Concours ENSA Tanger 2008 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.
Épreuve de mathématiques — 25 questions à choix multiples — Calculatrice non autorisée.
Compétences et points clés
Tanger ENSA 2008 commence par des suites oscillantes ou géométriques, puis fait intervenir primitives et symétrie d’intégrales. La distinction entre une expression explicite et une limite est essentielle : une alternance peut empêcher la convergence.
Prérequis à revoir : sommes finies et puissances; primitives, produit de fonctions et valeurs aux bornes; dérivation des fonctions usuelles et composées.
Rappels de cours utiles
Suites arithmétiques et géométriques. Dans une suite arithmétique, la différence de deux termes consécutifs est constante ; dans une suite géométrique, chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison fixe. Une somme commence au rang indiqué dans l’énoncé : décaler ce rang change le nombre de termes et parfois le facteur initial.
Intégration par parties. L’intégration par parties s’emploie pour deux fonctions de classe C1 sur le segment considéré. Choisir le facteur que l’on dérive pour simplifier l’intégrale restante, puis conserver le terme évalué aux deux bornes. Une vérification par dérivation permet de contrôler les primitives proposées.
Reconnaître une primitive. Une primitive se contrôle en la dérivant sur l’intervalle concerné. Pour une fonction continue sur un segment, l’intégrale se calcule par la différence des valeurs d’une primitive aux bornes. Une expression ressemblant à une dérivée composée peut nécessiter un facteur multiplicatif supplémentaire.
Méthode d’entraînement sur ce sujet
Pour la suite de cosinus, comparer les rangs pairs et impairs. Pour les sommes exponentielles, vérifier la raison et le facteur initial. Dans les primitives avec logarithme, contrôler la dérivée. Pour l’intégrale symétrique finale, exploiter le changement de variable qui échange les deux bornes avant de recombiner les expressions.
Cette page reproduit l’énoncé de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Tanger 2008.
Le sujet original comporte trois pages et une fiche-réponse à remettre au surveillant à la fin de l’épreuve.
Consignes de l’épreuve
- Parmi les réponses proposées, une seule est juste.
- Pour chaque question, cocher la case correspondante sur la fiche-réponse.
- Réponse juste : \(+1\) point.
- Réponse fausse : \(-1\) point.
- Absence de réponse : \(0\) point.
- Calculatrice non autorisée.
Énoncé — ENSA Tanger 2008 — Mathématiques
Question 1
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\cos(n\pi). \]Question 2
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{3^{n-1}}. \]Question 3
Soit :
\[ v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^k}{\pi^{k-1}}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}v_n= \]Question 4
On considère un carré \(C_0\) dont les côtés mesurent \(12\ \text{cm}\).
Soit \(C_1\) le carré inscrit dans \(C_0\), dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_0\).
On procède de la même manière et on construit une famille infinie de carrés \((C_i)\), telle que \(C_{i+1}\) est le carré inscrit dans \(C_i\), dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_i\).
La somme totale des périmètres des carrés \(C_i\) est égale à :
Question 5
Soit :
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n= \]Question 6
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{\sin(3x)}. \]Question 7
Calculer :
\[ \int\frac{1+\tan^2x}{4+\tan^2x}\,dx. \]Question 8
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}\bigl(\arctan x\bigr)\cot(5x). \]Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}(\cos x)^{1/x^2}. \]Question 10
Calculer :
\[ \lim_{h\to0}\frac1h \int_{\sqrt3}^{\sqrt3+h} \frac1{\arctan x}\,dx. \]Question 11
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\tan(\sqrt\pi\,x)}{\sin(\pi x)}. \]Question 12
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)}x. \]Question 13
Calculer :
\[ \int\sqrt x\,\ln x\,dx. \]Question 14
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \int_{\sqrt e}^{n} \frac1{x(\ln x)^2}\,dx \right). \]Question 15
Soit :
\[ f(x)= \int_{1-x}^{1+x^2} e^{-\sqrt t}\,dt. \]La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x=1\) admet pour équation :
Question 16
Soit \((u_n)\) une suite numérique et soit \(L\ne0\).
On considère les assertions suivantes :
\[ \text{(I)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=L \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}|u_n|=|L|. \] \[ \text{(II)}\quad \lim_{n\to+\infty}|u_n|=|L| \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}u_n=L. \] \[ \text{(III)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to+\infty}|u_n|=0. \]Alors :
Question 17
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1+(-1)^n\sqrt n}{\sqrt{n+1}}. \]Question 18
Soit \(B=\{u,v,w\}\) une base de \(\mathbb R^3\).
On considère les familles suivantes :
\[ S_1=\{v+w,\ u+w,\ u+v\}, \] \[ S_2=\{u+v,\ u+w,\ w-v\}, \] \[ S_3=\{u,\ w,\ u-v\}. \]Laquelle, ou lesquelles, de ces familles forme une base ?
Question 19
Soit :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x=z\}. \]Lequel des systèmes suivants forme une base de \(E\) ?
Question 20
On considère les ensembles suivants :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=1\}, \] \[ F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2=y^2\}, \] \[ G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid xy+z=0\}, \] \[ H=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+z=0\text{ et }y=1\}. \]Lesquels, parmi ces ensembles, sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?
Question 21
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2-3A+2I_n=0, \]où \(I_n\) est la matrice identité.
On considère les égalités suivantes :
\[ \text{(I)}\quad A^{-1}=I_n-A, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=\frac12(3I_n-A), \] \[ \text{(III)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(IV)}\quad \det A\ne0. \]Alors :
Question 22
Soit \(M_n(\mathbb R)\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\).
Alors :
\[ \dim M_n(\mathbb R)= \]Question 23
Calculer :
\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dt}{4t^2+4t+5}. \]Question 24
Si :
\[ \int_0^x g(t)\,dt=x\tan(\pi x), \]alors :
\[ g\left(\frac14\right)= \]Question 25
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que :
\[ f(a+b-x)=f(x), \qquad \forall x\in[a,b]. \]Alors :
\[ \int_a^bxf(x)\,dx= \]Conseil de travail
Le barème pénalisant les réponses fausses, il est préférable de vérifier soigneusement chaque proposition avant de répondre.
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