Énoncé — S’entraîner à l’examen national (1)

Énoncé — S’entraîner à l’examen national (1) — 2e Bac PC/SVT

Énoncé — S’entraîner à l’examen national (1)

2e Bac Sciences Physiques et SVT — Mathématiques

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Physiques et SVT
Matière : Mathématiques
Type : Énoncé d’examen blanc
Durée : 3h
Total : 20 points

Présentation :
Cet énoncé est proposé pour s’entraîner à l’examen national de Mathématiques, niveau 2e Bac Sciences Physiques et SVT. Les exercices sont rédigés dans l’esprit des sujets nationaux et couvrent plusieurs domaines du programme.

Accès détaillé aux questions

Composantes du sujet

Partie	Domaine	Points
Exercice 1	Géométrie dans l’espace	3 points
Exercice 2	Nombres complexes	3 points
Exercice 3	Probabilités	3 points
Problème	Analyse, intégrale et suite	11 points

Exercice 1 — Géométrie dans l’espace — 3 points

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points :

\[ A(1,0,0),\quad B(0,2,1),\quad C(1,1,1), \] \[ E(3,2,-1),\quad F(1,0,1). \]

On note \((P)\) le plan passant par les points \(A\), \(B\) et \(C\).

On considère l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) de l’espace vérifiant :

\[ \overrightarrow{ME}\cdot \overrightarrow{MF}=0. \]

Pour tout réel \(m\), on considère le plan :

\[ (Q_m):\quad x+y-z+m=0. \]

0,75 pt1 Calculer \(\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}\), puis montrer que le plan \((P)\) admet pour équation cartésienne : \[ (P):\quad x+y-z-1=0. \]

0,75 pt2 Montrer que \((S)\) est une sphère de centre : \[ \Omega(2,1,0) \] et de rayon : \[ R=\sqrt3. \]

0,75 pt3 Calculer la distance du point \(\Omega\) au plan \((P)\), puis déterminer le centre et le rayon du cercle d’intersection de \((P)\) avec \((S)\).

0,75 pt4 Déterminer, suivant les valeurs de \(m\), la position relative du plan \((Q_m)\) et de la sphère \((S)\).
Dans le cas où \((Q_m)\) coupe \((S)\) suivant un cercle, exprimer le rayon de ce cercle en fonction de \(m\).

Exercice 2 — Nombres complexes — 3 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec u,\vec v)\).

On considère l’équation :

\[ (E):\quad z^2-\left(\sqrt6+\sqrt2\right)z+4=0. \]

On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(a\) et \(b\), solutions de \((E)\), avec :

\[ \operatorname{Im}(a)\gt0. \]

Pour tout réel \(m\), on considère le point \(M_m\) d’affixe :

\[ z_m=m+i\left(m-\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}\right). \]

0,75 pt1 Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\), puis montrer que : \[ a=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}+i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2} \quad\text{et}\quad b=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{2}-i\frac{\sqrt6-\sqrt2}{2}. \]

0,75 pt2 Montrer que : \[ |a|=|b|=2 \] et que : \[ \frac{a}{b}=\frac{\sqrt3+i}{2}. \] En déduire une mesure de l’angle orienté : \[ \left(\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OA}\right). \]

0,75 pt3 On considère la rotation \(r\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{6}\).
Écrire l’expression complexe de \(r\), puis montrer que : \[ r(B)=A. \]

0,75 pt4 On note \(M'_m\) l’image du point \(M_m\) par la rotation \(r\).
Déterminer la valeur de \(m\) pour laquelle le point \(M'_m\) appartient à la médiatrice du segment \([AB]\).

Exercice 3 — Probabilités — 3 points

Dans une région, une maladie touche \(12\%\) de la population.

On choisit au hasard une personne de cette région et on lui fait passer un test de dépistage.

On note :

\[ M:\text{ « la personne est atteinte de la maladie »} \] et : \[ T:\text{ « le test est positif »}. \]

On sait que :

\[ P(T/M)=0{,}90 \qquad\text{et}\qquad P(T/\overline M)=0{,}05. \]

0,5 pt1 Montrer que \(M\) et \(\overline M\) forment un système complet d’événements, puis déterminer : \[ P(M) \qquad\text{et}\qquad P(\overline M). \]

0,75 pt2 On considère la probabilité conditionnelle relativement à \(M\), notée \(P_M\), définie par : \[ P_M(A)=P(A/M) \] pour tout événement \(A\).

Vérifier que : \[ P_M(M)=1. \]
Montrer que : \[ M=(M\cap T)\cup(M\cap \overline T) \] et que cette réunion est disjointe.
En déduire que : \[ P(T/M)+P(\overline T/M)=1. \]
Déterminer : \[ P(\overline T/M). \] De même, déterminer : \[ P(\overline T/\overline M). \]

0,25 pt3 Compléter l’arbre pondéré suivant avec les probabilités convenables sur les branches.

0,5 pt4 En utilisant la formule des probabilités totales appliquée au système complet d’événements \(\{M,\overline M\}\), montrer que : \[ P(T)=\frac{19}{125}. \]

0,5 pt5 Une personne a obtenu un test positif. Montrer que la probabilité qu’elle soit atteinte de la maladie est : \[ P(M/T)=\frac{27}{38}. \]

0,5 pt6 On choisit maintenant au hasard \(5\) personnes de cette région, de manière indépendante, et on leur fait passer le test.
On note \(X\) le nombre de personnes ayant un test positif.
Justifier que \(X\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres, puis calculer : \[ P(X=1). \]

Problème — Analyse, intégrale et suite — 11 points

On considère une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \(\mathbb R\), vérifiant :

\[ f''(x)=(x-1)(x-4)e^{-x} \]

pour tout réel \(x\), et telle que :

\[ f'(0)=0 \qquad\text{et}\qquad f(0)=0. \]

On note \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

Partie I — Étude de la fonction \(f\), branches infinies et aire — 9 points

0,5 pt1 Étudier le signe de \(f''(x)\) sur \(\mathbb R\).

1 pt2 On considère la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ g(x)=1+(-x^2+3x-1)e^{-x}. \]

Montrer que, pour tout réel \(x\), \[ g'(x)=f''(x). \]
Montrer que : \[ g=f'. \]

1 pt3 La courbe représentative \((C_g)\) de la fonction \(g\) est donnée ci-dessous.

Par lecture graphique, donner le signe de \(g(x)\) sur \(\mathbb R\).

En déduire que \(f\) est décroissante sur : \[ \left]-\infty,0\right] \] et croissante sur : \[ \left[0,+\infty\right[. \]

1 pt4 On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb R\) par : \[ F(x)=x+(x^2-x)e^{-x}. \]

Montrer que : \[ F'=g. \]
Montrer que : \[ F=f. \]

2 pts5

Calculer : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x). \]
Montrer que \((C_f)\) admet, au voisinage de \(-\infty\), une branche parabolique, puis déterminer sa direction.
Montrer que \((C_f)\) admet, au voisinage de \(+\infty\), une asymptote, puis déterminer son équation.

1 pt6

Montrer que \((C_f)\) est convexe sur : \[ \left]-\infty,1\right]\cup\left[4,+\infty\right[ \] et concave sur : \[ \left[1,4\right]. \]
Montrer que \((C_f)\) admet deux points d’inflexion, puis déterminer leurs coordonnées.

1,75 pt7 Soit \(\Delta\) l’asymptote obtenue dans la question 5.c.

Étudier le signe de \(f(x)-x\), puis en déduire la position relative de \((C_f)\) et de \(\Delta\).
Déterminer les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec \(\Delta\).
Construire l’allure de \((C_f)\) et de \(\Delta\) dans le même repère.

0,75 pt8 On considère le domaine plan \(\mathcal D\) limité par \((C_f)\), \(\Delta\), et les droites d’équations : \[ x=0 \qquad\text{et}\qquad x=1. \]

Montrer que son aire \(\mathcal A\), en unités d’aire, est : \[ \mathcal A=\int_0^1 x(1-x)e^{-x}\,dx. \]
Calculer \(\mathcal A\).

Partie II — Fonction réciproque et suite récurrente — 2 points

On considère la fonction \(h\) définie sur \([0,1]\) par :

\[ h(x)=f(x). \]

0,5 pt1 Montrer que \(h\) réalise une bijection de \([0,1]\) sur \([0,1]\).
On note \(h^{-1}\) sa fonction réciproque.

0,5 pt2 Montrer que, pour tout \(x\in\left]0,1\right[\), \[ h(x)\lt x, \] puis en déduire que : \[ h^{-1}(x)\gt x. \]

On considère la suite \((u_n)\) définie par :

\[ u_0\in\left]0,1\right[ \] et, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[ u_{n+1}=h^{-1}(u_n). \]

0,5 pt3 Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\), \[ 0\lt u_n\lt1, \] puis montrer que \((u_n)\) est croissante.

0,5 pt4 En déduire que \((u_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite.

FIN DE L’ÉNONCÉ — S’ENTRAÎNER À L’EXAMEN NATIONAL (1) — 2e Bac PC/SVT

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