Étude de la fonction f(x) = 4ˣ − 2ˣ⁺² — Exercice corrigé

Étude d’une fonction exponentielle

Exercice corrigé sur f(x) = 4^x − 2^x+2 — 2e Bac Sciences

Présentation de l’exercice

Cette page propose l’étude complète d’une fonction exponentielle définie sur l’ensemble des nombres réels. L’exercice porte sur la continuité, le signe, la recherche d’un minimum, l’équation d’une tangente, les limites, les variations et la représentation graphique.

L’énoncé est suivi d’une proposition de correction manuscrite en trois parties. Les documents sont présentés dans leur ordre original afin de permettre une lecture progressive et une comparaison précise avec le travail réalisé par l’élève.

f(x) = 4^x − 2^x+2

Niveau 2e Bac Sciences

Chapitre Fonctions exponentielles

Type de ressource Exercice corrigé

Nature de la correction Correction manuscrite numérisée

Questions étudiées

• déterminer le domaine de définition et justifier la continuité de la fonction ;
• étudier le signe de la fonction sur ℝ ;
• montrer que la valeur minimale de la fonction est −4 ;
• déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 1 ;
• calculer les limites et interpréter les résultats graphiquement ;
• calculer la dérivée puis étudier son signe ;
• dresser le tableau de variations ;
• tracer la courbe en utilisant le point d’inflexion donné.

Méthode de travail conseillée : résoudre d’abord l’exercice sans consulter les images de correction. Comparer ensuite les réponses question par question, puis reprendre les calculs et les justifications qui ne sont pas suffisamment maîtrisés.

Résultats essentiels à vérifier

Les résultats ci-dessous servent de repères pour contrôler le raisonnement. Ils ne remplacent pas la rédaction détaillée demandée dans chaque question.

Domaine et continuité La fonction est définie et continue sur ℝ.

Signe f(x) est négative pour x < 2, nulle en 2 et positive pour x > 2.

Valeur minimale Le minimum est −4, atteint pour x = 1.

Tangente en 1 Son équation est y = −4.

Variations f décroît sur ]−∞, 1] puis croît sur [1, +∞[.

Point d’inflexion donné A(0, −3).

Énoncé de l’exercice

Document complet comportant les huit questions.

Document 1 sur 4 — Énoncé de l’exercice

Correction proposée

Correction manuscrite présentée en trois parties.

Document 2 sur 4 — Correction, partie 1 sur 3

Document 3 sur 4 — Correction, partie 2 sur 3

Document 4 sur 4 — Correction, partie 3 sur 3 et tracé de la courbe

Points de vigilance

• factoriser correctement par 2^x pour étudier le signe ;
• justifier le minimum à l’aide de l’identité f(x) + 4 = (2^x − 2)² ;
• ne pas oublier que f′(1) = 0 avant d’écrire l’équation de la tangente ;
• préciser que y = 0 est une asymptote horizontale au voisinage de −∞ ;
• indiquer la branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞ ;
• placer correctement les points A(0, −3), M(1, −4) et B(2, 0) sur le graphique.

Comment exploiter la correction ?

Après la lecture, il est recommandé de refaire entièrement l’exercice sans regarder les images. L’objectif est de reconstruire la démarche et de savoir expliquer le rôle de chaque factorisation, limite ou étude de signe.

Le tracé final doit être cohérent avec le tableau de variations, l’asymptote, le minimum, le zéro de la fonction et le point d’inflexion indiqué dans l’énoncé.

Remarque : cette correction est une proposition pédagogique personnelle destinée à accompagner les élèves dans leur préparation et leur révision.

Exercice proposé et corrigé par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt