Examen blanc 5 — 2e Bac Sciences Mathématiques
Mathématiques — Année scolaire 2025–2026
Niveau : 2e Bac
Filière : Sciences Mathématiques
Matière : Mathématiques
Total : 20 points
Enseignant : Hammou Boudraa — Lycée Oum Erbiaâ
Remarque :
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants : analyse, structures algébriques, nombres complexes et arithmétique.
Le sujet est composé de quatre exercices indépendants : analyse, structures algébriques, nombres complexes et arithmétique.
Accès détaillé aux questions
Exercice 1 — Analyse — 11 points
On pose, pour tout \(u\ge 0\),
\[ R(u)=\ln(1+u)-u+\frac{u^2}{2} \]et on considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)=e^{3x}\left(\ln(1+e^{-x})-e^{-x}+\frac{e^{-2x}}{2}\right) \]
2 pts
1
Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[
R(u)=\int_0^u\frac{t^2}{1+t}\,dt
\]
puis en déduire que, pour tout \(u\gt0\),
\[
\frac{u^3}{3(1+u)}\le R(u)\le \frac{u^3}{3}
\]
Déterminer alors :
\[
\lim_{x\to+\infty} f(x)
\]
1 pt
2
Montrer que, pour tout \(u\ge0\),
\[
0\le R(u)\le \frac{u^2}{2}
\]
puis déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty} f(x)
\]
On considère la fonction \(q\) définie sur \([0,+\infty[\) par :
\[ q(u)=3\ln(1+u)-3u+\frac{3u^2}{2}-\frac{u^3}{1+u} \]
1,5 pt
3
Montrer que \(q\) est continue sur \([0,+\infty[\), dérivable sur \(]0,+\infty[\), et que, pour tout \(u\gt0\),
\[
q'(u)=\frac{u^3}{(1+u)^2}
\]
En déduire que \(q(u)\gt0\) pour tout \(u\gt0\).
2 pts
4
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
f'(x)=e^{3x}q(e^{-x})
\]
En déduire le sens de variation de \(f\), dresser son tableau de variations, puis montrer que \(f\) réalise une bijection de \(\mathbb R\) sur :
\[
\left]0,\frac13\right[
\]
On définit la fonction \(F\) sur \(\mathbb R\) par :
\[ F(x)=\int_x^{x+1}f(t)\,dt \]
1 pt
5
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb R\), puis étudier son sens de variation.
1 pt
6
Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb R\),
\[
f(x)\le F(x)\le f(x+1)
\]
puis déterminer :
\[
\lim_{x\to-\infty}F(x)
\qquad\text{et}\qquad
\lim_{x\to+\infty}F(x)
\]
Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,dx \]
1 pt
7
Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
\frac{f(0)}{n+1}\le I_n\le \frac{f(1)}{n+1}
\]
puis calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty} I_n
\]
1,5 pt
8
Montrer qu’il existe une constante \(M\gt0\) telle que, pour tout \(x\in[0,1]\),
\[
0\le f(1)-f(x)\le M(1-x)
\]
En déduire que :
\[
0\le \frac{f(1)}{n+1}-I_n\le \frac{M}{(n+1)(n+2)}
\]
puis calculer :
\[
\lim_{n\to+\infty}(n+1)I_n
\]
Donner la valeur exacte de \(f(1)\).
Exercice 2 — Structures algébriques — 3 points
On considère l’ensemble :
\[ E=\{x+iy\in\mathbb C\ ;\ x\in\mathbb R,\ y\in\mathbb R^\ast\} \]On définit sur \(E\) une loi \(\star\) par :
\[ (x+iy)\star(u+iv)=(xv+uy)+i\,yv \]où \(x,u\in\mathbb R\) et \(y,v\in\mathbb R^\ast\).
0,5 pt
1
Montrer que \(\star\) est une loi de composition interne sur \(E\), puis déterminer l’élément neutre de \(E\) pour cette loi.
0,75 pt
2
Montrer que \((E,\star)\) est un groupe commutatif.
0,75 pt
3
On pose :
\[
F=\{x+i\ ;\ x\in\mathbb R\}
\]
Montrer que \(F\) est un sous-groupe de \((E,\star)\), puis montrer que l’application :
\[
\varphi:(\mathbb R,+)\longrightarrow(F,\star),
\qquad
\varphi(x)=x+i
\]
est un isomorphisme de groupes.
1 pt
4
Pour \(n\in\mathbb N^\ast\), on note :
\[
z^{[n]}=\underbrace{z\star z\star\cdots\star z}_{n\ \text{fois}}
\]
Montrer que, si \(z=x+iy\in E\), alors :
\[
z^{[n]}=nxy^{\,n-1}+i\,y^n
\]
puis résoudre dans \(E\) l’équation :
\[
z^{[2026]}=2026+i
\]
Exercice 3 — Nombres complexes — 3 points
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct, on considère la transformation \(S\) qui associe à tout point \(M\) d’affixe \(z\) le point \(M'\) d’affixe \(z'\), définie par :
\[ z'=(\sqrt3+i)z+1-\sqrt3-i \]On définit la suite \((z_n)\) par :
\[ z_0=1+i, \qquad z_{n+1}=(\sqrt3+i)z_n+1-\sqrt3-i \]
0,5 pt
1
Montrer que le point \(\Omega\) d’affixe \(1\) est invariant par \(S\), puis vérifier que :
\[
z'-1=(\sqrt3+i)(z-1)
\]
0,5 pt
2
En déduire que, pour tout point \(M\ne\Omega\) d’image \(M'\) par \(S\),
\[
\Omega M'=2\,\Omega M
\]
et :
\[
\left(\overrightarrow{\Omega M},\overrightarrow{\Omega M'}\right)
\equiv \frac{\pi}{6}\ [2\pi]
\]
0,75 pt
3
On note \(M''\) l’image de \(M'\) par \(S\), et \(z''\) son affixe.
Déterminer l’expression de \(z''\) en fonction de \(z\), puis déterminer l’ensemble des points \(M\) dont l’affixe \(z\) vérifie :
\[
z''=z^2
\]
0,75 pt
4
Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\),
\[
z_n-1=(\sqrt3+i)^n(z_0-1)
\]
puis montrer que :
\[
z_n=1+2^n e^{i\frac{(n+3)\pi}{6}}
\]
0,5 pt
5
Déterminer les entiers naturels \(n\) pour lesquels le point \(M_n\) d’affixe \(z_n\) appartient à l’axe réel.
Exercice 4 — Arithmétique — 3 points
On rappelle que :
\[ 4054=2\times2027 \]
0,5 pt
1
Montrer que \(2027\) est un nombre premier.
0,5 pt
2
Vérifier que :
\[
37\times767\equiv1\ [2027]
\]
puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence :
\[
37x\equiv1\ [2027]
\]
0,75 pt
3
Vérifier que :
\[
37\times767\equiv1\ [4054]
\]
puis résoudre dans \(\mathbb Z\) la congruence :
\[
37x\equiv1\ [4054]
\]
0,75 pt
4
En utilisant le petit théorème de Fermat, montrer que :
\[
37^{2026}\equiv1\ [2027]
\]
puis en déduire que :
\[
37^{2025}\equiv767\ [2027]
\]
0,5 pt
5
Déterminer le reste de la division euclidienne de :
\[
37^{2025}
\]
par \(4054\).
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FIN DE L’ÉNONCÉ — EXAMEN BLANC 5 — 2e BAC SCIENCES MATHÉMATIQUES
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