Correction examen blanc 5 — 2e Bac Sciences Mathématiques
Mathématiques — Année scolaire 2025–2026
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques
Matière : Mathématiques
Total : 20 points
Enseignant : Hammou Boudraa — Lycée Oum Erbiaâ
Cette correction accompagne l’examen blanc 5. Elle est rédigée avec vérification concrète des conditions, liens entre les questions et justification des passages qui peuvent bloquer les élèves.
Accès détaillé aux questions
Correction de l'exercice 1 : Analyse — 11 points
On pose, pour tout \(u\ge 0\),
\[ R(u)=\ln(1+u)-u+\frac{u^2}{2} \]et on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par
\[ f(x)=e^{3x}\left(\ln(1+e^{-x})-e^{-x}+\frac{e^{-2x}}{2}\right). \]Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[ R(u)=\int_0^u\frac{t^2}{1+t}\,dt \]puis en déduire l'encadrement demandé et déterminer
\[ \lim_{x\to+\infty} f(x). \]\(R(u)=\ln(1+u)-u+\dfrac{u^2}{2}\).
La fonction \(R\) est dérivable sur \([0,+\infty[\). Pour tout \(u\ge0\), on a:
\[ R'(u)=\frac1{1+u}-1+u \]Donc:
\[ R'(u)=\frac{1-(1+u)+u(1+u)}{1+u} = \frac{u^2}{1+u} \]De plus:
\[ R(0)=0 \]Ainsi, pour tout \(u\ge0\),
\[ R(u)=\int_0^u R'(t)\,dt = \int_0^u\frac{t^2}{1+t}\,dt \]Pour \(0\le t\le u\), on a:
\[ 1\le 1+t\le 1+u \]Donc:
\[ \frac1{1+u}\le\frac1{1+t}\le1 \]et, comme \(t^2\ge0\),
\[ \frac{t^2}{1+u}\le\frac{t^2}{1+t}\le t^2 \]En intégrant de \(0\) à \(u\), on obtient:
\[ \frac1{1+u}\int_0^u t^2\,dt \le R(u) \le \int_0^u t^2\,dt \]Donc, pour tout \(u\gt0\),
\[ \frac{u^3}{3(1+u)}\le R(u)\le\frac{u^3}{3} \]En posant \(u=e^{-x}\), on a:
\[ f(x)=e^{3x}R(e^{-x}) \]D'après l'encadrement précédent:
\[ e^{3x}\frac{e^{-3x}}{3(1+e^{-x})} \le f(x)\le e^{3x}\frac{e^{-3x}}3 \]Donc:
\[ \frac1{3(1+e^{-x})}\le f(x)\le \frac13 \]Or:
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac1{3(1+e^{-x})}=\frac13 \]Par encadrement:
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac13 \]Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[ 0\le R(u)\le \frac{u^2}{2} \]puis déterminer
\[ \lim_{x\to-\infty} f(x). \]\(R(u)=\displaystyle\int_0^u\frac{t^2}{1+t}\,dt\).
Pour \(t\ge0\), on a:
\[ 0\le \frac{t^2}{1+t}\le t \]Donc, pour tout \(u\ge0\),
\[ 0\le \int_0^u\frac{t^2}{1+t}\,dt \le \int_0^u t\,dt \]Ainsi:
\[ 0\le R(u)\le\frac{u^2}{2} \]En posant \(u=e^{-x}\), on obtient:
\[ 0\le R(e^{-x})\le \frac{e^{-2x}}2 \]En multipliant par \(e^{3x}\gt0\), on obtient:
\[ 0\le f(x)\le \frac{e^x}{2} \]Or:
\[ \lim_{x\to-\infty}\frac{e^x}{2}=0 \]Par encadrement:
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \]On considère la fonction \(q\) définie sur \([0,+\infty[\) par
\[ q(u)=3\ln(1+u)-3u+\frac{3u^2}{2}-\frac{u^3}{1+u}. \]Montrer que \(q\) est continue sur \([0,+\infty[\), dérivable sur \(]0,+\infty[\), et que, pour tout \(u\gt0\),
\[ q'(u)=\frac{u^3}{(1+u)^2}. \]En déduire que \(q(u)\gt0\) pour tout \(u\gt0\).
Pour tout \(u\in[0,+\infty[\), on a :
\[ 1+u\ge1\gt0. \]Donc l’expression \(\ln(1+u)\) est bien définie sur \([0,+\infty[\). Comme la fonction \(u\mapsto1+u\) est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\), la fonction
\[ u\mapsto\ln(1+u) \]est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\).
De plus, pour tout \(u\in[0,+\infty[\), on a :
\[ 1+u\neq0. \]Donc la fonction rationnelle
\[ u\mapsto \frac{u^3}{1+u} \]est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\).
Par conséquent, la fonction \(q\), qui est une somme de fonctions continues sur \([0,+\infty[\) et dérivables sur \(]0,+\infty[\), est continue sur \([0,+\infty[\) et dérivable sur \(]0,+\infty[\).
Pour tout \(u\gt0\), on calcule :
\[ q'(u)=\frac3{1+u}-3+3u-\left(\frac{u^3}{1+u}\right)'. \]Or :
\[ \left(\frac{u^3}{1+u}\right)' = \frac{3u^2(1+u)-u^3}{(1+u)^2}. \]Donc :
\[ \left(\frac{u^3}{1+u}\right)' = \frac{3u^2+3u^3-u^3}{(1+u)^2} = \frac{3u^2+2u^3}{(1+u)^2}. \]Ainsi :
\[ q'(u)=\frac3{1+u}-3+3u-\frac{3u^2+2u^3}{(1+u)^2}. \]On remarque que :
\[ \frac3{1+u}-3+3u = \frac{3-3(1+u)+3u(1+u)}{1+u} = \frac{3u^2}{1+u}. \]Donc :
\[ q'(u)=\frac{3u^2}{1+u}-\frac{3u^2+2u^3}{(1+u)^2}. \]En mettant au même dénominateur :
\[ q'(u) = \frac{3u^2(1+u)-(3u^2+2u^3)}{(1+u)^2} = \frac{u^3}{(1+u)^2}. \]Pour tout \(u\gt0\), on a :
\[ u^3\gt0 \qquad\text{et}\qquad (1+u)^2\gt0. \]Donc :
\[ q'(u)\gt0. \]La fonction \(q\) est donc strictement croissante sur \([0,+\infty[\). Or :
\[ q(0)=0. \]Ainsi, pour tout \(u\gt0\),
\[ q(u)\gt q(0)=0. \]Donc :
\[ q(u)\gt0. \]Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f'(x)=e^{3x}q(e^{-x}) \]puis étudier les variations de \(f\), dresser son tableau de variations et montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur
\[ \left]0,\frac13\right[. \]et, d'après la question 3, \(q(u)\gt0\) pour tout \(u\gt0\).
La fonction \(x\mapsto e^{-x}\) est dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ e^{-x}\gt0. \]Donc :
\[ 1+e^{-x}\gt0. \]Ainsi, l’expression \(\ln(1+e^{-x})\) est bien définie et dérivable sur \(\mathbb R\). La fonction \(x\mapsto e^{3x}\) est aussi dérivable sur \(\mathbb R\). Donc \(f\), qui est un produit de fonctions dérivables, est dérivable sur \(\mathbb R\).
Posons :
\[ u=e^{-x}. \]Alors :
\[ u'=-e^{-x}=-u. \]On écrit :
\[ f(x)=e^{3x}R(u). \]Donc :
\[ f'(x)=3e^{3x}R(u)+e^{3x}R'(u)u'. \]La question 1 :
\[ R'(u)=\frac{u^2}{1+u}. \]Donc :
\[ f'(x)=e^{3x}\left(3R(u)-\frac{u^3}{1+u}\right). \]Or :
\[ 3R(u)-\frac{u^3}{1+u} = 3\ln(1+u)-3u+\frac{3u^2}{2}-\frac{u^3}{1+u}. \]Par définition de \(q\), on obtient :
\[ 3R(u)-\frac{u^3}{1+u}=q(u). \]Ainsi :
\[ f'(x)=e^{3x}q(u)=e^{3x}q(e^{-x}). \]Comme \(e^{-x}\gt0\), la question 3 donne :
\[ q(e^{-x})\gt0. \]De plus :
\[ e^{3x}\gt0. \]Donc :
\[ f'(x)\gt0. \]Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Les questions 1 et 2 donnent :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac13. \]Le tableau de variations est :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
| \(f'(x)\) | \(+\) | ||
| \(f(x)\) | \(0\) | \(\nearrow\) | \(\dfrac13\) |
La fonction \(f\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb R\). Comme ses limites aux bornes de \(\mathbb R\) sont \(0\) et \(\dfrac13\), le théorème de bijection permet de conclure que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur :
\[ \left]0,\frac13\right[. \]On définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb R\) par
\[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt. \]Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\), puis étudier son sens de variation.
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb R\). On peut donc considérer la fonction \(H\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ H(x)=\int_0^x f(t)\,dt. \]Alors \(H\) est une primitive de \(f\), c'est-à-dire :
\[ H'(x)=f(x). \]Pour tout \(x\in\mathbb R\), on a :
\[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt = \int_0^{x+1}f(t)\,dt-\int_0^x f(t)\,dt. \]Donc :
\[ F(x)=H(x+1)-H(x). \]La fonction \(F\) est alors dérivable sur \(\mathbb R\), et :
\[ F'(x)=H'(x+1)-H'(x). \]Comme \(H'=f\), on obtient :
\[ F'(x)=f(x+1)-f(x). \]Or \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\), et :
\[ x+1\gt x. \]Donc :
\[ f(x+1)\gt f(x). \]Ainsi :
\[ F'(x)\gt0. \]Par conséquent, \(F\) est strictement croissante sur \(\mathbb R\).
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[ f(x)\le F(x)\le f(x+1) \]puis déterminer les deux limites de \(F\).
\(F(x)=\displaystyle\int_x^{x+1}f(t)\,dt\), et \(f\) est croissante.
Pour \(t\in[x,x+1]\), on a:
\[ f(x)\le f(t)\le f(x+1) \]En intégrant de \(x\) à \(x+1\), on obtient:
\[ f(x)\le F(x)\le f(x+1) \]Lorsque \(x\to-\infty\), on a:
\[ f(x)\to0 \qquad\text{et}\qquad f(x+1)\to0 \]Donc:
\[ \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 \]Lorsque \(x\to+\infty\), on a:
\[ f(x)\to\frac13 \qquad\text{et}\qquad f(x+1)\to\frac13 \]Donc:
\[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=\frac13 \]Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose
\[ I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx. \]Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ \frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1} \]puis calculer
\[ \lim_{n\to+\infty} I_n. \]Pour \(x\in[0,1]\), comme \(f\) est croissante:
\[ f(0)\le f(x)\le f(1) \]et comme \(x^n\ge0\), on obtient:
\[ x^nf(0)\le x^nf(x)\le x^nf(1) \]En intégrant de \(0\) à \(1\), on obtient:
\[ f(0)\int_0^1x^n\,dx \le I_n\le f(1)\int_0^1x^n\,dx \]Or:
\[ \int_0^1x^n\,dx=\frac1{n+1} \]Donc:
\[ \frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le\frac{f(1)}{n+1} \]Par encadrement:
\[ \lim_{n\to+\infty}I_n=0 \]Montrer qu’il existe une constante \(M\gt0\) telle que, pour tout \(x\in[0,1]\),
\[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x) \]puis en déduire l'encadrement demandé, calculer la limite de \((n+1)I_n\), et donner \(f(1)\).
La fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\), strictement croissante, et \(I_n=\displaystyle\int_0^1x^nf(x)\,dx\).
La fonction \(f'\) est continue sur le segment \([0,1]\). Elle est donc bornée sur ce segment. Comme \(f'(x)\gt0\) pour tout \(x\in[0,1]\), il existe une constante \(M\gt0\) telle que :
\[ \forall x\in[0,1],\qquad 0\le f'(x)\le M. \]Soit \(x\in[0,1]\). La fonction \(f\) est continue sur \([x,1]\) et dérivable sur \(]x,1[\). Le théorème des accroissements finis donne l'existence d'un réel \(c\in]x,1[\) tel que :
\[ f(1)-f(x)=f'(c)(1-x). \]Comme \(0\le f'(c)\le M\) et \(1-x\ge0\), on obtient :
\[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x). \]On a :
\[ \frac{f(1)}{n+1}-I_n = f(1)\int_0^1x^n\,dx-\int_0^1x^nf(x)\,dx. \]Donc :
\[ \frac{f(1)}{n+1}-I_n = \int_0^1x^n\left(f(1)-f(x)\right)dx. \]Or, pour tout \(x\in[0,1]\), on a \(x^n\ge0\) et :
\[ 0\le f(1)-f(x)\le M(1-x). \]Donc :
\[ 0\le x^n\left(f(1)-f(x)\right)\le Mx^n(1-x). \]En intégrant de \(0\) à \(1\), on obtient :
\[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n \le M\int_0^1x^n(1-x)\,dx. \]Or :
\[ \int_0^1x^n(1-x)\,dx = \int_0^1x^n\,dx-\int_0^1x^{n+1}\,dx. \]Donc :
\[ \int_0^1x^n(1-x)\,dx = \frac1{n+1}-\frac1{n+2} = \frac1{(n+1)(n+2)}. \]Ainsi :
\[ 0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n \le \frac{M}{(n+1)(n+2)}. \]En multipliant par \(n+1\gt0\), on obtient :
\[ 0\le f(1)-(n+1)I_n \le \frac{M}{n+2}. \]Comme \(\dfrac{M}{n+2}\to0\), le théorème d'encadrement donne :
\[ \lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n=f(1). \]Enfin :
\[ f(1)=e^3\left(\ln(1+e^{-1})-e^{-1}+\frac{e^{-2}}2\right). \]Donc :
\[ f(1)=e^3\ln(1+e^{-1})-e^2+\frac e2. \]Correction de l'exercice 2 : Structures algébriques — 3 points
On considère l’ensemble
\[ E=\{x+iy\in\mathbb C\ ;\ x\in\mathbb R,\ y\in\mathbb R^\ast\} \]muni de la loi \(\star\) définie par:
\[ (x+iy)\star(u+iv)=(xv+uy)+i\,yv. \]Montrer que \(\star\) est une loi de composition interne sur \(E\), puis déterminer l’élément neutre de \(E\) pour cette loi.
\(x,u\in\mathbb R\) et \(y,v\in\mathbb R^\ast\).
Soient:
\[ z=x+iy\in E \qquad\text{et}\qquad z'=u+iv\in E \]Alors:
\[ z\star z'=(xv+uy)+i\,yv \]On a:
\[ xv+uy\in\mathbb R \]et, comme \(y\ne0\) et \(v\ne0\),
\[ yv\ne0 \]Donc:
\[ z\star z'\in E \]Ainsi, \(\star\) est une loi de composition interne sur \(E\). Cherchons l'élément neutre \(e=a+ib\in E\). On doit avoir, pour tout \(x+iy\in E\),
\[ (x+iy)\star(a+ib)=x+iy \]Donc:
\[ (xb+ay)+i\,yb=x+iy \]Ainsi:
\[ yb=y \qquad\text{et}\qquad xb+ay=x \]Comme \(y\ne0\), on obtient:
\[ b=1 \]Puis:
\[ x+ay=x \]Donc:
\[ a=0 \]L'élément neutre est donc:
\[ i \]Montrer que \((E,\star)\) est un groupe commutatif.
Le neutre est \(i\).
Soit \(z=x+iy\in E\). Cherchons son symétrique \(z'=u+iv\in E\), c'est-à-dire:
\[ z\star z'=i \]Donc:
\[ (xv+uy)+i\,yv=i \]On obtient:
\[ yv=1 \qquad\text{et}\qquad xv+uy=0 \]Comme \(y\ne0\), on a:
\[ v=\frac1y \]Puis:
\[ \frac{x}{y}+uy=0 \]Donc:
\[ u=-\frac{x}{y^2} \]Ainsi, le symétrique de \(x+iy\) est:
\[ -\frac{x}{y^2}+\frac{i}{y} \]et il appartient à \(E\). Pour l'associativité, posons:
\[ z=x+iy,\quad z'=u+iv,\quad z''=a+ib \]On a:
\[ (z\star z')\star z'' = \big((xv+uy)+i\,yv\big)\star(a+ib) \]Donc:
\[ (z\star z')\star z'' = \big((xv+uy)b+a(yv)\big)+i(yv)b \]c'est-à-dire:
\[ (z\star z')\star z'' = (xvb+uyb+ayv)+iyvb \]D'autre part:
\[ z\star(z'\star z'') = (x+iy)\star\big((ub+av)+i\,vb\big) \]Donc:
\[ z\star(z'\star z'') = x(vb)+(ub+av)y+i\,y(vb) \]c'est-à-dire:
\[ z\star(z'\star z'') = (xvb+uyb+ayv)+iyvb \]Ainsi:
\[ (z\star z')\star z''=z\star(z'\star z'') \]La loi \(\star\) est associative. Enfin:
\[ (x+iy)\star(u+iv)=(xv+uy)+i\,yv \]et:
\[ (u+iv)\star(x+iy)=(uy+xv)+i\,vy \]Donc:
\[ (x+iy)\star(u+iv)=(u+iv)\star(x+iy) \]La loi \(\star\) est commutative. Ainsi, \((E,\star)\) est un groupe commutatif.
Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,\star)\), puis montrer que \(\varphi\) est un isomorphisme de groupes.
et:
\[ \varphi(x)=x+i \]On a:
\[ i=0+i\in F \]Donc \(F\) est non vide. Soient:
\[ z=x+i\in F \qquad\text{et}\qquad z'=u+i\in F \]Le symétrique de \(z'\) dans \(E\) est:
\[ -u+i \]Donc:
\[ z\star (z')^{-1} = (x+i)\star(-u+i) \]Ainsi:
\[ z\star (z')^{-1} = (x-u)+i\in F \]Donc \(F\) est un sous-groupe de \((E,\star)\). Pour tous \(x,u\in\mathbb R\), on a:
\[ \varphi(x+u)=(x+u)+i \]et:
\[ \varphi(x)\star\varphi(u)=(x+i)\star(u+i)=(x+u)+i \]Donc:
\[ \varphi(x+u)=\varphi(x)\star\varphi(u) \]Ainsi, \(\varphi\) est un homomorphisme de groupes. La définition de \(F\) montre que \(\varphi\) est surjective. Si:
\[ \varphi(x)=\varphi(u) \]alors:
\[ x+i=u+i \]Donc:
\[ x=u \]Ainsi, \(\varphi\) est injective. Par conséquent, \(\varphi\) est un isomorphisme de groupes de \((\mathbb R,+)\) vers \((F,\star)\).
Montrer que, si \(z=x+iy\in E\), alors
\[ z^{[n]}=nxy^{\,n-1}+i\,y^n \]puis résoudre dans \(E\) l'équation
\[ z^{[2026]}=2026+i. \]\(n\in\mathbb N^\ast\).
Montrons par récurrence que:
\[ z^{[n]}=nxy^{\,n-1}+i\,y^n \]Pour \(n=1\), on a:
\[ z^{[1]}=z=x+iy \]et:
\[ 1xy^0+i\,y=x+iy \]La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\ge1\), on ait:
\[ z^{[n]}=nxy^{\,n-1}+i\,y^n \]Alors:
\[ z^{[n+1]}=z^{[n]}\star z \]Donc:
\[ z^{[n+1]} = \big(nxy^{\,n-1}+i\,y^n\big)\star(x+iy) \]Ainsi:
\[ z^{[n+1]} = \left(nxy^{\,n-1}\cdot y+x\cdot y^n\right)+i\,y^{n+1} \]Donc:
\[ z^{[n+1]}=(n+1)xy^n+i\,y^{n+1} \]La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Par récurrence:
\[ \forall n\in\mathbb N^\ast,\qquad z^{[n]}=nxy^{\,n-1}+i\,y^n \]Résolvons maintenant:
\[ z^{[2026]}=2026+i \]On a:
\[ 2026xy^{2025}+i\,y^{2026}=2026+i \]Donc:
\[ y^{2026}=1 \qquad\text{et}\qquad 2026xy^{2025}=2026 \]Comme \(y\in\mathbb R^\ast\) et \(2026\) est pair:
\[ y=1\quad\text{ou}\quad y=-1 \]Si \(y=1\), alors:
\[ x=1 \]Si \(y=-1\), alors \(y^{2025}=-1\), et:
\[ 2026x(-1)=2026 \]Donc:
\[ x=-1 \]Les solutions sont donc:
\[ z=1+i \qquad\text{ou}\qquad z=-1-i \]Correction de l'exercice 3 : Nombres complexes — 3 points
On considère la transformation \(S\) définie par
\[ z'=(\sqrt3+i)z+1-\sqrt3-i \]et la suite \((z_n)\) définie par
\[ z_0=1+i, \qquad z_{n+1}=(\sqrt3+i)z_n+1-\sqrt3-i. \]Montrer que le point \(\Omega\) d’affixe \(1\) est invariant par \(S\), puis vérifier que
\[ z'-1=(\sqrt3+i)(z-1). \]Pour \(z=1\), on a:
\[ z'=(\sqrt3+i)+1-\sqrt3-i=1 \]Donc le point \(\Omega\) d'affixe \(1\) est invariant par \(S\). De plus:
\[ z'-1=(\sqrt3+i)z-\sqrt3-i \]Donc:
\[ z'-1=(\sqrt3+i)z-(\sqrt3+i) \]Ainsi:
\[ z'-1=(\sqrt3+i)(z-1) \]En déduire que, pour tout point \(M\ne\Omega\) d’image \(M'\) par \(S\),
\[ \Omega M'=2\,\Omega M \]et
\[ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right) \equiv \frac{\pi}{6}\ [2\pi]. \]En prenant les modules:
\[ |z'-1|=|\sqrt3+i|\,|z-1| \]Or:
\[ |\sqrt3+i|=2 \]Donc:
\[ \Omega M'=2\,\Omega M \]Comme \(M\ne\Omega\), on a:
\[ z-1\ne0 \]On peut donc prendre les arguments:
\[ \arg(z'-1)\equiv \arg(\sqrt3+i)+\arg(z-1)\ [2\pi] \]Or:
\[ \arg(\sqrt3+i)\equiv\frac{\pi}{6}\ [2\pi] \]Donc:
\[ \left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right) \equiv\frac{\pi}{6}\ [2\pi] \]On note \(M''\) l’image de \(M'\) par \(S\), et \(z''\) son affixe. Déterminer l’expression de \(z''\) en fonction de \(z\), puis déterminer l’ensemble des points \(M\) dont l’affixe \(z\) vérifie
\[ z''=z^2. \]Posons:
\[ a=\sqrt3+i \]Alors:
\[ z'=az+1-a \]Comme \(M''\) est l'image de \(M'\) par \(S\), on a:
\[ z''=az'+1-a \]Donc:
\[ z''=a(az+1-a)+1-a \]Ainsi:
\[ z''=a^2z+a-a^2+1-a \]Donc:
\[ z''=a^2z+1-a^2 \]Or:
\[ a^2=(\sqrt3+i)^2=2+2\sqrt3\,i \]Donc:
\[ z''=(2+2\sqrt3\,i)z-1-2\sqrt3\,i \]Cherchons maintenant les points \(M\) tels que:
\[ z''=z^2 \]On a donc:
\[ z^2=(2+2\sqrt3\,i)z-1-2\sqrt3\,i \]c'est-à-dire:
\[ z^2-(2+2\sqrt3\,i)z+1+2\sqrt3\,i=0 \]Le discriminant est:
\[ \Delta=(2+2\sqrt3\,i)^2-4(1+2\sqrt3\,i) \]Or:
\[ (2+2\sqrt3\,i)^2=-8+8\sqrt3\,i \]Donc:
\[ \Delta=(-8+8\sqrt3\,i)-(4+8\sqrt3\,i)=-12 \]Ainsi:
\[ \Delta=(2\sqrt3\,i)^2 \]Les solutions sont:
\[ z=\frac{2+2\sqrt3\,i\pm 2\sqrt3\,i}{2} \]Donc:
\[ z_1=1 \qquad\text{et}\qquad z_2=1+2\sqrt3\,i \]L'ensemble des points cherchés est donc formé des deux points d'affixes:
\[ 1 \qquad\text{et}\qquad 1+2\sqrt3\,i \]Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[ z_n-1=(\sqrt3+i)^n(z_0-1) \]puis montrer que
\[ z_n=1+2^n e^{i\frac{(n+3)\pi}{6}}. \]La question 1, appliquée à \(z=z_n\), on a:
\[ z_{n+1}-1=(\sqrt3+i)(z_n-1) \]Montrons par récurrence que:
\[ z_n-1=(\sqrt3+i)^n(z_0-1) \]Pour \(n=0\), on a:
\[ z_0-1=(\sqrt3+i)^0(z_0-1) \]La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\in\mathbb N\), on ait:
\[ z_n-1=(\sqrt3+i)^n(z_0-1) \]Alors:
\[ z_{n+1}-1=(\sqrt3+i)(z_n-1) \]Donc:
\[ z_{n+1}-1=(\sqrt3+i)^{n+1}(z_0-1) \]La propriété est donc vraie au rang \(n+1\). Par récurrence:
\[ \forall n\in\mathbb N,\qquad z_n-1=(\sqrt3+i)^n(z_0-1) \]Or:
\[ z_0-1=i=e^{i\frac{\pi}{2}} \]et:
\[ \sqrt3+i=2e^{i\frac{\pi}{6}} \]Donc:
\[ z_n-1= \left(2e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^n e^{i\frac{\pi}{2}} \]Ainsi:
\[ z_n-1=2^n e^{i\left(\frac{n\pi}{6}+\frac{\pi}{2}\right)} = 2^n e^{i\frac{(n+3)\pi}{6}} \]Donc:
\[ z_n=1+2^n e^{i\frac{(n+3)\pi}{6}} \]Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le point \(M_n\) d’affixe \(z_n\) appartient à l’axe réel.
Le point \(M_n\) appartient à l'axe réel si et seulement si:
\[ \operatorname{Im}(z_n)=0 \]Or:
\[ z_n=1+2^n\left(\cos\left(\frac{(n+3)\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{(n+3)\pi}{6}\right)\right) \]Donc:
\[ \operatorname{Im}(z_n)=2^n\sin\left(\frac{(n+3)\pi}{6}\right) \]Comme:
\[ 2^n\gt0 \]on obtient:
\[ M_n\in(Ox) \Longleftrightarrow \sin\left(\frac{(n+3)\pi}{6}\right)=0 \]Donc:
\[ \frac{(n+3)\pi}{6}=k\pi \]où \(k\in\mathbb Z\). Ainsi:
\[ n+3=6k \]Donc:
\[ n=6k-3 \]Comme \(n\in\mathbb N\), on peut écrire:
\[ n=6p+3 \qquad(p\in\mathbb N) \]Les entiers naturels cherchés sont donc:
\[ n\equiv3\ [6] \]Correction de l'exercice 4 : Arithmétique — 3 points
On rappelle que
\[ 4054=2\times2027. \]Montrer que \(2027\) est un nombre premier.
\(2027\in\mathbb N\).
On a :
\[ 45^2=2025\lt2027\lt2116=46^2. \]Donc :
\[ 45\lt\sqrt{2027}\lt46. \]Pour vérifier que \(2027\) est premier, il suffit donc de vérifier qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(45\), c'est-à-dire inférieur ou égal à \(43\).
Les nombres premiers à tester sont :
\[ 2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29,\ 31,\ 37,\ 41,\ 43. \]Le nombre \(2027\) n'est pas divisible par \(2\), car il est impair. La somme de ses chiffres est :
\[ 2+0+2+7=11, \]donc \(2027\) n'est pas divisible par \(3\). Il ne se termine ni par \(0\) ni par \(5\), donc il n'est pas divisible par \(5\).
Pour les autres nombres premiers, on vérifie :
\[ 2027=7\times289+4, \] \[ 2027=11\times184+3, \] \[ 2027=13\times155+12, \] \[ 2027=17\times119+4, \] \[ 2027=19\times106+13, \] \[ 2027=23\times88+3, \] \[ 2027=29\times69+26, \] \[ 2027=31\times65+12, \] \[ 2027=37\times54+29, \] \[ 2027=41\times49+18, \] \[ 2027=43\times47+6. \]Donc \(2027\) n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à \(\sqrt{2027}\). Ainsi :
\[ 2027 \text{ est un nombre premier.} \]Vérifier que
\[ 37\times767\equiv1\ [2027] \]puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence
\[ 37x\equiv1\ [2027]. \]On travaille modulo \(2027\).
On a :
\[ 37\times767=28379. \]Or :
\[ 28379=2027\times14+1. \]Donc :
\[ 37\times767\equiv1\ [2027]. \]Résolvons maintenant :
\[ 37x\equiv1\ [2027]. \]Comme :
\[ 37x\equiv1\ [2027] \]et :
\[ 37\times767\equiv1\ [2027], \]alors, par transitivité de la congruence :
\[ 37x\equiv37\times767\ [2027]. \]Donc :
\[ 37(x-767)\equiv0\ [2027]. \]Or \(2027\) est premier et ne divise pas \(37\). Donc :
\[ 37\wedge2027=1. \]On peut alors simplifier par \(37\) modulo \(2027\). Ainsi :
\[ x-767\equiv0\ [2027]. \]Donc :
\[ x\equiv767\ [2027]. \]Réciproquement, si :
\[ x\equiv767\ [2027], \]alors, en multipliant par \(37\), on obtient :
\[ 37x\equiv37\times767\ [2027]. \]Or :
\[ 37\times767\equiv1\ [2027]. \]Donc :
\[ 37x\equiv1\ [2027]. \]Les solutions sont donc :
\[ x=767+2027k \qquad(k\in\mathbb Z). \]Vérifier que
\[ 37\times767\equiv1\ [4054] \]puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence
\[ 37x\equiv1\ [4054]. \]On travaille modulo \(4054\), avec \(4054=2\times2027\).
On a :
\[ 37\times767=28379. \]Or :
\[ 28379=4054\times7+1. \]Donc :
\[ 37\times767\equiv1\ [4054]. \]Résolvons maintenant :
\[ 37x\equiv1\ [4054]. \]Comme :
\[ 37x\equiv1\ [4054] \]et :
\[ 37\times767\equiv1\ [4054], \]alors, par transitivité de la congruence :
\[ 37x\equiv37\times767\ [4054]. \]Donc :
\[ 37(x-767)\equiv0\ [4054]. \]Comme \(37\) est impair, on a :
\[ 37\wedge2=1. \]De plus, \(2027\) est premier et ne divise pas \(37\), donc :
\[ 37\wedge2027=1. \]Comme \(4054=2\times2027\), on obtient :
\[ 37\wedge4054=1. \]On peut donc simplifier par \(37\) modulo \(4054\). Ainsi :
\[ x-767\equiv0\ [4054]. \]Donc :
\[ x\equiv767\ [4054]. \]Réciproquement, si :
\[ x\equiv767\ [4054], \]alors :
\[ 37x\equiv37\times767\ [4054]. \]Or :
\[ 37\times767\equiv1\ [4054]. \]Donc :
\[ 37x\equiv1\ [4054]. \]Les solutions sont :
\[ x=767+4054k \qquad(k\in\mathbb Z). \]Montrer que
\[ 37^{2026}\equiv1\ [2027] \]puis en déduire que
\[ 37^{2025}\equiv767\ [2027]. \]\(2027\) est premier et \(37\times767\equiv1\ [2027]\).
Comme \(2027\) est premier et :
\[ 2027\nmid37, \]le petit théorème de Fermat donne :
\[ 37^{2026}\equiv1\ [2027]. \]Donc :
\[ 37\times37^{2025}\equiv1\ [2027]. \]D'autre part, la question 2 donne :
\[ 37\times767\equiv1\ [2027]. \]Par transitivité de la congruence :
\[ 37\times37^{2025}\equiv37\times767\ [2027]. \]Donc :
\[ 37(37^{2025}-767)\equiv0\ [2027]. \]Cela signifie que :
\[ 2027\mid 37(37^{2025}-767). \]Or :
\[ 37\wedge2027=1. \]Le théorème de Gauss permet alors de conclure que :
\[ 2027\mid(37^{2025}-767). \]Ainsi :
\[ 37^{2025}\equiv767\ [2027]. \]Déterminer le reste de la division euclidienne de
\[ 37^{2025} \]par \(4054\).
et :
\[ 37^{2025}\equiv767\ [2027]. \]Soit \(r\) le reste de la division euclidienne de \(37^{2025}\) par \(4054\). Alors :
\[ 0\le r\lt4054 \]et :
\[ 37^{2025}\equiv r\ [4054]. \]Par définition de la congruence, cela signifie que :
\[ 4054\mid(37^{2025}-r). \]Or :
\[ 4054=2\times2027. \]Comme \(2\mid4054\), on a :
\[ 2\mid(37^{2025}-r), \]donc :
\[ 37^{2025}\equiv r\ [2]. \]De même, comme \(2027\mid4054\), on a :
\[ 2027\mid(37^{2025}-r), \]donc :
\[ 37^{2025}\equiv r\ [2027]. \]Comme \(37\) est impair :
\[ 37\equiv1\ [2]. \]Donc :
\[ 37^{2025}\equiv1\ [2]. \]Ainsi :
\[ r\equiv1\ [2]. \]D'autre part, la question précédente donne :
\[ 37^{2025}\equiv767\ [2027]. \]Comme \(37^{2025}\equiv r\ [2027]\), on obtient :
\[ r\equiv767\ [2027]. \]Donc \(r\) vérifie :
\[ 0\le r\lt4054 \qquad\text{et}\qquad r\equiv767\ [2027]. \]Comme \(4054=2\times2027\), les seules possibilités sont :
\[ r=767 \qquad\text{ou}\qquad r=767+2027=2794. \]Mais \(r\equiv1\ [2]\), donc \(r\) est impair. Or \(767\) est impair et \(2794\) est pair. On garde donc :
\[ r=767. \]Le reste de la division euclidienne de \(37^{2025}\) par \(4054\) est donc :
\[ 767. \]FIN DE LA CORRECTION — EXAMEN BLANC 5 — 2e BAC SCIENCES MATHÉMATIQUES
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