Corrigé — Examen national 2013
Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B
Filière : Sciences Mathématiques A et B
Matière : Mathématiques
< Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points
Corrigé rédigé dans un style direct, conforme au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques. Les calculs essentiels sont détaillés, sans utiliser de notations hors programme.
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Exercice | Domaine | Points |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Structures algébriques | 3,5 points |
| Exercice 2 | Probabilités | 3 points |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 4 | Analyse | 8,25 points |
| Exercice 5 | Analyse | 1,75 point |
Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points
Partie I
Question. Montrer que \(*\) est une loi de composition interne dans \(G=]1,2[\).
Données. Pour \(x,y\in G\),
\[ x*y=\frac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)} {(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)} \]Correction.
Pour \(x\in]1,2[\), le nombre \[ u=\frac{2-x}{x-1} \] est strictement positif. De même, pour \(y\in]1,2[\), \[ v=\frac{2-y}{y-1}>0 \] et : \[ x=\frac{u+2}{u+1},\qquad y=\frac{v+2}{v+1} \] Un calcul donne : \[ x*y=\frac{uv+2}{uv+1} \] Comme \(u>0\) et \(v>0\), alors \(uv>0\). Donc : \[ 1<\frac{uv+2}{uv+1}<2 \] Ainsi : \[ x*y\in G \]Question. Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) dans \((G,*)\).
Données. \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\), pour \(x>0\).
Correction.
Pour tout \(x>0\) : \[ f(x)=1+\frac1{x+1} \] Donc : \[ 1Question. En déduire que \((G,*)\) est un groupe commutatif et déterminer son élément neutre.
Données. \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) vers \((G,*)\).
Correction.
Comme \((\mathbb R_+^*,\times)\) est un groupe commutatif et \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) vers \((G,*)\), alors : \[ (G,*) \] est un groupe commutatif. L’élément neutre de \((\mathbb R_+^*,\times)\) est \(1\). Donc l’élément neutre de \((G,*)\) est : \[ f(1)=\frac{1+2}{1+1}=\frac32 \]Partie II
Question. Vérifier que \(A^3=O\), puis en déduire que \(A\) est un diviseur de zéro.
Données.
\[ A=\begin{pmatrix} 0&3&2\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]Correction.
\[ A^2= \begin{pmatrix} 0&0&3\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \] Donc : \[ A^3=A^2A=O \] Or : \[ A\ne O \qquad\text{et}\qquad A^2\ne O \] mais : \[ A\cdot A^2=O \]Question. Vérifier \((A^2-A+I)(A+I)=I\), puis déterminer l’inverse de \(A+I\).
Données. \(A^3=O\).
Correction.
\[ (A^2-A+I)(A+I) = A^3+A^2-A^2-A+A+I \] Donc : \[ (A^2-A+I)(A+I)=A^3+I=I \] De même : \[ (A+I)(A^2-A+I)=A^3+I=I \]Question. Montrer que \((E,+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel et déterminer une base.
Données. \(E=\{M(a,b)=aI+bA\,/\,(a,b)\in\mathbb R^2\}\).
Correction.
La matrice nulle appartient à \(E\), car : \[ O=M(0,0) \] Soient : \[ M(a,b),M(c,d)\in E \] et soient \(\lambda,\mu\in\mathbb R\). Alors : \[ \lambda M(a,b)+\mu M(c,d) = \lambda(aI+bA)+\mu(cI+dA) \] \[ =(\lambda a+\mu c)I+(\lambda b+\mu d)A \] Donc : \[ \lambda M(a,b)+\mu M(c,d)=M(\lambda a+\mu c,\lambda b+\mu d)\in E \] Ainsi, \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3(\mathbb R)\), donc \((E,+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel. De plus : \[ E=\{aI+bA\,/\,(a,b)\in\mathbb R^2\} \] donc la famille \((I,A)\) est génératrice de \(E\). Si : \[ aI+bA=O \] alors, en regardant le coefficient \((1,1)\), on obtient : \[ a=0 \] puis, avec le coefficient \((1,2)\) : \[ 3b=0 \] donc : \[ b=0 \] Ainsi, \((I,A)\) est libre.Exercice 2 — Probabilités — 3 points
Partie I
Question. Déterminer la loi de probabilité de \(X\), nombre de boules noires tirées en quatre tirages avec remise.
Données. L’urne contient \(3\) boules rouges et \(4\) boules noires.
Correction.
À chaque tirage : \[ P(\text{noire})=\frac47 \] Les tirages sont faits avec remise. Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres : \[ 4\quad\text{et}\quad \frac47 \] Ainsi, pour \(k\in\{0,1,2,3,4\}\) : \[ P(X=k)=\binom4k\left(\frac47\right)^k\left(\frac37\right)^{4-k} \]Question. Calculer \(E(X)\).
Données. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(4\) et \(\dfrac47\).
Correction.
\[ E(X)=4\times\frac47=\frac{16}{7} \]Partie II
Question. Montrer que \(P(E\cap N)=\dfrac{12}{55}\).
Données. \(N\) : la première boule est noire. \(E\) : les trois boules de l’étape 3 sont noires.
Correction.
\[ P(N)=\frac47 \] Si \(N\) est réalisé, on ajoute \(5\) boules noires. L’urne contient alors : \[ 9\text{ boules noires et }3\text{ boules rouges} \] Donc : \[ P(E/N)=\frac{\binom93}{\binom{12}3} = \frac{84}{220} = \frac{21}{55} \] Ainsi : \[ P(E\cap N)=P(N)P(E/N)=\frac47\times\frac{21}{55}=\frac{12}{55} \]Question. Calculer \(P(E)\).
Données. \(R\) et \(N\) forment une partition de l’univers.
Correction.
\[ P(E)=P(E\cap N)+P(E\cap R) \] Si \(R\) est réalisé, on ajoute \(5\) boules rouges. L’urne contient alors : \[ 4\text{ boules noires et }8\text{ boules rouges} \] Donc : \[ P(E/R)=\frac{\binom43}{\binom{12}3}=\frac4{220}=\frac1{55} \] et : \[ P(E\cap R)=P(R)P(E/R)=\frac37\times\frac1{55}=\frac3{385} \] Or : \[ P(E\cap N)=\frac{12}{55}=\frac{84}{385} \] Donc : \[ P(E)=\frac{84}{385}+\frac3{385}=\frac{87}{385} \]Question. Calculer la probabilité de \(R\) sachant que \(E\) est réalisé.
Données. \(P(E\cap R)=\dfrac3{385}\) et \(P(E)=\dfrac{87}{385}\).
Correction.
\[ P(R/E)=\frac{P(E\cap R)}{P(E)} = \frac{\frac3{385}}{\frac{87}{385}} = \frac3{87} = \frac1{29} \]Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Partie I
Question. Montrer que \(z_1=\dfrac{a-1}{2}(1+i)\) et \(z_2=\dfrac{a-1}{2}(1-i)\) sont les solutions de \((E)\).
Données. \(a\ne1\) et \(2z^2-2(a-1)z+(a-1)^2=0\).
Correction.
\[ \Delta=\big(-2(a-1)\big)^2-8(a-1)^2 = -4(a-1)^2 \] Donc : \[ \Delta=\big(2i(a-1)\big)^2 \] Les solutions sont : \[ z=\frac{2(a-1)\pm2i(a-1)}4 \] Ainsi : \[ z_1=\frac{a-1}{2}(1+i) \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{a-1}{2}(1-i) \] Comme \(a\ne1\), on a \(z_1\ne z_2\).Question. Montrer que \(a-1=2\sin\left(\dfrac\theta2\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)}\).
Données. \(a=e^{i\theta}\) avec \(0<\theta<\pi\).
Correction.
\[ a-1=e^{i\theta}-1 = e^{i\frac\theta2}\left(e^{i\frac\theta2}-e^{-i\frac\theta2}\right) \] Or : \[ e^{i\frac\theta2}-e^{-i\frac\theta2}=2i\sin\left(\frac\theta2\right) \] Donc : \[ a-1=2i\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\frac\theta2} \] Comme : \[ i=e^{i\frac\pi2} \] on obtient : \[ a-1=2\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)} \]Question. Déduire la forme trigonométrique de \(z_1\) et \(z_2\).
Données. \(z_1=\dfrac{a-1}{2}(1+i)\), \(z_2=\dfrac{a-1}{2}(1-i)\).
Correction.
Comme \(0<\theta<\pi\), on a : \[ \sin\left(\frac\theta2\right)>0 \] D’après 2-a : \[ \frac{a-1}{2}=\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)} \] et : \[ 1+i=\sqrt2e^{i\frac\pi4} \qquad,\qquad 1-i=\sqrt2e^{-i\frac\pi4} \] Donc : \[ z_1=\sqrt2\sin\left(\frac\theta2\right) e^{i\left(\frac\theta2+\frac{3\pi}{4}\right)} \] et : \[ z_2=\sqrt2\sin\left(\frac\theta2\right) e^{i\left(\frac\theta2+\frac{\pi}{4}\right)} \]Partie II
Question. Déterminer les affixes de \(J\) et \(K\), milieux respectifs de \([AC]\) et \([AB]\).
Données. \(A(a)\), \(B(-i)\), \(C(i)\).
Correction.
L’affixe de \(J\), milieu de \([AC]\), est : \[ j=\frac{a+i}{2} \] L’affixe de \(K\), milieu de \([AB]\), est : \[ k=\frac{a-i}{2} \]Question. Montrer que \(a'=z_1\) et \(c'=z_2\).
Données. \(C'=r_1(C)\) et \(A'=r_2(A)\), rotations d’angle \(\dfrac\pi2\).
Correction.
Pour \(C'=r_1(C)\) : \[ c'-j=i(i-j) \] Donc : \[ c'=j+i(i-j) \] En remplaçant \(j=\dfrac{a+i}{2}\) : \[ c'=\frac{a+i}{2}+i\left(i-\frac{a+i}{2}\right) \] \[ c'=\frac{a+i}{2}+\frac{-1-ia}{2} = \frac{(a-1)(1-i)}2 \] Donc : \[ c'=z_2 \] Pour \(A'=r_2(A)\) : \[ a'-k=i(a-k) \] Donc : \[ a'=k+i(a-k) \] En remplaçant \(k=\dfrac{a-i}{2}\) : \[ a'=\frac{a-i}{2}+i\left(a-\frac{a-i}{2}\right) \] \[ a'=\frac{a-i}{2}+\frac{ia-1}{2} = \frac{(a-1)(1+i)}2 \] Donc : \[ a'=z_1 \]Question. Calculer \(\dfrac{a'-c'}{a-1}\), puis déduire que \((AB')\) est une hauteur du triangle \(A'B'C'\).
Données. \(a'=z_1\), \(c'=z_2\), \(B'(1)\).
Correction.
\[ a'-c'=z_1-z_2 = \frac{a-1}{2}(1+i-1+i) = i(a-1) \] Donc : \[ \frac{a'-c'}{a-1}=i \] Ainsi : \[ c'-a'=-i(a-1) \] et l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB'}\) est : \[ 1-a=-(a-1) \] Donc : \[ \frac{c'-a'}{1-a} = \frac{-i(a-1)}{-(a-1)} =i \] Ce quotient est un imaginaire pur, donc : \[ (AB')\perp(A'C') \]Exercice 4 — Analyse — 8,25 points
Question. Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Données. \(f(0)=1\) et \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}\) pour \(x>0\).
Correction.
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}x^2\ln^2x=0 \] Ainsi : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0) \] Donc \(f\) est continue à droite en \(0\). De plus : \[ \lim_{x\to+\infty}x^2\ln^2x=+\infty \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]Question. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).
Données. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln^2x=0\).
Correction.
Pour \(x>0\) : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\frac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}-1}{x} \] \[ = \frac{1-\sqrt{1+x^2\ln^2x}}{x\sqrt{1+x^2\ln^2x}} \] En utilisant la quantité conjuguée : \[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{-x^2\ln^2x} {x\sqrt{1+x^2\ln^2x}\left(1+\sqrt{1+x^2\ln^2x}\right)} \] Donc : \[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{-x\ln^2x} {\sqrt{1+x^2\ln^2x}\left(1+\sqrt{1+x^2\ln^2x}\right)} \] Comme : \[ \lim_{x\to0^+}x\ln^2x=0 \] on obtient : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=0 \]Question. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et calculer \(f'(x)\).
Données. \(f(x)=\left(1+x^2\ln^2x\right)^{-\frac12}\).
Correction.
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour \(x>0\) : \[ f'(x) = -\frac12\left(1+x^2\ln^2x\right)^{-\frac32} \left(2x\ln^2x+2x\ln x\right) \] Donc : \[ f'(x)= \frac{-x\ln x(1+\ln x)} {\left(1+x^2\ln^2x\right)^{\frac32}} \]Question. Donner le tableau de variation de \(f\).
Données. Le signe de \(f'\) dépend de \(-\ln x(1+\ln x)\).
Correction.
\[ f'(x)= \frac{-x\ln x(1+\ln x)} {\left(1+x^2\ln^2x\right)^{\frac32}} \] Le dénominateur est strictement positif et \(x>0\). Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de : \[ -\ln x(1+\ln x) \] On obtient : \[ f'(x)<0\quad\text{sur } ]0,e^{-1}[ \] \[ f'(x)>0\quad\text{sur } ]e^{-1},1[ \] \[ f'(x)<0\quad\text{sur } ]1,+\infty[ \] De plus : \[ f(0)=1,\qquad f\left(\frac1e\right)=\frac1{\sqrt{1+\frac1{e^2}}} =\frac{e}{\sqrt{e^2+1}}, \qquad f(1)=1 \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \] Ainsi \(f\) décroît sur \([0,e^{-1}]\), croît sur \([e^{-1},1]\), puis décroît sur \([1,+\infty[\).Question. Déterminer une primitive de \(x\mapsto\dfrac1{x\ln x}\) sur \([e,+\infty[\).
Données. \(x\geq e\), donc \(\ln x>0\).
Correction.
\[ \left(\ln(\ln x)\right)'=\frac1{x\ln x} \] Donc une primitive de \(x\mapsto\dfrac1{x\ln x}\) sur \([e,+\infty[\) est : \[ x\mapsto \ln(\ln x) \]Question. Montrer l’encadrement de \(\sqrt{1+t^2\ln^2t}\) pour \(t\geq e\).
Données. \(t\geq e\).
Correction.
Pour \(t\geq e\), on a : \[ t\ln t>0 \] et : \[ t^2\ln^2t\geq1 \] Donc : \[ t^2\ln^2t\leq1+t^2\ln^2t\leq2t^2\ln^2t \] En prenant les racines carrées : \[ t\ln t\leq \sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq \sqrt2\,t\ln t \]Question. Montrer l’encadrement intégral demandé.
Données. Résultat de 2-b.
Correction.
D’après 2-b, pour \(t\geq e\) : \[ t\ln t\leq \sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq \sqrt2\,t\ln t \] Donc : \[ \frac1{\sqrt2\,t\ln t}\leq \frac1{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \frac1{t\ln t} \] Par intégration de \(e\) à \(x\), avec \(x\geq e\) : \[ \frac1{\sqrt2}\int_e^x\frac{dt}{t\ln t} \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \int_e^x\frac{dt}{t\ln t} \] Or : \[ \int_e^x\frac{dt}{t\ln t}=\ln(\ln x) \] Donc : \[ \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \ln(\ln x) \]Question. Déduire que \(F(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{F(x)}x\to0\).
Données. \(F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\).
Correction.
Pour \(x\geq e\) : \[ F(x)=F(e)+\int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \] D’après 2-c : \[ \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \geq \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty \] De plus, d’après 2-c : \[ F(x)\leq F(e)+\ln(\ln x) \] Donc : \[ 0\leq\frac{F(x)}x\leq\frac{F(e)+\ln(\ln x)}x \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(e)+\ln(\ln x)}x=0 \] Ainsi : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \]Question. Montrer que \((C_F)\) admet deux points d’inflexion et déterminer leurs abscisses.
Données. \(F'(x)=f(x)\), donc \(F''(x)=f'(x)\) pour \(x>0\).
Correction.
Le signe de \(F''\) est le signe de \(f'\). D’après l’étude de \(f\) : \[ f'<0\quad\text{sur } ]0,e^{-1}[ \] \[ f'>0\quad\text{sur } ]e^{-1},1[ \] \[ f'<0\quad\text{sur } ]1,+\infty[ \] Ainsi, \(F''\) change de signe en : \[ x=\frac1e \qquad\text{et}\qquad x=1 \]Question. Construire \((C_F)\).
Données. \(F(0)=0\), \(F'(x)=f(x)>0\), \(F(1)\simeq0,5\), \(F(1/e)\simeq0,4\).
Correction.
La fonction \(F\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), car : \[ F'(x)=f(x)>0 \] De plus : \[ F(0)=0 \] et : \[ F'_d(0)=f(0)=1 \] Donc \((C_F)\) admet en \(O\) une demi-tangente de coefficient directeur \(1\). Les deux points d’inflexion ont pour abscisses : \[ \frac1e\quad\text{et}\quad1 \] avec : \[ F\left(\frac1e\right)\simeq0,4 \qquad\text{et}\qquad F(1)\simeq0,5 \] Enfin : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \] La courbe admet donc une branche infinie de direction l’axe des abscisses au voisinage de \(+\infty\).Question. Montrer que \(\varphi(x)\to+\infty\) et étudier les variations de \(\varphi\).
Données. \(\varphi(x)=x-F(x)\).
Correction.
\[ \varphi(x)=x-F(x)=x\left(1-\frac{F(x)}x\right) \] Comme : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \] on obtient : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty \] De plus : \[ \varphi'(x)=1-F'(x)=1-f(x) \] Or : \[ 0Question. Montrer que l’équation \(\varphi(x)=n\) admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \([0,+\infty[\).
Données. \(n\in\mathbb N\), \(\varphi(0)=0\), \(\varphi(x)\to+\infty\), et \(\varphi\) est strictement croissante.
Correction.
La fonction \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\). De plus : \[ \varphi(0)=0 \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty \] Donc, pour tout \(n\in\mathbb N\), l’équation : \[ \varphi(x)=n \] admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \([0,+\infty[\).Question. Montrer que \(\alpha_n\geq n\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n\).
Données. \(\varphi(\alpha_n)=n\).
Correction.
\[ \varphi(\alpha_n)=\alpha_n-F(\alpha_n)=n \] Donc : \[ \alpha_n=n+F(\alpha_n) \] Comme : \[ F(\alpha_n)\geq0 \] on obtient : \[ \alpha_n\geq n \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}\alpha_n=+\infty \]Question. Montrer que \(0\leq\dfrac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\dfrac{F(n)}n+f(n)\) pour tout \(n\geq1\).
Données. \(\alpha_n\geq n\) et \(F'=f\).
Correction.
Pour \(n\geq1\), on a : \[ \alpha_n\geq n \] D’après le théorème des accroissements finis appliqué à \(F\) sur \([n,\alpha_n]\), il existe \(c\in[n,\alpha_n]\) tel que : \[ F(\alpha_n)-F(n)=F'(c)(\alpha_n-n)=f(c)(\alpha_n-n) \] Sur \([1,+\infty[\), \(f\) est décroissante. Donc : \[ f(c)\leq f(n) \] Ainsi : \[ F(\alpha_n)-F(n)\leq f(n)(\alpha_n-n)\leq f(n)\alpha_n \] Donc : \[ F(\alpha_n)\leq F(n)+f(n)\alpha_n \] En divisant par \(\alpha_n>0\) : \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}{\alpha_n}+f(n) \] Comme \(\alpha_n\geq n\), alors : \[ \frac{F(n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n \] D’où : \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n+f(n) \]Question. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}\).
Données. \(\alpha_n-F(\alpha_n)=n\).
Correction.
D’après 4-a : \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n+f(n) \] Or : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{F(n)}n=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}f(n)=0 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}=0 \] Comme : \[ \alpha_n-F(\alpha_n)=n \] alors : \[ \frac n{\alpha_n}=1-\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac n{\alpha_n}=1 \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}=1 \]Exercice 5 — Analyse — 1,75 point
Question. Vérifier l’expression de \(v_n\).
Données. \(u_n=\left(\dfrac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2}\) et \(v_n=\ln(u_n)\).
Correction.
\[ v_n=\ln\left[\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2}\right] \] Donc : \[ v_n=n^2\ln\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right) \] Ainsi : \[ v_n=n^2\left(\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1))\right) \]Question. Montrer qu’il existe \(c\in]n,n+1[\) tel que \(v_n=\dfrac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)}\).
Données. \(v_n=n^2\big(\ln(\arctan n)-\ln(\arctan(n+1))\big)\).
Correction.
La fonction : \[ \psi(x)=\ln(\arctan x) \] est continue sur \([n,n+1]\) et dérivable sur \(]n,n+1[\). D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]n,n+1[\) tel que : \[ \psi(n+1)-\psi(n)=\psi'(c) \] Or : \[ \psi'(x)=\frac1{(1+x^2)\arctan x} \] Donc : \[ \ln(\arctan(n+1))-\ln(\arctan n) = \frac1{(1+c^2)\arctan c} \] Ainsi : \[ v_n= -n^2\left(\ln(\arctan(n+1))-\ln(\arctan n)\right) = \frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan c} \]Question. Montrer l’encadrement de \(v_n\).
Données. \(c\in]n,n+1[\).
Correction.
La fonction : \[ x\mapsto(1+x^2)\arctan x \] est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). Donc : \[ (1+n^2)\arctan n < (1+c^2)\arctan c < \left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1) \] Par passage aux inverses : \[ \frac1{(1+n^2)\arctan n} > \frac1{(1+c^2)\arctan c} > \frac1{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} \] En multipliant par \(-n^2\), les inégalités changent de sens : \[ \frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan n} < v_n < \frac{-n^2}{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} \]Question. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Données. L’encadrement de \(v_n\).
Correction.
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{1+n^2}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\arctan n=\frac\pi2 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan n} = -\frac2\pi \] De même : \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{-n^2}{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} = -\frac2\pi \] D’après l’encadrement de 3 : \[ \lim_{n\to+\infty}v_n=-\frac2\pi \] Comme : \[ u_n=e^{v_n} \] on obtient : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=e^{-\frac2\pi} \]FIN DU CORRIGÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION RATTRAPAGE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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