Énoncé — Examen national 2024
Session ordinaire — Sciences Mathématiques A/B — Option française
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Option française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points
Consignes :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte cinq exercices indépendants. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé.
Accès détaillé aux questions
Composantes du sujet
| Exercice | Domaine | Points |
|---|
| Exercice 1 | Analyse | 7,5 points |
| Exercice 2 | Analyse | 2,5 points |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 points |
| Exercice 4 | Structures algébriques | 3,5 points |
| Exercice 5 | Arithmétique | 3 points |
Exercice 1 — Analyse — 7,5 points
Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :
\[
f(1)=\frac12
\qquad\text{et, pour tout }x\in]1,+\infty[,\qquad
f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1}
\]
Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\vec i,\vec j)\).
0,5 pt1 Montrer que \(f\) est continue à droite en \(1\)
0,5 pt2 Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
0,25 pt3-a Soit \(x\in]1,+\infty[\). En posant \(t=(x-1)^2\), vérifier que :
\[
\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=\frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t}
\]
0,5 pt3-b Montrer que :
\[
\forall t\in]0,+\infty[,\qquad
-\frac12 \lt \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \lt -\frac{1}{2(1+\sqrt t)}
\]
On pourra utiliser le théorème des accroissements finis sur l’intervalle \([0;t]\).
0,25 pt3-c En déduire que :
\[
\lim_{x\to1^+}\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=-\frac12
\]
0,5 pt4-a Montrer que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :
\[
\frac{f(x)-\frac12}{x-1}=-\frac{\ln(x)}{x-1}\times\frac{1}{2(x+1)}+\frac{\ln(x)-x+1}{2(x-1)^2}
\]
0,5 pt4-b En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(1\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
5) Pour tout \(x\in[1,+\infty[\), on pose :
\[
I(x)=\int_1^x \frac{t^2-1}{t^3}\,dt
\qquad\text{et}\qquad
J(x)=\int_1^x \frac{t^2-1}{t^2}\,dt
\]
0,5 pt5-a Montrer que :
\[
\forall x\in[1,+\infty[,\qquad 0\leq I(x)\leq J(x)
\]
0,5 pt5-b Montrer que, pour tout \(x\in[1,+\infty[\) :
\[
I(x)=\ln(x)-\frac{x^2-1}{2x^2}
\qquad\text{et}\qquad
J(x)=\frac{(x-1)^2}{x}
\]
0,5 pt5-c Montrer que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :
\[
f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}\times\frac{I(x)}{J(x)}
\]
0,5 pt5-d En déduire que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) :
\[
-\frac12\leq f'(x)\leq0
\]
0,25 pt6-a Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)
0,5 pt6-b Tracer la courbe \((C)\). On prendra \(\|\vec i\|=1\,\text{cm}\) et \(\|\vec j\|=2\,\text{cm}\).
0,5 pt7 Montrer que l’équation \(f(x)=x-1\) admet une unique solution \(a\) dans \(]1,2[\)
8) Soit \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite numérique définie par :
\[
a_0\in[1,+\infty[
\qquad\text{et, pour tout }n\in\mathbb N,\qquad
a_{n+1}=1+f(a_n)
\]
0,5 pt8-a Montrer que :
\[
\forall n\in\mathbb N,\qquad |a_{n+1}-a|\leq\frac12|a_n-a|
\]
0,5 pt8-b Montrer par récurrence que :
\[
\forall n\in\mathbb N,\qquad |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a|
\]
0,25 pt8-c En déduire que la suite \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) est convergente
Exercice 2 — Analyse — 2,5 points
Soit \(F\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([0,1]\) par :
\[
F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt
\]
0,5 pt1-a Montrer que \(F\) est continue, strictement croissante sur \([0,1]\)
0,5 pt1-b En déduire que \(F\) est une bijection de \([0,1]\) vers \([0,\beta]\), avec :
\[
\beta=\int_0^1 e^{t^2}\,dt
\]
2) On note \(F^{-1}\) la bijection réciproque de \(F\). Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[
S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\left(\frac{k}{n}\beta\right)
\]
0,5 pt2-a Montrer que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est convergente de limite :
\[
\ell=\frac1\beta\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt
\]
0,5 pt2-b Montrer que :
\[
\ell=\frac1\beta\int_0^1 ue^{u^2}\,du
\]
On pourra effectuer le changement de variable \(u=F^{-1}(t)\).
0,5 pt2-c En déduire que :
\[
\ell=\frac{e-1}{2\beta}
\]
Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).
On considère dans \(\mathbb C\) l’équation d’inconnue \(z\) :
\[
(E_\alpha):\quad z^2-2iz+\alpha=0
\qquad\text{où }\alpha\in\mathbb C
\]
Partie I
0,25 pt1-a Montrer que le discriminant de l’équation \((E_\alpha)\) est :
\[
\Delta=-4(1+\alpha)
\]
0,25 pt1-b Déterminer l’ensemble des valeurs \(\alpha\) pour lesquelles l’équation \((E_\alpha)\) admet dans l’ensemble \(\mathbb C\) deux solutions distinctes
0,5 pt2 On note \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation \((E_\alpha)\). Déterminer :
\[
z_1+z_2\qquad\text{et}\qquad z_1z_2
\]
Partie II
Soient \(\Omega\), \(M_1\) et \(M_2\) les points d’affixes respectivement \(\alpha\), \(z_1\) et \(z_2\).
1) On suppose que \(\alpha=m^2-2m\), avec \(m\in\mathbb R\).
0,5 pt1-a Déterminer \(z_1\) et \(z_2\) en fonction de \(m\)
0,25 pt1-b En déduire que les points \(O\), \(M_1\) et \(M_2\) sont alignés
2) On suppose que les points \(O\), \(M_1\) et \(M_2\) ne sont pas alignés.
0,25 pt2-a Montrer que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est un imaginaire pur si et seulement si :
\[
\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0
\]
0,5 pt2-b Montrer que :
\[
|z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})
\]
0,25 pt2-c En déduire que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est un imaginaire pur si et seulement si :
\[
|z_1-z_2|=2
\]
0,25 pt3-a Montrer que :
\[
(z_1-z_2)^2=\Delta
\]
0,5 pt3-b Déterminer l’ensemble \(\Gamma\) des points \(\Omega\) pour que le triangle \(OM_1M_2\) soit rectangle en \(O\)
Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points
On considère dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\) la loi de composition interne \(T\) définie par :
\[
\forall\big((a,b),(c,d)\big)\in(\mathbb C\times\mathbb C^*)^2,\qquad
(a,b)T(c,d)=(a\overline d+c,bd)
\]
\(\overline d\) étant le conjugué du nombre complexe \(d\).
0,5 pt1-a Vérifier que :
\[
(i,2)T(1,i)=(2,2i)
\]
puis calculer :
\[
(1,i)T(i,2)
\]
0,25 pt1-b En déduire que la loi \(T\) n’est pas commutative dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\)
0,5 pt2 Montrer que la loi \(T\) est associative dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\)
0,25 pt3 Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre pour \(T\) dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\)
0,5 pt4-a Vérifier que :
\[
\forall(a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*,\qquad
(a,b)T\left(-\frac{a}{\overline b},\frac1b\right)=(0,1)
\]
0,5 pt4-b Montrer que \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe non commutatif
0,5 pt5-a Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est stable par la loi de composition interne \(T\)
0,5 pt5-b Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est un sous-groupe du groupe \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\)
Exercice 5 — Arithmétique — 3 points
Soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers distincts et \(r\) un entier naturel premier avec \(p\) et avec \(q\).
1 pt1-a Montrer que \(p\) divise \(r^{p-1}-1\) et que \(q\) divise \(r^{q-1}-1\)
0,5 pt1-b En déduire que \(p\) et \(q\) divisent :
\[
r^{(p-1)(q-1)}-1
\]
0,5 pt1-c Montrer que \(pq\) divise :
\[
r^{(p-1)(q-1)}-1
\]
1 pt2 Résoudre dans \(\mathbb Z\) l’équation :
\[
2024^{192}x\equiv3\ [221]
\]
On donne : \(221=13\times17\).
FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2024 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES
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