Somme trigonométrique à l’aide des nombres complexes
Exercice corrigé — 2e Bac Sciences Physiques
Présentation.
Cet exercice montre comment transformer une somme trigonométrique en partie imaginaire d’une somme géométrique complexe. Cette méthode permet de calculer exactement une somme de sinus.
Objectifs pédagogiques :
utiliser la forme exponentielle d’un nombre complexe, calculer une somme géométrique, simplifier une expression complexe et identifier sa partie imaginaire.
Conseil de travail.
Essayez d’abord d’exprimer les termes \(\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)\) comme les parties imaginaires des nombres \(e^{ik\pi/n}\), puis comparez votre démarche avec la correction.
Énoncé
On considère, pour tout entier \(n\geq 2\), la somme
\[ T_n= \sin\left(\frac{\pi}{n}\right) +\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) +\cdots +\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right). \]On pose
\[ a_n=e^{i\pi/n} \qquad\text{et}\qquad S_n=1+a_n+a_n^2+\cdots+a_n^{n-1}. \]Montrer que
\[ S_n=1+\frac{i}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}, \]puis en déduire l’expression de \(T_n\) en fonction de \(n\).
Correction
1. Calcul de la somme géométrique \(S_n\)
Comme \(a_n=e^{i\pi/n}\), on a
\[ a_n^n=e^{i\pi}=-1. \]De plus, \(a_n\neq 1\) pour \(n\geq 2\). La somme géométrique donne donc
\[ S_n=\frac{1-a_n^n}{1-a_n} =\frac{1-(-1)}{1-e^{i\pi/n}} =\frac{2}{1-e^{i\pi/n}}. \]2. Simplification de \(S_n\)
Posons \(\theta=\frac{\pi}{n}\). Alors
\[ 1-e^{i\theta} =e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2}-e^{i\theta/2}\right) =-2i\,e^{i\theta/2}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right). \]Par conséquent,
\[ S_n=\frac{2}{1-e^{i\theta}} =\frac{i\,e^{-i\theta/2}}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \]Or
\[ e^{-i\theta/2} =\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) -i\sin\left(\frac{\theta}{2}\right). \]Ainsi,
\[ S_n =1+i\frac{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)} =1+\frac{i}{\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)}. \]Comme \(\theta=\frac{\pi}{n}\), on obtient
\[ S_n=1+\frac{i}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}. \]3. Détermination de \(T_n\)
D’autre part,
\[ S_n=1+e^{i\pi/n}+e^{2i\pi/n}+\cdots+e^{(n-1)i\pi/n}. \]La partie imaginaire de \(S_n\) est donc
\[ \operatorname{Im}(S_n) =\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) +\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) +\cdots +\sin\left(\frac{(n-1)\pi}{n}\right) =T_n. \]Or
\[ \operatorname{Im}(S_n) =\frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}. \]
Réponse finale :
\[
\boxed{
T_n=\frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{2n}\right)}
=\operatorname{cotan}\left(\frac{\pi}{2n}\right)
}
\]
À retenir
Lorsqu’une somme contient des sinus ou des cosinus d’angles régulièrement espacés, il est souvent efficace de l’interpréter comme la partie imaginaire ou la partie réelle d’une somme géométrique de nombres complexes.
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