Énoncé Examen National 2024 — Session de Rattrapage — 2e Bac Sciences Mathématiques

Énoncé — Examen national 2024

Session rattrapage — Sciences Mathématiques A/B — Option française

Compétences et points clés

Le national SM rattrapage 2024 articule une famille de fonctions logarithmiques et les zéros qui en dépendent, puis des sommes et une étude de structure. L’arithmétique finale donne une application concrète d’un inverse modulo un nombre premier.

Prérequis à revoir : continuité, dérivée et tableau de variations; raisonnement par récurrence, monotonie et bornes; division euclidienne, PGCD et identité de Bézout.

Rappels de cours utiles

Existence et unicité. Sur un segment, la continuité et des valeurs encadrant la cible permettent d’utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour obtenir une solution. La stricte monotonie sur l’intervalle concerné permet d’en garantir l’unicité. Existence et unicité sont deux étapes distinctes du raisonnement.

Suite récurrente et convergence. Une récurrence exige une initialisation et une hérédité. Pour une suite définie par une fonction, un intervalle stable aide à garantir l’existence des termes et leurs bornes. Une suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée, converge. L’équation vérifiée par sa limite ne s’utilise qu’après cette justification et le contrôle de la continuité.

Divisibilité et congruences. Une congruence s’additionne et se multiplie ; on ne peut pas y simplifier un facteur quelconque sans justification. Un facteur premier avec le module admet un inverse modulo ce module. Pour une équation entière, les conditions sur le PGCD et les contraintes de signe doivent être contrôlées avant de conclure.

Méthode d’entraînement sur ce sujet

Dans la famille de fonctions, distinguer la variable réelle de l’indice entier. Les comparaisons entre deux fonctions servent à comparer leurs zéros, mais la convergence doit encore être justifiée. Pour les sommes, exploiter l’encadrement sur les petits intervalles. En arithmétique, garder la contrainte d’entier naturel dans le système final.

Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques A et B — Option française
Matière : Mathématiques
Code : RS-25
Durée : 4h
Coefficient : 9
Total : 20 points

Instructions générales :
L’épreuve comporte cinq exercices indépendants. Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat. L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé. L’usage de la couleur rouge n’est pas autorisé.

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Accès rapide :
Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Accès détaillé aux questions

Composantes du sujet

Partie	Domaine	Points
Exercice 1	Analyse	6,5 points
Exercice 2	Analyse	3,5 points
Exercice 3	Nombres complexes	3,5 points
Exercice 4	Structures algébriques	3,5 points
Exercice 5	Arithmétique	3 points

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Exercice 1 — Analyse — 6,5 points

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

On considère la fonction numérique \(f_n\) définie sur \([0,+\infty[\) par :

\[ f_n(0)=0 \]

et :

\[ \forall x\in]0,+\infty[, \qquad f_n(x)=x-x^n\ln x \]

On note \((C_n)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

0,25 pt 1-a Montrer que \(f_n\) est continue à droite en \(0\)

0,75 pt 1-b Montrer que : \[ \lim_{x\to+\infty}f_n(x)=-\infty \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}\frac{f_n(x)}{x}=-\infty \] puis interpréter graphiquement le résultat obtenu

0,5 pt 1-c Montrer que \(f_n\) est dérivable à droite en \(0\) et que son nombre dérivé à droite en \(0\) est égal à \(1\)

0,5 pt 1-d Montrer que \(f_n\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que : \[ \forall x\in]0,+\infty[, \qquad f_n^{\prime}(x)=1-x^{n-1}-nx^{n-1}\ln x \]

0,5 pt 1-e Montrer que \(f_n\) est strictement croissante sur \([0,1]\) et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\)

0,5 pt 2-a Montrer que, pour tout entier \(n\geq2\), on a : \[ \forall x\in[0,+\infty[, \qquad f_{n+1}(x)\leq f_n(x) \]

0,25 pt 2-b En déduire la position relative des deux courbes \((C_n)\) et \((C_{n+1})\)

0,5 pt 3-a Montrer que, pour tout \(n\geq2\), il existe un unique réel \(\alpha_n\in]1,2[\) tel que : \[ f_n(\alpha_n)=0 \] On prendra \(\ln2=0,7\)

0,25 pt 3-b Vérifier que : \[ \forall n\geq2, \qquad \alpha_{n+1}^{n}\ln(\alpha_{n+1})=1 \]

0,25 pt 3-c En déduire que, pour tout \(n\geq2\), \[ f_n(\alpha_{n+1})=\alpha_{n+1}-1 \]

0,5 pt 3-d Montrer que la suite \((\alpha_n)_{n\geq2}\) ainsi définie est strictement décroissante

0,25 pt 3-e En déduire que la suite \((\alpha_n)_{n\geq2}\) est convergente

4) On pose :

\[ \ell=\lim_{n\to+\infty}\alpha_n \]

0,25 pt 4-a Montrer que : \[ 1\leq \ell\leq2 \]

0,5 pt 4-b Montrer que, pour tout \(n\geq2\), \[ n-1=-\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)} \]

0,25 pt 4-c On suppose que \(\ell\gt1\). Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\ln(\ln(\alpha_n))}{\ln(\alpha_n)} \] en fonction de \(\ell\)

0,5 pt 4-d En déduire la valeur de la limite \(\ell\)

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Exercice 2 — Analyse — 3,5 points

0,25 pt 1-a Calculer l’intégrale : \[ \int_0^1\frac1{1+x^2}\,dx \]

0,5 pt 1-b Pour tout entier \(n\geq1\), on pose : \[ u_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k^2} \] Montrer que la suite \((u_n)_{n\geq1}\) est convergente puis déterminer sa limite

0,25 pt 2 Montrer que : \[ \int_0^1\frac1{(1+x^2)^2}\,dx\leq1 \]

0,5 pt 3-a Montrer que : \[ \forall x\in[0,1], \qquad 0\leq e^x-1\leq ex \]

0,25 pt 3-b En déduire que : \[ \forall x\in[0,1], \qquad 0\leq e^x-1-x\leq\frac e2x^2 \]

4) Pour tout entier \(n\geq1\), on pose :

\[ w_n=\sum_{k=1}^{n}\left(e^{\frac{n}{n^2+k^2}}-1\right) \]

0,25 pt 4-a Montrer que, pour tout entier \(n\geq1\), on a : \[ 0\leq w_n-u_n\leq\frac e2\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{n}{n^2+k^2}\right)^2 \]

0,25 pt 4-b Montrer que la fonction : \[ x\mapsto(1+x^2)^{-2} \] est strictement décroissante sur \([0,1]\)

0,25 pt 4-c En déduire que, pour tout entier \(n\geq1\) et pour tout entier \(k\in\{1,2,\ldots,n\}\), on a : \[ \frac1n\left(1+\left(\frac{k}{n}\right)^2\right)^{-2} \leq \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}(1+x^2)^{-2}\,dx \]

0,5 pt 5-a Montrer que, pour tout entier \(n\geq1\), on a : \[ 0\leq w_n-u_n\leq\frac e{2n} \]

0,5 pt 5-b En déduire que la suite \((w_n)_{n\geq1}\) est convergente et déterminer sa limite

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Exercice 3 — Nombres complexes — 3,5 points

Soit \(m\in\mathbb C^*\).

Partie I

On considère dans \(\mathbb C\) l’équation d’inconnue \(z\) :

\[ (E):\quad z^2-(2+i)mz+m^2(1+i)=0 \]

0,25 pt 1-a Vérifier que le discriminant de l’équation \((E)\) est : \[ \Delta=(im)^2 \]

0,5 pt 1-b Résoudre dans \(\mathbb C\) l’équation \((E)\)

0,5 pt 2 Soient \(z_1\) et \(z_2\) les deux solutions de \((E)\). Mettre sous la forme exponentielle \(z_1z_2\) dans le cas où : \[ m=re^{i\theta}\qquad (r\in\mathbb R_+^*,\ \theta\in\mathbb R) \]

Partie II

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O,\vec e_1,\vec e_2)\).

On pose :

\[ z_1=m \qquad\text{et}\qquad z_2=m(1+i) \]

Soit \(M_1\) le point d’affixe \(z_1\), \(M_2\) le point d’affixe \(z_2\), \(M_3(z_3)\) l’image du point \(O\) par la rotation de centre \(M_2\) et d’angle \(-\dfrac{\pi}{2}\), et \(M_4(z_4)\) l’image du point \(M_1\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\), où \(k\in\mathbb R^*-\{1\}\).

0,75 pt 1 Calculer \(z_3\) en fonction de \(m\) et \(z_4\) en fonction de \(m\) et \(k\)

0,75 pt 2 Donner la forme algébrique de : \[ \frac{z_4-z_2}{z_4-z_1}\times\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2} \]

0,75 pt 3 En déduire que les points \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) et \(M_4\) sont cocycliques si et seulement si \(k=-2\)

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Exercice 4 — Structures algébriques — 3,5 points

On munit l’ensemble \(\mathbb C\) des nombres complexes de la loi de composition interne \(*\) définie par :

\[ \forall (x,x^{\prime},y,y^{\prime})\in\mathbb R^4, \qquad (x+iy)*(x^{\prime}+iy^{\prime})=(xy^{\prime}+y^5x^{\prime})+iyy^{\prime} \]

Partie I

0,25 pt 1-a Vérifier que : \[ 1*2i=2 \]

0,25 pt 1-b Montrer que la loi de composition interne \(*\) n’est pas commutative

0,5 pt 2 Montrer que la loi \(*\) est associative

0,25 pt 3-a Vérifier que : \[ 1*(1+2i)=2 \]

0,25 pt 3-b En déduire que \((\mathbb C,*)\) n’est pas un groupe

4) Soit \(E\) le sous-ensemble de \(\mathbb C\) défini par :

\[ E=\{x+yi\,/\,x\in\mathbb R\ \text{et}\ y\in\mathbb R^*\} \]

0,25 pt 4-a Montrer que \(E\) est stable dans \((\mathbb C,*)\)

0,5 pt 4-b Montrer que \((E,*)\) est un groupe non commutatif

Partie II

On considère les sous-ensembles de \(E\) définis par :

\[ F=\{yi\,/\,y\in\mathbb R^*\} \]

et :

\[ G=\{x+i\,/\,x\in\mathbb R\} \]

0,5 pt 1 Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,*)\)

2) On considère l’application \(\varphi\) définie de \(\mathbb R\) vers \(\mathbb C\) par :

\[ \forall x\in\mathbb R, \qquad \varphi(x)=x+i \]

0,25 pt 2-a Montrer que : \[ \varphi(\mathbb R)=G \]

0,25 pt 2-b Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((\mathbb R,+)\) vers \((\mathbb C,*)\)

0,25 pt 2-c En déduire que \((G,*)\) est un groupe commutatif

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Exercice 5 — Arithmétique — 3 points

0,5 pt 1 En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer l’entier \(u\in\{1,2,\ldots,22\}\) tel que : \[ 10u\equiv1\ [23] \]

2) Soient \(m\) un entier naturel et \(q\) et \(r\), respectivement, le quotient et le reste de la division euclidienne de \(m\) par \(10\).

0,5 pt 2-a Montrer que : \[ m\equiv10(q+ur)\ [23] \]

0,75 pt 2-b Montrer que : \[ 23\text{ divise }m \Longleftrightarrow 23\text{ divise }(q+ur) \]

3) On considère dans \(\mathbb N\) le système :

\[ (S): \begin{cases} x\equiv1\ [23]\\ x\equiv2\ [10] \end{cases} \]

0,75 pt 3-a Montrer que si \(x\) est une solution du système \((S)\), alors il existe \(q\in\mathbb N\) tel que : \[ x=10q+2 \] et \(23\) divise \((q+7)\)

0,5 pt 3-b Résoudre dans \(\mathbb N\) le système \((S)\)

FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2024 SESSION RATTRAPAGE — SCIENCES MATHÉMATIQUES