Concours ENSA Tanger 2008 — Mathématiques

Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.

Épreuve de mathématiques — 25 questions à choix multiples — Calculatrice non autorisée.

Cette page reproduit l’énoncé de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Tanger 2008.

Le sujet original comporte trois pages et une fiche-réponse à remettre au surveillant à la fin de l’épreuve.

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Consignes de l’épreuve

Parmi les réponses proposées, une seule est juste.
Pour chaque question, cocher la case correspondante sur la fiche-réponse.
Réponse juste : \(+1\) point.
Réponse fausse : \(-1\) point.
Absence de réponse : \(0\) point.
Calculatrice non autorisée.

Énoncé — ENSA Tanger 2008 — Mathématiques

Question 1

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\cos(n\pi). \]

A. \[ \begin{cases} -1,&\text{si }n\text{ est impair},\\ 1,&\text{si }n\text{ est pair}. \end{cases} \]

B. \(+\infty\)

C. La limite n’existe pas.

Question 2

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{3^{n-1}}. \]

A. \(3\)

B. \(+\infty\)

C. \(0\)

Question 3

Énoncé

Soit :

\[ v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^k}{\pi^{k-1}}. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}v_n= \]

A. \(\displaystyle\frac{\pi e}{\pi-e}\)

B. \(+\infty\)

C. \(\displaystyle\frac{\pi}{\pi-e}\)

Question 4

Énoncé

On considère un carré \(C_0\) dont les côtés mesurent \(12\ \text{cm}\).

Soit \(C_1\) le carré inscrit dans \(C_0\), dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_0\).

On procède de la même manière et on construit une famille infinie de carrés \((C_i)\), telle que \(C_{i+1}\) est le carré inscrit dans \(C_i\), dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_i\).

La somme totale des périmètres des carrés \(C_i\) est égale à :

A. \(+\infty\)

B. \(48(2+\sqrt2)\ \text{cm}\)

C. \(24\sqrt2\ \text{cm}\)

Question 5

Énoncé

Soit :

\[ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}. \]

Alors :

\[ \lim_{n\to+\infty}S_n= \]

A. \(+\infty\)

B. \(1\)

C. \(0\)

Question 6

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{\sin(3x)}. \]

A. \(0\)

B. \(-\frac53\)

C. La limite n’existe pas.

Question 7

Énoncé

Calculer :

\[ \int\frac{1+\tan^2x}{4+\tan^2x}\,dx. \]

A. \(\displaystyle\frac12\arctan\left(\frac x2\right)+K\)

B. \(\displaystyle\frac12\arctan\left(\frac{\tan x}{2}\right)+K\)

C. \(\displaystyle\frac{\arctan x}{4}+K,\quad K\in\mathbb R\)

Question 8

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0}\bigl(\arctan x\bigr)\cot(5x). \]

A. \(\displaystyle\frac{\pi}{10}\)

B. \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

C. \(\displaystyle\frac15\)

Question 9

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0^+}(\cos x)^{1/x^2}. \]

A. \(1\)

B. \(\displaystyle\frac{\sqrt e}{e}\)

C. \(+\infty\)

Question 10

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{h\to0}\frac1h \int_{\sqrt3}^{\sqrt3+h} \frac1{\arctan x}\,dx. \]

A. \(\displaystyle\frac3\pi\)

B. \(0\)

C. \(\sqrt3\)

Question 11

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0} \frac{\tan(\sqrt\pi\,x)}{\sin(\pi x)}. \]

A. \(\displaystyle\frac{\sqrt\pi}{\pi}\)

B. \(\sqrt\pi\)

C. \(1\)

Question 12

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)}x. \]

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(+\infty\)

Question 13

Énoncé

Calculer :

\[ \int\sqrt x\,\ln x\,dx. \]

A. \(\bigl(\ln x\sqrt x\bigr)(3\ln x-2)+K\)

B. \(\displaystyle\frac29x\sqrt x\,(3\ln x-2)+K\)

C. \(\displaystyle\frac29\cdot\frac{\ln x\sqrt x}{2}+K,\quad K\in\mathbb R\)

Question 14

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \int_{\sqrt e}^{n} \frac1{x(\ln x)^2}\,dx \right). \]

A. \(+\infty\)

B. \(\displaystyle\frac1e\)

C. \(2\)

Question 15

Énoncé

Soit :

\[ f(x)= \int_{1-x}^{1+x^2} e^{-\sqrt t}\,dt. \]

La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x=1\) admet pour équation :

A. \(\displaystyle y=e^{-\sqrt2}(x-1)\)

B. \(\displaystyle y=e^{-\sqrt2+1}(x-1)\)

C. Les données sont insuffisantes pour la déterminer.

Question 16

Énoncé

Soit \((u_n)\) une suite numérique et soit \(L\ne0\).

On considère les assertions suivantes :

\[ \text{(I)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=L \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}|u_n|=|L|. \] \[ \text{(II)}\quad \lim_{n\to+\infty}|u_n|=|L| \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}u_n=L. \] \[ \text{(III)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to+\infty}|u_n|=0. \]

Alors :

A. Seulement (I) est vraie.

B. Seulement (I) et (III) sont vraies.

C. (I), (II) et (III) sont vraies.

Question 17

Énoncé

Calculer :

\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1+(-1)^n\sqrt n}{\sqrt{n+1}}. \]

A. \(1\)

B. \(0\)

C. La limite n’existe pas.

Question 18

Énoncé

Soit \(B=\{u,v,w\}\) une base de \(\mathbb R^3\).

On considère les familles suivantes :

\[ S_1=\{v+w,\ u+w,\ u+v\}, \] \[ S_2=\{u+v,\ u+w,\ w-v\}, \] \[ S_3=\{u,\ w,\ u-v\}. \]

Laquelle, ou lesquelles, de ces familles forme une base ?

A. Aucune.

B. Seulement \(S_1\).

C. Seulement \(S_1\) et \(S_3\).

Question 19

Énoncé

Soit :

\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x=z\}. \]

Lequel des systèmes suivants forme une base de \(E\) ?

A. \(\{(1,0,1)\}\)

B. \(\{(1,0,1),(0,1,0)\}\)

C. \(\{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)\}\)

Question 20

Énoncé

On considère les ensembles suivants :

\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=1\}, \] \[ F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2=y^2\}, \] \[ G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid xy+z=0\}, \] \[ H=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+z=0\text{ et }y=1\}. \]

Lesquels, parmi ces ensembles, sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?

A. Seulement \(H\).

B. Seulement \(E\), \(F\) et \(G\).

C. Aucun.

Question 21

Énoncé

Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :

\[ A^2-3A+2I_n=0, \]

où \(I_n\) est la matrice identité.

On considère les égalités suivantes :

\[ \text{(I)}\quad A^{-1}=I_n-A, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=\frac12(3I_n-A), \] \[ \text{(III)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(IV)}\quad \det A\ne0. \]

Alors :

A. (II) et (III) sont vraies.

B. (I) et (IV) sont vraies.

C. (II) et (IV) sont vraies.

Question 22

Énoncé

Soit \(M_n(\mathbb R)\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\).

Alors :

\[ \dim M_n(\mathbb R)= \]

A. \(n^2\)

B. \(2n\)

C. \(n\)

Question 23

Énoncé

Calculer :

\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dt}{4t^2+4t+5}. \]

A. \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

B. \(\displaystyle\frac{\pi}{16}\)

C. \(\pi\)

Question 24

Énoncé

Si :

\[ \int_0^x g(t)\,dt=x\tan(\pi x), \]

alors :

\[ g\left(\frac14\right)= \]

A. \(\displaystyle\frac14\)

B. \(\displaystyle\frac{\pi}{4}\)

C. \(\displaystyle\frac{\pi+2}{2}\)

Question 25

Énoncé

Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que :

\[ f(a+b-x)=f(x), \qquad \forall x\in[a,b]. \]

Alors :

\[ \int_a^bxf(x)\,dx= \]

A. \(\displaystyle\frac{b-a}{2}\int_a^bf(x)\,dx\)

B. \(\displaystyle\frac{a+b}{2}\int_a^bf(x)\,dx\)

C. \(\displaystyle(b-a)\int_a^bf(x)\,dx\)

Conseil de travail

Le barème pénalisant les réponses fausses, il est préférable de vérifier soigneusement chaque proposition avant de répondre.

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