Énoncé — S’entraîner à l’examen national (2)
2e Bac PC/SVT — Mathématiques — Examen blanc n°2
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Physiques / Sciences de la Vie et de la Terre
Matière : Mathématiques
Durée : 3 heures
Calculatrice : calculatrice non programmable autorisée
Total : 20 points
Filière : Sciences Physiques / Sciences de la Vie et de la Terre
Matière : Mathématiques
Durée : 3 heures
Calculatrice : calculatrice non programmable autorisée
Total : 20 points
Présentation :
Cet examen blanc est proposé pour préparer les élèves de 2e Bac PC/SVT à l’examen national de mathématiques. Le sujet contient un exercice de géométrie dans l’espace, un exercice de nombres complexes, un exercice de probabilités et un problème d’analyse logarithmique avec intégrale, fonction réciproque et suite récurrente.
Cet examen blanc est proposé pour préparer les élèves de 2e Bac PC/SVT à l’examen national de mathématiques. Le sujet contient un exercice de géométrie dans l’espace, un exercice de nombres complexes, un exercice de probabilités et un problème d’analyse logarithmique avec intégrale, fonction réciproque et suite récurrente.
Objectif pédagogique :
Le sujet permet de travailler les compétences essentielles du programme : calcul vectoriel dans l’espace, interprétation géométrique des nombres complexes, dénombrement en probabilités, étude complète d’une fonction, aire par intégrale, fonction réciproque et convergence d’une suite.
Le sujet permet de travailler les compétences essentielles du programme : calcul vectoriel dans l’espace, interprétation géométrique des nombres complexes, dénombrement en probabilités, étude complète d’une fonction, aire par intégrale, fonction réciproque et convergence d’une suite.
Conseil de travail :
Il est recommandé de traiter ce sujet dans les conditions de l’examen : durée de 3 heures, rédaction complète, justification des théorèmes utilisés et vérification des domaines de définition dans les questions d’analyse.
Il est recommandé de traiter ce sujet dans les conditions de l’examen : durée de 3 heures, rédaction complète, justification des théorèmes utilisés et vérification des domaines de définition dans les questions d’analyse.
Accès détaillé aux questions
Structure du sujet
| Partie | Domaine | Points |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Géométrie dans l’espace | 3 points |
| Exercice 2 | Nombres complexes | 3 points |
| Exercice 3 | Probabilités | 3 points |
| Problème | Analyse logarithmique, intégrale, réciproque et suite | 11 points |
Exercice 1 — Géométrie dans l’espace — 3 points
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\), on considère les points :
\[
A(1,0,0),\qquad B(0,1,1),\qquad C(2,1,0).
\]
On note \((P)\) le plan passant par les points \(A,B,C\).
On considère les points : \[ E(-1,-1,2),\qquad F(5,-1,2), \] et l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) de l’espace vérifiant : \[ \overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MF}=0. \] Pour tout réel \(m\), on considère le plan : \[ (P_m):\quad x-y+2z+m=0. \]
On considère les points : \[ E(-1,-1,2),\qquad F(5,-1,2), \] et l’ensemble \((S)\) des points \(M(x,y,z)\) de l’espace vérifiant : \[ \overrightarrow{ME}\cdot\overrightarrow{MF}=0. \] Pour tout réel \(m\), on considère le plan : \[ (P_m):\quad x-y+2z+m=0. \]
0,75 pt1
Calculer :
\[
\overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{AC}.
\]
En déduire que les points \(A,B,C\) ne sont pas alignés, puis montrer que :
\[
(P):\quad x-y+2z-1=0.
\]
0,75 pt2
Montrer que \((S)\) est une sphère dont on déterminera le centre \(\Omega\) et le rayon \(R\).
0,75 pt3
Montrer que le point \(A\) est le projeté orthogonal de \(\Omega\) sur le plan \((P)\).
En déduire que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
En déduire que \((P)\) coupe \((S)\) suivant un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
0,75 pt4
Déterminer, suivant les valeurs de \(m\), la position relative du plan \((P_m)\) et de la sphère \((S)\).
Dans le cas où l’intersection est un cercle, exprimer le rayon de ce cercle en fonction de \(m\).
Dans le cas où l’intersection est un cercle, exprimer le rayon de ce cercle en fonction de \(m\).
Exercice 2 — Nombres complexes — 3 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).
Pour tout réel \(\lambda\), on considère l’équation : \[ (E_\lambda):\quad z^2-2\lambda z+4=0. \]
Pour tout réel \(\lambda\), on considère l’équation : \[ (E_\lambda):\quad z^2-2\lambda z+4=0. \]
1 pt1
Déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles l’équation \((E_\lambda)\) admet deux solutions complexes non réelles conjuguées.
Dans ce cas, on note \(a_\lambda\) et \(b_\lambda\) les solutions de \((E_\lambda)\), avec : \[ \operatorname{Im}(a_\lambda)\gt0. \] Montrer que : \[ a_\lambda=\lambda+i\sqrt{4-\lambda^2} \qquad\text{et}\qquad b_\lambda=\lambda-i\sqrt{4-\lambda^2}, \] puis montrer que : \[ |a_\lambda|=|b_\lambda|=2. \]
Dans ce cas, on note \(a_\lambda\) et \(b_\lambda\) les solutions de \((E_\lambda)\), avec : \[ \operatorname{Im}(a_\lambda)\gt0. \] Montrer que : \[ a_\lambda=\lambda+i\sqrt{4-\lambda^2} \qquad\text{et}\qquad b_\lambda=\lambda-i\sqrt{4-\lambda^2}, \] puis montrer que : \[ |a_\lambda|=|b_\lambda|=2. \]
0,75 pt2
On suppose que :
\[
0\lt\lambda\lt2.
\]
Déterminer la valeur de \(\lambda\) pour laquelle :
\[
(\overrightarrow{OB_\lambda},\overrightarrow{OA_\lambda})=
\frac{\pi}{2}\ [2\pi].
\]
0,75 pt3
Dans la suite, on prend :
\[
\lambda=\sqrt2.
\]
On note \(A\) et \(B\) les points d’affixes respectives \(a_{\sqrt2}\) et \(b_{\sqrt2}\), et \(C\) le point d’affixe :
\[
c=a_{\sqrt2}+b_{\sqrt2}.
\]
Montrer que le quadrilatère \(OACB\) est un carré.
Déterminer le centre et le rayon de son cercle circonscrit \(\Gamma\).
Déterminer le centre et le rayon de son cercle circonscrit \(\Gamma\).
0,5 pt4
Pour tout réel \(m\), on considère le point \(M_m\) d’affixe :
\[
z_m=m+i(m-\sqrt2).
\]
Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(M_m\in\Gamma\).
Exercice 3 — Probabilités — 3 points
Une urne contient \(9\) boules indiscernables au toucher.
Les boules sont réparties selon leur couleur et le numéro qu’elles portent de la manière suivante :
On considère les événements : \[ A:\text{ « les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes »} \] et : \[ B:\text{ « la somme des trois numéros tirés est égale à }6\text{ »}. \]
Les boules sont réparties selon leur couleur et le numéro qu’elles portent de la manière suivante :
- trois boules rouges portant les numéros : \[ 1,\quad 1,\quad 2 ; \]
- trois boules blanches portant les numéros : \[ 1,\quad 2,\quad 3 ; \]
- trois boules noires portant les numéros : \[ 2,\quad 2,\quad 3. \]
On considère les événements : \[ A:\text{ « les trois boules tirées sont de couleurs deux à deux différentes »} \] et : \[ B:\text{ « la somme des trois numéros tirés est égale à }6\text{ »}. \]
0,5 pt1
Montrer que :
\[
P(A)=\frac{9}{28}.
\]
0,75 pt2
Montrer que :
\[
P(B)=\frac13
\qquad\text{et}\qquad
P(A\cap B)=\frac{3}{28}.
\]
Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifier.
1,25 pt3
On considère la variable aléatoire \(X\) égale au nombre de boules portant le numéro \(2\) parmi les trois boules tirées.
Déterminer les valeurs prises par \(X\), puis établir sa loi de probabilité.
Déterminer les valeurs prises par \(X\), puis établir sa loi de probabilité.
0,5 pt4
Calculer l’espérance mathématique \(E(X)\).
Problème — Analyse logarithmique, intégrale, réciproque et suite — 11 points
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[
f(x)=x-(\ln x)^2.
\]
On note \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
Partie I — Étude de la fonction \(f\) — 7,5 points
0,75 ptI-1
Calculer :
\[
\lim_{x\to0^+}f(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}f(x).
\]
0,5 ptI-2
Montrer que \((C_f)\) admet au voisinage de \(0^+\) une asymptote verticale, puis déterminer son équation.
1 ptI-3
Montrer que \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique, puis déterminer sa direction.
0,75 ptI-4
Montrer que, pour tout \(x\in]0,+\infty[\),
\[
f'(x)=\frac{x-2\ln x}{x}.
\]
1,5 ptI-5
On considère la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[
g(x)=x-2\ln x.
\]
- Étudier les variations de \(g\).
- Montrer que \(g(x)\gt0\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
- En déduire que \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
1 ptI-6
Montrer que :
\[
f''(x)=\frac{2(\ln x-1)}{x^2}.
\]
En déduire que \((C_f)\) est concave sur \(]0,e]\) et convexe sur \([e,+\infty[\).
0,75 ptI-7
Montrer que \((C_f)\) admet un point d’inflexion, puis déterminer ses coordonnées.
0,75 ptI-8
Soit \(\Delta\) la droite d’équation :
\[
y=x.
\]
- Étudier la position relative de \((C_f)\) et de \(\Delta\).
- Déterminer leur point d’intersection.
0,5 ptI-9
Construire l’allure de \((C_f)\) et de \(\Delta\) dans le même repère.
Partie II — Calcul intégral et aire — 1,5 point
On considère le domaine plan \(\mathcal D\) limité par la courbe \((C_f)\), la droite \(\Delta:y=x\), et les droites d’équations :
\[
x=1
\qquad\text{et}\qquad
x=e.
\]
0,5 ptII-1
Montrer que l’aire \(\mathcal A\) de \(\mathcal D\), en unités d’aire, est :
\[
\mathcal A=\int_1^e(\ln x)^2\,dx.
\]
1 ptII-2
À l’aide d’une intégration par parties, calculer :
\[
\int_1^e(\ln x)^2\,dx.
\]
Partie III — Fonction réciproque et suite récurrente — 2 points
0,75 ptIII-1
Montrer que \(f\) réalise une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(\mathbb R\).
On note \(f^{-1}\) sa fonction réciproque.
Calculer : \[ (f^{-1})'(1). \]
On note \(f^{-1}\) sa fonction réciproque.
Calculer : \[ (f^{-1})'(1). \]
0,5 ptIII-2
On considère la suite \((u_n)\) définie par :
\[
u_0\in]1,e[
\]
et, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
u_{n+1}=f(u_n).
\]
Montrer que, pour tout \(x\in]1,e[\),
\[
1\lt f(x)\lt x.
\]
0,5 ptIII-3
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
1\lt u_n\lt e,
\]
puis montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.
0,25 ptIII-4
En déduire que \((u_n)\) est convergente, puis déterminer sa limite.
Ressources liées
FIN DE L’ÉNONCÉ — S’ENTRAÎNER À L’EXAMEN NATIONAL (2) — 2e BAC PC/SVT
Sujet PDF :
Le sujet complet de l’examen blanc n°2 pour 2e Bac PC/SVT est disponible en lecture directe ci-dessous.
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