Corrigé — Examen national 2013
Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B
Objectifs et parcours de résolution
Le rattrapage 2013 SM commence par une loi définie sur \(]1;2[\), étudiée à l’aide d’une bijection avec les réels strictement positifs. Le sujet associe ensuite probabilités, complexes et deux exercices d’analyse. Dans la première partie, le changement de représentation permet de comprendre la stabilité et les propriétés de la loi ; il doit rester lié aux ensembles de départ et d’arrivée.
Repères de cours utiles
Les théorèmes d’analyse s’appliquent sur un intervalle précisé : continuité pour le théorème des valeurs intermédiaires ; continuité sur le segment et dérivabilité à l’intérieur pour Rolle ou le théorème des accroissements finis. Pour le théorème de Rolle, les valeurs de la fonction aux deux bornes du segment doivent en outre être égales. La fonction utilisée peut être auxiliaire : ses valeurs aux bornes et sa dérivée doivent alors être vérifiées explicitement.
Une suite monotone et bornée est convergente. Lorsque ses termes sont définis comme des racines, il faut d’abord démontrer l’existence et l’unicité de chaque racine, puis comparer les fonctions ou localiser les racines. Le passage à la limite dans une récurrence nécessite la continuité de la fonction concernée.
Pour une loi de composition, vérifier la stabilité de l’ensemble avant l’associativité, l’élément neutre et les symétriques. Une bijection qui respecte les lois permet de transporter des propriétés algébriques. En arithmétique, une congruence se traite dans les entiers ; une simplification modulo un entier exige de contrôler les conditions autorisant cette simplification.
Méthode de travail sur ce sujet
Pour la bijection, établir l’image exacte et l’unicité de l’antécédent. Vérifier ensuite l’égalité qui traduit le respect des lois avant d’en déduire les propriétés du groupe.
Pour les autres exercices, conserver les hypothèses des questions successives. Une limite ou une solution obtenue dans l’analyse doit être compatible avec le domaine et les encadrements déjà démontrés.
Filière : Sciences Mathématiques A et B
Matière : Mathématiques
< Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points
Corrigé rédigé dans un style direct, conforme au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques. Les calculs essentiels sont détaillés, sans utiliser de notations hors programme.
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Exercice | Domaine | Points |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Structures algébriques | 3,5 points |
| Exercice 2 | Probabilités | 3 points |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 4 | Analyse | 8,25 points |
| Exercice 5 | Analyse | 1,75 point |
Exercice 1 — Structures algébriques — 3,5 points
Partie I
Question. Montrer que \(*\) est une loi de composition interne dans \(G=]1,2[\).
Données. Pour \(x,y\in G\),
\[ x*y=\frac{2(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)} {(x-1)(y-1)+(x-2)(y-2)} \]Correction.
Pour \(x\in]1,2[\), le nombre \[ u=\frac{2-x}{x-1} \] est strictement positif. De même, pour \(y\in]1,2[\), \[ v=\frac{2-y}{y-1}>0 \] et : \[ x=\frac{u+2}{u+1},\qquad y=\frac{v+2}{v+1} \] Un calcul donne : \[ x*y=\frac{uv+2}{uv+1} \] Comme \(u>0\) et \(v>0\), alors \(uv>0\). Donc : \[ 1<\frac{uv+2}{uv+1}<2 \] Ainsi : \[ x*y\in G \]Question. Montrer que \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) dans \((G,*)\).
Données. \(f(x)=\dfrac{x+2}{x+1}\), pour \(x>0\).
Correction.
Pour tout \(x>0\) : \[ f(x)=1+\frac1{x+1} \] Donc : \[ 1<f(x)<2 \] Ainsi : \[ f(\mathbb R_+^*)\subset G \] Soit \(y\in G\). L’égalité : \[ y=\frac{x+2}{x+1} \] équivaut à : \[ x(y-1)=2-y \] Donc : \[ x=\frac{2-y}{y-1} \] Comme \(1<y<2\), alors : \[ \frac{2-y}{y-1}>0 \] Ainsi tout \(y\in G\) admet un unique antécédent dans \(\mathbb R_+^*\). Donc \(f\) est bijective de \(\mathbb R_+^*\) vers \(G\). Pour \(x,y\in\mathbb R_+^*\) : \[ f(x)*f(y) = \frac{xy+2}{xy+1} = f(xy) \] Donc : \[ f(xy)=f(x)*f(y) \]Question. En déduire que \((G,*)\) est un groupe commutatif et déterminer son élément neutre.
Données. \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) vers \((G,*)\).
Correction.
Comme \((\mathbb R_+^*,\times)\) est un groupe commutatif et \(f\) est un isomorphisme de \((\mathbb R_+^*,\times)\) vers \((G,*)\), alors : \[ (G,*) \] est un groupe commutatif. L’élément neutre de \((\mathbb R_+^*,\times)\) est \(1\). Donc l’élément neutre de \((G,*)\) est : \[ f(1)=\frac{1+2}{1+1}=\frac32 \]Partie II
Question. Vérifier que \(A^3=O\), puis en déduire que \(A\) est un diviseur de zéro.
Données.
\[ A=\begin{pmatrix} 0&3&2\\ 0&0&1\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]Correction.
\[ A^2= \begin{pmatrix} 0&0&3\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \] Donc : \[ A^3=A^2A=O \] Or : \[ A\ne O \qquad\text{et}\qquad A^2\ne O \] mais : \[ A\cdot A^2=O \]Question. Vérifier \((A^2-A+I)(A+I)=I\), puis déterminer l’inverse de \(A+I\).
Données. \(A^3=O\).
Correction.
\[ (A^2-A+I)(A+I) = A^3+A^2-A^2-A+A+I \] Donc : \[ (A^2-A+I)(A+I)=A^3+I=I \] De même : \[ (A+I)(A^2-A+I)=A^3+I=I \]Question. Montrer que \((E,+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel et déterminer une base.
Données. \(E=\{M(a,b)=aI+bA\,/\,(a,b)\in\mathbb R^2\}\).
Correction.
La matrice nulle appartient à \(E\), car : \[ O=M(0,0) \] Soient : \[ M(a,b),M(c,d)\in E \] et soient \(\lambda,\mu\in\mathbb R\). Alors : \[ \lambda M(a,b)+\mu M(c,d) = \lambda(aI+bA)+\mu(cI+dA) \] \[ =(\lambda a+\mu c)I+(\lambda b+\mu d)A \] Donc : \[ \lambda M(a,b)+\mu M(c,d)=M(\lambda a+\mu c,\lambda b+\mu d)\in E \] Ainsi, \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(M_3(\mathbb R)\), donc \((E,+,\cdot)\) est un espace vectoriel réel. De plus : \[ E=\{aI+bA\,/\,(a,b)\in\mathbb R^2\} \] donc la famille \((I,A)\) est génératrice de \(E\). Si : \[ aI+bA=O \] alors, en regardant le coefficient \((1,1)\), on obtient : \[ a=0 \] puis, avec le coefficient \((1,2)\) : \[ 3b=0 \] donc : \[ b=0 \] Ainsi, \((I,A)\) est libre.Exercice 2 — Probabilités — 3 points
Partie I
Question. Déterminer la loi de probabilité de \(X\), nombre de boules noires tirées en quatre tirages avec remise.
Données. L’urne contient \(3\) boules rouges et \(4\) boules noires.
Correction.
À chaque tirage : \[ P(\text{noire})=\frac47 \] Les tirages sont faits avec remise. Donc \(X\) suit la loi binomiale de paramètres : \[ 4\quad\text{et}\quad \frac47 \] Ainsi, pour \(k\in\{0,1,2,3,4\}\) : \[ P(X=k)=\binom4k\left(\frac47\right)^k\left(\frac37\right)^{4-k} \]Question. Calculer \(E(X)\).
Données. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(4\) et \(\dfrac47\).
Correction.
\[ E(X)=4\times\frac47=\frac{16}{7} \]Partie II
Question. Montrer que \(P(E\cap N)=\dfrac{12}{55}\).
Données. \(N\) : la première boule est noire. \(E\) : les trois boules de l’étape 3 sont noires.
Correction.
\[ P(N)=\frac47 \] Si \(N\) est réalisé, on ajoute \(5\) boules noires. L’urne contient alors : \[ 9\text{ boules noires et }3\text{ boules rouges} \] Donc : \[ P(E/N)=\frac{\binom93}{\binom{12}3} = \frac{84}{220} = \frac{21}{55} \] Ainsi : \[ P(E\cap N)=P(N)P(E/N)=\frac47\times\frac{21}{55}=\frac{12}{55} \]Question. Calculer \(P(E)\).
Données. \(R\) et \(N\) forment une partition de l’univers.
Correction.
\[ P(E)=P(E\cap N)+P(E\cap R) \] Si \(R\) est réalisé, on ajoute \(5\) boules rouges. L’urne contient alors : \[ 4\text{ boules noires et }8\text{ boules rouges} \] Donc : \[ P(E/R)=\frac{\binom43}{\binom{12}3}=\frac4{220}=\frac1{55} \] et : \[ P(E\cap R)=P(R)P(E/R)=\frac37\times\frac1{55}=\frac3{385} \] Or : \[ P(E\cap N)=\frac{12}{55}=\frac{84}{385} \] Donc : \[ P(E)=\frac{84}{385}+\frac3{385}=\frac{87}{385} \]Question. Calculer la probabilité de \(R\) sachant que \(E\) est réalisé.
Données. \(P(E\cap R)=\dfrac3{385}\) et \(P(E)=\dfrac{87}{385}\).
Correction.
\[ P(R/E)=\frac{P(E\cap R)}{P(E)} = \frac{\frac3{385}}{\frac{87}{385}} = \frac3{87} = \frac1{29} \]Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Partie I
Question. Montrer que \(z_1=\dfrac{a-1}{2}(1+i)\) et \(z_2=\dfrac{a-1}{2}(1-i)\) sont les solutions de \((E)\).
Données. \(a\ne1\) et \(2z^2-2(a-1)z+(a-1)^2=0\).
Correction.
\[ \Delta=\big(-2(a-1)\big)^2-8(a-1)^2 = -4(a-1)^2 \] Donc : \[ \Delta=\big(2i(a-1)\big)^2 \] Les solutions sont : \[ z=\frac{2(a-1)\pm2i(a-1)}4 \] Ainsi : \[ z_1=\frac{a-1}{2}(1+i) \qquad\text{et}\qquad z_2=\frac{a-1}{2}(1-i) \] Comme \(a\ne1\), on a \(z_1\ne z_2\).Question. Montrer que \(a-1=2\sin\left(\dfrac\theta2\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)}\).
Données. \(a=e^{i\theta}\) avec \(0<\theta<\pi\).
Correction.
\[ a-1=e^{i\theta}-1 = e^{i\frac\theta2}\left(e^{i\frac\theta2}-e^{-i\frac\theta2}\right) \] Or : \[ e^{i\frac\theta2}-e^{-i\frac\theta2}=2i\sin\left(\frac\theta2\right) \] Donc : \[ a-1=2i\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\frac\theta2} \] Comme : \[ i=e^{i\frac\pi2} \] on obtient : \[ a-1=2\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)} \]Question. Déduire la forme trigonométrique de \(z_1\) et \(z_2\).
Données. \(z_1=\dfrac{a-1}{2}(1+i)\), \(z_2=\dfrac{a-1}{2}(1-i)\).
Correction.
Comme \(0<\theta<\pi\), on a : \[ \sin\left(\frac\theta2\right)>0 \] D’après 2-a : \[ \frac{a-1}{2}=\sin\left(\frac\theta2\right)e^{i\left(\frac{\theta+\pi}{2}\right)} \] et : \[ 1+i=\sqrt2e^{i\frac\pi4} \qquad,\qquad 1-i=\sqrt2e^{-i\frac\pi4} \] Donc : \[ z_1=\sqrt2\sin\left(\frac\theta2\right) e^{i\left(\frac\theta2+\frac{3\pi}{4}\right)} \] et : \[ z_2=\sqrt2\sin\left(\frac\theta2\right) e^{i\left(\frac\theta2+\frac{\pi}{4}\right)} \]Partie II
Question. Déterminer les affixes de \(J\) et \(K\), milieux respectifs de \([AC]\) et \([AB]\).
Données. \(A(a)\), \(B(-i)\), \(C(i)\).
Correction.
L’affixe de \(J\), milieu de \([AC]\), est : \[ j=\frac{a+i}{2} \] L’affixe de \(K\), milieu de \([AB]\), est : \[ k=\frac{a-i}{2} \]Question. Montrer que \(a'=z_1\) et \(c'=z_2\).
Données. \(C'=r_1(C)\) et \(A'=r_2(A)\), rotations d’angle \(\dfrac\pi2\).
Correction.
Pour \(C'=r_1(C)\) : \[ c'-j=i(i-j) \] Donc : \[ c'=j+i(i-j) \] En remplaçant \(j=\dfrac{a+i}{2}\) : \[ c'=\frac{a+i}{2}+i\left(i-\frac{a+i}{2}\right) \] \[ c'=\frac{a+i}{2}+\frac{-1-ia}{2} = \frac{(a-1)(1-i)}2 \] Donc : \[ c'=z_2 \] Pour \(A'=r_2(A)\) : \[ a'-k=i(a-k) \] Donc : \[ a'=k+i(a-k) \] En remplaçant \(k=\dfrac{a-i}{2}\) : \[ a'=\frac{a-i}{2}+i\left(a-\frac{a-i}{2}\right) \] \[ a'=\frac{a-i}{2}+\frac{ia-1}{2} = \frac{(a-1)(1+i)}2 \] Donc : \[ a'=z_1 \]Question. Calculer \(\dfrac{a'-c'}{a-1}\), puis déduire que \((AB')\) est une hauteur du triangle \(A'B'C'\).
Données. \(a'=z_1\), \(c'=z_2\), \(B'(1)\).
Correction.
\[ a'-c'=z_1-z_2 = \frac{a-1}{2}(1+i-1+i) = i(a-1) \] Donc : \[ \frac{a'-c'}{a-1}=i \] Ainsi : \[ c'-a'=-i(a-1) \] et l’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB'}\) est : \[ 1-a=-(a-1) \] Donc : \[ \frac{c'-a'}{1-a} = \frac{-i(a-1)}{-(a-1)} =i \] Ce quotient est un imaginaire pur, donc : \[ (AB')\perp(A'C') \]Exercice 4 — Analyse — 8,25 points
Question. Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
Données. \(f(0)=1\) et \(f(x)=\dfrac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}\) pour \(x>0\).
Correction.
\[ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 \] Donc : \[ \lim_{x\to0^+}x^2\ln^2x=0 \] Ainsi : \[ \lim_{x\to0^+}f(x)=1=f(0) \] Donc \(f\) est continue à droite en \(0\). De plus : \[ \lim_{x\to+\infty}x^2\ln^2x=+\infty \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \]Question. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).
Données. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln^2x=0\).
Correction.
Pour \(x>0\) : \[ \frac{f(x)-f(0)}{x} = \frac{\frac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}-1}{x} \] \[ = \frac{1-\sqrt{1+x^2\ln^2x}}{x\sqrt{1+x^2\ln^2x}} \] En utilisant la quantité conjuguée : \[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{-x^2\ln^2x} {x\sqrt{1+x^2\ln^2x}\left(1+\sqrt{1+x^2\ln^2x}\right)} \] Donc : \[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac{-x\ln^2x} {\sqrt{1+x^2\ln^2x}\left(1+\sqrt{1+x^2\ln^2x}\right)} \] Comme : \[ \lim_{x\to0^+}x\ln^2x=0 \] on obtient : \[ \lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x=0 \]Question. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et calculer \(f'(x)\).
Données. \(f(x)=\left(1+x^2\ln^2x\right)^{-\frac12}\).
Correction.
La fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\). Pour \(x>0\) : \[ f'(x) = -\frac12\left(1+x^2\ln^2x\right)^{-\frac32} \left(2x\ln^2x+2x\ln x\right) \] Donc : \[ f'(x)= \frac{-x\ln x(1+\ln x)} {\left(1+x^2\ln^2x\right)^{\frac32}} \]Question. Donner le tableau de variation de \(f\).
Données. Le signe de \(f'\) dépend de \(-\ln x(1+\ln x)\).
Correction.
\[ f'(x)= \frac{-x\ln x(1+\ln x)} {\left(1+x^2\ln^2x\right)^{\frac32}} \] Le dénominateur est strictement positif et \(x>0\). Donc le signe de \(f'(x)\) est celui de : \[ -\ln x(1+\ln x) \] On obtient : \[ f'(x)<0\quad\text{sur } ]0,e^{-1}[ \] \[ f'(x)>0\quad\text{sur } ]e^{-1},1[ \] \[ f'(x)<0\quad\text{sur } ]1,+\infty[ \] De plus : \[ f(0)=1,\qquad f\left(\frac1e\right)=\frac1{\sqrt{1+\frac1{e^2}}} =\frac{e}{\sqrt{e^2+1}}, \qquad f(1)=1 \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 \] Ainsi \(f\) décroît sur \([0,e^{-1}]\), croît sur \([e^{-1},1]\), puis décroît sur \([1,+\infty[\).Question. Déterminer une primitive de \(x\mapsto\dfrac1{x\ln x}\) sur \([e,+\infty[\).
Données. \(x\geq e\), donc \(\ln x>0\).
Correction.
\[ \left(\ln(\ln x)\right)'=\frac1{x\ln x} \] Donc une primitive de \(x\mapsto\dfrac1{x\ln x}\) sur \([e,+\infty[\) est : \[ x\mapsto \ln(\ln x) \]Question. Montrer l’encadrement de \(\sqrt{1+t^2\ln^2t}\) pour \(t\geq e\).
Données. \(t\geq e\).
Correction.
Pour \(t\geq e\), on a : \[ t\ln t>0 \] et : \[ t^2\ln^2t\geq1 \] Donc : \[ t^2\ln^2t\leq1+t^2\ln^2t\leq2t^2\ln^2t \] En prenant les racines carrées : \[ t\ln t\leq \sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq \sqrt2\,t\ln t \]Question. Montrer l’encadrement intégral demandé.
Données. Résultat de 2-b.
Correction.
D’après 2-b, pour \(t\geq e\) : \[ t\ln t\leq \sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq \sqrt2\,t\ln t \] Donc : \[ \frac1{\sqrt2\,t\ln t}\leq \frac1{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \frac1{t\ln t} \] Par intégration de \(e\) à \(x\), avec \(x\geq e\) : \[ \frac1{\sqrt2}\int_e^x\frac{dt}{t\ln t} \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \int_e^x\frac{dt}{t\ln t} \] Or : \[ \int_e^x\frac{dt}{t\ln t}=\ln(\ln x) \] Donc : \[ \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \ln(\ln x) \]Question. Déduire que \(F(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{F(x)}x\to0\).
Données. \(F(x)=\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt\).
Correction.
Pour \(x\geq e\) : \[ F(x)=F(e)+\int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \] D’après 2-c : \[ \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \geq \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \] Donc : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty \] De plus, d’après 2-c : \[ F(x)\leq F(e)+\ln(\ln x) \] Donc : \[ 0\leq\frac{F(x)}x\leq\frac{F(e)+\ln(\ln x)}x \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(e)+\ln(\ln x)}x=0 \] Ainsi : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \]Question. Montrer que \((C_F)\) admet deux points d’inflexion et déterminer leurs abscisses.
Données. \(F'(x)=f(x)\), donc \(F''(x)=f'(x)\) pour \(x>0\).
Correction.
Le signe de \(F''\) est le signe de \(f'\). D’après l’étude de \(f\) : \[ f'<0\quad\text{sur } ]0,e^{-1}[ \] \[ f'>0\quad\text{sur } ]e^{-1},1[ \] \[ f'<0\quad\text{sur } ]1,+\infty[ \] Ainsi, \(F''\) change de signe en : \[ x=\frac1e \qquad\text{et}\qquad x=1 \]Question. Construire \((C_F)\).
Données. \(F(0)=0\), \(F'(x)=f(x)>0\), \(F(1)\simeq0,5\), \(F(1/e)\simeq0,4\).
Correction.
La fonction \(F\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), car : \[ F'(x)=f(x)>0 \] De plus : \[ F(0)=0 \] et : \[ F'_d(0)=f(0)=1 \] Donc \((C_F)\) admet en \(O\) une demi-tangente de coefficient directeur \(1\). Les deux points d’inflexion ont pour abscisses : \[ \frac1e\quad\text{et}\quad1 \] avec : \[ F\left(\frac1e\right)\simeq0,4 \qquad\text{et}\qquad F(1)\simeq0,5 \] Enfin : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \] La courbe admet donc une branche infinie de direction l’axe des abscisses au voisinage de \(+\infty\).Question. Montrer que \(\varphi(x)\to+\infty\) et étudier les variations de \(\varphi\).
Données. \(\varphi(x)=x-F(x)\).
Correction.
\[ \varphi(x)=x-F(x)=x\left(1-\frac{F(x)}x\right) \] Comme : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0 \] on obtient : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty \] De plus : \[ \varphi'(x)=1-F'(x)=1-f(x) \] Or : \[ 0<f(x)\leq1 \] Donc : \[ \varphi'(x)\geq0 \] et \(\varphi\) est croissante sur \([0,+\infty[\). Plus précisément, elle est strictement croissante sur \([0,+\infty[\), car \(f(x)<1\) sauf aux points isolés \(0\) et \(1\).Question. Montrer que l’équation \(\varphi(x)=n\) admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \([0,+\infty[\).
Données. \(n\in\mathbb N\), \(\varphi(0)=0\), \(\varphi(x)\to+\infty\), et \(\varphi\) est strictement croissante.
Correction.
La fonction \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\). De plus : \[ \varphi(0)=0 \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty \] Donc, pour tout \(n\in\mathbb N\), l’équation : \[ \varphi(x)=n \] admet une unique solution \(\alpha_n\) dans \([0,+\infty[\).Question. Montrer que \(\alpha_n\geq n\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\alpha_n\).
Données. \(\varphi(\alpha_n)=n\).
Correction.
\[ \varphi(\alpha_n)=\alpha_n-F(\alpha_n)=n \] Donc : \[ \alpha_n=n+F(\alpha_n) \] Comme : \[ F(\alpha_n)\geq0 \] on obtient : \[ \alpha_n\geq n \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}\alpha_n=+\infty \]Question. Montrer que \(0\leq\dfrac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\dfrac{F(n)}n+f(n)\) pour tout \(n\geq1\).
Données. \(\alpha_n\geq n\) et \(F'=f\).
Correction.
Pour \(n\geq1\), on a : \[ \alpha_n\geq n \] D’après le théorème des accroissements finis appliqué à \(F\) sur \([n,\alpha_n]\), il existe \(c\in[n,\alpha_n]\) tel que : \[ F(\alpha_n)-F(n)=F'(c)(\alpha_n-n)=f(c)(\alpha_n-n) \] Sur \([1,+\infty[\), \(f\) est décroissante. Donc : \[ f(c)\leq f(n) \] Ainsi : \[ F(\alpha_n)-F(n)\leq f(n)(\alpha_n-n)\leq f(n)\alpha_n \] Donc : \[ F(\alpha_n)\leq F(n)+f(n)\alpha_n \] En divisant par \(\alpha_n>0\) : \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}{\alpha_n}+f(n) \] Comme \(\alpha_n\geq n\), alors : \[ \frac{F(n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n \] D’où : \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n+f(n) \]Question. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}\).
Données. \(\alpha_n-F(\alpha_n)=n\).
Correction.
D’après 4-a : \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n+f(n) \] Or : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{F(n)}n=0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}f(n)=0 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}=0 \] Comme : \[ \alpha_n-F(\alpha_n)=n \] alors : \[ \frac n{\alpha_n}=1-\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac n{\alpha_n}=1 \] Ainsi : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}=1 \]Exercice 5 — Analyse — 1,75 point
Question. Vérifier l’expression de \(v_n\).
Données. \(u_n=\left(\dfrac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2}\) et \(v_n=\ln(u_n)\).
Correction.
\[ v_n=\ln\left[\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right)^{n^2}\right] \] Donc : \[ v_n=n^2\ln\left(\frac{\arctan(n)}{\arctan(n+1)}\right) \] Ainsi : \[ v_n=n^2\left(\ln(\arctan(n))-\ln(\arctan(n+1))\right) \]Question. Montrer qu’il existe \(c\in]n,n+1[\) tel que \(v_n=\dfrac{-n^2}{(1+c^2)\arctan(c)}\).
Données. \(v_n=n^2\big(\ln(\arctan n)-\ln(\arctan(n+1))\big)\).
Correction.
La fonction : \[ \psi(x)=\ln(\arctan x) \] est continue sur \([n,n+1]\) et dérivable sur \(]n,n+1[\). D’après le théorème des accroissements finis, il existe \(c\in]n,n+1[\) tel que : \[ \psi(n+1)-\psi(n)=\psi'(c) \] Or : \[ \psi'(x)=\frac1{(1+x^2)\arctan x} \] Donc : \[ \ln(\arctan(n+1))-\ln(\arctan n) = \frac1{(1+c^2)\arctan c} \] Ainsi : \[ v_n= -n^2\left(\ln(\arctan(n+1))-\ln(\arctan n)\right) = \frac{-n^2}{(1+c^2)\arctan c} \]Question. Montrer l’encadrement de \(v_n\).
Données. \(c\in]n,n+1[\).
Correction.
La fonction : \[ x\mapsto(1+x^2)\arctan x \] est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\). Donc : \[ (1+n^2)\arctan n < (1+c^2)\arctan c < \left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1) \] Par passage aux inverses : \[ \frac1{(1+n^2)\arctan n} > \frac1{(1+c^2)\arctan c} > \frac1{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} \] En multipliant par \(-n^2\), les inégalités changent de sens : \[ \frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan n} < v_n < \frac{-n^2}{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} \]Question. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n\).
Données. L’encadrement de \(v_n\).
Correction.
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{1+n^2}=1 \qquad\text{et}\qquad \lim_{n\to+\infty}\arctan n=\frac\pi2 \] Donc : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{-n^2}{(1+n^2)\arctan n} = -\frac2\pi \] De même : \[ \lim_{n\to+\infty} \frac{-n^2}{\left(1+(n+1)^2\right)\arctan(n+1)} = -\frac2\pi \] D’après l’encadrement de 3 : \[ \lim_{n\to+\infty}v_n=-\frac2\pi \] Comme : \[ u_n=e^{v_n} \] on obtient : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n=e^{-\frac2\pi} \]FIN DU CORRIGÉ — EXAMEN NATIONAL 2013 SESSION RATTRAPAGE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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