Correction Examen National 2013 — Session Ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques

Corrigé — Examen national 2013

Session ordinaire — Sciences Mathématiques A/B

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Traduction française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points

Accès rapide :
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Problème

Accès détaillé aux questions

Composantes du corrigé

Partie	Domaine	Points
Exercice 1	Structures algébriques	3,5 points
Exercice 2	Nombres complexes	3,5 points
Exercice 3	Arithmétique	3 points
Problème	Analyse	10 points

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Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points

0,5 pt1-a

Question. Montrer que la loi \(*\) est commutative et associative.

Données. Pour tous \(x,y\in\mathbb R\), \(x*y=x+y-2\).

Correction.

Pour tous \(x,y\in\mathbb R\) : \[ x*y=x+y-2=y+x-2=y*x \] Donc \(*\) est commutative. Pour tous \(x,y,z\in\mathbb R\) : \[ (x*y)*z=(x+y-2)*z=x+y-2+z-2=x+y+z-4 \] et : \[ x*(y*z)=x*(y+z-2)=x+y+z-2-2=x+y+z-4 \] Donc : \[ (x*y)*z=x*(y*z) \] Ainsi, \(*\) est associative.

0,25 pt1-b

Question. Montrer que \((\mathbb R,*)\) admet un élément neutre et le déterminer.

Données. \(x*y=x+y-2\).

Correction.

Soit \(e\in\mathbb R\). Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ x*e=x \Longleftrightarrow x+e-2=x \Longleftrightarrow e=2 \] De plus, par commutativité : \[ 2*x=x*2=x \]

L’élément neutre de \((\mathbb R,*)\) est donc \(2\).

0,5 pt1-c

Question. En déduire que \((\mathbb R,*)\) est un groupe commutatif.

Données. \(*\) est associative, commutative et admet \(2\) comme élément neutre.

Correction.

Pour tout \(x\in\mathbb R\), le symétrique de \(x\) pour la loi \(*\) est le réel \(x'\) vérifiant : \[ x*x'=2 \] Donc : \[ x+x'-2=2 \Longleftrightarrow x'=4-x \] Ainsi : \[ x*(4-x)=2 \] Tout élément de \(\mathbb R\) admet donc un symétrique pour \(*\). Comme \(*\) est associative et admet un élément neutre, \((\mathbb R,*)\) est un groupe. Comme \(*\) est commutative, ce groupe est commutatif.

0,5 pt2-a

Question. Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,\times)\) dans \((\mathbb R,T)\).

Données. \(xTy=xy-2x-2y+6\) et \(f(x)=x+2\).

Correction.

L’application \(f\) est bijective de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb R\), car pour tout \(y\in\mathbb R\), il existe un unique \(x=y-2\) tel que : \[ f(x)=y \] Pour tous \(x,y\in\mathbb R\) : \[ f(x)Tf(y)=(x+2)T(y+2) \] \[ =(x+2)(y+2)-2(x+2)-2(y+2)+6 \] \[ =xy+2 \] Or : \[ f(xy)=xy+2 \] Donc : \[ f(xy)=f(x)Tf(y) \]

Ainsi, \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R,\times)\) dans \((\mathbb R,T)\).

0,25 pt2-b

Question. Montrer que \((x*y)Tz=(xTz)*(yTz)\).

Données. Les lois \(*\) et \(T\).

Correction.

Pour tous \(x,y,z\in\mathbb R\) : \[ (x*y)Tz=(x+y-2)Tz \] \[ =(x+y-2)z-2(x+y-2)-2z+6 \] \[ =xz+yz-2z-2x-2y+4-2z+6 \] \[ =xz+yz-2x-2y-4z+10 \] D’autre part : \[ (xTz)*(yTz)=(xz-2x-2z+6)*(yz-2y-2z+6) \] \[ =xz-2x-2z+6+yz-2y-2z+6-2 \] \[ =xz+yz-2x-2y-4z+10 \] Donc : \[ (x*y)Tz=(xTz)*(yTz) \]

0,75 pt3

Question. En déduire que \((\mathbb R,*,T)\) est un anneau commutatif et unitaire.

Données. Les résultats précédents.

Correction.

D’après 1-c, \((\mathbb R,*)\) est un groupe commutatif. D’après 2-a, \((\mathbb R,T)\) hérite par l’isomorphisme \(f\) des propriétés de \((\mathbb R,\times)\). Donc la loi \(T\) est associative et commutative. L’élément neutre de \((\mathbb R,\times)\) est \(1\). Son image par \(f\) est : \[ f(1)=3 \] Donc \(3\) est l’élément neutre de la loi \(T\). D’après 2-b, la loi \(T\) est distributive par rapport à \(*\). Comme \(T\) est commutative, la distributivité à droite et à gauche est vérifiée.

Ainsi, \((\mathbb R,*,T)\) est un anneau commutatif et unitaire.

0,25 pt4-a

Question. Montrer que \(xTy=2\) si et seulement si \(x=2\) ou \(y=2\).

Données. \(xTy=xy-2x-2y+6\).

Correction.

\[ xTy=2 \Longleftrightarrow xy-2x-2y+6=2 \] \[ \Longleftrightarrow xy-2x-2y+4=0 \] \[ \Longleftrightarrow (x-2)(y-2)=0 \] Donc : \[ xTy=2 \Longleftrightarrow x=2\quad\text{ou}\quad y=2 \]

0,25 pt4-b

Question. En déduire que \((\mathbb R,*,T)\) est intègre.

Données. Le zéro de l’anneau est l’élément neutre de \(*\), donc \(2\).

Correction.

D’après 4-a : \[ xTy=2 \Longleftrightarrow x=2\quad\text{ou}\quad y=2 \] Donc un produit est nul seulement si l’un des deux facteurs est nul, au sens de l’anneau \((\mathbb R,*,T)\).

Ainsi, \((\mathbb R,*,T)\) est un anneau intègre.

0,25 pt4-c

Question. \((\mathbb R,*,T)\) est-il un corps ?

Données. Le zéro de l’anneau est \(2\), et le neutre de \(T\) est \(3\).

Correction.

Soit \(x\in\mathbb R\) tel que \(x\ne2\). Le symétrique de \(x\) pour \(T\) est le réel \(y\) vérifiant : \[ xTy=3 \] Donc : \[ xy-2x-2y+6=3 \] \[ (x-2)(y-2)=1 \] Comme \(x\ne2\), on obtient : \[ y=2+\frac1{x-2} \] Ainsi, tout élément non nul de l’anneau admet un inverse pour la loi \(T\).

Donc \((\mathbb R,*,T)\) est un corps commutatif.

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Exercice 2 — Nombres complexes — 3,5 points

Partie I

0,25 ptI-1

Question. Vérifier que \(\Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2\).

Données. \((E):2z^2-(3+i\sqrt3)az+(1+i\sqrt3)a^2=0\).

Correction.

\[ \Delta=\big(-(3+i\sqrt3)a\big)^2-4\cdot2\cdot(1+i\sqrt3)a^2 \] \[ =a^2\left((3+i\sqrt3)^2-8(1+i\sqrt3)\right) \] Or : \[ (3+i\sqrt3)^2=6+6i\sqrt3 \] Donc : \[ \Delta=a^2(6+6i\sqrt3-8-8i\sqrt3) \] \[ \Delta=(-2-2i\sqrt3)a^2 \] Et : \[ (-1+i\sqrt3)^2=1-2i\sqrt3-3=-2-2i\sqrt3 \] Ainsi : \[ \Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2 \]

0,5 ptI-2

Question. Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\).

Données. \(a\ne0\) et \(\Delta=(-1+i\sqrt3)^2a^2\).

Correction.

Une racine carrée de \(\Delta\) est : \[ \delta=(-1+i\sqrt3)a \] Les solutions sont : \[ z=\frac{(3+i\sqrt3)a\pm(-1+i\sqrt3)a}{4} \] Donc : \[ z_1=a \] et : \[ z_2=\frac{1+i\sqrt3}{2}a=ae^{i\frac{\pi}{3}} \]

L’ensemble des solutions est : \[ S=\left\{a,\ ae^{i\frac{\pi}{3}}\right\} \]

Partie II

0,5 ptII-1

Question. Vérifier que le triangle \(OAB\) est équilatéral.

Données. \(b=ae^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(a\ne0\).

Correction.

\[ \left|\frac ba\right|=\left|e^{i\frac{\pi}{3}}\right|=1 \] Donc : \[ OA=OB \] De plus : \[ \arg\left(\frac ba\right)=\frac{\pi}{3}\ [2\pi] \] Ainsi : \[ \widehat{AOB}=\frac{\pi}{3} \]

Le triangle \(OAB\) est donc équilatéral.

0,5 ptII-2-a

Question. Montrer les expressions de \(a_1\) et \(b_1\).

Données. \(r\) est la rotation de centre \(M(z)\) et d’angle \(\dfrac\pi3\), \(A_1=r^{-1}(A)\), \(B_1=r(B)\).

Correction.

Comme \(A_1=r^{-1}(A)\), alors : \[ a_1-z=e^{-i\frac\pi3}(a-z) \] Donc : \[ a_1=e^{-i\frac\pi3}a+(1-e^{-i\frac\pi3})z \] Or : \[ e^{-i\frac\pi3}=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2} \] et : \[ 1-e^{-i\frac\pi3}=\frac12+i\frac{\sqrt3}{2} \] Donc : \[ a_1=\left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \] De même : \[ b_1-z=e^{i\frac\pi3}(b-z) \] Donc : \[ b_1=e^{i\frac\pi3}b+(1-e^{i\frac\pi3})z \] Comme \(b=ae^{i\frac\pi3}\), alors : \[ e^{i\frac\pi3}b=ae^{i\frac{2\pi}{3}} =\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a \] et : \[ 1-e^{i\frac\pi3}=\frac12-i\frac{\sqrt3}{2} \] Ainsi : \[ b_1=\left(-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a+ \left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \]

0,5 ptII-2-b

Question. Montrer que \(OA_1MB_1\) est un parallélogramme.

Données. Les expressions de \(a_1\) et \(b_1\).

Correction.

\[ a_1+b_1= \left(\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}-\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}\right)a +\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}{2}+\frac12-i\frac{\sqrt3}{2}\right)z \] Donc : \[ a_1+b_1=z \] Ainsi : \[ \frac{0+z}{2}=\frac{a_1+b_1}{2} \] Les diagonales \([OM]\) et \([A_1B_1]\) ont le même milieu.

Donc le quadrilatère \(OA_1MB_1\) est un parallélogramme.

0,5 ptII-3-a

Question. Montrer que \[ \frac{z-b_1}{z-a_1}=-\frac{z-b}{z-a}\times\frac ab \]

Données. \(M\ne A\) et \(M\ne B\).

Correction.

D’après les formules de rotation : \[ z-a_1=e^{-i\frac\pi3}(z-a) \] et : \[ z-b_1=e^{i\frac\pi3}(z-b) \] Donc : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1}=e^{i\frac{2\pi}{3}}\frac{z-b}{z-a} \] Or : \[ \frac ab=e^{-i\frac\pi3} \] Donc : \[ -\frac ab=-e^{-i\frac\pi3}=e^{i\frac{2\pi}{3}} \] Ainsi : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1}=-\frac{z-b}{z-a}\times\frac ab \]

0,75 ptII-3-b

Question. Montrer que \(M,A_1,B_1\) sont alignés si et seulement si \(M,O,A,B\) sont cocycliques.

Données. On a montré que :

\[ \frac{z-b_1}{z-a_1} = -\frac{z-b}{z-a}\times\frac ab \]

Correction.

Les points \(M,A_1,B_1\) sont alignés si et seulement si : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1}\in\mathbb R \] D’après la question II-3-a : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1} = -\frac{z-b}{z-a}\times\frac ab \] Le signe \(-\) ne change pas le caractère réel. Donc : \[ \frac{z-b_1}{z-a_1}\in\mathbb R \Longleftrightarrow \frac{z-b}{z-a}\times\frac ab\in\mathbb R \] Or \(0\) est l’affixe du point \(O\), donc : \[ \frac ab=\frac{0-a}{0-b} \] Ainsi : \[ \frac{z-b}{z-a}\times\frac ab = \frac{z-b}{z-a}\times\frac{0-a}{0-b} \] on a : \[ \frac{z-b}{z-a}\times\frac{0-a}{0-b}\in\mathbb R \] alors les points \(M\), \(O\), \(A\) et \(B\) sont alignés ou cocycliques. Or le triangle \(OAB\) est équilatéral, donc les points \(O\), \(A\) et \(B\) ne sont pas alignés. Par conséquent, les quatre points \(M\), \(O\), \(A\) et \(B\) ne peuvent pas être alignés. Donc : \[ \frac{z-b}{z-a}\times\frac ab\in\mathbb R \Longleftrightarrow M,\ O,\ A,\ B \text{ sont cocycliques} \] On conclut que : \[ M,\ A_1,\ B_1 \text{ sont alignés} \Longleftrightarrow M,\ O,\ A,\ B \text{ sont cocycliques} \]

Exercice 3 — Arithmétique — 3 points

On cherche les entiers naturels \(n\gt 1\) qui vérifient la propriété :

\[ (R):\qquad 3^n-2^n\equiv0\ [n] \]

Dans la suite, on suppose que \(n\) vérifie \((R)\), et on note \(p\) le plus petit diviseur premier positif de \(n\).

0,75 pt1-a

Question. Montrer que \(3^n-2^n\equiv0\ [p]\), puis en déduire que \(p\geq5\).

Données. \(n\) vérifie \((R)\), et \(p\) est le plus petit diviseur premier positif de \(n\).

Correction.

Comme \(n\) vérifie \((R)\), on a : \[ 3^n-2^n\equiv0\ [n] \] Comme \(p\mid n\), on obtient : \[ 3^n-2^n\equiv0\ [p] \] Si \(p=2\), alors : \[ 3^n-2^n\equiv1-0\equiv1\ [2] \] contradiction. Si \(p=3\), alors \(n\) n’est pas pair, car \(p\) est le plus petit diviseur premier de \(n\). Donc \(n\) est impair. Ainsi : \[ 3^n-2^n\equiv0-(-1)^n\equiv1\ [3] \] contradiction. Donc : \[ p\ne2\quad\text{et}\quad p\ne3 \] Comme \(p\) est premier, on obtient : \[ p\geq5 \]

0,5 pt1-b

Question. Montrer que \(2^{p-1}\equiv1\ [p]\) et \(3^{p-1}\equiv1\ [p]\).

Données. \(p\geq5\) est premier.

Correction.

Comme \(p\geq5\), on a : \[ p\wedge2=1 \qquad\text{et}\qquad p\wedge3=1 \] D’après le petit théorème de Fermat : \[ 2^{p-1}\equiv1\ [p] \] et : \[ 3^{p-1}\equiv1\ [p] \]

0,5 pt1-c

Question. Montrer qu’il existe \((a,b)\in\mathbb Z^2\) tel que \(an-b(p-1)=1\).

Données. \(p\) est le plus petit diviseur premier de \(n\).

Correction.

Montrons que : \[ n\wedge(p-1)=1 \] Si un entier premier \(q\) divise \(n\) et \(p-1\), alors \(q\) est un diviseur premier de \(n\) et : \[ q\leq p-1\lt p \] Cela contredit le fait que \(p\) est le plus petit diviseur premier de \(n\). Donc : \[ n\wedge(p-1)=1 \] D’après le théorème de Bézout, il existe \((a,c)\in\mathbb Z^2\) tel que : \[ an+c(p-1)=1 \] En posant \(b=-c\), on obtient : \[ an-b(p-1)=1 \]

0,5 pt1-d

Question. Montrer qu’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \(rn=1+k(p-1)\).

Données. \(a=q(p-1)+r\), \(0\leq r\lt p-1\), et \(an-b(p-1)=1\).

Correction.

\[ an-b(p-1)=1 \] et : \[ a=q(p-1)+r \] Donc : \[ (q(p-1)+r)n-b(p-1)=1 \] \[ rn+(qn-b)(p-1)=1 \] Ainsi : \[ rn=1+(b-qn)(p-1) \] Posons : \[ k=b-qn \] On a \(k\in\mathbb Z\). Comme \(rn\geq0\) et \(p-1\geq4\), on ne peut pas avoir \(k\lt 0\). Donc : \[ k\in\mathbb N \] Ainsi : \[ rn=1+k(p-1) \]

0,75 pt2

Question. Déduire qu’il n’existe pas d’entier naturel \(n\gt 1\) vérifiant \((R)\).

Données. Les résultats précédents.

Correction.

D’après 1-a : \[ 3^n\equiv2^n\ [p] \] Donc, en élevant à la puissance \(r\) : \[ 3^{rn}\equiv2^{rn}\ [p] \] D’après 1-d : \[ rn=1+k(p-1) \] Donc : \[ 3^{rn}=3^{1+k(p-1)}=3(3^{p-1})^k \] et : \[ 2^{rn}=2^{1+k(p-1)}=2(2^{p-1})^k \] D’après 1-b : \[ 3^{p-1}\equiv1\ [p] \qquad\text{et}\qquad 2^{p-1}\equiv1\ [p] \] Ainsi : \[ 3^{rn}\equiv3\ [p] \qquad\text{et}\qquad 2^{rn}\equiv2\ [p] \] Comme \(3^{rn}\equiv2^{rn}\ [p]\), on obtient : \[ 3\equiv2\ [p] \] Donc : \[ p\mid1 \] ce qui est impossible.

Il n’existe donc aucun entier naturel \(n\gt 1\) vérifiant la propriété \((R)\).

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Problème — Analyse — 10 points

Première partie

0,25 ptI-1-a

Question. Montrer que \(h\) est continue à droite en \(1\).

Données. \(h(1)=1\), et pour \(x\gt 1\), \(h(x)=\dfrac{x-1}{x\ln x}\).

Correction.

Pour \(x\gt 1\) : \[ h(x)=\frac1{x\cdot\frac{\ln x}{x-1}} \] Or : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{\ln x}{x-1}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to1^+}x=1 \] Donc : \[ \lim_{x\to1^+}h(x)=1=h(1) \]

Ainsi, \(h\) est continue à droite en \(1\).

0,75 ptI-1-b

Question. Montrer que \(\ln x\lt x-1\) pour \(x\gt 1\), puis que \(h\) est strictement décroissante sur \(]1,+\infty[\).

Données. \(h(x)=\dfrac{x-1}{x\ln x}\).

Correction.

Pour \(x\gt 1\) : \[ \ln x=\int_1^x\frac1t\,dt \] Et pour \(t\in]1,x]\) : \[ 0\lt \frac1t\lt 1 \] Donc : \[ \ln x\lt \int_1^x1\,dt=x-1 \] Sur \(]1,+\infty[\), la fonction \(h\) est dérivable et : \[ h'(x)=\frac{x\ln x-(x-1)(\ln x+1)}{(x\ln x)^2} \] \[ h'(x)=\frac{\ln x-x+1}{(x\ln x)^2} \] D’après l’inégalité précédente : \[ \ln x-x+1\lt 0 \] Donc : \[ h'(x)\lt 0 \]

La fonction \(h\) est strictement décroissante sur \(]1,+\infty[\).

0,5 ptI-2-a

Question. Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}h(x)\), puis donner le tableau de variations de \(h\).

Données. \(h\) est décroissante et \(h(1)=1\).

Correction.

Pour \(x\gt 1\) : \[ h(x)=\frac{x-1}{x\ln x}=\frac{1-\frac1x}{\ln x} \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}h(x)=0 \] Le tableau de variations est : \[ \begin{array}{c|ccc} x&1&&+\infty\\ \hline h'(x)&&-&\\ \hline h(x)&1&\searrow&0 \end{array} \]

0,25 ptI-2-b

Question. En déduire que \(0\lt h(x)\leq1\) pour tout \(x\geq1\).

Données. Tableau de variations de \(h\).

Correction.

D’après le tableau de variations, \(h\) est strictement décroissante de \(1\) vers \(0\). Donc : \[ \forall x\geq1, \qquad 0\lt h(x)\leq1 \]

Deuxième partie

0,25 ptII-1-a

Question. Vérifier que \(\displaystyle\int_x^{x^2}\frac1{t\ln t}\,dt=\ln2\) pour \(x\gt 1\).

Données. \(x\gt 1\).

Correction.

\[ \int_x^{x^2}\frac1{t\ln t}\,dt =\left[\ln(\ln t)\right]_x^{x^2} \] \[ =\ln(\ln x^2)-\ln(\ln x) \] Comme \(x\gt 1\), on a \(\ln x\gt 0\) et : \[ \ln x^2=2\ln x \] Donc : \[ \int_x^{x^2}\frac1{t\ln t}\,dt =\ln(2\ln x)-\ln(\ln x)=\ln2 \]

0,25 ptII-1-b

Question. Vérifier que \[ g(x)-\ln2=\int_x^{x^2}\frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt \]

Données. \(g(x)=\displaystyle\int_x^{x^2}\frac1{\sqrt t\ln t}\,dt\).

Correction.

D’après II-1-a : \[ \ln2=\int_x^{x^2}\frac1{t\ln t}\,dt \] Donc : \[ g(x)-\ln2= \int_x^{x^2}\left(\frac1{\sqrt t\ln t}-\frac1{t\ln t}\right)dt \] Or : \[ \frac1{\sqrt t\ln t}-\frac1{t\ln t} =\frac{\sqrt t-1}{t\ln t} \] Ainsi : \[ g(x)-\ln2=\int_x^{x^2}\frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt \]

0,5 ptII-1-c

Question. Montrer que \(\displaystyle g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}\frac{t-1}{t\ln t}\,dt\).

Données. Résultat de II-1-b.

Correction.

Dans l’intégrale de II-1-b, posons : \[ u=\sqrt t \] Alors : \[ t=u^2 \qquad\text{et}\qquad dt=2u\,du \] Lorsque \(t=x\), on a \(u=\sqrt x\). Lorsque \(t=x^2\), on a \(u=x\). Ainsi : \[ \frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt = \frac{u-1}{u^2\ln(u^2)}\cdot2u\,du \] Comme \(\ln(u^2)=2\ln u\), alors : \[ \frac{\sqrt t-1}{t\ln t}\,dt =\frac{u-1}{u\ln u}\,du \] Donc : \[ g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}\frac{u-1}{u\ln u}\,du \] En remplaçant \(u\) par \(t\), on obtient : \[ g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}\frac{t-1}{t\ln t}\,dt \]

0,5 ptII-2-a

Question. Montrer l’encadrement de \(g(x)-\ln2\).

Données. \(h\) est décroissante sur \([1,+\infty[\).

Correction.

D’après II-1-c : \[ g(x)-\ln2=\int_{\sqrt x}^{x}h(t)\,dt \] Pour \(x\gt 1\) et \(t\in[\sqrt x,x]\), la décroissance de \(h\) donne : \[ h(x)\leq h(t)\leq h(\sqrt x) \] Donc : \[ \int_{\sqrt x}^{x}h(x)\,dt \leq \int_{\sqrt x}^{x}h(t)\,dt \leq \int_{\sqrt x}^{x}h(\sqrt x)\,dt \] Ainsi : \[ (x-\sqrt x)h(x) \leq g(x)-\ln2 \leq (x-\sqrt x)h(\sqrt x) \]

0,5 ptII-2-b

Question. En déduire que \(g\) est dérivable à droite en \(1\).

Données. Encadrement de II-2-a.

Correction.

Pour \(x\gt 1\) : \[ (x-\sqrt x)h(x) \leq g(x)-g(1) \leq (x-\sqrt x)h(\sqrt x) \] car \(g(1)=\ln2\). En divisant par \(x-1\gt 0\) : \[ \frac{x-\sqrt x}{x-1}h(x) \leq \frac{g(x)-g(1)}{x-1} \leq \frac{x-\sqrt x}{x-1}h(\sqrt x) \] Or : \[ \frac{x-\sqrt x}{x-1} =\frac{\sqrt x}{\sqrt x+1} \] Donc : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{x-\sqrt x}{x-1}=\frac12 \] et : \[ \lim_{x\to1^+}h(x)=1 \qquad, \qquad \lim_{x\to1^+}h(\sqrt x)=1 \] Ainsi : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}=\frac12 \]

La fonction \(g\) est dérivable à droite en \(1\), et \(g'_d(1)=\dfrac12\).

0,75 ptII-2-c

Question. Montrer que \(g(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{g(x)}x\to0\) quand \(x\to+\infty\).

Données. Encadrement de II-2-a.

Correction.

D’après II-2-a : \[ g(x)-\ln2\geq(x-\sqrt x)h(x) \] Or : \[ (x-\sqrt x)h(x)= (x-\sqrt x)\frac{x-1}{x\ln x} \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}(x-\sqrt x)\frac{x-1}{x\ln x}=+\infty \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \] D’autre part : \[ 0\leq g(x)-\ln2\leq(x-\sqrt x)h(\sqrt x) \] Donc : \[ 0\leq\frac{g(x)-\ln2}{x} \leq \frac{x-\sqrt x}{x}h(\sqrt x) \] Or : \[ 0\leq\frac{x-\sqrt x}{x}\leq1 \] et : \[ h(\sqrt x)=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x\ln(\sqrt x)}\leq\frac1{\ln(\sqrt x)} \] Donc : \[ 0\leq\frac{g(x)-\ln2}{x}\leq\frac1{\ln(\sqrt x)} \] Comme : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac1{\ln(\sqrt x)}=0 \] on obtient : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x=0 \]

0,75 ptII-3-a

Question. Montrer que \(g\) est dérivable sur \(]1,+\infty[\) et que \(g'(x)=\dfrac12h(\sqrt x)\).

Données. \(g(x)=\displaystyle\int_x^{x^2}\frac1{\sqrt t\ln t}\,dt\).

Correction.

La fonction : \[ t\mapsto\frac1{\sqrt t\ln t} \] est continue sur \(]1,+\infty[\). Donc \(g\) est dérivable sur \(]1,+\infty[\). Pour \(x\gt 1\) : \[ g'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2}\ln(x^2)}-\frac1{\sqrt x\ln x} \] Comme \(x\gt 1\), on a \(\sqrt{x^2}=x\) et \(\ln(x^2)=2\ln x\). Donc : \[ g'(x)=\frac{2x}{2x\ln x}-\frac1{\sqrt x\ln x} \] \[ g'(x)=\frac1{\ln x}-\frac1{\sqrt x\ln x} =\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x\ln x} \] Or : \[ h(\sqrt x)=\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x\ln(\sqrt x)} =\frac{2(\sqrt x-1)}{\sqrt x\ln x} \] Ainsi : \[ g'(x)=\frac12h(\sqrt x) \]

0,5 ptII-3-b

Question. En déduire que \(0\lt g'(x)\leq\dfrac12\), puis donner le tableau de variations de \(g\).

Données. \(0\lt h(x)\leq1\) pour \(x\geq1\).

Correction.

Pour \(x\gt 1\) : \[ g'(x)=\frac12h(\sqrt x) \] Et : \[ 0\lt h(\sqrt x)\leq1 \] Donc : \[ 0\lt g'(x)\leq\frac12 \] De plus, d’après II-2-b : \[ g'_d(1)=\frac12 \] La fonction \(g\) est donc strictement croissante sur \([1,+\infty[\). Le tableau de variations est : \[ \begin{array}{c|ccc} x&1&&+\infty\\ \hline g'(x)&&+&\\ \hline g(x)&\ln2&\nearrow&+\infty \end{array} \]

0,5 ptII-3-c

Question. Construire la courbe \((C)\).

Données. Les résultats précédents.

Correction.

La courbe \((C)\) passe par : \[ A(1,\ln2) \] Elle admet au point \(A\) une demi-tangente à droite de coefficient directeur : \[ \frac12 \] La fonction \(g\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), et : \[ \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x=0 \]

La courbe \((C)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche infinie de direction l’axe des abscisses.

Troisième partie

0,5 ptIII-I-1

Question. Montrer que \(k:x\mapsto g(x)-x+1\) est une bijection de \([1,+\infty[\) dans \(]-\infty,\ln2]\).

Données. \(0\lt g'(x)\leq\dfrac12\).

Correction.

La fonction \(k\) est continue sur \([1,+\infty[\). Pour \(x\gt 1\) : \[ k'(x)=g'(x)-1 \] Comme : \[ 0\lt g'(x)\leq\frac12 \] alors : \[ k'(x)\leq-\frac12\lt 0 \] Donc \(k\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\). De plus : \[ k(1)=g(1)-1+1=\ln2 \] et : \[ k(x)=g(x)-x+1=x\left(\frac{g(x)}x-1\right)+1 \] Or : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{g(x)}x=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}k(x)=-\infty \]

Ainsi, \(k\) est une bijection de \([1,+\infty[\) dans \(]-\infty,\ln2]\).

0,25 ptIII-I-2

Question. Déduire l’existence et l’unicité de \(\alpha\gt 1\) vérifiant \(1+g(\alpha)=\alpha\).

Données. \(k\) est une bijection de \([1,+\infty[\) dans \(]-\infty,\ln2]\).

Correction.

L’équation : \[ 1+g(x)=x \] équivaut à : \[ g(x)-x+1=0 \] c’est-à-dire : \[ k(x)=0 \] Comme : \[ 0\in]-\infty,\ln2] \] et que \(k\) est une bijection, il existe un unique \(\alpha\in[1,+\infty[\) tel que : \[ k(\alpha)=0 \] Comme \(k(1)=\ln2\gt 0\), on a : \[ \alpha\gt 1 \]

Il existe donc un unique réel \(\alpha\in]1,+\infty[\) tel que \(1+g(\alpha)=\alpha\).

0,5 ptIII-II-1-a

Question. Montrer que \(1\leq u_n\lt \alpha\) pour tout \(n\geq0\).

Données. \(1\leq u_0\lt \alpha\), \(u_{n+1}=1+g(u_n)\), et \(1+g(\alpha)=\alpha\).

Correction.

Pour \(n=0\), on a : \[ 1\leq u_0\lt \alpha \] Supposons que, pour un certain \(n\geq0\), \[ 1\leq u_n\lt \alpha \] Comme \(g\) est strictement croissante : \[ g(1)\leq g(u_n)\lt g(\alpha) \] Donc : \[ 1+g(1)\leq u_{n+1}\lt 1+g(\alpha) \] Or : \[ 1+g(\alpha)=\alpha \] et : \[ 1+g(1)=1+\ln2\gt 1 \] Ainsi : \[ 1\leq u_{n+1}\lt \alpha \] Par récurrence : \[ \forall n\geq0, \qquad 1\leq u_n\lt \alpha \]

0,5 ptIII-II-1-b

Question. Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

Données. \(u_n\lt \alpha\) et \(k\) est strictement décroissante avec \(k(\alpha)=0\).

Correction.

Pour tout \(n\geq0\) : \[ u_{n+1}-u_n=1+g(u_n)-u_n=k(u_n) \] Comme : \[ u_n\lt \alpha \] et comme \(k\) est strictement décroissante avec \(k(\alpha)=0\), on obtient : \[ k(u_n)\gt 0 \] Donc : \[ u_{n+1}-u_n\gt 0 \]

La suite \((u_n)\) est strictement croissante.

0,75 ptIII-II-1-c

Question. Déduire que \((u_n)\) est convergente et que sa limite est \(\alpha\).

Données. \((u_n)\) est croissante et \(u_n\lt \alpha\).

Correction.

La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par \(\alpha\). Donc elle est convergente. Posons : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=L \] Alors : \[ 1\leq L\leq\alpha \] Par passage à la limite dans : \[ u_{n+1}=1+g(u_n) \] et par continuité de \(g\), on obtient : \[ L=1+g(L) \] Donc : \[ k(L)=0 \] Or \(\alpha\) est l’unique solution de \(k(x)=0\). Donc : \[ L=\alpha \]

Ainsi, \((u_n)\) est convergente et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha\).

0,5 ptIII-II-2-a

Question. Montrer que \(|u_{n+1}-\alpha|\leq\dfrac12|u_n-\alpha|\).

Données. \(u_{n+1}=1+g(u_n)\), \(\alpha=1+g(\alpha)\), et \(0\lt g'(x)\leq\dfrac12\).

Correction.

\[ u_{n+1}-\alpha=g(u_n)-g(\alpha) \] D’après l’inégalité des accroissements finis appliquée à \(g\) sur l’intervalle d’extrémités \(u_n\) et \(\alpha\) : \[ |g(u_n)-g(\alpha)|\leq\frac12|u_n-\alpha| \] Donc : \[ |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha| \]

0,5 ptIII-II-2-b

Question. Montrer que \(|u_n-\alpha|\leq\left(\dfrac12\right)^n|u_0-\alpha|\).

Données. Résultat de III-II-2-a.

Correction.

Pour \(n=0\) : \[ |u_0-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^0|u_0-\alpha| \] La propriété est vraie. Supposons que, pour un certain \(n\geq0\), \[ |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha| \] D’après III-II-2-a : \[ |u_{n+1}-\alpha|\leq\frac12|u_n-\alpha| \] Donc : \[ |u_{n+1}-\alpha|\leq \frac12\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha| \] Ainsi : \[ |u_{n+1}-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^{n+1}|u_0-\alpha| \] Par récurrence : \[ \forall n\geq0, \qquad |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha| \]

0,25 ptIII-II-2-c

Question. Déduire une deuxième fois que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha\).

Données. Résultat de III-II-2-b.

Correction.

\[ 0\leq |u_n-\alpha|\leq\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha| \] Or : \[ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac12\right)^n|u_0-\alpha|=0 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}|u_n-\alpha|=0 \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=\alpha \]

FIN DU CORRIGÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES