Énoncé Examen National 2024 — Session Ordinaire — 2e Bac Sciences Mathématiques

Énoncé — Examen national 2024

Session ordinaire — Sciences Mathématiques A/B — Option française

Compétences et points clés

Le national SM ordinaire 2024 commence par un prolongement logarithmique, puis associe suites, complexes, groupe et congruences. L’étude locale au point de raccordement et l’inversion d’un facteur modulo un entier demandent chacune une justification spécifique.

Prérequis à revoir : limites usuelles et définition du nombre dérivé; stabilité, associativité et homomorphismes; division euclidienne, PGCD et identité de Bézout.

Rappels de cours utiles

Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.

Lois de composition et groupes. Vérifier d’abord que la loi reste dans l’ensemble considéré et qu’elle est bien définie. Un groupe exige associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Le neutre dépend de la loi : il n’est pas automatiquement le nombre zéro ou le nombre un. Un isomorphisme demande aussi la bijectivité.

Divisibilité et congruences. Une congruence s’additionne et se multiplie ; on ne peut pas y simplifier un facteur quelconque sans justification. Un facteur premier avec le module admet un inverse modulo ce module. Pour une équation entière, les conditions sur le PGCD et les contraintes de signe doivent être contrôlées avant de conclure.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Au point d’abscisse 1, étudier la limite de la fonction puis celle du taux d’accroissement. En algèbre, respecter la loi donnée sur les couples de complexes. En arithmétique, vérifier les conditions du petit théorème de Fermat et la coprimalité avant de simplifier une congruence ou d’utiliser un inverse.

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Option française
Matière : Mathématiques
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points

Consignes :
La durée de l’épreuve est de 4 heures. L’épreuve comporte cinq exercices indépendants. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé.

Lecture du PDF du sujet

Ouvrir le PDF en plein écran

Accès rapide :
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Accès détaillé aux questions

Composantes du sujet

Exercice	Domaine	Points
Exercice 1	Analyse	7,5 points
Exercice 2	Analyse	2,5 points
Exercice 3	Nombres complexes	3,5 points
Exercice 4	Structures algébriques	3,5 points
Exercice 5	Arithmétique	3 points

---

Exercice 1 — Analyse — 7,5 points

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([1,+\infty[\) par :

\[ f(1)=\frac12 \qquad\text{et, pour tout }x\in]1,+\infty[,\qquad f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1} \]

Soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthogonal \((O,\vec i,\vec j)\).

0,5 pt1 Montrer que \(f\) est continue à droite en \(1\)

0,5 pt2 Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

0,25 pt3-a Soit \(x\in]1,+\infty[\). En posant \(t=(x-1)^2\), vérifier que : \[ \frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=\frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \]

0,5 pt3-b Montrer que : \[ \forall t\in]0,+\infty[,\qquad -\frac12 \lt \frac{-\sqrt t+\ln(1+\sqrt t)}{t} \lt -\frac{1}{2(1+\sqrt t)} \]

On pourra utiliser le théorème des accroissements finis sur l’intervalle \([0;t]\).

0,25 pt3-c En déduire que : \[ \lim_{x\to1^+}\frac{1-x+\ln(x)}{(x-1)^2}=-\frac12 \]

0,5 pt4-a Montrer que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) : \[ \frac{f(x)-\frac12}{x-1}=-\frac{\ln(x)}{x-1}\times\frac{1}{2(x+1)}+\frac{\ln(x)-x+1}{2(x-1)^2} \]

0,5 pt4-b En déduire que \(f\) est dérivable à droite en \(1\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

5) Pour tout \(x\in[1,+\infty[\), on pose :

\[ I(x)=\int_1^x \frac{t^2-1}{t^3}\,dt \qquad\text{et}\qquad J(x)=\int_1^x \frac{t^2-1}{t^2}\,dt \]

0,5 pt5-a Montrer que : \[ \forall x\in[1,+\infty[,\qquad 0\leq I(x)\leq J(x) \]

0,5 pt5-b Montrer que, pour tout \(x\in[1,+\infty[\) : \[ I(x)=\ln(x)-\frac{x^2-1}{2x^2} \qquad\text{et}\qquad J(x)=\frac{(x-1)^2}{x} \]

0,5 pt5-c Montrer que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) : \[ f'(x)=\frac{-2}{(x+1)^2}\times\frac{I(x)}{J(x)} \]

0,5 pt5-d En déduire que, pour tout \(x\in]1,+\infty[\) : \[ -\frac12\leq f'(x)\leq0 \]

0,25 pt6-a Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\)

0,5 pt6-b Tracer la courbe \((C)\). On prendra \(\|\vec i\|=1\,\text{cm}\) et \(\|\vec j\|=2\,\text{cm}\).

0,5 pt7 Montrer que l’équation \(f(x)=x-1\) admet une unique solution \(a\) dans \(]1,2[\)

8) Soit \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite numérique définie par :

\[ a_0\in[1,+\infty[ \qquad\text{et, pour tout }n\in\mathbb N,\qquad a_{n+1}=1+f(a_n) \]

0,5 pt8-a Montrer que : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad |a_{n+1}-a|\leq\frac12|a_n-a| \]

0,5 pt8-b Montrer par récurrence que : \[ \forall n\in\mathbb N,\qquad |a_n-a|\leq\left(\frac12\right)^n|a_0-a| \]

0,25 pt8-c En déduire que la suite \((a_n)_{n\in\mathbb N}\) est convergente

---

Exercice 2 — Analyse — 2,5 points

Soit \(F\) la fonction numérique définie sur l’intervalle \([0,1]\) par :

\[ F(x)=\int_0^x e^{t^2}\,dt \]

0,5 pt1-a Montrer que \(F\) est continue, strictement croissante sur \([0,1]\)

0,5 pt1-b En déduire que \(F\) est une bijection de \([0,1]\) vers \([0,\beta]\), avec : \[ \beta=\int_0^1 e^{t^2}\,dt \]

2) On note \(F^{-1}\) la bijection réciproque de \(F\). Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :

\[ S_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n}F^{-1}\left(\frac{k}{n}\beta\right) \]

0,5 pt2-a Montrer que la suite \((S_n)_{n\in\mathbb N^*}\) est convergente de limite : \[ \ell=\frac1\beta\int_0^\beta F^{-1}(t)\,dt \]

0,5 pt2-b Montrer que : \[ \ell=\frac1\beta\int_0^1 ue^{u^2}\,du \]

On pourra effectuer le changement de variable \(u=F^{-1}(t)\).

0,5 pt2-c En déduire que : \[ \ell=\frac{e-1}{2\beta} \]

---

Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\).

On considère dans \(\mathbb C\) l’équation d’inconnue \(z\) :

\[ (E_\alpha):\quad z^2-2iz+\alpha=0 \qquad\text{où }\alpha\in\mathbb C \]

Partie I

0,25 pt1-a Montrer que le discriminant de l’équation \((E_\alpha)\) est : \[ \Delta=-4(1+\alpha) \]

0,25 pt1-b Déterminer l’ensemble des valeurs \(\alpha\) pour lesquelles l’équation \((E_\alpha)\) admet dans l’ensemble \(\mathbb C\) deux solutions distinctes

0,5 pt2 On note \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de l’équation \((E_\alpha)\). Déterminer : \[ z_1+z_2\qquad\text{et}\qquad z_1z_2 \]

Partie II

Soient \(\Omega\), \(M_1\) et \(M_2\) les points d’affixes respectivement \(\alpha\), \(z_1\) et \(z_2\).

1) On suppose que \(\alpha=m^2-2m\), avec \(m\in\mathbb R\).

0,5 pt1-a Déterminer \(z_1\) et \(z_2\) en fonction de \(m\)

0,25 pt1-b En déduire que les points \(O\), \(M_1\) et \(M_2\) sont alignés

2) On suppose que les points \(O\), \(M_1\) et \(M_2\) ne sont pas alignés.

0,25 pt2-a Montrer que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est un imaginaire pur si et seulement si : \[ \operatorname{Re}(z_1\overline{z_2})=0 \]

0,5 pt2-b Montrer que : \[ |z_1-z_2|^2=|z_1+z_2|^2-4\operatorname{Re}(z_1\overline{z_2}) \]

0,25 pt2-c En déduire que \(\dfrac{z_1}{z_2}\) est un imaginaire pur si et seulement si : \[ |z_1-z_2|=2 \]

0,25 pt3-a Montrer que : \[ (z_1-z_2)^2=\Delta \]

0,5 pt3-b Déterminer l’ensemble \(\Gamma\) des points \(\Omega\) pour que le triangle \(OM_1M_2\) soit rectangle en \(O\)

---

Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points

On considère dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\) la loi de composition interne \(T\) définie par :

\[ \forall\big((a,b),(c,d)\big)\in(\mathbb C\times\mathbb C^*)^2,\qquad (a,b)T(c,d)=(a\overline d+c,bd) \]

\(\overline d\) étant le conjugué du nombre complexe \(d\).

0,5 pt1-a Vérifier que : \[ (i,2)T(1,i)=(2,2i) \] puis calculer : \[ (1,i)T(i,2) \]

0,25 pt1-b En déduire que la loi \(T\) n’est pas commutative dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\)

0,5 pt2 Montrer que la loi \(T\) est associative dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\)

0,25 pt3 Vérifier que \((0,1)\) est l’élément neutre pour \(T\) dans \(\mathbb C\times\mathbb C^*\)

0,5 pt4-a Vérifier que : \[ \forall(a,b)\in\mathbb C\times\mathbb C^*,\qquad (a,b)T\left(-\frac{a}{\overline b},\frac1b\right)=(0,1) \]

0,5 pt4-b Montrer que \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\) est un groupe non commutatif

0,5 pt5-a Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est stable par la loi de composition interne \(T\)

0,5 pt5-b Montrer que \(\mathbb R\times\mathbb R^*\) est un sous-groupe du groupe \((\mathbb C\times\mathbb C^*,T)\)

---

Exercice 5 — Arithmétique — 3 points

Soient \(p\) et \(q\) deux nombres premiers distincts et \(r\) un entier naturel premier avec \(p\) et avec \(q\).

1 pt1-a Montrer que \(p\) divise \(r^{p-1}-1\) et que \(q\) divise \(r^{q-1}-1\)

0,5 pt1-b En déduire que \(p\) et \(q\) divisent : \[ r^{(p-1)(q-1)}-1 \]

0,5 pt1-c Montrer que \(pq\) divise : \[ r^{(p-1)(q-1)}-1 \]

1 pt2 Résoudre dans \(\mathbb Z\) l’équation : \[ 2024^{192}x\equiv3\ [221] \]

On donne : \(221=13\times17\).

FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2024 SESSION ORDINAIRE — SCIENCES MATHÉMATIQUES