Concours ENSA Tanger 2008 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.
Épreuve de mathématiques — 25 questions à choix multiples — Calculatrice non autorisée.
Cette page reproduit l’énoncé de mathématiques du concours d’entrée à l’ENSA Tanger 2008.
Le sujet original comporte trois pages et une fiche-réponse à remettre au surveillant à la fin de l’épreuve.
Consignes de l’épreuve
- Parmi les réponses proposées, une seule est juste.
- Pour chaque question, cocher la case correspondante sur la fiche-réponse.
- Réponse juste : \(+1\) point.
- Réponse fausse : \(-1\) point.
- Absence de réponse : \(0\) point.
- Calculatrice non autorisée.
Énoncé — ENSA Tanger 2008 — Mathématiques
Question 1
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\cos(n\pi). \]Question 2
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty}\frac{2^n}{3^{n-1}}. \]Question 3
Soit :
\[ v_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{e^k}{\pi^{k-1}}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}v_n= \]Question 4
On considère un carré \(C_0\) dont les côtés mesurent \(12\ \text{cm}\).
Soit \(C_1\) le carré inscrit dans \(C_0\), dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_0\).
On procède de la même manière et on construit une famille infinie de carrés \((C_i)\), telle que \(C_{i+1}\) est le carré inscrit dans \(C_i\), dont les sommets sont les milieux des côtés de \(C_i\).
La somme totale des périmètres des carrés \(C_i\) est égale à :
Question 5
Soit :
\[ S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac1{k(k+1)}. \]Alors :
\[ \lim_{n\to+\infty}S_n= \]Question 6
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos(5x)}{\sin(3x)}. \]Question 7
Calculer :
\[ \int\frac{1+\tan^2x}{4+\tan^2x}\,dx. \]Question 8
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}\bigl(\arctan x\bigr)\cot(5x). \]Question 9
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^+}(\cos x)^{1/x^2}. \]Question 10
Calculer :
\[ \lim_{h\to0}\frac1h \int_{\sqrt3}^{\sqrt3+h} \frac1{\arctan x}\,dx. \]Question 11
Calculer :
\[ \lim_{x\to0} \frac{\tan(\sqrt\pi\,x)}{\sin(\pi x)}. \]Question 12
Calculer :
\[ \lim_{x\to0}\frac{\arctan(2x)}x. \]Question 13
Calculer :
\[ \int\sqrt x\,\ln x\,dx. \]Question 14
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \left( \int_{\sqrt e}^{n} \frac1{x(\ln x)^2}\,dx \right). \]Question 15
Soit :
\[ f(x)= \int_{1-x}^{1+x^2} e^{-\sqrt t}\,dt. \]La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x=1\) admet pour équation :
Question 16
Soit \((u_n)\) une suite numérique et soit \(L\ne0\).
On considère les assertions suivantes :
\[ \text{(I)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=L \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}|u_n|=|L|. \] \[ \text{(II)}\quad \lim_{n\to+\infty}|u_n|=|L| \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}u_n=L. \] \[ \text{(III)}\quad \lim_{n\to+\infty}u_n=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to+\infty}|u_n|=0. \]Alors :
Question 17
Calculer :
\[ \lim_{n\to+\infty} \frac{1+(-1)^n\sqrt n}{\sqrt{n+1}}. \]Question 18
Soit \(B=\{u,v,w\}\) une base de \(\mathbb R^3\).
On considère les familles suivantes :
\[ S_1=\{v+w,\ u+w,\ u+v\}, \] \[ S_2=\{u+v,\ u+w,\ w-v\}, \] \[ S_3=\{u,\ w,\ u-v\}. \]Laquelle, ou lesquelles, de ces familles forme une base ?
Question 19
Soit :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x=z\}. \]Lequel des systèmes suivants forme une base de \(E\) ?
Question 20
On considère les ensembles suivants :
\[ E=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+y+z=1\}, \] \[ F=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x^2=y^2\}, \] \[ G=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid xy+z=0\}, \] \[ H=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\mid x+z=0\text{ et }y=1\}. \]Lesquels, parmi ces ensembles, sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathbb R^3\) ?
Question 21
Soit \(A\) une matrice carrée d’ordre \(n\) vérifiant :
\[ A^2-3A+2I_n=0, \]où \(I_n\) est la matrice identité.
On considère les égalités suivantes :
\[ \text{(I)}\quad A^{-1}=I_n-A, \] \[ \text{(II)}\quad A^{-1}=\frac12(3I_n-A), \] \[ \text{(III)}\quad \det A=0, \] \[ \text{(IV)}\quad \det A\ne0. \]Alors :
Question 22
Soit \(M_n(\mathbb R)\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre \(n\).
Alors :
\[ \dim M_n(\mathbb R)= \]Question 23
Calculer :
\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dt}{4t^2+4t+5}. \]Question 24
Si :
\[ \int_0^x g(t)\,dt=x\tan(\pi x), \]alors :
\[ g\left(\frac14\right)= \]Question 25
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a,b]\) telle que :
\[ f(a+b-x)=f(x), \qquad \forall x\in[a,b]. \]Alors :
\[ \int_a^bxf(x)\,dx= \]Conseil de travail
Le barème pénalisant les réponses fausses, il est préférable de vérifier soigneusement chaque proposition avant de répondre.
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