Correction — Concours ENSA Maroc 2025 — Mathématiques
Concours d’accès en 1ère année des ENSA Maroc
Session juillet 2025 — Épreuve de mathématiques — Durée : 1 h 30
Présentation
Cette page propose une correction pédagogique de l’épreuve de mathématiques du Concours ENSA Maroc 2025. Les questions sont corrigées une par une avec une justification claire, des rappels utiles et des calculs détaillés.
Réponses finales
\[ \boxed{ \begin{array}{c|cccccccccccccccccccc} \text{Question} & 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\ \hline \text{Réponse} & D&D&A&C&B&D&A&C&C&C&D&C&A&A&C&A&A&A&B&A \end{array} } \]Correction question par question
Question 1
Le nombre complexe :
\[ Z=(-1+i\sqrt3)^{2010}+(-1-i\sqrt3)^{2010} \]La valeur de \(Z\) est :
A) \(2^{2009}\)
B) \(2i\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\exp\left(\frac{i4\pi}{3}\right)\)
C) \(2\cos\left(\frac{4\pi}{3}\right)\exp\left(\frac{i2\pi}{3}\right)\)
D) \(2^{2011}\)
Pour calculer une grande puissance d’un nombre complexe, on passe à la forme exponentielle \(re^{i\theta}\), puis on réduit l’argument modulo \(2\pi\).
On écrit les deux nombres complexes sous forme exponentielle :
\[ -1+i\sqrt3=2e^{i\frac{2\pi}{3}}, \qquad -1-i\sqrt3=2e^{-i\frac{2\pi}{3}}. \]Donc :
\[ (-1+i\sqrt3)^{2010} = 2^{2010}e^{i2010\frac{2\pi}{3}}, \] \[ (-1-i\sqrt3)^{2010} = 2^{2010}e^{-i2010\frac{2\pi}{3}}. \]Or :
\[ 2010\cdot\frac{2\pi}{3} = 1340\pi = 670\cdot2\pi. \]Donc :
\[ e^{i2010\frac{2\pi}{3}}=1, \qquad e^{-i2010\frac{2\pi}{3}}=1. \]Ainsi :
\[ Z=2^{2010}+2^{2010}=2^{2011}. \]Réponse correcte : D
Question 2
Dans \(\mathbb C\), on considère :
\[ z^6=(1-i)\overline z. \]On note \(z\) une solution non nulle. Alors :
A) \(|z|=1\)
B) \(|z|=\sqrt3\)
C) \(|z|=2^{1/5}\)
D) \(|z|=2^{1/10}\)
En prenant le module d’une égalité complexe, on obtient une égalité réelle positive. On utilise aussi \(|\overline z|=|z|\).
Comme \(z\neq0\), on peut travailler avec son module.
En prenant les modules dans l’équation :
\[ |z^6|=|(1-i)\overline z|. \]Donc :
\[ |z|^6=|1-i|\,|\overline z|. \]Or :
\[ |1-i|=\sqrt2 \quad\text{et}\quad |\overline z|=|z|. \]Donc :
\[ |z|^6=\sqrt2\,|z|. \]Comme \(z\neq0\), on a \(|z|\neq0\), donc :
\[ |z|^5=\sqrt2=2^{\frac12}. \]Ainsi :
\[ |z|=2^{\frac1{10}}. \]Réponse correcte : D
Question 3
Dans \(\mathbb C\), on considère :
\[ z^2+z+1=\frac1{z+1}. \]On note \(z_1\) et \(z_2\) les solutions non réelles. On a :
A) \(|z_1|=|z_2|\)
B) \(|z_1|\gt |z_2|\)
C) \(|z_1|\lt |z_2|\)
D) \(|z_1|=2|z_2|\)
Avant de multiplier par \(z+1\), il faut vérifier que \(z\ne-1\). Ensuite, on factorise et on conserve les solutions non réelles demandées.
Le quotient impose :
\[ z\neq -1. \]On multiplie par \(z+1\) :
\[ (z+1)(z^2+z+1)=1. \]En développant :
\[ z^3+2z^2+2z+1=1. \]Donc :
\[ z^3+2z^2+2z=0. \]On factorise :
\[ z(z^2+2z+2)=0. \]Les solutions non réelles vérifient :
\[ z^2+2z+2=0. \]Donc :
\[ z=-1\pm i. \]Les deux solutions non réelles ont donc le même module :
\[ |-1+i|=|-1-i|=\sqrt2. \]Réponse correcte : A
Question 4
On note \(S\) l’ensemble des points \(M(z)\) vérifiant :
\[ |z-3|=\frac{\sqrt2}{2}|z-5|. \]Alors :
A) \(S=\varnothing\)
B) \(S=\mathbb C\)
C) \(S\) est le cercle de centre \((1,0)\) et de rayon \(2\sqrt2\)
D) \(S\) est le cercle de centre \((0,1)\) et de rayon \(\frac12\)
Une équation de la forme \(|z-a|=k|z-b|\), avec \(k\ne1\), donne généralement un cercle d’Apollonius.
Posons :
\[ z=x+iy. \]On élève au carré :
\[ |z-3|^2=\frac12|z-5|^2. \]Donc :
\[ (x-3)^2+y^2=\frac12\left((x-5)^2+y^2\right). \]En multipliant par \(2\) :
\[ 2(x-3)^2+2y^2=(x-5)^2+y^2. \]En développant et en simplifiant :
\[ x^2-2x+y^2-7=0. \]Donc :
\[ (x-1)^2+y^2=8. \]On obtient le cercle de centre :
\[ (1,0) \]et de rayon :
\[ \sqrt8=2\sqrt2. \]Réponse correcte : C
Question 5
Les points \(A,B,C,D\) ont pour affixes \(1,-1,i,-i\). Pour \(M\in U\), où \(U\) est l’ensemble des complexes de module \(1\), on pose :
\[ p(M)=MA\times MB\times MC\times MD. \]On pose :
\[ m=\sup_{M\in U}p(M). \]Alors :
A) \(m=1\)
B) \(m=2\)
C) \(m=3\)
D) \(m=+\infty\)
Un produit de distances peut se transformer en module d’un produit de facteurs complexes : \(|z-a_1|\cdots|z-a_n|=|(z-a_1)\cdots(z-a_n)|\).
Soit \(z\) l’affixe de \(M\), avec :
\[ |z|=1. \]On a :
\[ p(M)=|z-1||z+1||z-i||z+i|. \]Donc :
\[ p(M)=|(z-1)(z+1)(z-i)(z+i)|. \]Or :
\[ (z-1)(z+1)=z^2-1 \]et :
\[ (z-i)(z+i)=z^2+1. \]Donc :
\[ p(M)=|(z^2-1)(z^2+1)|=|z^4-1|. \]Comme \(|z|=1\), on a :
\[ |z^4|=1. \]Alors :
\[ |z^4-1|\le |z^4|+1=2. \]Cette valeur \(2\) est atteinte lorsque :
\[ z^4=-1. \]Donc :
\[ m=2. \]Réponse correcte : B
Question 6
Soit \(a\) l’entier naturel défini par :
\[ 2025^{2025}\equiv a \pmod 7. \]La valeur de \(a\) est :
A) \(a=3\)
B) \(a=2\)
C) \(a=5\)
D) \(a=1\)
En arithmétique modulaire, on réduit d’abord la base, puis on utilise la périodicité des puissances.
On commence par réduire \(2025\) modulo \(7\) :
\[ 2025=7\times289+2. \]Donc :
\[ 2025\equiv2\pmod 7. \]Ainsi :
\[ 2025^{2025}\equiv2^{2025}\pmod 7. \]Or :
\[ 2^3=8\equiv1\pmod 7. \]Comme :
\[ 2025=3\times675, \]on obtient :
\[ 2^{2025}=(2^3)^{675}\equiv1^{675}\equiv1\pmod 7. \]Donc :
\[ a=1. \]Réponse correcte : D
Question 7
Le PGCD de \(3^{123}-5\) et \(125\) est :
A) \(1\)
B) \(5\)
C) \(25\)
D) \(125\)
Pour calculer un PGCD avec \(125=5^3\), on commence par tester la divisibilité par \(5\).
Comme :
\[ 125=5^3, \]il suffit de savoir si \(3^{123}-5\) est divisible par \(5\).
On travaille modulo \(5\). Les puissances de \(3\) modulo \(5\) sont périodiques de période \(4\), car :
\[ 3^4=81\equiv1\pmod5. \]Or :
\[ 123\equiv3\pmod4. \]Donc :
\[ 3^{123}\equiv3^3\equiv27\equiv2\pmod5. \]Ainsi :
\[ 3^{123}-5\equiv2-0\equiv2\pmod5. \]Donc \(5\nmid 3^{123}-5\). Le PGCD avec \(125\) vaut donc :
\[ 1. \]Réponse correcte : A
Question 8
On considère :
\[ u_n=\frac{\ln(1+\sqrt n)}{\ln(1+n^3)}. \]On note :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}u_n. \]Alors :
A) \(L=1\)
B) \(L=\sqrt3\)
C) \(L=\frac16\)
D) \(L=\frac13\)
Pour comparer deux logarithmes qui tendent vers l’infini, on extrait le terme dominant à l’intérieur de chaque logarithme.
On transforme le numérateur :
\[ \ln(1+\sqrt n) = \ln\left(\sqrt n\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\right). \]Donc :
\[ \ln(1+\sqrt n) = \frac12\ln n+\ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right). \]Or :
\[ \ln\left(1+\frac1{\sqrt n}\right)\to0. \]De même :
\[ \ln(1+n^3) = \ln\left(n^3\left(1+\frac1{n^3}\right)\right) = 3\ln n+\ln\left(1+\frac1{n^3}\right). \]Donc :
\[ \ln(1+n^3)\sim 3\ln n. \]Ainsi :
\[ u_n\to\frac{\frac12}{3}=\frac16. \]Réponse correcte : C
Question 9
On considère :
\[ u_0=1,\qquad u_{n+1}=\frac{u_n}{1+2u_n}. \]En posant :
\[ v_n=\frac1{u_n}, \]on trouve :
A) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=0\)
B) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=1\)
C) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=\frac12\)
D) \(\lim\limits_{n\to+\infty}nu_n=\frac14\)
Le changement \(v_n=\frac1{u_n}\) transforme ici la relation de récurrence en suite arithmétique.
On a :
\[ v_n=\frac1{u_n}. \]Alors :
\[ v_{n+1} = \frac1{u_{n+1}} = \frac{1+2u_n}{u_n} = \frac1{u_n}+2. \]Donc :
\[ v_{n+1}=v_n+2. \]Comme :
\[ v_0=\frac1{u_0}=1, \]on obtient :
\[ v_n=1+2n. \]Donc :
\[ u_n=\frac1{2n+1}. \]Ainsi :
\[ nu_n=\frac{n}{2n+1}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}nu_n=\frac12. \]Réponse correcte : C
Question 10
Pour \(n\in\mathbb N^*\), on définit :
\[ u_n=\sqrt{\,n+\sqrt{\,n-1+\sqrt{\cdots+\sqrt1}\,}\,}. \]La limite \(L\) de la suite est :
A) \(L=1\)
B) \(L=\frac{\pi}{2}\)
C) \(L=+\infty\)
D) \(L=0\)
Une minoration simple suffit parfois pour conclure : si \(u_n\ge\sqrt n\), alors \(u_n\to+\infty\).
L’expression sous la première racine est :
\[ n+\sqrt{\,n-1+\sqrt{\cdots+\sqrt1}\,}. \]Comme le deuxième terme est positif, on a :
\[ u_n\ge\sqrt n. \]Or :
\[ \sqrt n\to+\infty. \]Donc, par comparaison :
\[ u_n\to+\infty. \]Réponse correcte : C
Question 11
On pose :
\[ S_n=\sum_{k=1}^{2n+1}\frac1{\sqrt{n^2+k}}. \]La limite de \(S_n\) est :
A) \(0\)
B) \(\frac12\)
C) \(1\)
D) \(2\)
Pour une somme avec beaucoup de termes proches, on encadre chaque terme puis on somme les inégalités.
Pour \(1\le k\le 2n+1\), on a :
\[ n^2+1\le n^2+k\le n^2+2n+1. \]Donc :
\[ \sqrt{n^2+1}\le \sqrt{n^2+k}\le n+1. \]En inversant les inégalités, car les quantités sont positives :
\[ \frac1{n+1}\le \frac1{\sqrt{n^2+k}}\le \frac1{\sqrt{n^2+1}}. \]En sommant de \(k=1\) à \(2n+1\), on obtient :
\[ \frac{2n+1}{n+1} \le S_n \le \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+1}}. \]Or :
\[ \frac{2n+1}{n+1}\to2 \]et :
\[ \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+1}}\to2. \]Par encadrement :
\[ S_n\to2. \]Réponse correcte : D
Question 12
On admet que :
\[ (3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n \]est un entier pair. La limite :
\[ L=\lim_{n\to+\infty}\cos\left((3+\sqrt5)^n\pi\right) \]vaut :
A) \(L=0\)
B) \(L=-1\)
C) \(L=1\)
D) \(L=\frac{\pi}{4}\)
Quand un angle diffère d’un multiple pair de \(\pi\), le cosinus ne change pas. On utilise donc l’entier pair donné dans l’énoncé.
Posons :
\[ A_n=(3+\sqrt5)^n+(3-\sqrt5)^n. \]D’après l’énoncé, \(A_n\) est un entier pair. Donc il existe \(k_n\in\mathbb Z\) tel que :
\[ A_n=2k_n. \]On a :
\[ (3+\sqrt5)^n=A_n-(3-\sqrt5)^n. \]Donc :
\[ \cos\left((3+\sqrt5)^n\pi\right) = \cos\left((A_n-(3-\sqrt5)^n)\pi\right). \]Comme \(A_n\pi=2k_n\pi\), on obtient :
\[ \cos\left((A_n-(3-\sqrt5)^n)\pi\right) = \cos\left((3-\sqrt5)^n\pi\right). \]Or :
\[ 0\lt 3-\sqrt5\lt1. \]Donc :
\[ (3-\sqrt5)^n\to0. \]Ainsi :
\[ \cos\left((3-\sqrt5)^n\pi\right)\to\cos0=1. \]Réponse correcte : C
Question 13
Soit \(a\gt0\). Alors :
\[ \lim_{x\to a^+} \frac{\sqrt x-\sqrt a-\sqrt{x-a}}{\sqrt{x^2-a^2}} \]est :
A) \(-\frac1{\sqrt{2a}}\)
B) \(-\frac1{\sqrt a}\)
C) \(\frac1{\sqrt a}\)
D) \(\frac2{\sqrt a}\)
Au voisinage de \(a^+\), poser \(h=x-a\) permet d’identifier correctement le terme dominant en \(\sqrt h\).
Posons :
\[ h=x-a. \]Lorsque \(x\to a^+\), on a :
\[ h\to0^+. \]On écrit :
\[ \sqrt x-\sqrt a = \sqrt{a+h}-\sqrt a = \frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}. \]Donc le numérateur devient :
\[ \frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}-\sqrt h. \]On factorise par \(\sqrt h\) :
\[ \frac{h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}-\sqrt h = \sqrt h\left( \frac{\sqrt h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}-1 \right). \]Le dénominateur est :
\[ \sqrt{x^2-a^2} = \sqrt{(x-a)(x+a)} = \sqrt h\,\sqrt{2a+h}. \]Donc le quotient vaut :
\[ \frac{ \frac{\sqrt h}{\sqrt{a+h}+\sqrt a}-1 }{ \sqrt{2a+h} }. \]En faisant tendre \(h\) vers \(0^+\), on obtient :
\[ \frac{0-1}{\sqrt{2a}} = -\frac1{\sqrt{2a}}. \]Réponse correcte : A
Question 14
On note :
\[ I_n=\int_0^1\frac{x}{1+x^{2n}}\,dx. \]La limite de \(I_n\) est :
A) \(\frac12\)
B) \(\frac32\)
C) \(0\)
D) \(\frac{\sqrt2}{2}\)
Sur \([0,1[\), on a \(x^{2n}\to0\). La valeur en un point isolé ne modifie pas la valeur de l’intégrale.
Pour \(x\in[0,1]\), on a :
\[ 0\le x^{2n}\le1. \]Donc :
\[ 1\le1+x^{2n}\le2. \]Comme \(x\ge0\), on obtient :
\[ \frac{x}{2}\le \frac{x}{1+x^{2n}}\le x. \]Pour tout \(x\in[0,1[\), on a :
\[ x^{2n}\to0. \]Donc :
\[ \frac{x}{1+x^{2n}}\to x. \]Au point \(x=1\), la valeur vaut \(\frac12\), mais cela ne change pas la valeur de l’intégrale.
La limite de l’intégrale est donc :
\[ \int_0^1 x\,dx=\frac12. \]Réponse correcte : A
Question 15
La valeur de l’intégrale :
\[ I=\int_0^{\sqrt3}x^2\ln(x^2+1)\,dx \]est :
A) \(\sqrt3\ln(2)-\frac{\pi}{9}\)
B) \(\sqrt3\ln(2)+\frac{\pi}{9}\)
C) \(2\left(\sqrt3\ln(2)-\frac{\pi}{9}\right)\)
D) \(\sqrt3\ln(2)\)
Une intégrale contenant \(\ln(x^2+1)\) se traite naturellement par intégration par parties.
On fait une intégration par parties :
\[ u=\ln(x^2+1), \qquad v'=x^2. \]Alors :
\[ u'=\frac{2x}{x^2+1}, \qquad v=\frac{x^3}{3}. \]Donc :
\[ I= \left[\frac{x^3}{3}\ln(x^2+1)\right]_0^{\sqrt3} - \int_0^{\sqrt3}\frac{x^3}{3}\cdot\frac{2x}{x^2+1}\,dx. \]Le premier terme vaut :
\[ \frac{(\sqrt3)^3}{3}\ln4 = \sqrt3\ln4 = 2\sqrt3\ln2. \]Donc :
\[ I=2\sqrt3\ln2-\frac23\int_0^{\sqrt3}\frac{x^4}{x^2+1}\,dx. \]On divise :
\[ \frac{x^4}{x^2+1}=x^2-1+\frac1{x^2+1}. \]Alors :
\[ \int_0^{\sqrt3}\frac{x^4}{x^2+1}\,dx = \left[\frac{x^3}{3}-x+\arctan x\right]_0^{\sqrt3}. \]On obtient :
\[ \frac{(\sqrt3)^3}{3}-\sqrt3+\arctan(\sqrt3) = \sqrt3-\sqrt3+\frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}. \]Donc :
\[ I=2\sqrt3\ln2-\frac23\cdot\frac{\pi}{3}. \]Ainsi :
\[ I=2\sqrt3\ln2-\frac{2\pi}{9} = 2\left(\sqrt3\ln2-\frac{\pi}{9}\right). \]Réponse correcte : C
Question 16
Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ f(x)=\frac{2\ln(x)}{x\left(1+(\ln(x))^2\right)}. \]La primitive de \(f\) qui s’annule en \(1\) est :
A) \(\ln\left(1+(\ln(x))^2\right)\)
B) \((\ln(x))^2\)
C) \(2\ln\left(1+(\ln(x))^2\right)\)
D) \(\frac{x\ln(x)}{\ln(x)+1}\)
La forme \(\frac{U'}{U}\) se reconnaît directement : une primitive est \(\ln|U|\).
Posons :
\[ U(x)=1+(\ln x)^2. \]Alors :
\[ U'(x)=2\ln x\cdot\frac1x=\frac{2\ln x}{x}. \]Donc :
\[ f(x)=\frac{U'(x)}{U(x)}. \]Une primitive de \(f\) est donc :
\[ F(x)=\ln(U(x)). \]Ainsi :
\[ F(x)=\ln\left(1+(\ln x)^2\right). \]On vérifie :
\[ F(1)=\ln(1+0)=0. \]Donc cette primitive s’annule bien en \(1\).
Réponse correcte : A
Question 17
On considère le plan :
\[ (P):2x-5y-6z+4=0 \]et la sphère \((S)\) de centre \(\Omega(2;-2;3)\) et de rayon \(3\). Alors :
A) \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de rayon \(3\) et de centre \(\Omega\)
B) \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle de rayon \(3\) et de centre \((2;2;3)\)
C) \((P)\) est tangent à \((S)\) au point \((2;2;3)\)
D) \((P)\) est tangent à \((S)\) au point \((2;0;-3)\)
La position d’un plan par rapport à une sphère se détermine par la distance du centre au plan.
On calcule la distance du centre \(\Omega(2,-2,3)\) au plan \((P)\).
On remplace les coordonnées de \(\Omega\) dans l’équation du plan :
\[ 2\cdot2-5(-2)-6\cdot3+4. \]Donc :
\[ 4+10-18+4=0. \]Ainsi :
\[ \Omega\in(P). \]Donc la distance du centre au plan est \(0\). Le plan passe par le centre de la sphère.
Par conséquent, l’intersection est un grand cercle de centre \(\Omega\) et de rayon égal au rayon de la sphère :
\[ 3. \]Réponse correcte : A
Question 18
On jette deux fois de suite une pièce non truquée. Soit \(p\) la probabilité d’avoir deux fois face sachant que le premier jet a donné face.
A) \(p=\frac12\)
B) \(p=\frac13\)
C) \(p=\frac14\)
D) \(p=\frac34\)
Dans une probabilité conditionnelle, l’information donnée réduit l’univers ; ici, le second lancer reste indépendant du premier.
On sait déjà que le premier jet a donné face.
Il reste donc seulement à demander que le deuxième jet donne face.
Comme la pièce est non truquée :
\[ P(\text{face au deuxième jet})=\frac12. \]Donc :
\[ p=\frac12. \]Réponse correcte : A
Question 19
Une machine détecte un composant défectueux dans \(90\%\) des cas. Si le composant n’est pas défectueux, elle l’indique correctement dans \(99\%\) des cas. On sait que \(0.1\%\) des composants sont défectueux.
On note \(p\) la probabilité qu’un composant tiré au hasard soit détecté défectueux par la machine. Alors :
A) \(p=1.041\%\)
B) \(p=1.089\%\)
C) \(p=1.025\%\)
D) \(p=1\%\)
La formule des probabilités totales permet de tenir compte à la fois des vrais positifs et des faux positifs.
Notons :
\[ D:\text{ « le composant est défectueux »}, \qquad T:\text{ « la machine le détecte défectueux »}. \]On connaît :
\[ P(D)=0.1\%=0.001, \] \[ P(T\mid D)=90\%=0.9. \]Si le composant n’est pas défectueux, la machine l’indique correctement dans \(99\%\) des cas, donc elle se trompe dans \(1\%\) des cas :
\[ P(T\mid \overline D)=1\%=0.01. \]De plus :
\[ P(\overline D)=0.999. \]Par la formule des probabilités totales :
\[ P(T)=P(D)P(T\mid D)+P(\overline D)P(T\mid \overline D). \]Donc :
\[ P(T)=0.001\times0.9+0.999\times0.01. \]Ainsi :
\[ P(T)=0.0009+0.00999=0.01089. \]Donc :
\[ P(T)=1.089\%. \]Réponse correcte : B
Question 20
On jette \(n\) fois de suite un dé non truqué, \(n\ge2\). Soit \(p_n\) la probabilité d’avoir un nombre inférieur ou égal à \(3\) dans le second jet sachant que le premier jet a donné la face numéro \(2\).
Soit :
\[ p=\lim_{n\to+\infty}p_n. \]La valeur de \(p\) est :
A) \(p=\frac12\)
B) \(p=\frac13\)
C) \(p=\frac16\)
D) \(p=0\)
Des lancers successifs d’un dé non truqué sont indépendants : l’information sur le premier lancer ne change pas la loi du deuxième.
Le résultat du deuxième jet est indépendant du résultat du premier jet.
Donc, même en sachant que le premier jet a donné \(2\), la probabilité que le second jet donne un nombre inférieur ou égal à \(3\) reste :
\[ P(\{1,2,3\})=\frac3{6}=\frac12. \]Ainsi, pour tout \(n\ge2\) :
\[ p_n=\frac12. \]Donc :
\[ p=\lim_{n\to+\infty}p_n=\frac12. \]Réponse correcte : A
Conseil aux élèves
Dans ce sujet, il faut faire attention aux formes exponentielles des complexes, aux modules, aux congruences, aux suites transformées, aux encadrements, aux intégrales par parties et aux probabilités conditionnelles.
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