Forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe — Exercice corrigé

Forme trigonométrique et exponentielle d’un nombre complexe

Exercice corrigé — 2e Bac Sciences Mathématiques

Présentation de l’exercice

Cette ressource propose un exercice sur l’écriture trigonométrique et exponentielle des nombres complexes. L’objectif est de passer d’une forme algébrique à une écriture faisant apparaître le module et un argument du nombre complexe.

L’énoncé est suivi d’une correction numérisée. Il est recommandé de résoudre d’abord les questions de manière autonome, puis de comparer la méthode et la rédaction avec la correction proposée.

Niveau 2e Bac Sciences Mathématiques

Chapitre Nombres complexes

Notions principales Module, argument, formes trigonométrique et exponentielle

Type de ressource Exercice avec correction numérisée

Rappels essentiels

Pour tout nombre complexe non nul z, si r = |z| et si θ est un argument de z, alors :

z = r[cos(θ) + i sin(θ)] = r e^iθ

• le module r est toujours strictement positif ;
• un argument est déterminé modulo 2π ;
• la position du point image permet de vérifier le quadrant de l’argument ;
• le passage à la forme exponentielle doit conserver le même module et le même argument.

Méthode de travail conseillée : calculer d’abord le module, déterminer ensuite un argument en tenant compte du quadrant, écrire la forme trigonométrique, puis en déduire la forme exponentielle.

Énoncé de l’exercice

Document à résoudre avant de consulter la correction.

Document 1 sur 2 — Énoncé de l’exercice

Correction proposée

Correction numérisée de l’exercice.

Document 2 sur 2 — Correction de l’exercice

Points de vigilance

• ne pas oublier que le module doit être positif ;
• vérifier le signe des parties réelle et imaginaire avant de choisir l’argument ;
• ne pas confondre un argument avec l’argument principal ;
• conserver exactement le même module lors du passage à la forme exponentielle ;
• présenter le résultat final sous une forme simplifiée.

Comment exploiter la correction ?

Comparez le calcul du module, le choix de l’argument et l’écriture finale. Repérez les étapes manquantes dans votre propre rédaction, puis refaites l’exercice sans consulter l’image de correction.

Remarque : la correction numérisée constitue un support de comparaison. L’objectif est de comprendre la démarche et de pouvoir l’appliquer à d’autres nombres complexes.

Ressource proposée par M. Hammou Boudraa — Professeur de mathématiques au Lycée Oum Rabiaâ, M’rirt