Correction Concours ENSA Tanger 2008 — Mathématiques
Concours d’entrée en première année du cycle préparatoire.
Correction pédagogique détaillée des 25 questions.
Cette page présente la correction détaillée de l’épreuve de mathématiques du concours ENSA Tanger 2008. Chaque réponse est accompagnée d’une justification exacte et adaptée au niveau du sujet.
Correction détaillée
Question 1 — Suite alternée
Pour tout entier naturel \(n\) :
\[ \cos(n\pi)=(-1)^n. \]Ainsi :
\[ \cos(2n\pi)=1 \qquad\text{et}\qquad \cos((2n+1)\pi)=-1. \]Les sous-suites d’indices pairs et impairs ont deux limites différentes.
Question 2 — Suite géométrique
On écrit :
\[ \frac{2^n}{3^{n-1}} = 3\left(\frac23\right)^n. \]Comme :
\[ 0\lt\frac23\lt1, \]on a :
\[ \left(\frac23\right)^n\longrightarrow0. \]Question 3 — Somme géométrique
On a :
\[ v_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{e^k}{\pi^{k-1}} = e\sum_{k=1}^{n} \left(\frac e\pi\right)^{k-1}. \]Comme \(0\lt\frac e\pi\lt1\) :
\[ v_n = e\, \frac{1-\left(\frac e\pi\right)^n} {1-\frac e\pi} \longrightarrow \frac{e}{1-\frac e\pi}. \]Donc :
\[ \lim_{n\to+\infty}v_n = \frac{\pi e}{\pi-e}. \]Question 4 — Somme des périmètres de carrés inscrits
Le périmètre du premier carré est :
\[ P_0=4\times12=48\ \text{cm}. \]Si un carré a pour côté \(s\), le carré formé par les milieux de ses côtés a pour côté :
\[ \frac{s}{\sqrt2}. \]Les périmètres forment donc une suite géométrique de premier terme \(48\) et de raison :
\[ q=\frac1{\sqrt2}. \]La somme totale vaut :
\[ P = \frac{48}{1-\frac1{\sqrt2}} = 48(2+\sqrt2). \]Question 5 — Somme télescopique
On utilise :
\[ \frac1{k(k+1)} = \frac1k-\frac1{k+1}. \]Ainsi :
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac1k-\frac1{k+1} \right) = 1-\frac1{n+1}. \]Par conséquent :
\[ S_n\longrightarrow1. \]Question 6 — Limite trigonométrique
On écrit :
\[ 1-\cos(5x) = 2\sin^2\left(\frac{5x}{2}\right). \]Donc :
\[ \frac{1-\cos(5x)}{\sin(3x)} = \frac{ 2\sin^2\left(\frac{5x}{2}\right) }{ \sin(3x) }. \]Le numérateur est de l’ordre de \(x^2\), tandis que le dénominateur est de l’ordre de \(x\). Plus précisément :
\[ \frac{1-\cos(5x)}{\sin(3x)} = \frac{25x}{6} \left( \frac{\sin\left(\frac{5x}{2}\right)} {\frac{5x}{2}} \right)^2 \frac{3x}{\sin(3x)}. \]Tous les facteurs entre parenthèses tendent vers \(1\), tandis que \(\frac{25x}{6}\to0\).
Question 7 — Primitive rationnelle en tan x
On pose \(u=\tan x\), donc \(du=(1+\tan^2x)\,dx\).
Or :
\[ \int\frac{du}{a^2+u^2} = \frac1a\arctan\left(\frac ua\right)+K. \]Avec \(a=2\) :
\[ \int\frac{du}{4+u^2} = \frac12 \arctan\left(\frac u2\right)+K. \]Question 8 — Produit de deux limites usuelles
On écrit :
\[ (\arctan x)\cot(5x) = \frac{\arctan x}{x} \cdot \frac{5x}{\tan(5x)} \cdot \frac15. \]Or :
\[ \frac{\arctan x}{x}\longrightarrow1 \qquad\text{et}\qquad \frac{\tan(5x)}{5x}\longrightarrow1. \]Question 9 — Limite d’une puissance
On pose \(y_x=(\cos x)^{1/x^2}\), puis on étudie \(\ln y_x\).
On écrit :
\[ \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \frac{\ln(\cos x)}{\cos x-1} \cdot \frac{\cos x-1}{x^2}. \]Lorsque \(x\to0\) :
\[ \frac{\ln(\cos x)}{\cos x-1}\longrightarrow1 \]car \(\displaystyle\frac{\ln u}{u-1}\to1\) lorsque \(u\to1\), et :
\[ \frac{\cos x-1}{x^2}\longrightarrow-\frac12. \]Donc :
\[ \ln y_x\longrightarrow-\frac12, \]et par continuité de l’exponentielle :
\[ y_x\longrightarrow e^{-1/2} = \frac{\sqrt e}{e}. \]Question 10 — Limite d’une moyenne intégrale
Pour une fonction continue \(\varphi\),
\[ \frac1h\int_a^{a+h}\varphi(x)\,dx \longrightarrow \varphi(a). \]Ici :
\[ \varphi(x)=\frac1{\arctan x} \qquad\text{et}\qquad a=\sqrt3. \]La fonction \(\varphi\) est continue au voisinage de \(\sqrt3\). Ainsi :
\[ \lim_{h\to0} \frac1h \int_{\sqrt3}^{\sqrt3+h} \frac1{\arctan x}\,dx = \frac1{\arctan(\sqrt3)}. \]Or :
\[ \arctan(\sqrt3)=\frac{\pi}{3}. \]Question 11 — Quotient de limites trigonométriques
Les deux premiers facteurs tendent vers \(1\).
Question 12 — Limite avec arctan
Comme :
\[ \frac{\arctan u}{u}\longrightarrow1 \qquad\text{lorsque }u\to0, \]on obtient :
\[ \frac{\arctan(2x)}x\longrightarrow2. \]Question 13 — Primitive de √x ln x
On prend \(u=\ln x\) et \(dv=\sqrt x\,dx\).
Alors :
\[ du=\frac{dx}{x} \qquad\text{et}\qquad v=\frac23x^{3/2}. \]Donc :
\[ \int\sqrt x\,\ln x\,dx = \frac23x^{3/2}\ln x - \frac23\int x^{1/2}\,dx. \]Ainsi :
\[ \int\sqrt x\,\ln x\,dx = \frac23x^{3/2}\ln x - \frac49x^{3/2} +K. \]En factorisant :
\[ \int\sqrt x\,\ln x\,dx = \frac29x\sqrt x\,(3\ln x-2)+K. \]Question 14 — Limite d’une intégrale impropre
Une primitive de :
\[ x\longmapsto\frac1{x(\ln x)^2} \]est :
\[ -\frac1{\ln x}. \]Ainsi :
\[ \int_{\sqrt e}^{n} \frac1{x(\ln x)^2}\,dx = -\frac1{\ln n} + \frac1{\ln(\sqrt e)}. \]Or :
\[ \ln(\sqrt e)=\frac12. \]Donc :
\[ \int_{\sqrt e}^{n} \frac1{x(\ln x)^2}\,dx = 2-\frac1{\ln n} \longrightarrow2. \]Question 15 — Tangente à une fonction définie par une intégrale
La fonction est définie, au voisinage gauche de \(1\), par :
\[ f(x) = \int_{1-x}^{1+x^2} e^{-\sqrt t}\,dt. \]Au point \(x=1\) :
\[ f(1) = \int_0^2e^{-\sqrt t}\,dt. \]Posons \(u=\sqrt t\), donc \(t=u^2\) et \(dt=2u\,du\). Alors :
\[ f(1) = 2\int_0^{\sqrt2}u e^{-u}\,du = 2-2(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2}. \]Par la formule de Leibniz :
\[ f'(x) = 2x\,e^{-\sqrt{1+x^2}} + e^{-\sqrt{1-x}}. \]Ainsi, à gauche de \(1\) :
\[ f'_g(1) = 1+2e^{-\sqrt2}. \]La demi-tangente à gauche a donc pour équation :
\[ y = 2-2(\sqrt2+1)e^{-\sqrt2} + \left(1+2e^{-\sqrt2}\right)(x-1). \]Question 16 — Valeur absolue et convergence
La fonction valeur absolue est continue. Donc :
\[ u_n\to L \Longrightarrow |u_n|\to|L|. \]L’assertion (I) est vraie.
Assertion (II)Elle est fausse. Par exemple, pour la suite constante :
\[ u_n=-L, \]on a \(|u_n|=|L|\), mais \(u_n\) ne tend pas vers \(L\) lorsque \(L\ne0\).
Assertion (III)On a :
\[ -|u_n|\le u_n\le|u_n|. \]Ainsi, si \(|u_n|\to0\), alors \(u_n\to0\). La réciproque résulte de la continuité de la valeur absolue.
Question 17 — Suite avec alternance
Pour les indices pairs :
\[ u_{2n} = \frac{1+\sqrt{2n}}{\sqrt{2n+1}} \longrightarrow1. \]Pour les indices impairs :
\[ u_{2n+1} = \frac{1-\sqrt{2n+1}}{\sqrt{2n+2}} \longrightarrow-1. \]Les deux sous-suites ont des limites différentes.
Question 18 — Familles de vecteurs dans R³
On exprime les vecteurs dans la base \(B=\{u,v,w\}\).
Famille \(S_1\)La matrice des coordonnées est :
\[ \begin{pmatrix} 0&1&1\\ 1&0&1\\ 1&1&0 \end{pmatrix}. \]Son déterminant vaut \(2\ne0\). Donc \(S_1\) est une base.
Famille \(S_2\)On remarque que :
\[ (u+w)-(u+v)=w-v. \]Les trois vecteurs sont liés. Donc \(S_2\) n’est pas une base.
Famille \(S_3\)Si :
\[ \alpha u+\beta w+\gamma(u-v)=0, \]alors :
\[ (\alpha+\gamma)u-\gamma v+\beta w=0. \]Comme \(B\) est une base :
\[ \gamma=0,\qquad\alpha=0,\qquad\beta=0. \]Donc \(S_3\) est libre et contient trois vecteurs : c’est une base.
Question 19 — Base d’un plan vectoriel
La condition \(x=z\) permet d’écrire tout vecteur de \(E\) sous la forme :
\[ (x,y,z)=(x,y,x). \]Donc :
\[ (x,y,x) = x(1,0,1)+y(0,1,0). \]Les deux vecteurs \((1,0,1)\) et \((0,1,0)\) sont linéairement indépendants et engendrent \(E\).
Question 20 — Sous-espaces vectoriels de R³
Le vecteur nul ne vérifie pas \(x+y+z=1\). Donc \(E\) n’est pas un sous-espace vectoriel.
Ensemble \(F\)Les vecteurs :
\[ (1,1,0) \qquad\text{et}\qquad (1,-1,0) \]appartiennent à \(F\), mais leur somme \((2,0,0)\) n’y appartient pas. Donc \(F\) n’est pas stable par addition.
Ensemble \(G\)Les vecteurs \((1,0,0)\) et \((0,1,0)\) appartiennent à \(G\), mais leur somme \((1,1,0)\) ne vérifie pas \(xy+z=0\). Donc \(G\) n’est pas un sous-espace.
Ensemble \(H\)Le vecteur nul ne vérifie pas \(y=1\). Donc \(H\) n’est pas un sous-espace.
Question 21 — Matrice vérifiant une équation polynomiale
À partir de :
\[ A^2-3A+2I_n=0, \]on obtient :
\[ 3A-A^2=2I_n. \]Donc :
\[ A(3I_n-A)=2I_n. \]Comme \(A\) commute avec \(3I_n-A\), on a aussi :
\[ (3I_n-A)A=2I_n. \]Ainsi, \(A\) est inversible et :
\[ A^{-1} = \frac12(3I_n-A). \]Par conséquent :
\[ \det A\ne0. \]Question 22 — Dimension de l’espace des matrices
Une matrice carrée d’ordre \(n\) possède \(n^2\) coefficients réels indépendants.
Une base canonique est formée des matrices \(E_{ij}\), pour :
\[ 1\le i\le n, \qquad 1\le j\le n, \]où \(E_{ij}\) possède un coefficient \(1\) à la position \((i,j)\) et \(0\) ailleurs.
Il y a donc \(n^2\) matrices dans cette base.
Question 23 — Intégrale d’une fonction rationnelle
On complète le carré :
\[ 4t^2+4t+5 = 4\left( \left(t+\frac12\right)^2+1 \right). \]Posons :
\[ u=t+\frac12. \]Lorsque \(t=-\frac12\), \(u=0\), et lorsque \(t=\frac12\), \(u=1\). Ainsi :
\[ \int_{-\frac12}^{\frac12} \frac{dt}{4t^2+4t+5} = \frac14 \int_0^1\frac{du}{1+u^2}. \]Donc :
\[ I = \frac14[\arctan u]_0^1 = \frac14\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{16}. \]Question 24 — Dérivation d’une intégrale
En dérivant l’égalité :
\[ \int_0^xg(t)\,dt = x\tan(\pi x), \]on obtient :
\[ g(x) = \tan(\pi x) + \pi x\left(1+\tan^2(\pi x)\right). \]Pour \(x=\frac14\) :
\[ \tan\left(\frac{\pi}{4}\right)=1 \]et :
\[ 1+\tan^2\left(\frac{\pi}{4}\right)=2. \]Ainsi :
\[ g\left(\frac14\right) = 1+\frac{\pi}{2} = \frac{\pi+2}{2}. \]Question 25 — Symétrie d’une intégrale
Posons :
\[ I=\int_a^bxf(x)\,dx. \]On effectue le changement de variable :
\[ u=a+b-x. \]En utilisant \(f(a+b-u)=f(u)\), on obtient :
\[ I = \int_a^b(a+b-u)f(u)\,du. \]Donc :
\[ I = (a+b)\int_a^bf(u)\,du-I. \]Ainsi :
\[ 2I = (a+b)\int_a^bf(x)\,dx. \]Tableau récapitulatif des réponses
| Question | Réponse finale |
|---|---|
| Q1 | C |
| Q2 | C |
| Q3 | A |
| Q4 | B |
| Q5 | B |
| Q6 | A |
| Q7 | B |
| Q8 | C |
| Q9 | B |
| Q10 | A |
| Q11 | A |
| Q12 | B |
| Q13 | B |
| Q14 | C |
| Q15 | Aucune proposition exacte |
| Q16 | B |
| Q17 | C |
| Q18 | C |
| Q19 | B |
| Q20 | C |
| Q21 | C |
| Q22 | A |
| Q23 | B |
| Q24 | C |
| Q25 | B |
Anomalie objective du sujet
À la question 15, la fonction donnée permet de calculer exactement la demi-tangente à gauche en \(x=1\), mais aucune des trois propositions ne correspond à l’équation obtenue.
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