Continuité d’une fonction numérique
Cours complet — 2e Bac Sciences Mathématiques A/B
Ce cours présente les résultats fondamentaux du chapitre Continuité pour le niveau 2e Bac Sciences Mathématiques A/B. Il regroupe les définitions, propriétés et théorèmes essentiels : continuité en un point, continuité sur un intervalle, opérations sur les fonctions continues, théorème des valeurs intermédiaires, fonction réciproque, racines n-ièmes et puissances rationnelles.
L’objectif de cette page est de donner un cours clair, progressif et conforme au programme marocain. Les exemples insérés servent uniquement à expliquer le cours ; les exercices corrigés seront traités dans une page séparée.
Commencer par lire les définitions et propriétés, puis vérifier les conditions d’application dans chaque théorème : domaine de définition, continuité sur l’intervalle, non-nullité du dénominateur, positivité sous une racine carrée, monotonie stricte pour la fonction réciproque.
Structure du cours
- Rappels sur les limites
- Continuité d'une fonction en un point
- Continuité à droite et continuité à gauche
- Continuité d'une fonction sur un intervalle
- Fonctions usuelles continues
- Fonction partie entière
- Opérations sur les fonctions continues
- Continuité d'une fonction composée
- Image d'un intervalle par une fonction continue
- Théorème des valeurs intermédiaires
- Méthode de dichotomie
- Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone
- Racines n-ièmes et puissances rationnelles
Rappels sur les limites
Avant d'étudier la continuité d'une fonction numérique, il faut rappeler quelques résultats essentiels sur les limites. Ces résultats seront utilisés pour vérifier si la limite d'une fonction en un point est égale à la valeur de la fonction en ce point.
Limites usuelles en un réel
Soient \(a\) et \(k\) deux nombres réels. On a :
Si \(n\in\mathbb{N}^*\), alors :
Si \(P\) est une fonction polynôme, alors :
Soient \(P\) et \(Q\) deux fonctions polynômes.
Si \(Q(a)\neq 0\), alors :
On rappelle les limites trigonométriques usuelles suivantes :
Calculons :
La fonction \(x\mapsto 3x^2-5x+4\) est une fonction polynôme, donc sa limite en \(2\) est égale à sa valeur en \(2\).
Ainsi :
Calculons :
On a :
Comme \(5\neq 0\), on peut utiliser la propriété du quotient. Donc :
Opérations sur les limites finies
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques définies au voisinage d'un réel \(a\), sauf éventuellement en \(a\).
On suppose que :
où \(\ell\) et \(m\) sont deux nombres réels.
Alors :
Si \(m\neq 0\), alors :
Soit \(f\) une fonction telle que :
Alors, pour tout entier naturel non nul \(n\), on a :
Si \(f(x)\geq 0\) au voisinage de \(a\) et si \(\ell\geq 0\), alors :
Calculons :
Lorsque \(x\to 0\), on a :
De plus :
Par somme des limites :
Limites à l'infini des polynômes et des fonctions rationnelles
Pour déterminer la limite d'une fonction polynôme en \(+\infty\) ou en \(-\infty\), on étudie le terme de plus haut degré.
Si :
alors la limite de \(P(x)\) à l'infini est celle du terme \(a_nx^n\).
Pour déterminer la limite à l'infini d'une fonction rationnelle :
on compare les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.
Calculons :
Le terme de plus haut degré est \(-3x^3\).
Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x^3\to+\infty\), donc :
Ainsi :
Calculons :
Le numérateur et le dénominateur sont deux polynômes de même degré \(2\). On compare les termes de plus haut degré :
Donc :
Formes indéterminées
Lorsqu'on calcule une limite, certaines formes ne permettent pas de conclure directement. On les appelle des formes indéterminées.
Les formes indéterminées les plus fréquentes sont :
Pour lever une forme indéterminée, on peut utiliser selon la situation :
- la factorisation ;
- la simplification d'un facteur commun ;
- le développement et la réduction ;
- la multiplication par l'expression conjuguée ;
- la mise en facteur du terme dominant ;
- une limite usuelle.
Calculons :
En remplaçant directement \(x\) par \(3\), on obtient la forme indéterminée :
On factorise :
Pour \(x\neq 3\), on a :
Donc :
Calculons :
En remplaçant directement \(x\) par \(9\), on obtient la forme indéterminée :
On multiplie par l'expression conjuguée :
Comme :
on obtient, pour \(x\neq 9\) :
Donc :
Limites et ordre
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies au voisinage d'un réel \(a\), sauf éventuellement en \(a\).
Si \(f(x)\leq g(x)\) au voisinage de \(a\), et si :
alors :
Soient \(f\), \(g\) et \(h\) trois fonctions définies au voisinage d'un réel \(a\), sauf éventuellement en \(a\).
Si :
au voisinage de \(a\), et si :
alors :
Ce résultat s'appelle le théorème d'encadrement.
Calculons :
Pour tout \(x\neq 0\), on a :
Comme \(x^2\geq 0\), alors :
Or :
D'après le théorème d'encadrement :
Dans la partie suivante, on utilisera les limites pour définir la continuité d'une fonction en un point.
L'idée essentielle sera de comparer :
Continuité d'une fonction en un point
Définition
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle \(I\), et soit \(a\) un élément de \(I\).
On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque :
Autrement dit, la fonction \(f\) est continue en \(a\) si la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) existe et coïncide avec la valeur de la fonction au point \(a\).
Pour étudier la continuité d'une fonction \(f\) en un point \(a\), on vérifie généralement trois choses :
- la fonction \(f\) est définie en \(a\) ;
- la limite \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) existe ;
- cette limite est égale à \(f(a)\).
Si la fonction \(f\) n'est pas définie en \(a\), alors elle ne peut pas être continue en \(a\).
Si la limite de \(f\) en \(a\) n'existe pas, alors \(f\) n'est pas continue en \(a\).
Si la limite existe mais qu'elle est différente de \(f(a)\), alors \(f\) n'est pas continue en \(a\).
Interprétation graphique
Graphiquement, dire que \(f\) est continue en \(a\) signifie que la courbe représentative de \(f\) ne présente pas de rupture au point d'abscisse \(a\).
Autour du point d'abscisse \(a\), on peut tracer la courbe sans lever le crayon.
La courbe ne présente pas de rupture au point d’abscisse \(a\). On illustre ainsi : \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\).
Exemples
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Montrons que \(f\) est continue en \(1\).
La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue en tout réel, en particulier en \(1\).
On peut aussi vérifier directement :
Or :
Donc :
Ainsi, \(f\) est continue en \(1\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
Étudions la continuité de \(g\) en \(2\).
On a :
Pour \(x\neq 2\), on a :
Donc :
Ainsi :
Comme :
la fonction \(g\) n'est pas continue en \(2\).
Ici, les deux limites latérales ne coïncident pas : \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)\neq \lim\limits_{x\to a^+}f(x)\). La fonction n’est donc pas continue en \(a\).
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
où \(m\) est un nombre réel.
Déterminons la valeur de \(m\) pour que \(h\) soit continue en \(1\).
Pour \(x\neq 1\), on a :
Donc :
Or :
Pour que \(h\) soit continue en \(1\), il faut et il suffit que :
Donc :
Ainsi, \(h\) est continue en \(1\) si et seulement si :
Continuité à droite et continuité à gauche
Continuité à droite
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme \([a,a+r[\), avec \(r\gt 0\).
On dit que \(f\) est continue à droite en \(a\) lorsque :
Continuité à gauche
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle de la forme \(]a-r,a]\), avec \(r\gt 0\).
On dit que \(f\) est continue à gauche en \(a\) lorsque :
Lien avec la continuité en un point
Soit \(f\) une fonction numérique définie au voisinage d'un réel \(a\).
La fonction \(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(a\).
Autrement dit :
La courbe arrive au même point par la gauche et par la droite : \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)=\lim\limits_{x\to a^+}f(x)=f(a)\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
Étudions la continuité de \(f\) en \(1\).
On a :
La limite à gauche est :
La limite à droite est :
Donc :
Ainsi, \(f\) est continue en \(1\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
Étudions la continuité de \(g\) en \(0\).
On a :
La limite à gauche est :
La limite à droite est :
Comme :
la limite de \(g\) en \(0\) n'existe pas.
Donc \(g\) n'est pas continue en \(0\).
Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
où \(m\) est un nombre réel.
Déterminons \(m\) pour que \(u\) soit continue en \(2\).
On a :
La limite à gauche est :
La limite à droite est :
Pour que \(u\) soit continue en \(2\), il faut et il suffit que :
Donc :
Ainsi, \(u\) est continue en \(2\) si et seulement si \(m=1\).
Pour étudier la continuité d'une fonction définie par morceaux en un point \(a\), on peut suivre la méthode suivante :
- calculer \(f(a)\) ;
- calculer \(\lim\limits_{x\to a^-}f(x)\) ;
- calculer \(\lim\limits_{x\to a^+}f(x)\) ;
- comparer les trois valeurs.
Si les trois valeurs sont égales, alors \(f\) est continue en \(a\). Sinon, \(f\) n'est pas continue en \(a\).
Continuité d'une fonction sur un intervalle
Définition
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle \(I\).
On dit que \(f\) est continue sur \(I\) lorsque \(f\) est continue en tout point de \(I\).
Lorsque l'intervalle possède une extrémité appartenant à l'intervalle, on utilise une continuité d'un seul côté.
Ainsi :
- \(f\) est continue sur \([a,b]\) si elle est continue sur \(]a,b[\), continue à droite en \(a\), et continue à gauche en \(b\) ;
- \(f\) est continue sur \([a,b[\) si elle est continue sur \(]a,b[\) et continue à droite en \(a\) ;
- \(f\) est continue sur \(]a,b]\) si elle est continue sur \(]a,b[\) et continue à gauche en \(b\).
Interprétation graphique
Graphiquement, dire qu'une fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\) signifie que sa courbe représentative ne présente pas de rupture sur cet intervalle.
Autrement dit, on peut tracer la courbe sur l'intervalle \(I\) sans lever le crayon.
Exemples
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(f\) est une fonction polynôme.
Donc \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(g\) la fonction définie par :
La fonction \(g\) est une fonction rationnelle.
Elle est définie lorsque :
Donc :
Ainsi :
La fonction \(g\) est continue sur chacun des intervalles de son ensemble de définition :
Soit \(h\) la fonction définie par :
Pour que \(h(x)\) soit définie, il faut :
Donc :
Ainsi :
La fonction \(x\mapsto x+2\) est continue sur \(\mathbb{R}\), et la fonction racine carrée est continue sur \([0,+\infty[\).
Donc \(h\) est continue sur :
Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
Étudions la continuité de \(u\) sur \(\mathbb{R}\).
Sur \(]-\infty,1[\), la fonction \(u\) est donnée par :
C'est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(]-\infty,1[\).
Sur \(]1,+\infty[\), la fonction \(u\) est donnée par :
C'est aussi une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(]1,+\infty[\).
Il reste à étudier la continuité en \(1\).
On a :
La limite à gauche est :
La limite à droite est :
Comme :
la fonction \(u\) n'est pas continue en \(1\).
Donc \(u\) n'est pas continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(v\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par les conditions suivantes :
Étudions la continuité de \(v\) sur \(\mathbb{R}\).
Sur \(]-\infty,2[\), la fonction \(v\) est une fonction polynôme, donc elle est continue.
Sur \(]2,+\infty[\), la fonction \(v\) est aussi une fonction polynôme, donc elle est continue.
Il reste à étudier la continuité en \(2\).
On a :
La limite à gauche est :
La limite à droite est :
Donc :
Ainsi, \(v\) est continue en \(2\).
Par conséquent, \(v\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Méthode pour étudier la continuité sur un intervalle
Pour montrer qu'une fonction \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), on peut suivre les étapes suivantes :
- déterminer l'ensemble de définition de \(f\) ;
- vérifier que l'intervalle \(I\) est contenu dans cet ensemble ;
- utiliser la continuité des fonctions usuelles ;
- si la fonction est définie par morceaux, étudier la continuité sur chaque intervalle séparément ;
- vérifier la continuité aux points où l'expression de la fonction change.
Fonctions usuelles continues
Liste des fonctions usuelles
Les fonctions constantes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle contenu dans leur ensemble de définition.
La fonction \(x\mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Les fonctions \(x\mapsto \sin x\) et \(x\mapsto \cos x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(x\mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0,+\infty[\).
Pour une fonction rationnelle, il faut toujours exclure les valeurs qui annulent le dénominateur.
La continuité s'étudie ensuite sur chaque intervalle contenu dans l'ensemble de définition.
Pour une fonction contenant une racine carrée, il faut d'abord vérifier que l'expression sous la racine est positive ou nulle.
Cette condition permet de déterminer l'ensemble de définition, puis d'étudier la continuité.
Applications
Soit \(f\) la fonction définie par :
Le numérateur \(x\mapsto x^2+1\) est une fonction polynôme, donc il est continu sur \(\mathbb{R}\).
Le dénominateur \(x\mapsto x^2+4\) est aussi une fonction polynôme, donc il est continu sur \(\mathbb{R}\).
De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :
Donc le dénominateur ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\).
Par quotient de deux fonctions continues, avec un dénominateur non nul, la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(g\) la fonction définie par :
Pour que \(g(x)\) soit définie, il faut :
Donc :
Ainsi :
La fonction \(x\mapsto 4-x\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc elle est continue sur \(]-\infty,4]\).
Pour tout \(x\in]-\infty,4]\), on a :
La fonction racine carrée est continue sur \([0,+\infty[\).
Donc \(g\) est continue sur :
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(x\mapsto x^2-3x+2\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La valeur absolue d'une fonction continue est continue.
Donc \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Pour justifier rapidement la continuité d'une fonction usuelle ou composée de fonctions usuelles, il faut toujours préciser :
- la nature des fonctions utilisées : polynôme, rationnelle, racine carrée, valeur absolue, sinus, cosinus ;
- l'ensemble de définition ;
- la non-nullité du dénominateur dans le cas d'un quotient ;
- la positivité de l'expression sous la racine dans le cas d'une racine carrée.
Fonction partie entière
Définition
Soit \(x\) un nombre réel.
On appelle partie entière de \(x\), et on note \(E(x)\), le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\).
Autrement dit, \(E(x)\) est l'unique entier relatif vérifiant :
On a :
Attention aux nombres négatifs.
Par exemple :
car \(-3\) est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(-2{,}4\).
Propriétés fondamentales
Pour tout réel \(x\), on a :
On en déduit aussi :
Soit \(n\) un entier relatif.
Pour tout réel \(x\) appartenant à l'intervalle \([n,n+1[\), on a :
Ainsi, la fonction partie entière est constante sur chaque intervalle de la forme :
Pour tout \(x\in[4,5[\), on a :
Pour tout \(x\in[-2,-1[\), on a :
Pour tout réel \(x\) et pour tout entier relatif \(p\), on a :
Calculons \(E(7{,}3)\) en utilisant la propriété précédente.
On peut écrire :
Donc :
Continuité de la fonction partie entière
La fonction partie entière est continue sur chaque intervalle ouvert de la forme :
Elle n'est pas continue aux points entiers.
Sur chaque intervalle \([n,n+1[\), la fonction partie entière est constante et vaut \(n\). Le point de gauche est inclus et le point de droite est exclu.
Étudions la continuité de la fonction partie entière en \(2\).
On a :
Pour \(x\in[2,3[\), on a :
Donc :
Pour \(x\in[1,2[\), on a :
Donc :
Ainsi :
La limite de \(E(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(2\) n'existe pas.
Par conséquent, la fonction partie entière n'est pas continue en \(2\).
Montrons que la fonction partie entière est continue en \(\dfrac{5}{2}\).
On a :
Ce nombre appartient à l'intervalle ouvert \(]2,3[\).
Sur l'intervalle \(]2,3[\), la fonction partie entière est constante et vaut \(2\).
Donc, au voisinage de \(\dfrac{5}{2}\), on a :
Ainsi :
Or :
Donc :
Par conséquent, la fonction partie entière est continue en \(\dfrac{5}{2}\).
La fonction partie entière présente un saut à chaque entier relatif.
Elle est donc discontinue en tout point de \(\mathbb{Z}\), mais elle est continue en tout point de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}\).
Pour étudier la continuité de la fonction partie entière en un réel \(a\), on distingue deux cas :
- si \(a\) n'est pas un entier relatif, alors \(a\) appartient à un intervalle ouvert \(]n,n+1[\) ; la fonction partie entière est constante au voisinage de \(a\), donc elle est continue en \(a\) ;
- si \(a\) est un entier relatif, alors la limite à gauche vaut \(a-1\) et la limite à droite vaut \(a\) ; les deux limites sont différentes, donc la fonction partie entière n'est pas continue en \(a\).
Opérations sur les fonctions continues
Somme, différence et produit
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I\).
Alors les fonctions \(f+g\), \(f-g\) et \(fg\) sont continues sur \(I\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(x\mapsto x^3-2x\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(x\mapsto \cos x\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Par somme de deux fonctions continues sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(x\mapsto x^2+1\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La fonction \(x\mapsto \sin x\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Par produit de deux fonctions continues sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Quotient de deux fonctions continues
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues sur un intervalle \(I\).
Si \(g\) ne s'annule pas sur \(I\), alors la fonction quotient \(\dfrac{f}{g}\) est continue sur \(I\).
Pour justifier la continuité d'un quotient, il ne suffit pas de dire que le numérateur et le dénominateur sont continus.
Il faut aussi vérifier que le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle étudié.
Soit \(h\) la fonction définie par :
Le numérateur \(x\mapsto x^2+3x+1\) est une fonction polynôme, donc il est continu sur \(\mathbb{R}\).
Le dénominateur \(x\mapsto x^2+1\) est aussi une fonction polynôme, donc il est continu sur \(\mathbb{R}\).
De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :
Donc le dénominateur ne s'annule pas sur \(\mathbb{R}\).
Par quotient de deux fonctions continues avec un dénominateur non nul, la fonction \(h\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(u\) la fonction définie par :
La fonction \(u\) est une fonction rationnelle.
Elle est définie lorsque :
Donc :
Ainsi :
Le numérateur et le dénominateur sont des fonctions polynômes, donc ils sont continus sur \(\mathbb{R}\).
Le dénominateur ne s'annule pas sur chacun des intervalles :
Par conséquent, la fonction \(u\) est continue sur chacun des intervalles :
Puissances et valeur absolue
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\), la fonction \(x\mapsto (f(x))^n\) est continue sur \(I\).
La fonction \(x\mapsto |f(x)|\) est continue sur \(I\).
Soit \(v\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(x\mapsto x^2-3x+2\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La puissance quatrième d'une fonction continue est continue.
Donc \(v\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(w\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(x\mapsto x^2-5x+6\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La valeur absolue d'une fonction continue est continue.
Donc \(w\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Racine carrée d'une fonction continue
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Si, pour tout \(x\in I\), on a \(f(x)\geq 0\), alors la fonction \(x\mapsto \sqrt{f(x)}\) est continue sur \(I\).
Pour une fonction contenant une racine carrée, il faut toujours vérifier que l'expression sous la racine est positive ou nulle.
Cette vérification sert à déterminer l'ensemble de définition et à justifier la continuité.
Soit \(p\) la fonction définie par :
La fonction \(x\mapsto x^2+4\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on a :
Donc l'expression sous la racine est strictement positive sur \(\mathbb{R}\).
Par conséquent, la fonction \(p\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(q\) la fonction définie par :
Pour que \(q(x)\) soit définie, il faut :
Donc :
Ainsi :
La fonction \(x\mapsto 2x-6\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([3,+\infty[\).
De plus, pour tout \(x\in[3,+\infty[\), on a :
Donc la fonction \(q\) est continue sur :
Pour montrer qu'une fonction obtenue par opérations est continue sur un intervalle \(I\), on suit généralement cette méthode :
- reconnaître les fonctions usuelles qui composent l'expression ;
- vérifier que ces fonctions sont continues sur l'intervalle étudié ;
- utiliser les propriétés de somme, différence, produit, quotient, puissance ou racine carrée ;
- dans le cas d'un quotient, vérifier que le dénominateur ne s'annule pas ;
- dans le cas d'une racine carrée, vérifier que l'expression sous la racine est positive ou nulle.
Continuité d'une fonction composée
Définition de la composée
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques.
Lorsque l'image de \(x\) par \(f\) appartient à l'ensemble de définition de \(g\), on peut définir la fonction composée de \(f\) suivie de \(g\).
Cette fonction est notée \(g\circ f\) et elle est définie par :
Dans l'écriture \(g\circ f\), on applique d'abord la fonction \(f\), puis la fonction \(g\).
Il faut donc faire attention à l'ordre des fonctions.
Soient \(f\) et \(g\) les fonctions définies par :
Alors :
Ici, on applique d'abord \(f\), puis on applique la racine carrée.
Continuité d'une composée en un point
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques.
Si \(f\) est continue en un réel \(a\), et si \(g\) est continue en \(f(a)\), alors la fonction composée \(g\circ f\) est continue en \(a\).
Pour appliquer cette propriété, il faut vérifier deux choses :
- la continuité de la fonction intérieure \(f\) au point \(a\) ;
- la continuité de la fonction extérieure \(g\) au point \(f(a)\).
Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Montrons que \(F\) est continue en \(1\).
La fonction intérieure est :
C'est une fonction polynôme, donc elle est continue en \(1\).
On a :
La fonction extérieure est :
Elle est continue en \(5\), car \(5\in[0,+\infty[\).
Donc la composée \(F=g\circ f\) est continue en \(1\).
Continuité d'une composée sur un intervalle
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Soit \(g\) une fonction continue sur un intervalle \(J\).
Si, pour tout \(x\in I\), on a \(f(x)\in J\), alors la fonction composée \(g\circ f\) est continue sur \(I\).
Pour montrer qu'une fonction composée est continue sur un intervalle \(I\), il faut vérifier que les valeurs prises par la fonction intérieure appartiennent à l'intervalle où la fonction extérieure est continue.
Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction intérieure est :
C'est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
La fonction extérieure est :
La fonction sinus est continue sur \(\mathbb{R}\).
Donc la fonction composée \(F=g\circ f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(G\) la fonction définie par :
Déterminons d'abord son ensemble de définition.
Pour que \(G(x)\) soit définie, il faut :
Donc :
Ainsi :
La fonction intérieure est :
C'est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([2,+\infty[\).
De plus, pour tout \(x\in[2,+\infty[\), on a :
La fonction extérieure \(t\mapsto \sqrt{t}\) est continue sur \([0,+\infty[\).
Donc la fonction \(G\) est continue sur :
Soit \(H\) la fonction définie par :
Déterminons son ensemble de définition.
Pour que \(H(x)\) soit définie, il faut d'abord :
Mais comme \(\sqrt{x-1}\) est au dénominateur, il faut aussi :
Cela revient à écrire :
Donc :
Ainsi :
Sur \(]1,+\infty[\), la fonction \(x\mapsto x-1\) est continue et strictement positive.
Donc la fonction \(x\mapsto \sqrt{x-1}\) est continue et strictement positive sur \(]1,+\infty[\).
Comme le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle, la fonction \(H\) est continue sur :
Méthode
Pour étudier la continuité d'une fonction composée, on peut suivre les étapes suivantes :
- déterminer l'ensemble de définition de la fonction ;
- reconnaître la fonction intérieure et la fonction extérieure ;
- vérifier la continuité de la fonction intérieure ;
- vérifier que les valeurs de la fonction intérieure appartiennent à l'ensemble où la fonction extérieure est continue ;
- conclure par la continuité de la composée.
Dans les exercices, les cas les plus fréquents concernent les fonctions contenant une racine carrée, une valeur absolue, une fonction trigonométrique ou un quotient.
Il faut toujours vérifier les conditions d'existence avant de conclure à la continuité.
Image d'un intervalle par une fonction continue
Image d'un segment
Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \([a,b]\).
Alors l'image du segment \([a,b]\) par \(f\) est un segment.
Autrement dit, il existe deux réels \(m\) et \(M\) tels que :
De plus, \(m\) est la plus petite valeur de \(f\) sur \([a,b]\), et \(M\) est la plus grande valeur de \(f\) sur \([a,b]\).
Ce résultat signifie qu'une fonction continue sur un segment atteint toujours un minimum et un maximum sur ce segment.
Ainsi, il existe au moins deux réels \(u\) et \(v\) appartenant à \([a,b]\) tels que :
Cette figure représente un cas illustratif : la fonction continue atteint un minimum \(m\) en un point \(u\in[a,b]\), et un maximum \(M\) aux extrémités \(a\) et \(b\). En général, le minimum et le maximum peuvent être atteints à l’intérieur du segment ou aux extrémités. Ce qui est essentiel ici, c’est que le tronçon de courbe correspondant à \(x\in[a,b]\) se projette sur l’axe des ordonnées en tout le segment \([m,M]\). Ainsi : \(f([a,b])=[m,M]\).
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Déterminons l'image du segment \([-1,3]\) par \(f\).
La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([-1,3]\).
Pour tout \(x\in[-1,3]\), on a :
Donc :
De plus :
Ainsi, le minimum de \(f\) sur \([-1,3]\) est :
Calculons les valeurs aux extrémités :
Sur le segment \([-1,3]\), la quantité \((x-1)^2\) prend sa plus grande valeur aux extrémités \(-1\) et \(3\).
Donc le maximum de \(f\) sur \([-1,3]\) est :
Par conséquent :
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Déterminons l'image du segment \([0,4]\) par \(g\).
La fonction \(g\) est affine, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\).
Comme son coefficient directeur est strictement positif, la fonction \(g\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Donc :
Or :
Ainsi :
Image d'un intervalle quelconque
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
Autrement dit, si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f(I)\) est un intervalle.
L'image d'un intervalle par une fonction continue n'a pas forcément la même forme que l'intervalle de départ.
Par exemple, l'image d'un intervalle ouvert peut être un intervalle ouvert, fermé, semi-ouvert ou non borné, selon la fonction étudiée.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Déterminons l'image de l'intervalle \([1,3]\) par \(f\).
La fonction \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Sur \([1,3]\), la fonction \(f\) est croissante.
Donc :
Or :
Ainsi :
Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
Déterminons l'image de l'intervalle \(]0,2]\) par \(g\).
La fonction \(g\) est continue sur \(]0,+\infty[\), donc elle est continue sur \(]0,2]\).
Sur \(]0,2]\), la fonction \(g\) est strictement décroissante.
On a :
De plus, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs strictement positives, on a :
Donc :
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Déterminons l'image du segment \([0,5]\) par \(h\).
On écrit :
La fonction \(h\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0,5]\).
Pour tout \(x\in[0,5]\), on a :
Donc :
De plus :
Ainsi, le minimum de \(h\) sur \([0,5]\) est :
Calculons les valeurs aux extrémités :
Le maximum sur \([0,5]\) est donc :
Par conséquent :
Méthode pour déterminer l'image d'un intervalle
Pour déterminer l'image d'un intervalle \(I\) par une fonction continue \(f\), on peut suivre les étapes suivantes :
- vérifier que \(f\) est continue sur \(I\) ;
- étudier les variations de \(f\) sur \(I\) ;
- calculer les images des bornes lorsqu'elles appartiennent à \(I\) ;
- calculer les limites aux bornes lorsqu'elles n'appartiennent pas à \(I\) ;
- écrire l'intervalle image en respectant le sens de variation et la nature des bornes.
Lorsque \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), la détermination de \(f(I)\) devient plus simple.
L'image de l'intervalle se déduit directement des images ou des limites aux bornes de \(I\).
Théorème des valeurs intermédiaires
Énoncé du théorème
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\).
Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) tels que \(a\lt b\).
Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c\) appartenant à \([a,b]\) tel que :
Si \(f\) est continue sur \([a,b]\) et si \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors il existe au moins un réel \(c\in[a,b]\) tel que \(f(c)=k\).
Le théorème des valeurs intermédiaires signifie qu'une fonction continue ne peut pas passer d'une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires.
La continuité est une condition essentielle dans ce théorème.
Lorsque \(f(a)\lt f(b)\), le réel \(k\) doit vérifier :
Lorsque \(f(b)\lt f(a)\), le réel \(k\) doit vérifier :
Application à l'existence d'une solution
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Montrons que l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans l'intervalle \([0,1]\).
La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0,1]\).
On calcule :
Et :
On a donc :
Comme \(f\) est continue sur \([0,1]\), le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure qu'il existe au moins un réel \(c\in[0,1]\) tel que :
Donc l'équation :
admet au moins une solution dans \([0,1]\).
Cas particulier : changement de signe
Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \([a,b]\).
Si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes contraires, c'est-à-dire :
alors il existe au moins un réel \(c\) appartenant à \(]a,b[\) tel que :
La condition \(f(a)f(b)\lt 0\) signifie que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont non nuls et de signes opposés.
Dans ce cas, la fonction continue passe nécessairement par la valeur \(0\) entre \(a\) et \(b\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Montrons que l'équation \(g(x)=0\) admet au moins une solution dans l'intervalle \([0,1]\).
La fonction \(g\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0,1]\).
On calcule :
Et :
Ainsi :
Comme \(g\) est continue sur \([0,1]\) et comme \(g(0)\) et \(g(1)\) sont de signes contraires, il existe au moins un réel \(c\in]0,1[\) tel que :
Donc l'équation :
admet au moins une solution dans \(]0,1[\).
Existence et unicité d'une solution
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\).
Soient \(a\) et \(b\) deux éléments de \(I\) tels que \(a\lt b\).
Si \(k\) est un réel compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), alors l'équation :
admet une unique solution dans \([a,b]\).
La continuité permet de prouver l'existence d'une solution.
La stricte monotonie permet de prouver l'unicité de cette solution.
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
Montrons que l'équation :
admet une unique solution dans l'intervalle \([0,2]\).
La fonction \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0,2]\).
Pour étudier le sens de variation de \(f\), on remarque que pour tous réels \(x\) et \(y\) tels que \(x\lt y\), on a :
Donc :
Ainsi, \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([0,2]\).
On calcule :
Comme :
le réel \(2\) est compris entre \(f(0)\) et \(f(2)\).
Puisque \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,2]\), l'équation \(f(x)=2\) admet une unique solution dans \([0,2]\).
Méthode
Pour montrer qu'une équation \(f(x)=k\) admet au moins une solution dans un intervalle \([a,b]\), on suit généralement les étapes suivantes :
- vérifier que \(f\) est continue sur \([a,b]\) ;
- calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) ;
- vérifier que \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) ;
- appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.
Pour montrer qu'une équation \(f(x)=k\) admet une unique solution dans un intervalle \([a,b]\), on ajoute une étape :
- vérifier que \(f\) est continue sur \([a,b]\) ;
- vérifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a,b]\) ;
- vérifier que \(k\) est compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\) ;
- conclure à l'existence et à l'unicité de la solution.
Dans les exercices, il faut bien distinguer :
- l'existence d'une solution : elle vient de la continuité ;
- l'unicité de la solution : elle vient généralement de la stricte monotonie.
Méthode de dichotomie
Principe de la méthode
La méthode de dichotomie est une méthode qui permet d'encadrer progressivement une solution d'une équation de la forme :
Elle repose sur le théorème des valeurs intermédiaires et sur des changements de signe de la fonction.
Le mot dichotomie signifie que l'on partage un intervalle en deux parties.
À chaque étape, on garde la moitié de l'intervalle dans laquelle la fonction change de signe.
Méthode générale
Soit \(f\) une fonction continue sur un segment \([a,b]\).
On suppose que :
Alors l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a,b[\).
Pour améliorer l'encadrement de cette solution, on procède ainsi :
- on calcule le milieu de l'intervalle :
\(c=\dfrac{a+b}{2}\) ;
- on calcule \(f(c)\) ;
- si \(f(a)f(c)\lt 0\), alors on garde l'intervalle \([a,c]\) ;
- si \(f(c)f(b)\lt 0\), alors on garde l'intervalle \([c,b]\) ;
- on recommence le même raisonnement avec le nouvel intervalle.
À chaque étape, on partage l’intervalle en deux, puis on conserve le sous-intervalle où la fonction change de signe.
À chaque étape, la longueur de l'intervalle est divisée par \(2\).
Ainsi, après plusieurs étapes, on obtient un encadrement de plus en plus précis de la solution.
Exemple détaillé
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
On sait que l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \([0,1]\).
En effet, \(f\) est une fonction polynôme, donc elle est continue sur \(\mathbb{R}\), en particulier sur \([0,1]\).
De plus :
Donc :
On peut donc appliquer la méthode de dichotomie.
Première étape.
Le milieu de \([0,1]\) est :
Calculons :
On a :
Donc la solution appartient à :
Deuxième étape.
Le milieu de \(\left[\dfrac{1}{2},1\right]\) est :
Calculons :
On a :
Donc la solution appartient à :
Ainsi, après deux étapes, on obtient l'encadrement :
où \(\alpha\) désigne une solution de l'équation \(x^3+x-1=0\).
Encadrement avec une précision donnée
Dans la méthode de dichotomie, si l'intervalle initial est \([a,b]\), alors après \(n\) étapes, la longueur de l'intervalle obtenu est :
Pour obtenir un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à un réel strictement positif \(\varepsilon\), il suffit de choisir un entier naturel \(n\) tel que :
On veut encadrer une solution avec une amplitude inférieure ou égale à \(10^{-2}\), en partant de l'intervalle \([0,1]\).
La longueur de l'intervalle initial est :
Après \(n\) étapes, la longueur est :
On cherche donc \(n\) tel que :
C'est-à-dire :
Or :
Donc \(7\) étapes suffisent pour obtenir un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à \(10^{-2}\).
Pour utiliser correctement la méthode de dichotomie dans un exercice, il faut :
- vérifier que la fonction est continue sur l'intervalle étudié ;
- vérifier qu'il y a un changement de signe aux bornes ;
- calculer le milieu de l'intervalle ;
- calculer le signe de l'image du milieu ;
- garder le sous-intervalle où il y a changement de signe ;
- répéter l'opération jusqu'à obtenir la précision demandée.
Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone
Notion de fonction réciproque
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
On dit que \(f\) admet une fonction réciproque lorsque chaque élément de l'ensemble image \(f(I)\) admet un seul antécédent dans \(I\).
Dans ce cas, la fonction réciproque de \(f\) est notée \(f^{-1}\).
Dire que \(f^{-1}\) est la fonction réciproque de \(f\) signifie que :
Ainsi, la fonction \(f\) permet de passer de \(x\) à \(y\), tandis que la fonction \(f^{-1}\) permet de revenir de \(y\) à \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
La fonction \(f\) admet une fonction réciproque sur \(I\) lorsque l'équation :
admet, pour tout \(y\in f(I)\), une unique solution \(x\in I\).
Théorème de la fonction réciproque
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\).
Alors :
- \(f(I)\) est un intervalle ;
- \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(f(I)\) ;
- \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(f(I)\) ;
- la fonction \(f^{-1}\) est continue sur \(f(I)\) ;
- \(f^{-1}\) a le même sens de variation que \(f\).
La continuité et la stricte monotonie sont les deux idées essentielles.
La continuité permet de garantir que l'image de l'intervalle est un intervalle.
La stricte monotonie permet de garantir l'unicité de l'antécédent.
Relations fondamentales
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\).
On pose :
Alors \(f^{-1}\) est définie sur \(J\) à valeurs dans \(I\), et on a :
Il faut faire attention aux ensembles de définition.
La fonction \(f\) est définie sur \(I\).
La fonction réciproque \(f^{-1}\) est définie sur \(f(I)\).
Interprétation graphique
Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives de \(f\) et de sa fonction réciproque \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite d'équation :
Cette propriété est utile pour représenter graphiquement la courbe de la fonction réciproque lorsque la courbe de la fonction \(f\) est connue.
Exemple sûr : pour \(f(x)=x^2\) sur \([0,+\infty[\), la fonction réciproque est \(f^-1(x)=\sqrt x\). Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
Exemples
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(f\) est affine de coefficient directeur \(2\).
Comme \(2\gt 0\), la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Elle est aussi continue sur \(\mathbb{R}\).
Donc \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(f(\mathbb{R})\).
Comme :
la fonction réciproque \(f^{-1}\) est définie sur \(\mathbb{R}\).
Pour déterminer \(f^{-1}\), on pose :
Alors :
Ainsi :
En remplaçant la variable \(y\) par \(x\), on écrit :
Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par :
La fonction \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
De plus, elle est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
Donc elle admet une fonction réciproque définie sur :
Pour \(y\in[0,+\infty[\), résoudre l'équation \(f(x)=y\) revient à résoudre :
avec \(x\in[0,+\infty[\).
Donc :
Ainsi, la fonction réciproque de \(f\) est :
En utilisant la variable habituelle \(x\), on écrit :
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
La fonction \(g\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Elle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Donc \(g\) admet une fonction réciproque définie sur :
Pour déterminer cette fonction réciproque, on résout :
On obtient :
Donc :
Ainsi :
Méthode pour déterminer une fonction réciproque
Pour montrer qu'une fonction \(f\) admet une fonction réciproque et déterminer cette réciproque, on peut suivre les étapes suivantes :
- préciser l'intervalle \(I\) sur lequel on étudie la fonction \(f\) ;
- vérifier que \(f\) est continue sur \(I\) ;
- vérifier que \(f\) est strictement monotone sur \(I\) ;
- déterminer l'intervalle image \(J=f(I)\) ;
- conclure que \(f\) réalise une bijection de \(I\) vers \(J\) ;
- poser \(y=f(x)\), puis exprimer \(x\) en fonction de \(y\) ;
- écrire l'expression de \(f^{-1}\) et préciser son ensemble de définition.
Il ne faut pas écrire directement une fonction réciproque sans avoir précisé l'intervalle sur lequel la fonction initiale est strictement monotone.
Par exemple, la fonction \(x\mapsto x^2\) n'est pas strictement monotone sur \(\mathbb{R}\), donc elle n'admet pas de fonction réciproque sur \(\mathbb{R}\).
En revanche, elle admet une fonction réciproque sur \([0,+\infty[\), et cette réciproque est la fonction racine carrée.
Racines n-ièmes et puissances rationnelles
Racine n-ième d'un réel positif
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).
Pour tout réel positif \(a\), on appelle racine n-ième de \(a\) l'unique réel positif \(x\) vérifiant :
Ce réel est noté :
Par définition, pour tout réel \(a\geq 0\), on a :
De plus :
On a :
On a aussi :
Racine n-ième et fonction réciproque
Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).
La fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
Elle réalise donc une bijection de \([0,+\infty[\) vers \([0,+\infty[\).
Sa fonction réciproque est la fonction :
La fonction \(x\mapsto \sqrt[n]{x}\) est continue sur \([0,+\infty[\).
La fonction \(f\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
Elle admet donc une fonction réciproque sur \([0,+\infty[\).
Cette fonction réciproque est :
Cas d'une puissance impaire sur $\R$
Soit \(n\) un entier naturel impair tel que \(n\geq 3\).
La fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Elle réalise donc une bijection de \(\mathbb{R}\) vers \(\mathbb{R}\).
Sa fonction réciproque est la fonction :
Lorsque \(n\) est impair, la racine n-ième est définie sur tout \(\mathbb{R}\).
Par exemple, la fonction \(x\mapsto \sqrt[3]{x}\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
On a :
car :
Puissance rationnelle d'un réel positif
Soit \(x\) un réel strictement positif.
Soit \(r\) un nombre rationnel. On peut écrire :
où \(p\in\mathbb{Z}\), \(q\in\mathbb{N}^*\) et \(q\geq 1\).
On définit alors :
Lorsque l'exposant rationnel est négatif, il faut que la base soit strictement positive.
Par exemple :
est définie pour \(x\gt 0\).
Pour tout \(x\gt 0\), on a :
On a aussi :
Et :
Propriétés des puissances rationnelles
Soient \(x\) et \(y\) deux réels strictement positifs.
Soient \(r\) et \(s\) deux nombres rationnels.
On a :
Ces propriétés prolongent les règles déjà connues sur les puissances entières.
Il faut cependant faire attention aux conditions d'existence, surtout lorsque les exposants ne sont pas entiers.
Simplifions l'expression suivante, pour \(x\gt 0\) :
On utilise la propriété :
Donc :
Simplifions l'expression suivante, pour \(x\gt 0\) :
On utilise la propriété :
Donc :
Continuité des fonctions puissances rationnelles
Soit \(r\) un nombre rationnel.
La fonction \(x\mapsto x^r\) est continue sur son ensemble de définition.
Lorsque \(r\gt 0\), la fonction \(x\mapsto x^r\) est définie au moins sur \([0,+\infty[\) lorsque l'écriture a un sens.
Lorsque \(r\lt 0\), la fonction \(x\mapsto x^r\) est définie sur \(]0,+\infty[\).
La fonction \(f\) définie par :
est définie sur \([0,+\infty[\).
Elle est continue sur \([0,+\infty[\).
La fonction \(g\) définie par :
est définie sur \(]0,+\infty[\).
Elle est continue sur \(]0,+\infty[\).
Méthode
Pour étudier une fonction contenant une racine n-ième ou une puissance rationnelle, on suit généralement les étapes suivantes :
- déterminer les conditions d'existence ;
- préciser l'ensemble de définition ;
- utiliser la continuité des fonctions puissances et racines sur leurs ensembles de définition ;
- appliquer les règles de calcul sur les puissances rationnelles si une simplification est nécessaire.
Dans les exercices, il faut éviter de simplifier une expression contenant des puissances rationnelles sans vérifier les conditions d'existence.
La première étape reste toujours la détermination de l'ensemble de définition.
Complément PDF du cours
Le cours de continuité est présenté principalement dans cette page du site Parcours Maths Maroc, avec une lecture progressive des définitions, propriétés, théorèmes et exemples. Le fichier PDF ci-dessous est proposé comme support complémentaire pour faciliter la lecture, l'impression ou le travail hors ligne.
Il est conseillé de lire d'abord le cours écrit sur cette page, puis d'utiliser le PDF comme document de révision ou comme version imprimable du cours.
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