Correction examen blanc 4 — 2e Bac Sciences Mathématiques
Mathématiques — Année scolaire 2025–2026
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques
Matière : Mathématiques
Total : 20 points
Enseignant : Hammou Boudraa — Lycée Oum Erbiaâ
Remarque :
Cette correction suit une rédaction détaillée : rappel de la question, données utiles, vérification concrète des conditions et justification naturelle des passages importants.
Cette correction suit une rédaction détaillée : rappel de la question, données utiles, vérification concrète des conditions et justification naturelle des passages importants.
Accès détaillé aux questions
Exercice 1 — Analyse — 11 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[
f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln\left(1+e^{-x}\right)\right).
\]
2 pts
1
Question. Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[
u-\ln(1+u)=\int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt
\]
puis en déduire que, pour tout \(u\gt0\),
\[
\frac{u^2}{2(1+u)}\le u-\ln(1+u)\le \frac{u^2}{2}.
\]
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
\frac1{2(1+e^{-x})}\le f(x)\le \frac12
\]
puis calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty}f(x).
\]
Données. On a \(u\ge0\), et : \[ f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln(1+e^{-x})\right). \]
Correction. La fonction \[ t\longmapsto \frac{t}{1+t} \] est continue sur \([0,u]\), car \(1+t\neq0\) pour tout \(t\in[0,u]\). De plus : \[ \frac{t}{1+t}=1-\frac1{1+t}. \] Donc : \[ \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt = \int_0^u\left(1-\frac1{1+t}\right)dt. \] Ainsi : \[ \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt = \left[t-\ln(1+t)\right]_0^u = u-\ln(1+u). \] Montrons maintenant l'encadrement. Pour tout \(t\in[0,u]\), on a : \[ 1\le 1+t\le 1+u. \] Comme la fonction inverse est décroissante sur \(]0,+\infty[\), on obtient : \[ \frac1{1+u}\le \frac1{1+t}\le 1. \] En multipliant par \(t\ge0\), on obtient : \[ \frac{t}{1+u}\le \frac{t}{1+t}\le t. \] On obtient : \[ \int_0^u\frac{t}{1+u}\,dt \le \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt \le \int_0^u t\,dt. \] Donc : \[ \frac1{1+u}\int_0^u t\,dt \le u-\ln(1+u) \le \int_0^u t\,dt. \] Ainsi : \[ \frac{u^2}{2(1+u)}\le u-\ln(1+u)\le \frac{u^2}{2}. \] Appliquons cet encadrement à : \[ u=e^{-x}\gt0. \] On obtient : \[ \frac{e^{-2x}}{2(1+e^{-x})} \le e^{-x}-\ln(1+e^{-x}) \le \frac{e^{-2x}}2. \] Comme \(e^{2x}\gt0\), on multiplie par \(e^{2x}\), et il vient : \[ \frac1{2(1+e^{-x})}\le f(x)\le \frac12. \] Or : \[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0. \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac1{2(1+e^{-x})}=\frac12. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]
Données. On a \(u\ge0\), et : \[ f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln(1+e^{-x})\right). \]
Correction. La fonction \[ t\longmapsto \frac{t}{1+t} \] est continue sur \([0,u]\), car \(1+t\neq0\) pour tout \(t\in[0,u]\). De plus : \[ \frac{t}{1+t}=1-\frac1{1+t}. \] Donc : \[ \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt = \int_0^u\left(1-\frac1{1+t}\right)dt. \] Ainsi : \[ \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt = \left[t-\ln(1+t)\right]_0^u = u-\ln(1+u). \] Montrons maintenant l'encadrement. Pour tout \(t\in[0,u]\), on a : \[ 1\le 1+t\le 1+u. \] Comme la fonction inverse est décroissante sur \(]0,+\infty[\), on obtient : \[ \frac1{1+u}\le \frac1{1+t}\le 1. \] En multipliant par \(t\ge0\), on obtient : \[ \frac{t}{1+u}\le \frac{t}{1+t}\le t. \] On obtient : \[ \int_0^u\frac{t}{1+u}\,dt \le \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt \le \int_0^u t\,dt. \] Donc : \[ \frac1{1+u}\int_0^u t\,dt \le u-\ln(1+u) \le \int_0^u t\,dt. \] Ainsi : \[ \frac{u^2}{2(1+u)}\le u-\ln(1+u)\le \frac{u^2}{2}. \] Appliquons cet encadrement à : \[ u=e^{-x}\gt0. \] On obtient : \[ \frac{e^{-2x}}{2(1+e^{-x})} \le e^{-x}-\ln(1+e^{-x}) \le \frac{e^{-2x}}2. \] Comme \(e^{2x}\gt0\), on multiplie par \(e^{2x}\), et il vient : \[ \frac1{2(1+e^{-x})}\le f(x)\le \frac12. \] Or : \[ \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0. \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac1{2(1+e^{-x})}=\frac12. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]
1 pt
2
Question. Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[
0\le u-\ln(1+u)\le u.
\]
Montrer que :
\[
0\le f(x)\le e^x
\]
puis calculer :
\[
\lim_{x\to-\infty}f(x).
\]
Données. On sait que : \[ u-\ln(1+u)=\int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt. \]
Correction. Pour tout \(t\in[0,u]\), on a : \[ 0\le \frac{t}{1+t}\le1. \] Donc : \[ 0\le \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt\le \int_0^u1\,dt. \] Ainsi : \[ 0\le u-\ln(1+u)\le u. \] En prenant : \[ u=e^{-x}, \] on obtient : \[ 0\le e^{-x}-\ln(1+e^{-x})\le e^{-x}. \] Comme \(e^{2x}\gt0\), on multiplie par \(e^{2x}\), donc : \[ 0\le f(x)\le e^x. \] Or : \[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0. \] le théorème d'encadrement : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]
Données. On sait que : \[ u-\ln(1+u)=\int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt. \]
Correction. Pour tout \(t\in[0,u]\), on a : \[ 0\le \frac{t}{1+t}\le1. \] Donc : \[ 0\le \int_0^u\frac{t}{1+t}\,dt\le \int_0^u1\,dt. \] Ainsi : \[ 0\le u-\ln(1+u)\le u. \] En prenant : \[ u=e^{-x}, \] on obtient : \[ 0\le e^{-x}-\ln(1+e^{-x})\le e^{-x}. \] Comme \(e^{2x}\gt0\), on multiplie par \(e^{2x}\), donc : \[ 0\le f(x)\le e^x. \] Or : \[ \lim_{x\to-\infty}e^x=0. \] le théorème d'encadrement : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]
On considère la fonction \(q\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[
q(u)=\frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u).
\]
1,25 pt
3
Question. Montrer que \(q\) est continue sur \([0,+\infty[\), dérivable sur \(]0,+\infty[\), et que, pour tout \(u\gt0\),
\[
q'(u)=\frac{u^2}{(1+u)^2}.
\]
En déduire que \(q(u)\gt0\) pour tout \(u\gt0\).
Données. \[ q(u)=\frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u). \]
Correction. Pour tout \(u\in[0,+\infty[\), on a : \[ 1+u\ge1\gt0. \] Donc \(\ln(1+u)\) est bien défini sur \([0,+\infty[\). De plus, la fonction \(u\mapsto1+u\) est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\), donc la fonction \[ u\mapsto \ln(1+u) \] est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\). D'autre part, pour tout \(u\in[0,+\infty[\), on a : \[ 1+u\neq0. \] Ainsi, la fonction rationnelle \[ u\mapsto \frac{u(2+u)}{1+u} \] est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\). Par conséquent, \(q\), qui est une différence de fonctions continues sur \([0,+\infty[\) et dérivables sur \(]0,+\infty[\), est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour tout \(u\gt0\), on calcule : \[ q'(u)= \left(\frac{u(2+u)}{1+u}\right)' -\frac{2}{1+u}. \] Or : \[ \frac{u(2+u)}{1+u}=\frac{2u+u^2}{1+u}. \] Donc : \[ \left(\frac{2u+u^2}{1+u}\right)' = \frac{(2+2u)(1+u)-(2u+u^2)}{(1+u)^2}. \] En développant le numérateur : \[ (2+2u)(1+u)-(2u+u^2) = 2+4u+2u^2-2u-u^2 = 2+2u+u^2. \] Ainsi : \[ \left(\frac{u(2+u)}{1+u}\right)' = \frac{2+2u+u^2}{(1+u)^2}. \] Donc : \[ q'(u) = \frac{2+2u+u^2}{(1+u)^2} - \frac{2}{1+u}. \] On met au même dénominateur : \[ q'(u) = \frac{2+2u+u^2}{(1+u)^2} - \frac{2(1+u)}{(1+u)^2}. \] Donc : \[ q'(u)=\frac{u^2}{(1+u)^2}. \] Pour tout \(u\gt0\), on a : \[ u^2\gt0 \qquad\text{et}\qquad (1+u)^2\gt0. \] Donc : \[ q'(u)\gt0. \] Ainsi, \(q\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\). Or : \[ q(0)=0. \] Donc, pour tout \(u\gt0\), \[ q(u)\gt q(0)=0. \] Ainsi : \[ q(u)\gt0. \]
Données. \[ q(u)=\frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u). \]
Correction. Pour tout \(u\in[0,+\infty[\), on a : \[ 1+u\ge1\gt0. \] Donc \(\ln(1+u)\) est bien défini sur \([0,+\infty[\). De plus, la fonction \(u\mapsto1+u\) est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\), donc la fonction \[ u\mapsto \ln(1+u) \] est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\). D'autre part, pour tout \(u\in[0,+\infty[\), on a : \[ 1+u\neq0. \] Ainsi, la fonction rationnelle \[ u\mapsto \frac{u(2+u)}{1+u} \] est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\). Par conséquent, \(q\), qui est une différence de fonctions continues sur \([0,+\infty[\) et dérivables sur \(]0,+\infty[\), est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour tout \(u\gt0\), on calcule : \[ q'(u)= \left(\frac{u(2+u)}{1+u}\right)' -\frac{2}{1+u}. \] Or : \[ \frac{u(2+u)}{1+u}=\frac{2u+u^2}{1+u}. \] Donc : \[ \left(\frac{2u+u^2}{1+u}\right)' = \frac{(2+2u)(1+u)-(2u+u^2)}{(1+u)^2}. \] En développant le numérateur : \[ (2+2u)(1+u)-(2u+u^2) = 2+4u+2u^2-2u-u^2 = 2+2u+u^2. \] Ainsi : \[ \left(\frac{u(2+u)}{1+u}\right)' = \frac{2+2u+u^2}{(1+u)^2}. \] Donc : \[ q'(u) = \frac{2+2u+u^2}{(1+u)^2} - \frac{2}{1+u}. \] On met au même dénominateur : \[ q'(u) = \frac{2+2u+u^2}{(1+u)^2} - \frac{2(1+u)}{(1+u)^2}. \] Donc : \[ q'(u)=\frac{u^2}{(1+u)^2}. \] Pour tout \(u\gt0\), on a : \[ u^2\gt0 \qquad\text{et}\qquad (1+u)^2\gt0. \] Donc : \[ q'(u)\gt0. \] Ainsi, \(q\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\). Or : \[ q(0)=0. \] Donc, pour tout \(u\gt0\), \[ q(u)\gt q(0)=0. \] Ainsi : \[ q(u)\gt0. \]
2 pts
4
Question. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
f'(x)=e^{2x}q(e^{-x}).
\]
En déduire le sens de variation de \(f\), dresser son tableau de variations, puis montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur
\[
\left]0,\frac12\right[.
\]
Données. \[ f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln(1+e^{-x})\right). \]
Correction. La fonction \(x\mapsto e^{-x}\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et vérifie : \[ e^{-x}>0. \] Donc : \[ 1+e^{-x}>0. \] Ainsi, \(x\mapsto \ln(1+e^{-x})\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb R\), car l’expression \(1+e^{-x}\) est strictement positive.
La fonction \(x\mapsto e^{2x}\) est aussi dérivable sur \(\mathbb R\). Donc \(f\), qui est un produit de fonctions dérivables, est dérivable sur \(\mathbb R\). Posons : \[ u=e^{-x}. \] Alors : \[ u'=-e^{-x}=-u. \] On écrit : \[ f(x)=e^{2x}\bigl(u-\ln(1+u)\bigr). \] Donc : \[ f'(x)=2e^{2x}\bigl(u-\ln(1+u)\bigr) + e^{2x}\left(u-\ln(1+u)\right)'. \] Or : \[ \left(u-\ln(1+u)\right)' = u'-\frac{u'}{1+u}. \] Comme \(u'=-u\), on obtient : \[ \left(u-\ln(1+u)\right)' = -u+\frac{u}{1+u} = -\frac{u^2}{1+u}. \] Ainsi : \[ f'(x)=e^{2x}\left(2u-2\ln(1+u)-\frac{u^2}{1+u}\right). \] Or : \[ 2u-\frac{u^2}{1+u} = \frac{2u(1+u)-u^2}{1+u} = \frac{u(2+u)}{1+u}. \] Donc : \[ f'(x)=e^{2x} \left( \frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u) \right). \] D'où : \[ f'(x)=e^{2x}q(u)=e^{2x}q(e^{-x}). \] Comme : \[ e^{2x}\gt0 \] et : \[ e^{-x}\gt0, \] la question précédente donne : \[ q(e^{-x})\gt0. \] Donc : \[ f'(x)\gt0. \] Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Les questions précédentes donnent : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]
Comme \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\), on conclut que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur :
\[
\left]0,\frac12\right[.
\]
Données. \[ f(x)=e^{2x}\left(e^{-x}-\ln(1+e^{-x})\right). \]
Correction. La fonction \(x\mapsto e^{-x}\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et vérifie : \[ e^{-x}>0. \] Donc : \[ 1+e^{-x}>0. \] Ainsi, \(x\mapsto \ln(1+e^{-x})\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb R\), car l’expression \(1+e^{-x}\) est strictement positive.
La fonction \(x\mapsto e^{2x}\) est aussi dérivable sur \(\mathbb R\). Donc \(f\), qui est un produit de fonctions dérivables, est dérivable sur \(\mathbb R\). Posons : \[ u=e^{-x}. \] Alors : \[ u'=-e^{-x}=-u. \] On écrit : \[ f(x)=e^{2x}\bigl(u-\ln(1+u)\bigr). \] Donc : \[ f'(x)=2e^{2x}\bigl(u-\ln(1+u)\bigr) + e^{2x}\left(u-\ln(1+u)\right)'. \] Or : \[ \left(u-\ln(1+u)\right)' = u'-\frac{u'}{1+u}. \] Comme \(u'=-u\), on obtient : \[ \left(u-\ln(1+u)\right)' = -u+\frac{u}{1+u} = -\frac{u^2}{1+u}. \] Ainsi : \[ f'(x)=e^{2x}\left(2u-2\ln(1+u)-\frac{u^2}{1+u}\right). \] Or : \[ 2u-\frac{u^2}{1+u} = \frac{2u(1+u)-u^2}{1+u} = \frac{u(2+u)}{1+u}. \] Donc : \[ f'(x)=e^{2x} \left( \frac{u(2+u)}{1+u}-2\ln(1+u) \right). \] D'où : \[ f'(x)=e^{2x}q(u)=e^{2x}q(e^{-x}). \] Comme : \[ e^{2x}\gt0 \] et : \[ e^{-x}\gt0, \] la question précédente donne : \[ q(e^{-x})\gt0. \] Donc : \[ f'(x)\gt0. \] Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\). Les questions précédentes donnent : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac12. \]
On a le tableau de variations suivant :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
| \(f'(x)\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\dfrac12\) |
On définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb R\) par :
\[
F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt.
\]
1 pt
5
Question. Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et que :
\[
F'(x)=f(x+1)-f(x).
\]
En déduire que \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Données. \[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]
Correction. On écrit : \[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt = \int_0^{x+1}f(t)\,dt-\int_0^x f(t)\,dt. \] Donc : \[ F(x)=H(x+1)-H(x). \] Ainsi : \[ F'(x)=H'(x+1)-H'(x). \] Comme \(H'=f\), on obtient : \[ F'(x)=f(x+1)-f(x). \] Comme \(f\) est strictement croissante et \(x+1\gt x\), on a : \[ f(x+1)\gt f(x). \] Donc : \[ F'(x)\gt0. \] Ainsi, \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Données. \[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]
Correction. On écrit : \[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt = \int_0^{x+1}f(t)\,dt-\int_0^x f(t)\,dt. \] Donc : \[ F(x)=H(x+1)-H(x). \] Ainsi : \[ F'(x)=H'(x+1)-H'(x). \] Comme \(H'=f\), on obtient : \[ F'(x)=f(x+1)-f(x). \] Comme \(f\) est strictement croissante et \(x+1\gt x\), on a : \[ f(x+1)\gt f(x). \] Donc : \[ F'(x)\gt0. \] Ainsi, \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
1 pt
6
Question. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
f(x)\le F(x)\le f(x+1)
\]
puis calculer :
\[
\lim_{x\to-\infty}F(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}F(x).
\]
Données. \(f\) est croissante sur \(\mathbb R\).
Correction. Pour tout \(t\in[x,x+1]\), on a : \[ x\le t\le x+1. \] Comme \(f\) est croissante : \[ f(x)\le f(t)\le f(x+1). \] Donc : \[ \int_x^{x+1}f(x)\,dt \le \int_x^{x+1}f(t)\,dt \le \int_x^{x+1}f(x+1)\,dt. \] Puisque l'intervalle \([x,x+1]\) est de longueur \(1\), on obtient : \[ f(x)\le F(x)\le f(x+1). \] Lorsque \(x\to-\infty\), on a aussi \(x+1\to-\infty\). Donc : \[ f(x)\to0 \qquad\text{et}\qquad f(x+1)\to0. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to-\infty}F(x)=0. \] Lorsque \(x\to+\infty\), on a aussi \(x+1\to+\infty\). Donc : \[ f(x)\to\frac12 \qquad\text{et}\qquad f(x+1)\to\frac12. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac12. \]
Données. \(f\) est croissante sur \(\mathbb R\).
Correction. Pour tout \(t\in[x,x+1]\), on a : \[ x\le t\le x+1. \] Comme \(f\) est croissante : \[ f(x)\le f(t)\le f(x+1). \] Donc : \[ \int_x^{x+1}f(x)\,dt \le \int_x^{x+1}f(t)\,dt \le \int_x^{x+1}f(x+1)\,dt. \] Puisque l'intervalle \([x,x+1]\) est de longueur \(1\), on obtient : \[ f(x)\le F(x)\le f(x+1). \] Lorsque \(x\to-\infty\), on a aussi \(x+1\to-\infty\). Donc : \[ f(x)\to0 \qquad\text{et}\qquad f(x+1)\to0. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to-\infty}F(x)=0. \] Lorsque \(x\to+\infty\), on a aussi \(x+1\to+\infty\). Donc : \[ f(x)\to\frac12 \qquad\text{et}\qquad f(x+1)\to\frac12. \] Par encadrement : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac12. \]
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[
I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx.
\]
1 pt
7
Question. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
\frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1}
\]
puis calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty}I_n.
\]
Données. \[ I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx. \]
Correction. Pour tout \(x\in[0,1]\), comme \(f\) est croissante : \[ f(0)\le f(x)\le f(1). \] De plus : \[ x^n\ge0. \] Donc : \[ x^nf(0)\le x^nf(x)\le x^nf(1). \] On obtient : \[ f(0)\int_0^1x^n\,dx \le I_n \le f(1)\int_0^1x^n\,dx. \] Or : \[ \int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}. \] Donc : \[ \frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1}. \] Comme : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{f(0)}{n+1}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{f(1)}{n+1}=0, \] par encadrement, on conclut que : \[ \lim_{n\to+\infty}I_n=0. \]
Données. \[ I_n=\int_0^1x^nf(x)\,dx. \]
Correction. Pour tout \(x\in[0,1]\), comme \(f\) est croissante : \[ f(0)\le f(x)\le f(1). \] De plus : \[ x^n\ge0. \] Donc : \[ x^nf(0)\le x^nf(x)\le x^nf(1). \] On obtient : \[ f(0)\int_0^1x^n\,dx \le I_n \le f(1)\int_0^1x^n\,dx. \] Or : \[ \int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1}. \] Donc : \[ \frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1}. \] Comme : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{f(0)}{n+1}=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\frac{f(1)}{n+1}=0, \] par encadrement, on conclut que : \[ \lim_{n\to+\infty}I_n=0. \]
1,75 pt
8
Question. Justifier qu'il existe une constante \(M\gt0\) telle que, pour tout \(x\in[0,1]\),
\[
0\le f(1)-f(x)\le M(1-x).
\]
En déduire que :
\[
0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n\le \frac{M}{(n+1)(n+2)}
\]
puis calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n.
\]
Donner la valeur exacte de \(f(1)\).
Données. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et strictement croissante.
Correction. La fonction \(f'\) est continue sur le segment \([0,1]\). Donc \(f'\) est bornée sur \([0,1]\). Comme \(f'(x)\ge0\), il existe \(M\gt0\) tel que : \[ \forall x\in[0,1],\qquad 0\le f'(x)\le M. \] Soit \(x\in[0,1]\). Le théorème des accroissements finis appliqué à \(f\) sur \([x,1]\) donne l’existence d’un réel \(c\in]x,1[\) tel que : \[ f(1)-f(x)=f'(c)(1-x). \] Comme : \[ 0\le f'(c)\le M, \] on obtient : \[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x). \] On a : \[ \frac{f(1)}{n+1}-I_n = f(1)\int_0^1x^n\,dx-\int_0^1x^nf(x)\,dx. \] Donc : \[ \frac{f(1)}{n+1}-I_n = \int_0^1x^n\bigl(f(1)-f(x)\bigr)\,dx. \] Comme : \[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x), \] et comme \(x^n\ge0\), on obtient : \[ 0\le x^n\bigl(f(1)-f(x)\bigr)\le Mx^n(1-x). \] En intégrant : \[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n \le M\int_0^1x^n(1-x)\,dx. \] Or : \[ \int_0^1x^n(1-x)\,dx = \int_0^1x^n\,dx-\int_0^1x^{n+1}\,dx = \frac1{n+1}-\frac1{n+2} = \frac1{(n+1)(n+2)}. \] Ainsi : \[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n \le \frac{M}{(n+1)(n+2)}. \] En multipliant par \(n+1\gt0\), on obtient : \[ 0\le f(1)-(n+1)I_n\le \frac{M}{n+2}. \] Par encadrement : \[ \lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n=f(1). \] Enfin : \[ f(1)=e^2\left(e^{-1}-\ln(1+e^{-1})\right). \] Donc : \[ f(1)=e-e^2\ln(1+e^{-1}). \]
Données. \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) et strictement croissante.
Correction. La fonction \(f'\) est continue sur le segment \([0,1]\). Donc \(f'\) est bornée sur \([0,1]\). Comme \(f'(x)\ge0\), il existe \(M\gt0\) tel que : \[ \forall x\in[0,1],\qquad 0\le f'(x)\le M. \] Soit \(x\in[0,1]\). Le théorème des accroissements finis appliqué à \(f\) sur \([x,1]\) donne l’existence d’un réel \(c\in]x,1[\) tel que : \[ f(1)-f(x)=f'(c)(1-x). \] Comme : \[ 0\le f'(c)\le M, \] on obtient : \[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x). \] On a : \[ \frac{f(1)}{n+1}-I_n = f(1)\int_0^1x^n\,dx-\int_0^1x^nf(x)\,dx. \] Donc : \[ \frac{f(1)}{n+1}-I_n = \int_0^1x^n\bigl(f(1)-f(x)\bigr)\,dx. \] Comme : \[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x), \] et comme \(x^n\ge0\), on obtient : \[ 0\le x^n\bigl(f(1)-f(x)\bigr)\le Mx^n(1-x). \] En intégrant : \[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n \le M\int_0^1x^n(1-x)\,dx. \] Or : \[ \int_0^1x^n(1-x)\,dx = \int_0^1x^n\,dx-\int_0^1x^{n+1}\,dx = \frac1{n+1}-\frac1{n+2} = \frac1{(n+1)(n+2)}. \] Ainsi : \[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n \le \frac{M}{(n+1)(n+2)}. \] En multipliant par \(n+1\gt0\), on obtient : \[ 0\le f(1)-(n+1)I_n\le \frac{M}{n+2}. \] Par encadrement : \[ \lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n=f(1). \] Enfin : \[ f(1)=e^2\left(e^{-1}-\ln(1+e^{-1})\right). \] Donc : \[ f(1)=e-e^2\ln(1+e^{-1}). \]
Exercice 2 — Structures algébriques — 3 points
On pose :
\[
I=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix},
\qquad
N=
\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix}
\]
et :
\[
E=\{aI+bN\ ;\ a,b\in\mathbb R\}.
\]
0,5 pt
1
Question. Montrer que \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\), puis déterminer une base et la dimension de \(E\).
Données. \[ E=\{aI+bN\ ;\ a,b\in\mathbb R\}. \]
Correction. On a : \[ O_2=0I+0N. \] Donc : \[ O_2\in E. \] Ainsi \(E\) est non vide. Soient : \[ A=aI+bN\in E \qquad\text{et}\qquad B=cI+dN\in E, \] et soient \(\alpha,\beta\in\mathbb R\). Alors : \[ \alpha A+\beta B = \alpha(aI+bN)+\beta(cI+dN). \] Donc : \[ \alpha A+\beta B = (\alpha a+\beta c)I+(\alpha b+\beta d)N. \] Comme : \[ \alpha a+\beta c\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \alpha b+\beta d\in\mathbb R, \] on obtient : \[ \alpha A+\beta B\in E. \] Donc \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\). la définition de \(E\), tout élément de \(E\) s'écrit sous la forme : \[ aI+bN. \] Posons : \[ \mathcal B=(I,N). \] La famille \(\mathcal B\) est génératrice de \(E\). Montrons qu'elle est libre. Supposons que : \[ aI+bN=O_2. \] Alors : \[ \begin{pmatrix} a&b\\ 0&a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}. \] Donc : \[ a=0 \qquad\text{et}\qquad b=0. \] La famille \(\mathcal B=(I,N)\) est donc libre. Donc \(\mathcal B=(I,N)\) est une base de \(E\). Ainsi : \[ \dim E=\operatorname{Card}(\mathcal B)=2. \]
Données. \[ E=\{aI+bN\ ;\ a,b\in\mathbb R\}. \]
Correction. On a : \[ O_2=0I+0N. \] Donc : \[ O_2\in E. \] Ainsi \(E\) est non vide. Soient : \[ A=aI+bN\in E \qquad\text{et}\qquad B=cI+dN\in E, \] et soient \(\alpha,\beta\in\mathbb R\). Alors : \[ \alpha A+\beta B = \alpha(aI+bN)+\beta(cI+dN). \] Donc : \[ \alpha A+\beta B = (\alpha a+\beta c)I+(\alpha b+\beta d)N. \] Comme : \[ \alpha a+\beta c\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad \alpha b+\beta d\in\mathbb R, \] on obtient : \[ \alpha A+\beta B\in E. \] Donc \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_2(\mathbb R)\). la définition de \(E\), tout élément de \(E\) s'écrit sous la forme : \[ aI+bN. \] Posons : \[ \mathcal B=(I,N). \] La famille \(\mathcal B\) est génératrice de \(E\). Montrons qu'elle est libre. Supposons que : \[ aI+bN=O_2. \] Alors : \[ \begin{pmatrix} a&b\\ 0&a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}. \] Donc : \[ a=0 \qquad\text{et}\qquad b=0. \] La famille \(\mathcal B=(I,N)\) est donc libre. Donc \(\mathcal B=(I,N)\) est une base de \(E\). Ainsi : \[ \dim E=\operatorname{Card}(\mathcal B)=2. \]
0,75 pt
2
Question. Montrer que, pour tous \(a,b,c,d\in\mathbb R\),
\[
(aI+bN)(cI+dN)=acI+(ad+bc)N.
\]
En déduire que \(E\) est stable par la multiplication matricielle et que cette multiplication est commutative dans \(E\).
Données. \(a,b,c,d\in\mathbb R\).
Correction. On a : \[ (aI+bN)(cI+dN) = acI^2+adIN+bcNI+bdN^2. \] Or : \[ I^2=I,\qquad IN=NI=N, \] et : \[ N^2=O_2. \] Donc : \[ (aI+bN)(cI+dN)=acI+(ad+bc)N. \] Comme : \[ ac\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad ad+bc\in\mathbb R, \] le produit s'écrit encore sous la forme d'un élément de \(E\). On obtient donc : \[ (aI+bN)(cI+dN)\in E. \] De même : \[ (cI+dN)(aI+bN)=caI+(cb+da)N. \] Comme : \[ ca=ac \qquad\text{et}\qquad cb+da=bc+ad=ad+bc, \] on obtient : \[ (aI+bN)(cI+dN)=(cI+dN)(aI+bN). \] Donc la multiplication matricielle est commutative dans \(E\).
Données. \(a,b,c,d\in\mathbb R\).
Correction. On a : \[ (aI+bN)(cI+dN) = acI^2+adIN+bcNI+bdN^2. \] Or : \[ I^2=I,\qquad IN=NI=N, \] et : \[ N^2=O_2. \] Donc : \[ (aI+bN)(cI+dN)=acI+(ad+bc)N. \] Comme : \[ ac\in\mathbb R \qquad\text{et}\qquad ad+bc\in\mathbb R, \] le produit s'écrit encore sous la forme d'un élément de \(E\). On obtient donc : \[ (aI+bN)(cI+dN)\in E. \] De même : \[ (cI+dN)(aI+bN)=caI+(cb+da)N. \] Comme : \[ ca=ac \qquad\text{et}\qquad cb+da=bc+ad=ad+bc, \] on obtient : \[ (aI+bN)(cI+dN)=(cI+dN)(aI+bN). \] Donc la multiplication matricielle est commutative dans \(E\).
0,5 pt
3
Question. Calculer \(N^2\), puis en déduire que \(E\), muni de l'addition et de la multiplication matricielles, n'est pas un corps.
Données. \[ N= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}. \]
Correction. On calcule : \[ N^2= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix} = O_2. \] Donc : \[ N^2=O_2. \] Or : \[ N\neq O_2. \] Dans un corps, tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Supposons par l'absurde que \(E\) soit un corps. Comme \(N\neq O_2\), \(N\) devrait avoir un inverse \(N^{-1}\) dans \(E\). De : \[ N^2=O_2, \] on déduit, en multipliant par \(N^{-1}\), que : \[ N=O_2, \] ce qui est impossible. Donc \(E\), muni de l'addition et de la multiplication matricielles, n'est pas un corps.
Données. \[ N= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix}. \]
Correction. On calcule : \[ N^2= \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&1\\ 0&0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix} = O_2. \] Donc : \[ N^2=O_2. \] Or : \[ N\neq O_2. \] Dans un corps, tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Supposons par l'absurde que \(E\) soit un corps. Comme \(N\neq O_2\), \(N\) devrait avoir un inverse \(N^{-1}\) dans \(E\). De : \[ N^2=O_2, \] on déduit, en multipliant par \(N^{-1}\), que : \[ N=O_2, \] ce qui est impossible. Donc \(E\), muni de l'addition et de la multiplication matricielles, n'est pas un corps.
0,75 pt
4
Question. On pose :
\[
G=\{I+tN\ ;\ t\in\mathbb R\}.
\]
Montrer que \((G,\times)\) est un groupe commutatif, puis montrer que l'application
\[
\varphi:(\mathbb R,+)\longrightarrow(G,\times),
\qquad
\varphi(t)=I+tN
\]
est un isomorphisme de groupes.
Données. \[ G=\{I+tN\ ;\ t\in\mathbb R\}. \]
Correction. Soient : \[ X=I+tN\in G \qquad\text{et}\qquad Y=I+sN\in G. \] Alors : \[ XY=(I+tN)(I+sN)=I+(t+s)N+tsN^2. \] Comme \(N^2=O_2\), on obtient : \[ XY=I+(t+s)N\in G. \] Donc \(G\) est stable par la multiplication matricielle. L'associativité est héritée de l'associativité de la multiplication matricielle. On a : \[ I=I+0N\in G. \] Donc \(I\) est l'élément neutre. Pour \(X=I+tN\), on a : \[ (I+tN)(I-tN)=I-t^2N^2=I. \] Donc : \[ X^{-1}=I-tN\in G. \] Enfin : \[ (I+tN)(I+sN)=I+(t+s)N \] et : \[ (I+sN)(I+tN)=I+(s+t)N. \] Donc : \[ (I+tN)(I+sN)=(I+sN)(I+tN). \] Ainsi, \((G,\times)\) est un groupe commutatif. Montrons maintenant que \(\varphi\) est un isomorphisme de groupes. Pour tous \(t,s\in\mathbb R\), on a : \[ \varphi(t+s)=I+(t+s)N. \] Et : \[ \varphi(t)\varphi(s)=(I+tN)(I+sN)=I+(t+s)N. \] Donc : \[ \varphi(t+s)=\varphi(t)\varphi(s). \] Ainsi, \(\varphi\) est un homomorphisme de groupes. De plus, par définition de \(G\), tout élément de \(G\) s'écrit \(I+tN\). Donc \(\varphi\) est surjective. Si : \[ \varphi(t)=\varphi(s), \] alors : \[ I+tN=I+sN. \] Donc : \[ (t-s)N=O_2. \] Comme \(N\neq O_2\), on obtient : \[ t=s. \] Donc \(\varphi\) est injective. Par conséquent, \(\varphi\) est un isomorphisme de groupes.
Données. \[ G=\{I+tN\ ;\ t\in\mathbb R\}. \]
Correction. Soient : \[ X=I+tN\in G \qquad\text{et}\qquad Y=I+sN\in G. \] Alors : \[ XY=(I+tN)(I+sN)=I+(t+s)N+tsN^2. \] Comme \(N^2=O_2\), on obtient : \[ XY=I+(t+s)N\in G. \] Donc \(G\) est stable par la multiplication matricielle. L'associativité est héritée de l'associativité de la multiplication matricielle. On a : \[ I=I+0N\in G. \] Donc \(I\) est l'élément neutre. Pour \(X=I+tN\), on a : \[ (I+tN)(I-tN)=I-t^2N^2=I. \] Donc : \[ X^{-1}=I-tN\in G. \] Enfin : \[ (I+tN)(I+sN)=I+(t+s)N \] et : \[ (I+sN)(I+tN)=I+(s+t)N. \] Donc : \[ (I+tN)(I+sN)=(I+sN)(I+tN). \] Ainsi, \((G,\times)\) est un groupe commutatif. Montrons maintenant que \(\varphi\) est un isomorphisme de groupes. Pour tous \(t,s\in\mathbb R\), on a : \[ \varphi(t+s)=I+(t+s)N. \] Et : \[ \varphi(t)\varphi(s)=(I+tN)(I+sN)=I+(t+s)N. \] Donc : \[ \varphi(t+s)=\varphi(t)\varphi(s). \] Ainsi, \(\varphi\) est un homomorphisme de groupes. De plus, par définition de \(G\), tout élément de \(G\) s'écrit \(I+tN\). Donc \(\varphi\) est surjective. Si : \[ \varphi(t)=\varphi(s), \] alors : \[ I+tN=I+sN. \] Donc : \[ (t-s)N=O_2. \] Comme \(N\neq O_2\), on obtient : \[ t=s. \] Donc \(\varphi\) est injective. Par conséquent, \(\varphi\) est un isomorphisme de groupes.
0,5 pt
5
Question. Pour \(n\in\mathbb N^\ast\), montrer que :
\[
(I+tN)^n=I+ntN
\]
puis résoudre dans \(G\) l'équation :
\[
X^{2026}=I+N.
\]
Données. \(N^2=O_2\).
Correction. Montrons par récurrence que : \[ (I+tN)^n=I+ntN. \] Pour \(n=1\), on a : \[ (I+tN)^1=I+tN. \] La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N^\ast\), on ait : \[ (I+tN)^n=I+ntN. \] Alors : \[ (I+tN)^{n+1}=(I+ntN)(I+tN). \] Donc : \[ (I+tN)^{n+1} = I+(n+1)tN+nt^2N^2. \] Comme : \[ N^2=O_2, \] on obtient : \[ (I+tN)^{n+1}=I+(n+1)tN. \] La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N^\ast,\qquad (I+tN)^n=I+ntN. \] Soit \(X\in G\). Il existe \(t\in\mathbb R\) tel que : \[ X=I+tN. \] Alors : \[ X^{2026}=I+2026tN. \] L'équation : \[ X^{2026}=I+N \] équivaut à : \[ I+2026tN=I+N. \] Donc : \[ 2026t=1. \] Ainsi : \[ t=\frac1{2026}. \] La solution est : \[ X=I+\frac1{2026}N. \]
Données. \(N^2=O_2\).
Correction. Montrons par récurrence que : \[ (I+tN)^n=I+ntN. \] Pour \(n=1\), on a : \[ (I+tN)^1=I+tN. \] La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N^\ast\), on ait : \[ (I+tN)^n=I+ntN. \] Alors : \[ (I+tN)^{n+1}=(I+ntN)(I+tN). \] Donc : \[ (I+tN)^{n+1} = I+(n+1)tN+nt^2N^2. \] Comme : \[ N^2=O_2, \] on obtient : \[ (I+tN)^{n+1}=I+(n+1)tN. \] La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N^\ast,\qquad (I+tN)^n=I+ntN. \] Soit \(X\in G\). Il existe \(t\in\mathbb R\) tel que : \[ X=I+tN. \] Alors : \[ X^{2026}=I+2026tN. \] L'équation : \[ X^{2026}=I+N \] équivaut à : \[ I+2026tN=I+N. \] Donc : \[ 2026t=1. \] Ainsi : \[ t=\frac1{2026}. \] La solution est : \[ X=I+\frac1{2026}N. \]
Exercice 3 — Nombres complexes — 3 points
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct, on considère la transformation \(S\) définie par :
\[
z'=(1+i)z-i.
\]
On définit la suite \((z_n)\) par :
\[
z_0=i,
\qquad
z_{n+1}=(1+i)z_n-i.
\]
0,5 pt
1
Question. Montrer que le point \(\Omega\) d'affixe \(1\) est invariant par \(S\), puis vérifier que :
\[
z'-1=(1+i)(z-1).
\]
Données. \[ z'=(1+i)z-i. \]
Correction. Pour \(z=1\), on a : \[ z'=(1+i)\cdot1-i=1+i-i=1. \] Donc le point \(\Omega\) d'affixe \(1\) est invariant par \(S\). De plus : \[ z'-1=(1+i)z-i-1. \] Or : \[ i+1=1+i. \] Donc : \[ z'-1=(1+i)z-(1+i). \] Ainsi : \[ z'-1=(1+i)(z-1). \]
Données. \[ z'=(1+i)z-i. \]
Correction. Pour \(z=1\), on a : \[ z'=(1+i)\cdot1-i=1+i-i=1. \] Donc le point \(\Omega\) d'affixe \(1\) est invariant par \(S\). De plus : \[ z'-1=(1+i)z-i-1. \] Or : \[ i+1=1+i. \] Donc : \[ z'-1=(1+i)z-(1+i). \] Ainsi : \[ z'-1=(1+i)(z-1). \]
0,5 pt
2
Question. En déduire que, pour tout point \(M\ne\Omega\) d'image \(M'\) par \(S\),
\[
\Omega M'=\sqrt2\,\Omega M
\]
et :
\[
\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)
\equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi].
\]
Données. \[ z'-1=(1+i)(z-1). \]
Correction. En prenant les modules dans : \[ z'-1=(1+i)(z-1), \] on obtient : \[ |z'-1|=|1+i|\,|z-1|. \] Or : \[ |1+i|=\sqrt2. \] De plus : \[ |z'-1|=\Omega M' \qquad\text{et}\qquad |z-1|=\Omega M. \] Donc : \[ \Omega M'=\sqrt2\,\Omega M. \] Comme \(M\ne\Omega\), on a : \[ z-1\ne0. \] Donc : \[ \arg(z'-1)\equiv\arg(1+i)+\arg(z-1)\ [2\pi]. \] Or : \[ \arg(1+i)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \] Ainsi : \[ \arg(z'-1)-\arg(z-1)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \] Donc : \[ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right) \equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \]
Données. \[ z'-1=(1+i)(z-1). \]
Correction. En prenant les modules dans : \[ z'-1=(1+i)(z-1), \] on obtient : \[ |z'-1|=|1+i|\,|z-1|. \] Or : \[ |1+i|=\sqrt2. \] De plus : \[ |z'-1|=\Omega M' \qquad\text{et}\qquad |z-1|=\Omega M. \] Donc : \[ \Omega M'=\sqrt2\,\Omega M. \] Comme \(M\ne\Omega\), on a : \[ z-1\ne0. \] Donc : \[ \arg(z'-1)\equiv\arg(1+i)+\arg(z-1)\ [2\pi]. \] Or : \[ \arg(1+i)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \] Ainsi : \[ \arg(z'-1)-\arg(z-1)\equiv\frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \] Donc : \[ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right) \equiv \frac{\pi}{4}\ [2\pi]. \]
0,75 pt
3
Question. On note \(M''\) l'image de \(M'\) par \(S\), et \(z''\) son affixe. Montrer que :
\[
z''=2iz+1-2i
\]
puis déterminer les affixes des points \(M\) tels que :
\[
z''=z^2.
\]
Données. \[ z'=(1+i)z-i \qquad\text{et}\qquad z''=(1+i)z'-i. \]
Correction. Comme \(M''\) est l'image de \(M'\) par \(S\), on a : \[ z''=(1+i)z'-i. \] En remplaçant \(z'\) par \((1+i)z-i\), on obtient : \[ z''=(1+i)\bigl((1+i)z-i\bigr)-i. \] Donc : \[ z''=(1+i)^2z-i(1+i)-i. \] Or : \[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i, \] et : \[ -i(1+i)-i=-i-i^2-i=1-2i. \] Ainsi : \[ z''=2iz+1-2i. \] Cherchons maintenant les points \(M\) tels que : \[ z''=z^2. \] On a donc : \[ z^2=2iz+1-2i. \] C'est-à-dire : \[ z^2-2iz-1+2i=0. \] On calcule : \[ \Delta=(-2i)^2-4(-1+2i). \] Donc : \[ \Delta=-4+4-8i=-8i. \] Or : \[ (2-2i)^2=4-8i-4=-8i. \] Ainsi : \[ \Delta=(2-2i)^2. \] Les solutions sont : \[ z=\frac{2i\pm(2-2i)}2. \] Donc : \[ z_1=1 \qquad\text{et}\qquad z_2=-1+2i. \] Les affixes cherchées sont : \[ z=1 \qquad\text{ou}\qquad z=-1+2i. \]
Données. \[ z'=(1+i)z-i \qquad\text{et}\qquad z''=(1+i)z'-i. \]
Correction. Comme \(M''\) est l'image de \(M'\) par \(S\), on a : \[ z''=(1+i)z'-i. \] En remplaçant \(z'\) par \((1+i)z-i\), on obtient : \[ z''=(1+i)\bigl((1+i)z-i\bigr)-i. \] Donc : \[ z''=(1+i)^2z-i(1+i)-i. \] Or : \[ (1+i)^2=1+2i+i^2=2i, \] et : \[ -i(1+i)-i=-i-i^2-i=1-2i. \] Ainsi : \[ z''=2iz+1-2i. \] Cherchons maintenant les points \(M\) tels que : \[ z''=z^2. \] On a donc : \[ z^2=2iz+1-2i. \] C'est-à-dire : \[ z^2-2iz-1+2i=0. \] On calcule : \[ \Delta=(-2i)^2-4(-1+2i). \] Donc : \[ \Delta=-4+4-8i=-8i. \] Or : \[ (2-2i)^2=4-8i-4=-8i. \] Ainsi : \[ \Delta=(2-2i)^2. \] Les solutions sont : \[ z=\frac{2i\pm(2-2i)}2. \] Donc : \[ z_1=1 \qquad\text{et}\qquad z_2=-1+2i. \] Les affixes cherchées sont : \[ z=1 \qquad\text{ou}\qquad z=-1+2i. \]
0,75 pt
4
Question. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
z_n-1=(1+i)^n(z_0-1),
\]
puis montrer que :
\[
z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}.
\]
Données. \[ z_0=i \qquad\text{et}\qquad z_{n+1}=(1+i)z_n-i. \]
Correction. la question 1, appliquée à \(z=z_n\), on a : \[ z_{n+1}-1=(1+i)(z_n-1). \] Montrons par récurrence que : \[ z_n-1=(1+i)^n(z_0-1). \] Pour \(n=0\), on a : \[ z_0-1=(1+i)^0(z_0-1). \] La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\), on ait : \[ z_n-1=(1+i)^n(z_0-1). \] Alors : \[ z_{n+1}-1=(1+i)(z_n-1). \] Donc : \[ z_{n+1}-1=(1+i)(1+i)^n(z_0-1). \] Ainsi : \[ z_{n+1}-1=(1+i)^{n+1}(z_0-1). \] La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad z_n-1=(1+i)^n(z_0-1). \] Comme : \[ z_0=i, \] on a : \[ z_0-1=i-1. \] Donc : \[ z_n-1=(1+i)^n(i-1). \] On a : \[ 1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}} \] et : \[ i-1=-1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}. \] Donc : \[ z_n-1= \left(\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n \sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}. \] Ainsi : \[ z_n-1= 2^{\frac n2}\sqrt2\, e^{i\left(\frac{n\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)}. \] Donc : \[ z_n-1= 2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}. \] Par conséquent : \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}. \]
Données. \[ z_0=i \qquad\text{et}\qquad z_{n+1}=(1+i)z_n-i. \]
Correction. la question 1, appliquée à \(z=z_n\), on a : \[ z_{n+1}-1=(1+i)(z_n-1). \] Montrons par récurrence que : \[ z_n-1=(1+i)^n(z_0-1). \] Pour \(n=0\), on a : \[ z_0-1=(1+i)^0(z_0-1). \] La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\), on ait : \[ z_n-1=(1+i)^n(z_0-1). \] Alors : \[ z_{n+1}-1=(1+i)(z_n-1). \] Donc : \[ z_{n+1}-1=(1+i)(1+i)^n(z_0-1). \] Ainsi : \[ z_{n+1}-1=(1+i)^{n+1}(z_0-1). \] La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Par récurrence : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad z_n-1=(1+i)^n(z_0-1). \] Comme : \[ z_0=i, \] on a : \[ z_0-1=i-1. \] Donc : \[ z_n-1=(1+i)^n(i-1). \] On a : \[ 1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}} \] et : \[ i-1=-1+i=\sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}. \] Donc : \[ z_n-1= \left(\sqrt2\,e^{i\frac{\pi}{4}}\right)^n \sqrt2\,e^{i\frac{3\pi}{4}}. \] Ainsi : \[ z_n-1= 2^{\frac n2}\sqrt2\, e^{i\left(\frac{n\pi}{4}+\frac{3\pi}{4}\right)}. \] Donc : \[ z_n-1= 2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}. \] Par conséquent : \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}. \]
0,5 pt
5
Question. Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le point \(M_n\) d'affixe \(z_n\) appartient à l'axe réel.
Données. \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}. \]
Correction. Un point d’affixe \(z\) appartient à l’axe réel si et seulement si : \[ \operatorname{Im}(z)=0. \] Or : \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}} \left( \cos\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right) +i\sin\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right) \right). \] Donc : \[ \operatorname{Im}(z_n)= 2^{\frac{n+1}{2}}\sin\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right). \] Comme : \[ 2^{\frac{n+1}{2}}\gt0, \] on a : \[ M_n\in(Ox) \Longleftrightarrow \sin\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right)=0. \] Or : \[ \sin \theta=0 \Longleftrightarrow \theta=k\pi \qquad(k\in\mathbb Z). \] Donc : \[ \frac{(n+3)\pi}{4}=k\pi. \] Ainsi : \[ n+3=4k. \] Donc : \[ n=4k-3. \] Comme \(n\in\mathbb N\), on peut écrire : \[ n=4p+1 \qquad(p\in\mathbb N). \] Les entiers cherchés sont donc : \[ n\equiv1\ [4]. \]
Données. \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}}e^{i\frac{(n+3)\pi}{4}}. \]
Correction. Un point d’affixe \(z\) appartient à l’axe réel si et seulement si : \[ \operatorname{Im}(z)=0. \] Or : \[ z_n=1+2^{\frac{n+1}{2}} \left( \cos\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right) +i\sin\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right) \right). \] Donc : \[ \operatorname{Im}(z_n)= 2^{\frac{n+1}{2}}\sin\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right). \] Comme : \[ 2^{\frac{n+1}{2}}\gt0, \] on a : \[ M_n\in(Ox) \Longleftrightarrow \sin\left(\frac{(n+3)\pi}{4}\right)=0. \] Or : \[ \sin \theta=0 \Longleftrightarrow \theta=k\pi \qquad(k\in\mathbb Z). \] Donc : \[ \frac{(n+3)\pi}{4}=k\pi. \] Ainsi : \[ n+3=4k. \] Donc : \[ n=4k-3. \] Comme \(n\in\mathbb N\), on peut écrire : \[ n=4p+1 \qquad(p\in\mathbb N). \] Les entiers cherchés sont donc : \[ n\equiv1\ [4]. \]
Exercice 4 — Arithmétique — 3 points
On rappelle que :
\[
2026=2\times1013.
\]
0,5 pt
1
Question. Vérifier que \(1013\) est un nombre premier.
Données. On doit étudier la primalité de \(1013\).
Correction. On a : \[ 31^2=961\lt1013\lt1024=32^2. \] Donc : \[ 31\lt\sqrt{1013}\lt32. \] Pour vérifier que \(1013\) est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à \(31\).
Les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(31\) sont : \[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31. \] L'entier \(1013\) n'est pas divisible par \(2\), car il est impair. La somme de ses chiffres est : \[ 1+0+1+3=5, \] donc \(1013\) n'est pas divisible par \(3\). Il ne se termine ni par \(0\) ni par \(5\), donc il n'est pas divisible par \(5\). De plus : \[ 1013=7\times144+5, \] \[ 1013=11\times92+1, \] \[ 1013=13\times77+12, \] \[ 1013=17\times59+10, \] \[ 1013=19\times53+6, \] \[ 1013=23\times44+1, \] \[ 1013=29\times34+27, \] \[ 1013=31\times32+21. \] Donc \(1013\) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{1013}\). Ainsi : \[ 1013 \text{ est un nombre premier.} \]
Données. On doit étudier la primalité de \(1013\).
Correction. On a : \[ 31^2=961\lt1013\lt1024=32^2. \] Donc : \[ 31\lt\sqrt{1013}\lt32. \] Pour vérifier que \(1013\) est premier, il suffit de tester les diviseurs premiers inférieurs ou égaux à \(31\).
Les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(31\) sont : \[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31. \] L'entier \(1013\) n'est pas divisible par \(2\), car il est impair. La somme de ses chiffres est : \[ 1+0+1+3=5, \] donc \(1013\) n'est pas divisible par \(3\). Il ne se termine ni par \(0\) ni par \(5\), donc il n'est pas divisible par \(5\). De plus : \[ 1013=7\times144+5, \] \[ 1013=11\times92+1, \] \[ 1013=13\times77+12, \] \[ 1013=17\times59+10, \] \[ 1013=19\times53+6, \] \[ 1013=23\times44+1, \] \[ 1013=29\times34+27, \] \[ 1013=31\times32+21. \] Donc \(1013\) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{1013}\). Ainsi : \[ 1013 \text{ est un nombre premier.} \]
0,5 pt
2
Question. Vérifier que :
\[
45\times968\equiv1\ [1013],
\]
puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence :
\[
45x\equiv1\ [1013].
\]
Données. On travaille modulo \(1013\).
Correction. On a : \[ 45\times968=43560. \] Or : \[ 43560=1013\times43+1. \] Donc : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \] Résolvons maintenant : \[ 45x\equiv1\ [1013]. \] Comme : \[ 45x\equiv1\ [1013] \] et : \[ 45\times968\equiv1\ [1013], \] alors, par transitivité de la congruence : \[ 45x\equiv45\times968\ [1013]. \] Donc : \[ 45(x-968)\equiv0\ [1013]. \] Or \(1013\) est premier et ne divise pas \(45\). Donc : \[ 45\wedge1013=1. \] On peut alors simplifier par \(45\) modulo \(1013\). Ainsi : \[ x-968\equiv0\ [1013]. \] Donc : \[ x\equiv968\ [1013]. \] Réciproquement, si : \[ x\equiv968\ [1013], \] alors, en multipliant par \(45\) : \[ 45x\equiv45\times968\ [1013]. \] Or : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \] Donc : \[ 45x\equiv1\ [1013]. \] Par conséquent, les solutions sont : \[ x=968+1013k \qquad(k\in\mathbb Z). \]
Données. On travaille modulo \(1013\).
Correction. On a : \[ 45\times968=43560. \] Or : \[ 43560=1013\times43+1. \] Donc : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \] Résolvons maintenant : \[ 45x\equiv1\ [1013]. \] Comme : \[ 45x\equiv1\ [1013] \] et : \[ 45\times968\equiv1\ [1013], \] alors, par transitivité de la congruence : \[ 45x\equiv45\times968\ [1013]. \] Donc : \[ 45(x-968)\equiv0\ [1013]. \] Or \(1013\) est premier et ne divise pas \(45\). Donc : \[ 45\wedge1013=1. \] On peut alors simplifier par \(45\) modulo \(1013\). Ainsi : \[ x-968\equiv0\ [1013]. \] Donc : \[ x\equiv968\ [1013]. \] Réciproquement, si : \[ x\equiv968\ [1013], \] alors, en multipliant par \(45\) : \[ 45x\equiv45\times968\ [1013]. \] Or : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \] Donc : \[ 45x\equiv1\ [1013]. \] Par conséquent, les solutions sont : \[ x=968+1013k \qquad(k\in\mathbb Z). \]
0,75 pt
3
Question. Vérifier que :
\[
45\times1981\equiv1\ [2026],
\]
puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence :
\[
45x\equiv1\ [2026].
\]
Données. On travaille modulo \(2026\).
Correction. On a : \[ 45\times1981=89145. \] Or : \[ 89145=2026\times44+1. \] Donc : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026]. \] Résolvons maintenant : \[ 45x\equiv1\ [2026]. \] Comme : \[ 45x\equiv1\ [2026] \] et : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026], \] alors, par transitivité de la congruence : \[ 45x\equiv45\times1981\ [2026]. \] Donc : \[ 45(x-1981)\equiv0\ [2026]. \] Or : \[ 2026=2\times1013. \] Comme \(45\) est impair : \[ 45\wedge2=1. \] Et comme \(1013\) est premier et ne divise pas \(45\), on a : \[ 45\wedge1013=1. \] Donc : \[ 45\wedge2026=1. \] Le théorème de simplification dans une congruence permet de simplifier par \(45\) modulo \(2026\). Donc : \[ x-1981\equiv0\ [2026]. \] Ainsi : \[ x\equiv1981\ [2026]. \] Réciproquement, si : \[ x\equiv1981\ [2026], \] alors : \[ 45x\equiv45\times1981\ [2026]. \] Or : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026]. \] Donc : \[ 45x\equiv1\ [2026]. \] Les solutions sont : \[ x=1981+2026k \qquad(k\in\mathbb Z). \]
Données. On travaille modulo \(2026\).
Correction. On a : \[ 45\times1981=89145. \] Or : \[ 89145=2026\times44+1. \] Donc : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026]. \] Résolvons maintenant : \[ 45x\equiv1\ [2026]. \] Comme : \[ 45x\equiv1\ [2026] \] et : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026], \] alors, par transitivité de la congruence : \[ 45x\equiv45\times1981\ [2026]. \] Donc : \[ 45(x-1981)\equiv0\ [2026]. \] Or : \[ 2026=2\times1013. \] Comme \(45\) est impair : \[ 45\wedge2=1. \] Et comme \(1013\) est premier et ne divise pas \(45\), on a : \[ 45\wedge1013=1. \] Donc : \[ 45\wedge2026=1. \] Le théorème de simplification dans une congruence permet de simplifier par \(45\) modulo \(2026\). Donc : \[ x-1981\equiv0\ [2026]. \] Ainsi : \[ x\equiv1981\ [2026]. \] Réciproquement, si : \[ x\equiv1981\ [2026], \] alors : \[ 45x\equiv45\times1981\ [2026]. \] Or : \[ 45\times1981\equiv1\ [2026]. \] Donc : \[ 45x\equiv1\ [2026]. \] Les solutions sont : \[ x=1981+2026k \qquad(k\in\mathbb Z). \]
0,75 pt
4
Question. Montrer que :
\[
45^{1012}\equiv1\ [1013],
\]
puis en déduire que :
\[
45^{1011}\equiv968\ [1013].
\]
Données. \(1013\) est premier et : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \]
Correction. Comme \(1013\) est premier et : \[ 1013\nmid45, \] le petit théorème de Fermat donne : \[ 45^{1012}\equiv1\ [1013]. \] Donc : \[ 45\times45^{1011}\equiv1\ [1013]. \] Or, la question 2 donne : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \] Ainsi, par transitivité de la congruence : \[ 45\times45^{1011}\equiv45\times968\ [1013]. \] Donc : \[ 45(45^{1011}-968)\equiv0\ [1013]. \] Or : \[ 45\wedge1013=1. \] Le théorème de simplification dans une congruence permet de simplifier par \(45\) modulo \(1013\). Donc : \[ 45^{1011}-968\equiv0\ [1013]. \] Ainsi : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013]. \]
Données. \(1013\) est premier et : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \]
Correction. Comme \(1013\) est premier et : \[ 1013\nmid45, \] le petit théorème de Fermat donne : \[ 45^{1012}\equiv1\ [1013]. \] Donc : \[ 45\times45^{1011}\equiv1\ [1013]. \] Or, la question 2 donne : \[ 45\times968\equiv1\ [1013]. \] Ainsi, par transitivité de la congruence : \[ 45\times45^{1011}\equiv45\times968\ [1013]. \] Donc : \[ 45(45^{1011}-968)\equiv0\ [1013]. \] Or : \[ 45\wedge1013=1. \] Le théorème de simplification dans une congruence permet de simplifier par \(45\) modulo \(1013\). Donc : \[ 45^{1011}-968\equiv0\ [1013]. \] Ainsi : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013]. \]
0,5 pt
5
Question. Déterminer le reste de la division euclidienne de :
\[
45^{1011}
\]
par \(2026\).
Données. On a : \[ 2026=2\times1013 \] et : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013]. \]
Correction. Soit \(r\) le reste de la division euclidienne de \(45^{1011}\) par \(2026\). Alors : \[ 0\le r\lt2026 \] et : \[ 45^{1011}\equiv r\ [2026]. \] Par définition de la congruence : \[ 2026\mid(45^{1011}-r). \] Comme : \[ 2026=2\times1013, \] on en déduit que : \[ 2\mid(45^{1011}-r) \] et : \[ 1013\mid(45^{1011}-r). \] Donc : \[ 45^{1011}\equiv r\ [2] \] et : \[ 45^{1011}\equiv r\ [1013]. \] Autrement dit : \[ r\equiv45^{1011}\ [2] \qquad\text{et}\qquad r\equiv45^{1011}\ [1013]. \] Or \(45\) est impair, donc : \[ 45\equiv1\ [2]. \] Ainsi : \[ 45^{1011}\equiv1^{1011}\ [2], \] d'où : \[ 45^{1011}\equiv1\ [2]. \] Donc : \[ r\equiv1\ [2]. \] D'autre part, la question précédente donne : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013]. \] Donc : \[ r\equiv968\ [1013]. \] Ainsi, le reste \(r\) vérifie : \[ \begin{cases} r\equiv1\ [2],\\ r\equiv968\ [1013], \end{cases} \] avec : \[ 0\le r\lt2026. \] Comme : \[ r\equiv968\ [1013], \] il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que : \[ r=968+1013k. \] Or : \[ 0\le r\lt2026=2\times1013. \] Donc les seules possibilités sont : \[ r=968 \qquad\text{ou}\qquad r=968+1013=1981. \] Mais : \[ r\equiv1\ [2]. \] Donc \(r\) est impair. Or : \[ 968 \text{ est pair} \qquad\text{et}\qquad 1981 \text{ est impair}. \] Donc : \[ r=1981. \]
Données. On a : \[ 2026=2\times1013 \] et : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013]. \]
Correction. Soit \(r\) le reste de la division euclidienne de \(45^{1011}\) par \(2026\). Alors : \[ 0\le r\lt2026 \] et : \[ 45^{1011}\equiv r\ [2026]. \] Par définition de la congruence : \[ 2026\mid(45^{1011}-r). \] Comme : \[ 2026=2\times1013, \] on en déduit que : \[ 2\mid(45^{1011}-r) \] et : \[ 1013\mid(45^{1011}-r). \] Donc : \[ 45^{1011}\equiv r\ [2] \] et : \[ 45^{1011}\equiv r\ [1013]. \] Autrement dit : \[ r\equiv45^{1011}\ [2] \qquad\text{et}\qquad r\equiv45^{1011}\ [1013]. \] Or \(45\) est impair, donc : \[ 45\equiv1\ [2]. \] Ainsi : \[ 45^{1011}\equiv1^{1011}\ [2], \] d'où : \[ 45^{1011}\equiv1\ [2]. \] Donc : \[ r\equiv1\ [2]. \] D'autre part, la question précédente donne : \[ 45^{1011}\equiv968\ [1013]. \] Donc : \[ r\equiv968\ [1013]. \] Ainsi, le reste \(r\) vérifie : \[ \begin{cases} r\equiv1\ [2],\\ r\equiv968\ [1013], \end{cases} \] avec : \[ 0\le r\lt2026. \] Comme : \[ r\equiv968\ [1013], \] il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que : \[ r=968+1013k. \] Or : \[ 0\le r\lt2026=2\times1013. \] Donc les seules possibilités sont : \[ r=968 \qquad\text{ou}\qquad r=968+1013=1981. \] Mais : \[ r\equiv1\ [2]. \] Donc \(r\) est impair. Or : \[ 968 \text{ est pair} \qquad\text{et}\qquad 1981 \text{ est impair}. \] Donc : \[ r=1981. \]
Le reste de la division euclidienne de \(45^{1011}\) par \(2026\) est :
\[
1981.
\]
FIN DE LA CORRECTION — EXAMEN BLANC 4 — 2e BAC SCIENCES MATHÉMATIQUES
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