Calcul intégral : aires, volumes et suites intégrales — Exercices 37 à 41
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Les exercices 37 à 41 utilisent le calcul intégral pour déterminer des aires et des volumes. Pour une aire, il faut d’abord identifier les courbes qui délimitent le domaine et étudier le signe de leur différence : une intégrale algébrique n’est pas toujours une aire. Quand le repère possède des unités physiques, le passage aux centimètres carrés ou cubes demande un facteur de conversion. Pour les volumes de révolution, le choix de l’axe fixe la variable d’intégration et l’expression du rayon. Les dernières questions mettent en relation l’intégration par parties, une suite d’intégrales et la formule du volume. Chaque solution vérifie la continuité et les bornes, explique la stratégie avant le calcul et interprète le résultat géométrique.
Repère de cours — Aires et volumes
Aire et signe. Si une fonction continue change de signe, on calcule l’aire située entre sa courbe et l’axe des abscisses en intégrant sa valeur absolue, ou en séparant les intervalles où elle garde un signe constant.
Deux courbes. Si les fonctions continues vérifient \(f(x)\geq g(x)\) sur le segment considéré, l’aire en unités d’aire est donnée par \(\int_a^b(f(x)-g(x))\,dx\).
Unités. Dans un repère orthogonal, une unité d’aire correspond à \(\|\vec i\|\,\|\vec j\|\) en unités physiques carrées. Pour un repère orthonormé d’unité \(\ell\) cm, le facteur de conversion du volume est \(\ell^3\).
Volume de révolution. Pour la rotation d’un domaine compris entre une courbe continue et l’axe des abscisses sur \([a;b]\), on utilise la méthode des disques : \(\mathcal V=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx\) en unités de volume. Autour de l’axe des ordonnées, lorsque le domaine et une fonction réciproque le permettent, on écrit le rayon en fonction de l’ordonnée.
Méthode. Délimiter le domaine, choisir les bornes, justifier le signe ou le rayon, calculer l’intégrale, puis indiquer l’unité du résultat.
Exercice 37
Objectif de l’exercice. L’aire cherchée est une grandeur géométrique positive : il faudra distinguer l’intégrale algébrique et la somme des aires des parties du domaine. L’étude du signe précède donc l’intégration par parties.
Question unique
Le plan est rapporté à un repère orthonormé.
Calculer l’aire du domaine délimité par la courbe de la fonction \(f\) définie par :
\[ f(x)=x^2\operatorname{Arctan}x, \]l’axe des abscisses et les droites d’équations :
\[ x=-1 \qquad\text{et}\qquad x=\sqrt3. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Aire avec changement de signe. L’intégrande est continue sur le segment considéré : le produit d’un polynôme et d’une fonction arctangente est continu. Avant toute primitive, il faut distinguer les intervalles sur lesquels la fonction est négative ou positive. Nous utiliserons ensuite l’imparité pour ramener la partie négative de l’aire à une intégrale positive, puis une intégration par parties pour calculer la primitive.
Pour tout \(x\in[-1;\sqrt3]\), on a \(x^2\geq0\). Le signe de \(f(x)\) est donc celui de \(\operatorname{Arctan}x\).
Ainsi :
\[ f(x)\leq0 \quad\text{sur}\quad [-1;0] \]et :
\[ f(x)\geq0 \quad\text{sur}\quad [0;\sqrt3]. \]L’aire en unités d’aire est donc :
\[ \mathcal A = -\int_{-1}^{0}f(x)\,dx + \int_0^{\sqrt3}f(x)\,dx. \]La fonction \(x\mapsto x^2\) est paire et la fonction \(\operatorname{Arctan}\) est impaire. Leur produit \(f\) est donc impair.
Par conséquent :
\[ -\int_{-1}^{0}f(x)\,dx = \int_0^1f(x)\,dx. \]Ainsi :
\[ \mathcal A = \int_0^1x^2\operatorname{Arctan}x\,dx + \int_0^{\sqrt3}x^2\operatorname{Arctan}x\,dx. \]Calculons une primitive de \(x^2\operatorname{Arctan}x\) par intégration par parties.
On obtient :
\[ \begin{aligned} \int x^2\operatorname{Arctan}x\,dx &= \frac{x^3}{3}\operatorname{Arctan}x - \frac13\int\frac{x^3}{1+x^2}\,dx. \end{aligned} \]Or :
\[ \frac{x^3}{1+x^2} = x-\frac{x}{1+x^2}. \]Une primitive cherchée est donc :
\[ F(x)= \frac{x^3}{3}\operatorname{Arctan}x - \frac{x^2}{6} + \frac16\ln(1+x^2). \]Comme \(F(0)=0\) :
\[ \begin{aligned} F(1) &= \frac{\pi}{12} - \frac16 + \frac{\ln2}{6}, \end{aligned} \]et :
\[ \begin{aligned} F(\sqrt3) &= \frac{\pi\sqrt3}{3} - \frac12 + \frac{\ln4}{6}\\ &= \frac{\pi\sqrt3}{3} - \frac12 + \frac{\ln2}{3}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \mathcal A &= F(1)+F(\sqrt3)\\ &= \frac{\pi}{12} + \frac{\pi\sqrt3}{3} - \frac23 + \frac{\ln2}{2}. \end{aligned} \]L’aire est positive et exprimée en unités d’aire, puisque l’énoncé ne fixe pas d’échelle physique. Le terme provenant de [−1;0] est ajouté avec son signe géométrique positif, et non soustrait du résultat final.
Exercice 38
Objectif de l’exercice. Deux vérifications sont indépendantes : situer correctement les courbes, puis convertir l’unité d’aire du repère orthogonal en centimètres carrés.
Question unique
Le plan est rapporté à un repère orthogonal \((O;\vec i,\vec j)\) avec :
\[ \|\vec i\|=2\,\text{cm} \qquad\text{et}\qquad \|\vec j\|=4\,\text{cm}. \]Calculer l’aire du domaine délimité par les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([e;e^2]\) par :
\[ f(x)=\frac{x+1}{x\ln x} \qquad\text{et}\qquad g(x)=\frac1{\ln x}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Aire entre deux courbes. Les deux expressions sont continues sur [e;e²], car x et ln x y sont strictement positifs. L’aire entre les courbes se calcule avec la différence « fonction supérieure moins fonction inférieure », et non avec l’une des deux fonctions prise isolément. Une fois l’aire obtenue en unités d’aire, il faut convertir les unités à l’aide des longueurs des deux vecteurs du repère orthogonal.
Pour tout \(x\in[e;e^2]\), on a \(x>0\) et \(\ln x>0\).
Calculons la différence :
\[ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= \frac{x+1}{x\ln x} - \frac1{\ln x}\\ &= \frac{x+1-x}{x\ln x}\\ &= \frac1{x\ln x}. \end{aligned} \]Comme \(x\ln x>0\), on a :
\[ f(x)-g(x)>0. \]La courbe de \(f\) est donc située au-dessus de celle de \(g\) sur \([e;e^2]\).
L’aire en unités d’aire est :
\[ \begin{aligned} \mathcal A_u &= \int_e^{e^2} \left(f(x)-g(x)\right)dx\\ &= \int_e^{e^2} \frac{dx}{x\ln x}. \end{aligned} \]Sur \([e;e^2]\), une primitive de \(\dfrac1{x\ln x}\) est :
\[ \ln(\ln x). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \mathcal A_u &= \left[ \ln(\ln x) \right]_e^{e^2}\\ &= \ln2-\ln1\\ &= \ln2. \end{aligned} \]Dans le repère donné, une unité d’aire représente :
\[ \|\vec i\|\times\|\vec j\| = 2\times4 = 8\,\text{cm}^2. \]L’aire réelle vaut donc :
\[ \mathcal A = 8\mathcal A_u. \]La valeur ln 2 est l’aire dans les coordonnées du repère. Le produit 2 × 4 = 8 est indispensable pour obtenir l’aire réelle en cm² ; il ne faut pas appliquer ce facteur à une seule dimension.
Exercice 39
Objectif de l’exercice. Le rayon et l’épaisseur sont tous deux mesurés avec le même facteur physique. L’identité trigonométrique tan²x = 1/cos²x − 1 permettra ensuite de calculer l’intégrale.
Question unique
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\) tel que :
\[ \|\vec i\|=2\,\text{cm}. \]Soit \(\mathcal C\) la courbe représentative de la restriction de la fonction \(x\mapsto\tan x\) sur :
\[ \left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]. \]Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \(\mathcal C\) autour de l’axe des abscisses.
Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Volume autour de l’axe des abscisses. La tangente est continue sur [−π/4;π/4], et son carré est positif. Pour le solide de révolution du domaine situé entre sa courbe et l’axe des abscisses, la section perpendiculaire à cet axe est un disque de rayon égal à la distance à l’axe, donc à la valeur absolue de tan x. L’unité du repère étant de 2 cm, il faut convertir simultanément le rayon et l’épaisseur des disques.
Le repère est orthonormé et \(\|\vec i\|=2\,\text{cm}\). On a donc également :
\[ \|\vec j\|=2\,\text{cm}. \]Dans les coordonnées du repère, un déplacement \(dx\) représente une longueur physique de :
\[ 2\,dx\ \text{cm}. \]Le rayon du disque obtenu à l’abscisse \(x\) est :
\[ 2|\tan x|\ \text{cm}. \]Le carré du rayon vaut donc :
\[ 4\tan^2x. \]Le volume réel est alors :
\[ \begin{aligned} \mathcal V &= \pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} 4\tan^2x\cdot2\,dx\\ &= 8\pi \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2x\,dx. \end{aligned} \]On utilise l’identité :
\[ \tan^2x= \frac1{\cos^2x}-1. \]Une primitive de \(\tan^2x\) est donc :
\[ \tan x-x. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \tan^2x\,dx &= \left[ \tan x-x \right]_{-\pi/4}^{\pi/4}\\ &= \left(1-\frac{\pi}{4}\right) - \left(-1+\frac{\pi}{4}\right)\\ &= 2-\frac{\pi}{2}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \mathcal V &= 8\pi \left( 2-\frac{\pi}{2} \right)\\ &= 16\pi-4\pi^2. \end{aligned} \]Le volume est positif et exprimé en cm³. Le facteur 8 correspond à 2³ : deux facteurs de 2 viennent du carré du rayon et le dernier de l’épaisseur des disques.
Exercice 40
Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\).
Soit \(\mathcal C\) la courbe représentative de la restriction de la fonction cosinus sur :
\[ I=[2\pi;3\pi]. \]Objectif de l’exercice. La restriction du cosinus doit être bijective pour obtenir une fonction inverse. Celle-ci permettra de décrire la section circulaire du solide à chaque hauteur.
Question 1
Vérifier que la fonction \(x\mapsto\cos x\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.
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Repère de cours — Bijection sur un segment. La restriction du cosinus à [2π;3π] est continue. En étudiant le signe de sa dérivée, nous prouverons qu’elle est strictement monotone et déterminerons son image. Ces deux propriétés assurent une bijection ; son inverse servira ensuite à exprimer le rayon du disque en fonction de l’ordonnée.
La fonction cosinus est continue sur le segment :
\[ I=[2\pi;3\pi]. \]Elle est dérivable sur \(I\), et :
\[ (\cos x)'=-\sin x. \]Pour tout \(x\in]2\pi;3\pi[\), on a :
\[ \sin x>0. \]Par conséquent :
\[ -\sin x<0. \]La fonction cosinus est donc strictement décroissante sur \([2\pi;3\pi]\).
De plus :
\[ \cos(2\pi)=1 \qquad\text{et}\qquad \cos(3\pi)=-1. \]La fonction cosinus réalise ainsi une bijection de \(I\) sur :
\[ J=[-1;1]. \]Pour tout \(y\in[-1;1]\), l’unique \(x\in[2\pi;3\pi]\) tel que \(y=\cos x\) est :
\[ x=2\pi+\operatorname{Arccos}y. \]On peut donc associer à chaque ordonnée y de [−1;1] une unique abscisse x de [2π;3π], condition nécessaire pour décrire les sections horizontales du solide.
Question 2
Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \(\mathcal C\) autour de l’axe des ordonnées.
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Méthode — Disques perpendiculaires à l’axe des ordonnées. Pour interpréter le volume, considérons le domaine compris entre l’axe des ordonnées et la courbe de cosinus sur [2π;3π], fermé par les segments horizontaux aux niveaux −1 et 1. Chaque section horizontale est un disque dont le rayon est l’abscisse de la courbe. La bijection démontrée permet d’exprimer cette abscisse en fonction de y. Le changement y=cos x redonne ensuite une intégrale trigonométrique.
D’après la question précédente, pour chaque \(y\in[-1;1]\), le rayon du disque perpendiculaire à l’axe des ordonnées est :
\[ r(y)=2\pi+\operatorname{Arccos}y. \]Le volume est donc :
\[ \mathcal V = \pi \int_{-1}^{1} \left( 2\pi+\operatorname{Arccos}y \right)^2dy. \]Pour calculer cette intégrale, posons :
\[ y=\cos x, \qquad dy=-\sin x\,dx. \]Les bornes deviennent :
\[ y=-1\Longrightarrow x=3\pi, \qquad y=1\Longrightarrow x=2\pi. \]Comme \(x=2\pi+\operatorname{Arccos}y\), on obtient :
\[ \begin{aligned} \mathcal V &= \pi \int_{3\pi}^{2\pi} x^2(-\sin x)\,dx\\ &= \pi \int_{2\pi}^{3\pi} x^2\sin x\,dx. \end{aligned} \]Une primitive de \(x^2\sin x\) est :
\[ P(x)= -x^2\cos x + 2x\sin x + 2\cos x. \]En effet :
\[ P'(x)=x^2\sin x. \]Aux bornes :
\[ \begin{aligned} P(3\pi) &= 9\pi^2-2, \end{aligned} \]et :
\[ \begin{aligned} P(2\pi) &= -4\pi^2+2. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \int_{2\pi}^{3\pi} x^2\sin x\,dx &= 9\pi^2-2 - \left(-4\pi^2+2\right)\\ &= 13\pi^2-4. \end{aligned} \]Cette valeur est exprimée en unités de volume : aucune longueur en centimètres n’est donnée dans l’énoncé. Le résultat correspond au volume du domaine de révolution rempli par les disques horizontaux.
Exercice 41
Pour tout \(p\in\mathbb N\), on pose :
\[ I_p= \int_1^e x\left(\ln x+1\right)^pdx. \]Objectif de l’exercice. La première question prépare le calcul du volume : on construit une relation entre intégrales par parties, puis on la réutilise après mise au carré de la fonction.
Question 1 a)
En utilisant une intégration par parties, montrer que :
\[ (\forall p\in\mathbb N^*) \qquad 2I_p= e^2\,2^p-pI_{p-1}-1. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Intégration par parties et récurrence entre intégrales. La fonction x ↦ x(1+ln x)^p est continue sur [1;e]. Pour faire apparaître l’intégrale d’indice p−1, nous dérivons la puissance du logarithme et choisissons x comme facteur à primitiver. La formule d’intégration par parties est applicable puisque les deux fonctions sont continûment dérivables sur ce segment.
Soit \(p\in\mathbb N^*\).
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I_p &= \left[ \frac{x^2}{2} (\ln x+1)^p \right]_1^e\\ &\quad- \frac p2 \int_1^e x(\ln x+1)^{p-1}\,dx. \end{aligned} \]L’intégrale restante est précisément \(I_{p-1}\).
À la borne \(x=e\) :
\[ \ln e+1=2. \]À la borne \(x=1\) :
\[ \ln1+1=1. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_p &= \frac{e^2}{2}2^p - \frac12 - \frac p2I_{p-1}. \end{aligned} \]En multipliant par \(2\) :
La relation relie l’intégrale d’indice p à celle d’indice p−1. Elle est utilisable pour p≥1 et prépare le calcul de I₂ sans intégrale nouvelle.
Question 1 b)
En déduire que :
\[ I_2=e^2+\frac12I_0. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Exploiter la relation précédente. La relation de la question 1 a) est vraie pour tout entier strictement positif. En choisissant successivement p=1 puis p=2, nous obtenons deux égalités dont l’une permet d’éliminer I₁. Ce passage évite de calculer directement de nouvelles primitives.
Pour \(p=1\), la relation précédente donne :
\[ 2I_1= 2e^2-I_0-1. \tag{1} \]Pour \(p=2\), elle donne :
\[ 2I_2= 4e^2-2I_1-1. \tag{2} \]En remplaçant \(2I_1\) dans l’égalité (2) par son expression donnée dans l’égalité (1) :
\[ \begin{aligned} 2I_2 &= 4e^2 - \left( 2e^2-I_0-1 \right) - 1\\ &= 2e^2+I_0. \end{aligned} \]En divisant par \(2\) :
L’égalité obtenue exprime I₂ en fonction de la seule intégrale élémentaire I₀. C’est précisément la simplification qui sera utile pour le volume.
Question 2
Calculer le volume du solide engendré par la rotation, autour de l’axe des abscisses sur \([1;e]\), de la courbe \(\mathcal C_f\) de la fonction :
\[ f(x)=\sqrt x\,(1+\ln x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Réutiliser la suite intégrale pour un volume. La fonction est continue et strictement positive sur [1;e]. Le solide associé à la rotation du domaine compris entre sa courbe et l’axe des abscisses se calcule par la méthode des disques. Le carré de la fonction est précisément l’intégrande définissant I₂ : nous utilisons donc le résultat précédent au lieu de recommencer l’intégration par parties.
Pour tout \(x\in[1;e]\), on a :
\[ \sqrt x>0 \qquad\text{et}\qquad 1+\ln x\geq1. \]Ainsi, \(f(x)>0\) sur \([1;e]\).
Le volume du solide est :
\[ \mathcal V = \pi \int_1^e \left(f(x)\right)^2dx. \]Or :
\[ \begin{aligned} \left(f(x)\right)^2 &= \left[ \sqrt x\,(1+\ln x) \right]^2\\ &= x(1+\ln x)^2. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \mathcal V = \pi \int_1^e x(1+\ln x)^2dx = \pi I_2. \]D’après la question précédente :
\[ I_2=e^2+\frac12I_0. \]Calculons \(I_0\) :
\[ \begin{aligned} I_0 &= \int_1^ex\,dx\\ &= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^e\\ &= \frac{e^2-1}{2}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_2 &= e^2 + \frac12 \cdot \frac{e^2-1}{2}\\ &= e^2+\frac{e^2-1}{4}\\ &= \frac{5e^2-1}{4}. \end{aligned} \]Le résultat est un volume en unités de volume. Il s’obtient sans refaire le calcul de I₂, puisque la question précédente a déjà fourni la relation nécessaire.
À retenir
Aires : étudier les signes et l’ordre des courbes avant toute intégration ; convertir ensuite les unités de longueur en unités d’aire.
Volumes : préciser le domaine et l’axe de rotation, exprimer la distance à l’axe et appliquer la formule des disques. Si l’axe est vertical, une bijection permet parfois d’exprimer le rayon en fonction de l’ordonnée.
Intégration par parties : choisir les fonctions de manière à faire apparaître une intégrale déjà introduite, puis exploiter cette relation dans les questions suivantes.
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