de la ressource

Cette page regroupe deux exercices consacrés à la fonction exponentielle et au logarithme naturel. Le premier exercice propose neuf limites de formes variées. Le second porte sur deux identités faisant intervenir des puissances et le logarithme naturel.

Ces exercices permettent de réviser les limites usuelles de l’exponentielle, la comparaison entre fonctions polynomiales et exponentielles, les transformations algébriques et les propriétés du logarithme naturel.

Thème principal Fonction exponentielle et logarithme naturel

Contenu Neuf limites et deux identités

Type de ressource Exercices avec correction numérisée

Objectif Choisir une méthode adaptée à chaque forme

Méthode de travail conseillée : traiter chaque limite séparément, identifier la forme obtenue, transformer l’expression si nécessaire, puis utiliser uniquement les résultats de cours adaptés. Pour l’exercice 05, commencer par écrire les puissances sous forme exponentielle.

Rappels utiles

• l’exponentielle domine toute puissance de x au voisinage de +∞ ;
• pour étudier une différence d’exponentielles, une factorisation est souvent utile ;
• au voisinage de 0, certaines limites usuelles permettent de simplifier les expressions ;
• pour une expression logarithmique, il faut d’abord vérifier que son argument est strictement positif ;
• pour a > 0, on peut écrire a^t = e^{t ln(a)}.

Exercice 04

Calculer les neuf limites suivantes.

(a)

lim x → +∞ (e^2x − e^x + 3)

(b)

lim x → +∞ (x³ + x − 1 − e^x)

(c)

lim x → −∞ (x³ − 2)e^x

(d)

lim x → 0⁺ e^∛x − 1 x

(e)

lim x → −∞ e^x − 2x + 1 2e^x − x²

(f)

lim x → 0 e^3x − e^2x x

(g)

lim x → +∞ (2x³ − 4x² + 5x − 1)e^−x

(h)

lim x → 0⁺ x √(e^4x − 1)

(i)

lim x → +∞ [ln( e^2x + 5 e^x − 1 ) − x]

Exercice 05

Montrer les deux identités pour tous réels strictement positifs a, b et c.

a^ln(b) = b^ln(a)

a^ln(b/c) · b^ln(c/a) · c^ln(a/b) = 1

La condition a > 0, b > 0 et c > 0 est indispensable pour que les logarithmes et les puissances utilisées dans les identités soient bien définis.

Correction proposée

Correction numérisée des exercices 04 et 05.

Correction des exercices 04 et 05

Ouvrir l’image de correction

Points de vigilance

• ne pas appliquer automatiquement la même méthode aux neuf limites ;
• repérer les formes indéterminées avant toute transformation ;
• justifier les comparaisons entre polynômes et exponentielles ;
• contrôler le domaine des logarithmes avant de simplifier ;
• présenter clairement le résultat final de chaque limite.

Remarque : la correction numérisée sert de support de comparaison. Il est recommandé de refaire chaque calcul sans consulter l’image afin de vérifier que la méthode est réellement comprise.

Ressource proposée par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt