Énoncé — Examen national 2025
Session de rattrapage — Sciences Mathématiques
Compétences et points clés
Le national SM rattrapage 2025 organise deux exercices d’analyse puis des exercices de complexes, d’arithmétique et de groupes. La fonction logarithmique prolongée en zéro demande un traitement particulier du point de raccordement avant l’étude globale.
Prérequis à revoir : limites usuelles et définition du nombre dérivé; continuité sur un segment et dérivabilité; stabilité, associativité et homomorphismes.
Rappels de cours utiles
Raccordement et limites unilatérales. La continuité au point de raccordement demande que les limites des branches concernées coïncident avec la valeur de la fonction. La dérivabilité se vérifie ensuite par le taux d’accroissement. Aux extrémités du domaine, le calcul et l’interprétation portent sur la limite unilatérale appropriée.
Théorème des accroissements finis. Le TAF demande une fonction continue sur un segment et dérivable à son intérieur. Il relie une pente de sécante à un nombre dérivé en un point intérieur. Pour obtenir un encadrement, contrôler les valeurs de la dérivée sur tout l’intervalle utilisé.
Lois de composition et groupes. Vérifier d’abord que la loi reste dans l’ensemble considéré et qu’elle est bien définie. Un groupe exige associativité, élément neutre et symétrique pour chaque élément. Le neutre dépend de la loi : il n’est pas automatiquement le nombre zéro ou le nombre un. Un isomorphisme demande aussi la bijectivité.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Étudier la continuité et le taux d’accroissement à droite séparément. Conserver la fonction auxiliaire pour justifier les variations. Dans la suite construite ensuite, établir les bornes et utiliser la majoration de la dérivée sur le bon intervalle. En algèbre, respecter l’ensemble associé à chaque loi.
Niveau : 2e Bac Sciences Mathématiques
Session : Rattrapage 2025
Type : Énoncé de l’examen national
Total : 20 points
Cette page présente l’énoncé de l’examen national 2025 — session de rattrapage — pour la filière Sciences Mathématiques. Le PDF peut être consulté directement dans l’article, sans quitter le blog.
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| Exercice | Thème | Barème |
|---|---|---|
| Exercice 1 | Analyse | 7,75 pts |
| Exercice 2 | Analyse | 2,25 pts |
| Exercice 3 | Nombres complexes | 3,5 pts |
| Exercice 4 | Arithmétique | 3 pts |
| Exercice 5 | Structures algébriques | 3,5 pts |
Exercice 1 — Analyse (7,75 pts)
Partie I
On considère la fonction \(f\) définie sur l’intervalle \(I=[0,+\infty[\) par :
\[ f(0)=0 \quad\text{et}\quad f(x)=\frac{x^2\ln x}{x^2+1} \quad\text{si }x\in]0,+\infty[ \]et soit \((C)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).
Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ \varphi(x)=x^2+1+2\ln x \]On admet que la courbe \((C)\) possède deux points d’inflexion.
Partie II
On pose :
\[ J=]\sqrt3,2[ \quad\text{et}\quad \alpha=\frac{1}{\beta} \]Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :
\[ g(x)=\sqrt{e^{1+\frac{1}{x^2}}} \]On considère la suite \((x_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par :
\[ x_0=\frac74 \quad\text{et}\quad x_{n+1}=g(x_n) \]Exercice 2 — Analyse (2,25 pts)
On considère la suite numérique \((u_n)_{n\geq 2}\) définie par :
\[ u_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\ln\left(\frac{k}{n}\right) \]Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Exercice 3 — Nombres complexes (3,5 pts)
Soit \(\theta\in[0,\pi[\).
Partie I
On considère dans l’ensemble des nombres complexes \(\mathbb C\) l’équation \((E_\theta)\) d’inconnue \(z\) :
\[ (E_\theta):\quad z^2+(1-i)e^{i\theta}z-i e^{2i\theta}=0 \]Partie II
Dans le plan complexe \(P\) muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\), on considère les points \(A\), \(B\) et \(C\) d’affixes respectives :
\[ a=e^{i\theta}, \qquad b=(1+i)e^{i\theta}, \qquad c=b-a \]Soit \(m\) un nombre réel de \(]0,1[\), \(R\) la rotation de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{2}\), et \(Q\) le point d’affixe :
\[ q=m e^{i\theta} \]Soit \(H\) le point d’affixe :
\[ h=\frac{m}{m-i}e^{i\theta} \]Exercice 4 — Arithmétique (3 pts)
On considère dans \(\mathbb Z\times\mathbb Z\) l’équation :
\[ (E):\quad y=\frac{a}{b}x-\frac{c}{d} \]où \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) sont des entiers naturels non nuls vérifiant :
\[ a\wedge b=1 \quad\text{et}\quad c\wedge d=1 \]On suppose que l’équation \((E)\) admet une solution \((x_0,y_0)\).
On suppose que \(d\) divise \(b\), et on pose :
\[ b=nd \]où \(n\) est un entier naturel non nul.
Exercice 5 — Structures algébriques (3,5 pts)
On rappelle que \((M_3(\mathbb R),+,\times)\) est un anneau unitaire non commutatif, de zéro la matrice :
\[ O= \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} \]et d’unité la matrice :
\[ I= \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \]On munit l’ensemble :
\[ E=\{x+yi\mid x\in\mathbb Z,\ y\in\mathbb Z\} \]par la loi de composition interne \(*\) définie par :
\[ \forall (x,y,x',y')\in\mathbb Z^4,\quad (x+yi)*(x'+y'i) = \left(x+(-1)^y x'\right)+(y+y')i \]Partie I
Partie II
Soient les deux ensembles :
\[ F=\{x+2yi\mid x\in\mathbb Z,\ y\in\mathbb Z\} \]et :
\[ G=\left\{ M(x,y)= \begin{pmatrix} 1&x&y\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix} \ \middle|\ x\in\mathbb Z,\ y\in\mathbb Z \right\} \]Soit \(\varphi\) l’application définie de \(F\) vers \(M_3(\mathbb R)\) par :
\[ \forall (x,y)\in\mathbb Z^2,\quad \varphi(x+2yi)=M(x,y) \]Cette page contient uniquement l’énoncé de l’examen national 2025 — session de rattrapage — filière Sciences Mathématiques. La correction détaillée sera publiée séparément dans la page consacrée aux corrections des examens nationaux.
FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN NATIONAL 2025 SESSION DE RATTRAPAGE
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