Calcul intégral : changements de variable avancés et fonctions intégrales — Exercices 27 à 32
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Ce bloc approfondit les substitutions algébriques et exponentielles ainsi que le calcul de fonctions définies par une intégrale.
Exercice 27
Question unique
En posant \(t=2x+1\), calculer l’intégrale :
\[ I= \int_{-3/2}^{3/2} \frac{dx}{4x^2+4x+5}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
\[
t=2x+1,
\qquad
dt=2\,dx,
\qquad
dx=\frac12\,dt.
\]
Transformons les bornes :
\[ x=-\frac32 \Longrightarrow t=-2, \] \[ x=\frac32 \Longrightarrow t=4. \]D’autre part :
\[ 4x^2+4x+5 = (2x+1)^2+4 = t^2+4. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I &= \frac12 \int_{-2}^{4} \frac{dt}{t^2+4}\\ &= \frac14 \left[ \operatorname{Arctan} \left(\frac t2\right) \right]_{-2}^{4}\\ &= \frac14 \left[ \operatorname{Arctan}2 - \operatorname{Arctan}(-1) \right]. \end{aligned} \]Or :
\[ \operatorname{Arctan}(-1)=-\frac{\pi}{4}. \]
\[
\boxed{
I=
\frac14
\left(
\operatorname{Arctan}2+\frac{\pi}{4}
\right)
=
\frac14\operatorname{Arctan}2+\frac{\pi}{16}
}.
\]
Exercice 28
Question unique
Montrer que :
\[ \int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} = \frac{2\pi}{3\sqrt3}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Commençons par compléter le carré :
\[ \begin{aligned} x^2-x+1 &= \left(x-\frac12\right)^2 + \frac34. \end{aligned} \]Posons :
\[
t=
\frac{2x-1}{\sqrt3},
\qquad
x=
\frac{1+\sqrt3\,t}{2},
\qquad
dx=\frac{\sqrt3}{2}\,dt.
\]
Les nouvelles bornes sont :
\[ x=0 \Longrightarrow t=-\frac1{\sqrt3}, \] \[ x=1 \Longrightarrow t=\frac1{\sqrt3}. \]De plus :
\[ x^2-x+1 = \frac34(1+t^2). \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{dx}{x^2-x+1} &= \frac{2}{\sqrt3} \int_{-1/\sqrt3}^{1/\sqrt3} \frac{dt}{1+t^2}\\ &= \frac{2}{\sqrt3} \left[ \operatorname{Arctan}t \right]_{-1/\sqrt3}^{1/\sqrt3}. \end{aligned} \]Comme :
\[ \operatorname{Arctan} \left(\frac1{\sqrt3}\right) = \frac{\pi}{6}, \]on obtient :
\[ \frac{2}{\sqrt3} \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \right). \]
\[
\boxed{
\int_0^1
\frac{dx}{x^2-x+1}
=
\frac{2\pi}{3\sqrt3}
}.
\]
Exercice 29
Énoncé
Pour tout \(x\in]-1;0[\), on pose :
\[ F(x)= \int_{-1/2}^{x} \frac{dt}{t\sqrt{1+t}}. \]
Question 1
Calculer \(F(x)\) en fonction de \(x\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Soit \(x\in]-1;0[\). L’intervalle dont les extrémités sont \(-\dfrac12\) et \(x\) est inclus dans \(]-1;0[\). L’intégrande y est donc continue.
Posons :
\[
u=\sqrt{1+t},
\qquad
t=u^2-1,
\qquad
dt=2u\,du.
\]
Les bornes deviennent :
\[ t=-\frac12 \Longrightarrow u=\frac1{\sqrt2}, \] \[ t=x \Longrightarrow u=\sqrt{1+x}. \]De plus :
\[ \frac{dt}{t\sqrt{1+t}} = \frac{2u\,du}{(u^2-1)u} = \frac{2\,du}{u^2-1}. \]Or :
\[ \frac2{u^2-1} = \frac1{u-1} - \frac1{u+1}. \]Comme \(0<u<1\), une primitive peut s’écrire :
\[ \ln\left(\frac{1-u}{1+u}\right). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} F(x) &= \left[ \ln\left(\frac{1-u}{1+u}\right) \right]_{1/\sqrt2}^{\sqrt{1+x}}\\ &= \ln\left( \frac{1-\sqrt{1+x}} {1+\sqrt{1+x}} \right)\\ &\quad- \ln\left( \frac{1-\frac1{\sqrt2}} {1+\frac1{\sqrt2}} \right). \end{aligned} \]Or :
\[ \frac{1-\frac1{\sqrt2}} {1+\frac1{\sqrt2}} = \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1} = 3-2\sqrt2, \]et :
\[ \frac1{3-2\sqrt2} = 3+2\sqrt2. \]
\[
\boxed{
F(x)=
\ln\left[
(3+2\sqrt2)
\frac{1-\sqrt{1+x}}
{1+\sqrt{1+x}}
\right]
}.
\]
Question 2
Calculer :
\[ \lim_{x\to0^-}F(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-1^+}F(x). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Lorsque \(x\to0^-\) :
\[ \sqrt{1+x}\longrightarrow1^-, \]donc :
\[ \frac{1-\sqrt{1+x}} {1+\sqrt{1+x}} \longrightarrow0^+. \]Par conséquent :
\[ \boxed{ \lim_{x\to0^-}F(x)=-\infty }. \]Lorsque \(x\to-1^+\) :
\[ \sqrt{1+x}\longrightarrow0^+, \]donc :
\[ \frac{1-\sqrt{1+x}} {1+\sqrt{1+x}} \longrightarrow1. \]Ainsi :
\[ \lim_{x\to-1^+}F(x) = \ln(3+2\sqrt2). \]Comme :
\[ 3+2\sqrt2=(1+\sqrt2)^2, \]
\[
\boxed{
\lim_{x\to0^-}F(x)=-\infty
}
\qquad\text{et}\qquad
\boxed{
\lim_{x\to-1^+}F(x)
=
2\ln(1+\sqrt2)
}.
\]
Exercice 30
Énoncé
En utilisant l’intégration par changement de variable, calculer les intégrales suivantes.
Intégrale \(I\)
\[
I=
\int_0^{\ln3}
\sqrt{e^x-1}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Posons :
\[
t=\sqrt{e^x-1},
\qquad
e^x=1+t^2.
\]
En dérivant \(e^x=1+t^2\) :
\[ e^x\,dx=2t\,dt. \]Comme \(e^x=1+t^2\) :
\[ dx= \frac{2t}{1+t^2}\,dt. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow t=0, \] \[ x=\ln3 \Longrightarrow t=\sqrt2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I &= 2\int_0^{\sqrt2} \frac{t^2}{1+t^2}\,dt\\ &= 2\int_0^{\sqrt2} \left( 1-\frac1{1+t^2} \right)dt\\ &= 2 \left[ t-\operatorname{Arctan}t \right]_0^{\sqrt2}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
I=
2\sqrt2
-
2\operatorname{Arctan}(\sqrt2)
}.
\]
Intégrale \(J\)
\[
J=
\int_{-3}^{0}
\frac{x+2}{\sqrt{x+4}}\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Posons :
\[
t=\sqrt{x+4},
\qquad
x=t^2-4,
\qquad
dx=2t\,dt.
\]
Les bornes deviennent :
\[ x=-3\Longrightarrow t=1, \qquad x=0\Longrightarrow t=2. \]De plus :
\[ x+2=t^2-2. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} J &= \int_1^2 \frac{t^2-2}{t}\,2t\,dt\\ &= 2\int_1^2(t^2-2)\,dt\\ &= 2 \left[ \frac{t^3}{3}-2t \right]_1^2. \end{aligned} \]
\[
\boxed{J=\frac23}.
\]
Intégrale \(K\)
\[
K=
\int_0^{\pi/4}
\tan^4x\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Posons :
\[
t=\tan x,
\qquad
dt=(1+\tan^2x)\,dx,
\qquad
dx=\frac{dt}{1+t^2}.
\]
Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow t=0, \qquad x=\frac{\pi}{4}\Longrightarrow t=1. \]Ainsi :
\[ K= \int_0^1 \frac{t^4}{1+t^2}\,dt. \]La division euclidienne donne :
\[ \frac{t^4}{1+t^2} = t^2-1+\frac1{1+t^2}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} K &= \int_0^1 \left( t^2-1+\frac1{1+t^2} \right)dt\\ &= \left[ \frac{t^3}{3} - t + \operatorname{Arctan}t \right]_0^1. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
K=
\frac{\pi}{4}-\frac23
}.
\]
Intégrale \(L\)
\[
L=
\int_0^{\ln2}
\frac{e^x}{1+e^x}
\ln(1+e^x)\,dx.
\]
Lire la correction + Masquer la correction −
Posons :
\[
t=\ln(1+e^x),
\qquad
dt=
\frac{e^x}{1+e^x}\,dx.
\]
Les nouvelles bornes sont :
\[ x=0 \Longrightarrow t=\ln2, \] \[ x=\ln2 \Longrightarrow t=\ln3. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} L &= \int_{\ln2}^{\ln3}t\,dt\\ &= \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{\ln2}^{\ln3}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
L=
\frac12
\left[
(\ln3)^2-(\ln2)^2
\right]
}.
\]
Exercice 31
Énoncé
Pour tout \(x\in\mathbb R^+\), on pose :
\[ f(x)= \int_0^x \frac{\sqrt t}{\sqrt{1+t^3}}\,dt. \]
Question 1
Calculer la dérivée sur \(\mathbb R\) de la fonction :
\[ \varphi:x\longmapsto \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Pour tout \(x\in\mathbb R\) :
\[ \sqrt{x^2+1}>|x|. \]Donc :
\[ x+\sqrt{x^2+1}>0. \]La fonction \(\varphi\) est ainsi bien définie et dérivable sur \(\mathbb R\).
Calculons sa dérivée :
\[ \begin{aligned} \varphi'(x) &= \frac{ 1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} }{ x+\sqrt{x^2+1} }\\ &= \frac{ \dfrac{\sqrt{x^2+1}+x} {\sqrt{x^2+1}} }{ x+\sqrt{x^2+1} }\\ &= \frac1{\sqrt{x^2+1}}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
\varphi'(x)=
\frac1{\sqrt{x^2+1}}
}.
\]
Question 2
En utilisant un changement de variable, calculer \(f(x)\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Soit \(x\in\mathbb R^+\). Posons :
\[
u=t^{3/2}=t\sqrt t,
\qquad
du=\frac32\sqrt t\,dt,
\]
\[
\sqrt t\,dt=\frac23\,du.
\]
Les bornes deviennent :
\[ t=0\Longrightarrow u=0, \] \[ t=x \Longrightarrow u=x^{3/2}. \]D’autre part :
\[ t^3=u^2. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac23 \int_0^{x^{3/2}} \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}. \end{aligned} \]D’après la question précédente, une primitive de \(\dfrac1{\sqrt{1+u^2}}\) est :
\[ \ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right). \]Donc :
\[ \begin{aligned} f(x) &= \frac23 \left[ \ln\left(u+\sqrt{1+u^2}\right) \right]_0^{x^{3/2}}\\ &= \frac23 \ln\left( x^{3/2}+\sqrt{1+x^3} \right), \end{aligned} \]car :
\[ \ln(0+\sqrt1)=0. \]
\[
\boxed{
f(x)=
\frac23
\ln\left(
x^{3/2}+\sqrt{1+x^3}
\right)
}.
\]
Exercice 32
Énoncé
Pour tout \(a\in\mathbb R_+^*\) et tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :
\[ I_n(a)= \int_1^a \frac{\sqrt{1+x^{2n}}}{x}\,dx. \]
Question 1
Vérifier que, pour tout \(t\in\mathbb R\setminus\{-1;1\}\) :
\[ \frac{t^2}{t^2-1} = 1+\frac12 \left( \frac1{t-1} - \frac1{t+1} \right). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Réduisons le membre de droite au même dénominateur :
\[ \begin{aligned} 1+\frac12 \left( \frac1{t-1} - \frac1{t+1} \right) &= 1+\frac12 \left( \frac{(t+1)-(t-1)} {(t-1)(t+1)} \right)\\ &= 1+\frac1{t^2-1}\\ &= \frac{t^2-1+1}{t^2-1}\\ &= \frac{t^2}{t^2-1}. \end{aligned} \]
\[
\boxed{
\frac{t^2}{t^2-1}
=
1+\frac12
\left(
\frac1{t-1}
-
\frac1{t+1}
\right)
}.
\]
Question 2
En posant :
\[ t=\sqrt{1+x^{2n}}, \]calculer \(I_n(a)\) en fonction de \(n\) et de \(a\).
Lire la correction + Masquer la correction −
Comme \(x>0\), on pose :
\[
t=\sqrt{1+x^{2n}},
\qquad
t^2=1+x^{2n}.
\]
En différentiant :
\[ 2t\,dt = 2n x^{2n-1}\,dx. \]Donc :
\[ \frac{dx}{x} = \frac{t}{n x^{2n}}\,dt. \]Or :
\[ x^{2n}=t^2-1. \]Ainsi :
\[ \frac{dx}{x} = \frac{t}{n(t^2-1)}\,dt. \]Les bornes deviennent :
\[ x=1 \Longrightarrow t=\sqrt2, \] \[ x=a \Longrightarrow t=\sqrt{1+a^{2n}}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac1n \int_{\sqrt2}^{\sqrt{1+a^{2n}}} \frac{t^2}{t^2-1}\,dt. \end{aligned} \]D’après la question précédente :
\[ \frac{t^2}{t^2-1} = 1+\frac12 \left( \frac1{t-1} - \frac1{t+1} \right). \]Comme \(t>1\), une primitive est :
\[ t+ \frac12 \ln\left( \frac{t-1}{t+1} \right). \]En posant :
\[ T=\sqrt{1+a^{2n}}, \]on obtient :
\[ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac1n \left[ t+ \frac12 \ln\left( \frac{t-1}{t+1} \right) \right]_{\sqrt2}^{T}\\ &= \frac1n \left[ T-\sqrt2 + \frac12 \ln\left( \frac{T-1}{T+1} \cdot \frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1} \right) \right]. \end{aligned} \]Cette expression peut être simplifiée. En effet :
\[ (T-1)(T+1)=T^2-1=a^{2n}, \]donc :
\[ \frac12 \ln\left( \frac{T-1}{T+1} \right) = \ln\left( \frac{T-1}{a^n} \right). \]De plus :
\[ \frac12 \ln\left( \frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1} \right) = \ln(1+\sqrt2). \]
\[
\boxed{
I_n(a)=
\frac1n
\left[
\sqrt{1+a^{2n}}
-
\sqrt2
+
\ln\left(
\frac{
(1+\sqrt2)
\left(\sqrt{1+a^{2n}}-1\right)
}{a^n}
\right)
\right]
}.
\]
Méthodes à retenir :
dans un changement de variable, il faut transformer la différentielle et les bornes avant de poursuivre le calcul. Lorsqu’une question fournit une dérivée ou une décomposition rationnelle, ce résultat doit être réutilisé explicitement dans la question suivante.
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