Correction Concours ENSA Maroc 2024

Correction Concours ENSA Maroc 2024 — Mathématiques

Concours d’accès en 1^ère année des ENSA Maroc

Session juillet 2024 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30 min

Présentation

Cette page propose une correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2024. Chaque question est corrigée avec une justification claire, des rappels utiles et les calculs nécessaires.

Réponses finales

\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccccccccccccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline \text{Réponse} & A&A&D&B&C&D&A&C&A&C&B&D&C&A&B&D&C&C&B&C \end{array} } \]

Correction détaillée question par question

Question 1

Rappel de la question : les feuilles suivent l’ordre bleu, vert, jaune. Une feuille sur quatre, en commençant par la quatrième, contient le logo ENSA. Parmi 100 candidats, on cherche le nombre de feuilles jaunes contenant le logo.

Rappel utile
Quand deux phénomènes périodiques se répètent, on cherche les rangs qui vérifient simultanément les deux conditions. Cela revient à utiliser le \(\operatorname{ppcm}\).

Réponse

Les feuilles jaunes correspondent aux rangs multiples de \(3\). Les feuilles contenant le logo correspondent aux rangs multiples de \(4\). Il faut donc compter les rangs multiples de \(\operatorname{ppcm}(3,4)=12\) parmi les entiers de \(1\) à \(100\). \[ 12,24,36,48,60,72,84,96. \] Il y en a donc \(8\).

Idée utile : quand deux phénomènes périodiques se répètent, on utilise le ppcm des périodes.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 2

Rappel de la question : calculer \[ \frac{1}{5}\sqrt{101\times102\times103\times104+1}. \]

Rappel utile
Pour éviter un long calcul, on reconnaît l’identité \(n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2\).

Réponse

On utilise l’identité : \[ n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2. \] Avec \(n=101\), on obtient : \[ 101\times102\times103\times104+1=(101^2+3\times101+1)^2. \] Or : \[ 101^2+3\times101+1=10201+303+1=10505. \] Donc : \[ \frac{1}{5}\sqrt{101\times102\times103\times104+1}=\frac{10505}{5}=2101. \]

Idée utile : chercher une identité remarquable cachée permet d’éviter un calcul très long.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 3

Rappel de la question : calculer \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{(-1)^n n+1}{n+\sqrt n}. \]

Rappel utile
En présence de \((-1)^n\), on compare les sous-suites paires et impaires. Si elles ont deux limites différentes, la suite ne converge pas.

Réponse

Si \(n\) est pair, alors \((-1)^n=1\), donc : \[ \frac{(-1)^n n+1}{n+\sqrt n}=\frac{n+1}{n+\sqrt n}\longrightarrow 1. \] Si \(n\) est impair, alors \((-1)^n=-1\), donc : \[ \frac{(-1)^n n+1}{n+\sqrt n}=\frac{-n+1}{n+\sqrt n}\longrightarrow -1. \] Les deux sous-suites n’ont pas la même limite. La suite n’a donc pas de limite.

Idée utile : en présence de \((-1)^n\), il faut comparer les sous-suites paires et impaires.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 4

Rappel de la question : calculer \[ \lim_{x\to\frac{\pi}{4}} \frac{\cos\left(\frac{2x}{3}\right)-\sqrt3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)}{\cos(2x)}. \]

Rappel utile
Dans une forme \(\frac00\), on peut comparer les dérivées au voisinage du point lorsque les deux fonctions s’annulent au même point.

Réponse

En \(x=\frac{\pi}{4}\), le dénominateur vaut :

\[ \cos\left(2\cdot\frac{\pi}{4}\right)=\cos\frac{\pi}{2}=0. \]

Le numérateur vaut aussi \(0\). On pose :

\[ N(x)=\cos\left(\frac{2x}{3}\right)-\sqrt3\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \qquad D(x)=\cos(2x). \]

On compare les variations au voisinage de \(\frac{\pi}{4}\) en dérivant :

\[ N'(x)=-\frac23\sin\left(\frac{2x}{3}\right) -2\sqrt3\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), \] et : \[ D'(x)=-2\sin(2x). \]

En \(x=\frac{\pi}{4}\) :

\[ N'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac23\sin\frac{\pi}{6} -2\sqrt3\cos\frac{\pi}{6}. \]

Donc :

\[ N'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac23\cdot\frac12 -2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} = -\frac13-3 = -\frac{10}{3}. \]

Et :

\[ D'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2\sin\frac{\pi}{2} = -2. \]

Le quotient a donc pour limite :

\[ \frac{N'\left(\frac{\pi}{4}\right)}{D'\left(\frac{\pi}{4}\right)} = \frac{-\frac{10}{3}}{-2} = \frac53. \]

Or :

\[ \frac53=\frac{10}{6}. \]

Idée utile : dans une forme \(\frac00\), on peut utiliser les dérivées si le numérateur et le dénominateur s’annulent au même point.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 5

Rappel de la question : soit \((u_n)\) une suite d’éléments de \(]0,1[\) telle que \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad (1-u_n)u_{n+1}\gt\frac14. \]

Rappel utile
Sur \([0,1]\), l’inégalité \(x(1-x)\le\frac14\) permet de comparer deux termes consécutifs de la suite.

Réponse

Pour tout \(x\in[0,1]\), on a : \[ x(1-x)\leq \frac14. \] En particulier : \[ u_n(1-u_n)\leq\frac14\lt(1-u_n)u_{n+1}. \] Comme \(1-u_n\gt0\), on obtient : \[ u_n\lt u_{n+1}. \] La suite est donc strictement croissante. Elle est majorée par \(1\), donc elle converge vers une limite \(\ell\in[0,1]\). En passant à la limite dans l’inégalité, on obtient : \[ \ell(1-\ell)\geq\frac14. \] Or \(\ell(1-\ell)\leq\frac14\). Donc : \[ \ell(1-\ell)=\frac14, \] d’où : \[ \ell=\frac12. \]

Idée utile : l’inégalité \(x(1-x)\leq\frac14\) sur \([0,1]\) est centrale ici.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 6

Rappel de la question : dans \(\mathbb R\), résoudre \[ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=1. \]

Rappel utile
Quand une expression contient \(x\) et \(\sqrt{x-1}\), le changement \(t=\sqrt{x-1}\) transforme les radicandes en carrés parfaits.

Réponse

Il faut d’abord \(x\geq1\). Posons : \[ t=\sqrt{x-1}\geq0. \] Alors \(x=t^2+1\), et : \[ x+2\sqrt{x-1}=t^2+1+2t=(t+1)^2, \] \[ x-2\sqrt{x-1}=t^2+1-2t=(t-1)^2. \] Donc : \[ \sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=|t+1|+|t-1|. \] Comme \(t\geq0\), on a \(|t+1|=t+1\). Si \(0\leq t\lt1\), la somme vaut \(2\). Si \(t\geq1\), la somme vaut \(2t\geq2\). Dans tous les cas, le membre de gauche est supérieur ou égal à \(2\), donc il ne peut pas être égal à \(1\).

Idée utile : reconnaître \((t+1)^2\) et \((t-1)^2\), puis ne pas oublier les valeurs absolues.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 7

Rappel de la question : soit \(m\in\mathbb R\). On considère \[ (E_m):\qquad e^{2x}-2me^x+1=0. \]

Rappel utile
Avec \(e^{2x}\) et \(e^x\), on pose \(X=e^x\), en gardant toujours la condition \(X\gt0\).

Réponse

Posons \(X=e^x\). Alors \(X\gt0\), et l’équation devient : \[ X^2-2mX+1=0. \] Son discriminant est : \[ \Delta=4(m^2-1). \] Si \(m\gt1\), alors \(\Delta\gt0\), et les deux racines sont : \[ X_1=m-\sqrt{m^2-1},\qquad X_2=m+\sqrt{m^2-1}. \] Elles sont positives et leur produit vaut \(1\). L’une est donc inférieure à \(1\), l’autre supérieure à \(1\). Par conséquent, les solutions \(x_1=\ln X_1\) et \(x_2=\ln X_2\) sont de signes contraires.

Idée utile : avec \(e^{2x}\) et \(e^x\), poser \(X=e^x\), avec la condition \(X\gt0\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 8

Rappel de la question : soit \(f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[\) dérivable, \(f(0)=0\), et \[ \forall x\geq0, \qquad f'(x)\leq af(x),\qquad a\gt0. \]

Rappel utile
L’expression \(e^{-ax}f(x)\) est choisie parce que sa dérivée contient exactement \(f'(x)-af(x)\).

Réponse

Posons :

\[ g(x)=e^{-ax}f(x). \]

On dérive avec la règle du produit :

\[ g'(x)=(-a)e^{-ax}f(x)+e^{-ax}f'(x). \]

Donc :

\[ g'(x)=e^{-ax}\bigl(f'(x)-af(x)\bigr). \]

Or l’énoncé donne :

\[ f'(x)\le af(x). \]

Donc :

\[ f'(x)-af(x)\le0. \]

Comme \(e^{-ax}\gt0\), on obtient :

\[ g'(x)\le0. \]

Ainsi \(g\) est décroissante sur \([0,+\infty[\).

De plus :

\[ g(0)=e^0f(0)=0. \]

Comme \(g\) est décroissante, pour tout \(x\ge0\), on a :

\[ g(x)\le g(0)=0. \]

Mais \(f(x)\ge0\) et \(e^{-ax}\gt0\), donc :

\[ g(x)=e^{-ax}f(x)\ge0. \]

On a donc simultanément :

\[ g(x)\le0 \quad\text{et}\quad g(x)\ge0. \]

Donc :

\[ g(x)=0. \]

Comme \(e^{-ax}\ne0\), on obtient :

\[ f(x)=0. \]

Ainsi \(f\) est la fonction nulle sur \([0,+\infty[\).

Idée utile : devant \(f'(x)-af(x)\), penser à dériver \(e^{-ax}f(x)\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 9

Rappel de la question : \[ f(x)= \begin{cases} e^{-\frac1{x^2}}, & x\gt0,\\ 0, & x\leq0. \end{cases} \] Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to0}f'(x)\).

Rappel utile
Au voisinage de \(0^+\), l’exponentielle \(e^{-1/x^2}\) tend vers \(0\) plus rapidement que les puissances de \(1/x\) ne grandissent.

Réponse

Pour \(x\lt0\), on a \(f(x)=0\), donc \(f'(x)=0\). Pour \(x\gt0\) : \[ f'(x)=e^{-\frac1{x^2}}\cdot\frac{2}{x^3}=\frac{2}{x^3}e^{-\frac1{x^2}}. \] Lorsque \(x\to0^+\), posons \(t=\frac1{x^2}\). Alors \(t\to+\infty\), et : \[ \frac{2}{x^3}e^{-\frac1{x^2}}=2t^{\frac32}e^{-t}\longrightarrow0. \] À gauche, \(f'(x)=0\). Donc : \[ \lim_{x\to0}f'(x)=0. \]

Idée utile : l’exponentielle \(e^{-1/x^2}\) l’emporte sur les puissances de \(1/x\) au voisinage de \(0^+\).

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 10

Rappel de la question : calculer \[ I=\int_1^2\frac{\ln(1+x)-\ln x}{x^2}\,dx. \]

Rappel utile
Avec un logarithme divisé par \(x^2\), l’intégration par parties avec \(v'(x)=\frac1{x^2}\) est naturelle.

Réponse

Posons : \[ u(x)=\ln(1+x)-\ln x, \qquad v'(x)=\frac1{x^2}. \] Alors : \[ u'(x)=\frac1{1+x}-\frac1x=-\frac1{x(1+x)}, \qquad v(x)=-\frac1x. \] Par intégration par parties : \[ I=\left[-\frac{\ln(1+x)-\ln x}{x}\right]_1^2- \int_1^2\frac{dx}{x^2(1+x)}. \] On a : \[ \left[-\frac{\ln(1+x)-\ln x}{x}\right]_1^2=\frac32\ln2-\frac12\ln3. \] De plus : \[ \frac1{x^2(1+x)}=-\frac1x+\frac1{x^2}+\frac1{1+x}. \] Donc : \[ \int_1^2\frac{dx}{x^2(1+x)}=\ln3-2\ln2+\frac12. \] Finalement : \[ I=\frac32\ln2-\frac12\ln3-\left(\ln3-2\ln2+\frac12\right) =\frac72\ln2-\frac32\ln3-\frac12. \]

Idée utile : avec un logarithme divisé par \(x^2\), l’intégration par parties avec \(v' = 1/x^2\) est naturelle.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 11

Rappel de la question : calculer \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)e^x\,dx. \]

Rappel utile
La primitive de \(e^x\sin x\) peut être obtenue par deux intégrations par parties ou vérifiée directement par dérivation.

Réponse

On utilise la primitive classique : \[ \int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x(\sin x-\cos x)}2. \] Donc : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}e^x\sin x\,dx= \left[\frac{e^x(\sin x-\cos x)}2\right]_0^{\frac{\pi}{2}}. \] En \(x=\frac{\pi}{2}\), on obtient \(\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}\). En \(x=0\), on obtient \(-\frac12\). Donc : \[ I=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}+\frac12=\frac{1+e^{\frac{\pi}{2}}}{2}. \]

Idée utile : \(\int e^x\sin x\,dx\) se calcule par deux intégrations par parties ou par primitive connue.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 12

Rappel de la question : \[ I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^n)^2}. \] Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}I_n\).

Rappel utile
Dans une limite d’intégrales, la valeur prise en un point isolé ne change pas la valeur de l’intégrale.

Réponse

Pour tout \(t\in[0,1[\), on a \(t^n\to0\). Donc : \[ \frac1{(1+t^n)^2}\to1. \] Au point \(t=1\), la valeur est \(\frac14\), mais la valeur en un seul point ne change pas l’intégrale. Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}I_n=\int_0^1 1\,dt=1. \]

Idée utile : dans une limite d’intégrales, la valeur isolée au point \(t=1\) ne change pas l’intégrale.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 13

Rappel de la question : calculer le nombre de diviseurs positifs de \(10!\).

Rappel utile
Si \(N=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\), alors le nombre de diviseurs positifs de \(N\) est \((a_1+1)\cdots(a_k+1)\).

Réponse

On décompose \(10!\) en facteurs premiers : \[ 10!=2^8\cdot3^4\cdot5^2\cdot7. \] Le nombre de diviseurs positifs est donc : \[ (8+1)(4+1)(2+1)(1+1)=9\times5\times3\times2=270. \]

Idée utile : si \(N=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}\), alors le nombre de diviseurs positifs de \(N\) est \((a_1+1)\cdots(a_k+1)\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 14

Rappel de la question : trouver le reste de la division euclidienne de \[ 2^{123}+3^{121} \] par \(11\).

Rappel utile
Pour les grandes puissances modulo \(11\), on réduit les exposants à l’aide des périodes.

Réponse

On travaille modulo \(11\). Comme \(2^{10}\equiv1\ [11]\), on a : \[ 2^{123}=2^{120}2^3\equiv8\ [11]. \] Aussi : \[ 3^5=243\equiv1\ [11]. \] Donc : \[ 3^{121}=3^{120}3\equiv3\ [11]. \] Ainsi : \[ 2^{123}+3^{121}\equiv8+3\equiv11\equiv0\ [11]. \] Le reste est donc \(0\).

Idée utile : pour les grandes puissances modulo \(11\), il faut chercher une période.

Réponse correcte : \(\boxed{A}\)

Question 15

Rappel de la question : soient \(z_1\) et \(z_2\) les solutions de \[ iz^2+(2-3i)z+5i-5=0. \] Calculer \(|z_1|^2+|z_2|^2\).

Rappel utile
Pour une équation du second degré à coefficients complexes, on calcule le discriminant puis une racine carrée complexe.

Réponse

On divise l’équation par \(i\). On obtient : \[ z^2+(-3-2i)z+5+5i=0. \] Le discriminant vaut : \[ \Delta=(-3-2i)^2-4(5+5i)=-15-8i. \] Or : \[ (1-4i)^2=-15-8i. \] Donc les solutions sont : \[ z_1=\frac{3+2i+1-4i}{2}=2-i, \] et : \[ z_2=\frac{3+2i-1+4i}{2}=1+3i. \] Ainsi : \[ |z_1|^2=5,\qquad |z_2|^2=10. \] Donc : \[ |z_1|^2+|z_2|^2=15. \]

Idée utile : pour une équation du second degré complexe, on calcule le discriminant puis une racine carrée complexe.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 16

Rappel de la question : \[ Z=\frac12\left[(1+i)^4+(i-1)^4\right]. \] Déterminer \(\arg(Z)\).

Rappel utile
Pour déterminer un argument, on simplifie d’abord le nombre complexe. Un réel strictement négatif a pour argument \(\pi\) modulo \(2\pi\).

Réponse

On a : \[ (1+i)^2=2i, \] donc : \[ (1+i)^4=(2i)^2=-4. \] D’autre part, \(i-1=-1+i\), donc : \[ (-1+i)^2=-2i, \] et : \[ (i-1)^4=(-2i)^2=-4. \] Ainsi : \[ Z=\frac12(-4-4)=-4. \] Le nombre \(Z=-4\) est réel strictement négatif, donc : \[ \arg(Z)\equiv \pi\ [2\pi]. \]

Idée utile : pour déterminer un argument, on commence par simplifier le nombre complexe.

Réponse correcte : \(\boxed{D}\)

Question 17

Rappel de la question : dans le plan, on considère \[ A(2,6),\qquad B(3,1),\qquad C(4,7). \] Trouver la distance de \(A\) à la droite \((BC)\).

Rappel utile
La distance d’un point à une droite se calcule à partir d’une équation cartésienne de cette droite.

Réponse

On cherche d’abord un vecteur directeur de la droite \((BC)\).

On écrit :

\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}. \]

Avec \(B(3,1)\) et \(C(4,7)\), on obtient :

\[ \overrightarrow{BC}=(4,7)-(3,1)=(1,6). \]

Un vecteur normal à \((BC)\) est donc :

\[ \vec n=(6,-1). \]

Une équation de la droite \((BC)\) passant par \(B(3,1)\) est :

\[ 6(x-3)-(y-1)=0. \]

Donc :

\[ 6x-y-17=0. \]

La distance du point \(A(2,6)\) à cette droite est :

\[ d=\frac{|6\cdot2-6-17|}{\sqrt{6^2+(-1)^2}}. \]

Donc :

\[ d=\frac{|-11|}{\sqrt{37}} = \frac{11}{\sqrt{37}}. \]

Idée utile : pour la distance d’un point à une droite, on cherche d’abord une équation cartésienne de la droite.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 18

Rappel de la question : dans l’espace, on considère \(A(1,-1,2)\) et \(B(3,5,4)\). La sphère \((S)\) contient \(A\) et \(B\), et le segment \([AB]\) passe par son centre. On demande l’équation du plan tangent à \((S)\) au point \(C(1,5,4)\).

Rappel utile
Si \([AB]\) est un diamètre d’une sphère, le centre est le milieu de \([AB]\). Le plan tangent en \(C\) est perpendiculaire au rayon \(\Omega C\).

Réponse

Comme \([AB]\) passe par le centre de la sphère et que \(A,B\in(S)\), le segment \([AB]\) est un diamètre.

Le centre \(\Omega\) est donc le milieu de \([AB]\) :

\[ \Omega\left(\frac{1+3}{2},\frac{-1+5}{2},\frac{2+4}{2}\right). \]

Ainsi :

\[ \Omega(2,2,3). \]

Le plan tangent en \(C\) est perpendiculaire au rayon \(\Omega C\). Calculons le vecteur \(\overrightarrow{\Omega C}\) :

\[ \overrightarrow{\Omega C} = \overrightarrow{\Omega O}+\overrightarrow{OC} = -\overrightarrow{O\Omega}+\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O\Omega}. \]

Avec \(C(1,5,4)\) et \(\Omega(2,2,3)\), on obtient :

\[ \overrightarrow{\Omega C}=(1,5,4)-(2,2,3)=(-1,3,1). \]

Un vecteur normal au plan tangent est donc :

\[ \vec n=(-1,3,1). \]

L’équation du plan tangent en \(C(1,5,4)\) est :

\[ -1(x-1)+3(y-5)+1(z-4)=0. \]

En développant :

\[ -x+1+3y-15+z-4=0. \]

Donc :

\[ -x+3y+z-18=0. \]

Idée utile : le plan tangent à une sphère au point \(C\) est perpendiculaire au rayon \(\Omega C\).

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Question 19

Rappel de la question : le site \(1\) fabrique deux fois plus de capteurs que le site \(2\). Le taux de capteurs défectueux est \(3\%\) pour le site \(1\) et \(4\%\) pour le site \(2\). On demande la probabilité qu’un capteur choisi au hasard provienne du site \(1\) et soit défectueux.

Rappel utile
La phrase « provient du site 1 et soit défectueux » correspond à l’intersection \(S_1\cap D\).

Réponse

Comme le site \(1\) fabrique deux fois plus que le site \(2\), on a : \[ P(S_1)=\frac23, \qquad P(S_2)=\frac13. \] De plus : \[ P(D\mid S_1)=3\%=0,03. \] Donc : \[ P(S_1\cap D)=P(S_1)P(D\mid S_1)=\frac23\times0,03=0,02. \]

Idée utile : « provient du site 1 et soit défectueux » correspond à une intersection.

Réponse correcte : \(\boxed{B}\)

Question 20

Rappel de la question : dans les conditions de la question précédente, on demande la probabilité que le capteur provienne du site \(1\), sachant qu’il est défectueux.

Rappel utile
Pour calculer \(P(S_1\mid D)\), on utilise la formule de Bayes : on divise \(P(S_1\cap D)\) par \(P(D)\).

Réponse

On utilise la formule de Bayes. On a déjà : \[ P(S_1\cap D)=\frac23\times0,03=0,02. \] De plus : \[ P(S_2\cap D)=\frac13\times0,04=\frac{0,04}{3}. \] Donc : \[ P(D)=0,02+\frac{0,04}{3}=\frac{0,06+0,04}{3}=\frac{0,10}{3}. \] Ainsi : \[ P(S_1\mid D)=\frac{P(S_1\cap D)}{P(D)} =\frac{0,02}{\frac{0,10}{3}} =0,6. \]

Idée utile : pour une probabilité du type « sachant qu’il est défectueux », on utilise Bayes ou un arbre pondéré.

Réponse correcte : \(\boxed{C}\)

Conseil aux élèves

Dans ce sujet, les points importants sont les périodicités, les limites avec sous-suites, les suites monotones, les équations exponentielles, les intégrales, l’arithmétique, les complexes, la géométrie analytique et les probabilités conditionnelles.

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