Énoncé — Examen national 2025
Session de rattrapage — Sciences Mathématiques
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Session : Rattrapage 2025
Type : Énoncé de l’examen national
Total : 20 points
Remarque :
Cette page présente l’énoncé de l’examen national 2025 — session de rattrapage — pour la filière Sciences Mathématiques. Le PDF peut être consulté directement dans l’article, sans quitter le blog.
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| Exercice | Thème | Barème |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Analyse | 7,75 pts |
| Exercice 2 | Analyse | 2,25 pts |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 pts |
| Exercice 4 | Arithmétique | 3 pts |
| Exercice 5 | Structures algébriques | 3,5 pts |
Exercice 1 — Analyse (7,75 pts)
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(I=[0,+\infty[\) par :
\[ f(0)=0 \quad\text{et}\quad f(x)=\frac{x^2\ln x}{x^2+1} \quad\text{si }x\in]0,+\infty[ \]et soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
0,25 pt
1-a.
Étudier la continuité de \(f\) à droite en \(0\).
0,25×2 pt
1-b.
Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
0,25×3 pt
1-c.
Calculer :
\[
\lim_{x\to+\infty} f(x)
\quad\text{et}\quad
\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}
\]
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ \varphi(x)=x^2+1+2\ln x \]
0,5 pt
2-a.
Dresser le tableau de variations de \(\varphi\).
0,5 pt
2-b.
Montrer que l’équation \(\varphi(x)=0\) admet une solution unique \(\beta\) appartenant à l’intervalle :
\[
\left]\frac12,\frac{1}{\sqrt3}\right[
\]
On donne \(\ln 2\simeq 0,7\) et \(\ln 3\simeq 1,1\).
0,25 pt
2-c.
Montrer que :
\[
f(\beta)=-\frac{\beta^2}{2}
\]
0,5 pt
3-a.
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et que, pour tout \(x\in]0,+\infty[\),
\[
f^{\prime}(x)=\frac{x\varphi(x)}{(x^2+1)^2}
\]
0,5 pt
3-b.
Donner le tableau de variations de \(f\).
0,25 pt
3-c.
Montrer que \(\dfrac{1}{\beta}\) est l’unique solution de l’équation :
\[
f(x)=\frac12
\]
sur l’intervalle \(]\beta,+\infty[\).
0,5 pt
3-d.
Montrer que la droite d’équation :
\[
y=\beta x-\frac12
\]
est la tangente à la courbe \((C)\) au point d’abscisse \(\dfrac{1}{\beta}\).
0,5 pt
4.
Représenter graphiquement la courbe \((C)\) dans le repère \((O,\vec i,\vec j)\).
On admet que la courbe \((C)\) possède deux points d’inflexion.
On admet que la courbe \((C)\) possède deux points d’inflexion.
Partie II
On pose :
\[ J=]\sqrt3,2[ \quad\text{et}\quad \alpha=\frac{1}{\beta} \]Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ g(x)=\sqrt{e^{1+\frac{1}{x^2}}} \]
0,25 pt
1-a.
Étudier les variations de \(g\).
0,25 pt
1-b.
Montrer que, pour tout \(x\in J\),
\[
\sqrt3\lt g(x)\lt2
\]
On donne \(\sqrt3\simeq 1,73\), \(e^{\frac23}\simeq 1,95\) et \(e^{\frac58}\simeq 1,87\).
0,25 pt
2-a.
En utilisant le résultat de la question I.3-c, montrer que :
\[
g(\alpha)=\alpha
\]
0,5 pt
2-b.
Montrer que, pour tout \(x\in J\),
\[
\left|g^{\prime}(x)\right|\leq \frac{2}{3\sqrt3}
\]
0,5 pt
2-c.
En déduire que, pour tout \(x\in J\),
\[
|g(x)-\alpha|\leq \frac{2}{3\sqrt3}|x-\alpha|
\]
On considère la suite \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :
\[ x_0=\frac74 \quad\text{et}\quad x_{n+1}=g(x_n) \]
0,25 pt
3-a.
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
x_n\in J
\]
0,5 pt
3-b.
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
|x_n-\alpha|\leq
\left(\frac{2}{3\sqrt3}\right)^n|x_0-\alpha|
\]
0,25 pt
3-c.
En déduire que la suite \((x_n)\) converge vers \(\alpha\).
Exercice 2 — Analyse (2,25 pts)
On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par :
\[ u_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k}{n}\right) \]Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
0,25 pt
1-a.
Montrer que, pour tout entier \(k\in\{1,2,\ldots,n-1\}\) et pour tout réel
\[
x\in\left[\frac{k}{n},\frac{k+1}{n}\right]
\]
on a :
\[
\ln\left(\frac{k}{n}\right)\leq \ln x \leq \ln\left(\frac{k+1}{n}\right)
\]
0,25 pt
1-b.
En déduire que, pour tout \(k\in\{1,2,\ldots,n-1\}\),
\[
\frac1n\ln\left(\frac{k}{n}\right)
\leq
\int_{\frac{k}{n}}^{\frac{k+1}{n}}\ln x\,dx
\leq
\frac1n\ln\left(\frac{k+1}{n}\right)
\]
0,5 pt
2-a.
Montrer que, pour tout \(n\geq 2\),
\[
\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k}{n}\right)
\leq
\int_{\frac1n}^{1}\ln x\,dx
\leq
\frac1n\sum_{k=2}^{n}\ln\left(\frac{k}{n}\right)
\]
0,5 pt
2-b.
En déduire que, pour tout \(n\geq 2\),
\[
u_n\leq
\int_{\frac1n}^{1}\ln x\,dx
\leq
u_n-\frac1n\ln\left(\frac1n\right)
\]
0,5 pt
2-c.
Montrer que, pour tout \(n\geq 2\),
\[
-1+\frac1n\leq u_n\leq -1+\frac1n-\frac1n\ln\left(\frac1n\right)
\]
0,25 pt
2-d.
Déterminer :
\[
\lim_{n\to+\infty}u_n
\]
Exercice 3 — Nombres complexes (3,5 pts)
Soit \(\theta\in[0,\pi[\).
Partie I
On considère dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l’équation \((E_\theta)\) d’inconnue \(z\) :
\[ (E_\theta):\quad z^2+(1-i)e^{i\theta}z-i e^{2i\theta}=0 \]
0,25 pt
1-a.
Vérifier que :
\[
(E_\theta)
\Longleftrightarrow
\left(2z+(1-i)e^{i\theta}\right)^2
=
\left((1+i)e^{i\theta}\right)^2
\]
0,5 pt
1-b.
En déduire les deux solutions \(z_1\) et \(z_2\) de l’équation \((E_\theta)\), avec :
\[
\operatorname{Im}(z_1)\leq 0
\]
0,25 pt
2-a.
Montrer que :
\[
\frac{z_1+1}{z_2+i}
=
-\tan\left(\frac{\theta}{2}\right)
\]
0,25 pt
2-b.
En déduire la forme exponentielle du nombre complexe :
\[
\frac{z_1+iz_2}{z_2+i}
\]
Partie II
Dans le plan complexe \(P\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
\[ a=e^{i\theta}, \qquad b=(1+i)e^{i\theta}, \qquad c=b-a \]Soit \(m\) un nombre réel de \(]0,1[\), \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(Q\) le point d’affixe :
\[ q=m e^{i\theta} \]
0,25 pt
1-a.
Déterminer l’affixe \(p\) du point \(P\), image du point \(Q\) par la rotation \(R\).
0,25 pt
1-b.
Vérifier que :
\[
R(A)=C
\]
Soit \(H\) le point d’affixe :
\[ h=\frac{m}{m-i}e^{i\theta} \]
0,5 pt
2-a.
Montrer que :
\[
\frac{p-a}{h}=\frac{m^2+1}{m}i
\quad\text{et}\quad
\frac{h-a}{p-a}=\frac{1}{m^2+1}
\]
0,25 pt
2-b.
En déduire que \(H\) est le projeté orthogonal du point \(O\) sur la droite \((AP)\).
0,5 pt
2-c.
Montrer que :
\[
\frac{b-h}{q-h}=\frac{1}{m}i
\]
0,25 pt
2-d.
En déduire que les droites \((QH)\) et \((HB)\) sont perpendiculaires.
0,25 pt
2-e.
Montrer que les points \(A\), \(Q\), \(H\) et \(B\) sont cocycliques.
Exercice 4 — Arithmétique (3 pts)
On considère dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) l’équation :
\[ (E):\quad y=\frac{a}{b}x-\frac{c}{d} \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des entiers naturels non nuls vérifiant :
\[ a\wedge b=1 \quad\text{et}\quad c\wedge d=1 \]On suppose que l’équation \((E)\) admet une solution \((x_0,y_0)\).
0,5 pt
1-a.
Montrer que \(d\) divise \(bc\).
0,5 pt
1-b.
En déduire que \(d\) divise \(b\).
On suppose que \(d\) divise \(b\), et on pose :
\[ b=nd \]où \(n\) est un entier naturel non nul.
0,5 pt
2-a.
Montrer qu’il existe \((u,v)\in\mathbb N\times\mathbb N\) tel que :
\[
dnu-av=1
\]
0,75 pt
2-b.
En déduire que l’ensemble des solutions de l’équation \((E)\) est :
\[
S=\left\{(-vcn+bk,\,-ucn+ak)\mid k\in\mathbb Z\right\}
\]
0,75 pt
3.
Résoudre dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) l’équation :
\[
(F):\quad y=\frac{3}{2975}x-\frac{2}{119}
\]
On donne :
\[
2975=119\times25
\]
Exercice 5 — Structures algébriques (3,5 pts)
On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire non commutatif, de zéro la matrice :
\[ O= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]et d’unité la matrice :
\[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]On munit l’ensemble :
\[ E=\{x+yi\mid x\in\mathbb Z,\ y\in\mathbb Z\} \]par la loi de composition interne \(*\) définie par :
\[ \forall (x,y,x',y')\in\mathbb Z^4,\quad (x+yi)*(x'+y'i) = \left(x+(-1)^y x'\right)+(y+y')i \]Partie I
0,25 pt
1-a.
Vérifier que :
\[
(1-i)*(3+2i)=-2+i
\]
0,25 pt
1-b.
Montrer que la loi \(*\) n’est pas commutative dans \(E\).
0,5 pt
2.
Montrer que la loi \(*\) est associative dans \(E\).
0,25 pt
3.
Montrer que \(0\) est l’élément neutre pour la loi \(*\) dans \(E\).
0,25 pt
4-a.
Vérifier que, pour tout \((x,y)\in\mathbb Z^2\),
\[
(x+yi)*\left((-1)^{y+1}x-yi\right)=0
\]
0,25 pt
4-b.
Montrer que \((E,*)\) est un groupe non commutatif.
Partie II
Soient les deux ensembles :
\[ F=\{x+2yi\mid x\in\mathbb Z,\ y\in\mathbb Z\} \]et :
\[ G=\left\{ M(x,y)= \begin{pmatrix} 1&x&y\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \ \middle|\ x\in\mathbb Z,\ y\in\mathbb Z \right\} \]
0,5 pt
1-a.
Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,*)\).
0,25 pt
1-b.
Montrer que la loi \(*\) est commutative dans \(F\).
Soit \(\varphi\) l’application définie de \(F\) vers \(M_3(\mathbb R)\) par :
\[ \forall (x,y)\in\mathbb Z^2,\quad \varphi(x+2yi)=M(x,y) \]
0,5 pt
2-a.
Montrer que \(\varphi\) est un homomorphisme de \((F,*)\) vers \((M_3(\mathbb R),\times)\).
0,25 pt
2-b.
Montrer que :
\[
\varphi(F)=G
\]
0,25 pt
2-c.
En déduire que \((G,\times)\) est un groupe commutatif.
Remarque :
Cette page contient uniquement l’énoncé de l’examen national 2025 — session de rattrapage — filière Sciences Mathématiques. La correction détaillée sera publiée séparément dans la page consacrée aux corrections des examens nationaux.
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FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2025 SESSION DE RATTRAPAGE
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