Calcul intégral — Correction du Problème 9

Étude de fonction, suite définie implicitement, aire et sommes de Riemann — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen national 2015 — Session normale

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Énoncé complet Fonction et suite Aire et sommes

Questions

I.1 I.2 I.3.a I.3.b I.3.c I.3.d I.4.a I.4.b I.4.c I.4.d II.1.a II.1.b II.1.c II.2.a II.2.b II.2.c

Énoncé complet

Première partie

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb R_+^*\) par :

\[ f(x)=\frac{-\ln x}{\sqrt{x}}. \]

On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\), avec \(\|\vec i\|=1\ \mathrm{cm}\).

1. Calculer : \[ \lim_{x\to0^+}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x), \] puis donner une interprétation géométrique à chacun des résultats obtenus.
2. Calculer \(f'(x)\), puis étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb R_+^*\).
3. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on considère la fonction \(g_n\), définie sur \(]0;1[\), par : \[ g_n(x)=f(x)-x^n. \]
   1. Montrer que \(g_n\) est strictement décroissante sur \(]0;1[\).
   2. Montrer qu’il existe un unique \(\alpha_n\in]0;1[\) tel que : \[ f(\alpha_n)=(\alpha_n)^n. \]
   3. Montrer que : \[ (\forall n\in\mathbb N^*)\qquad g_n(\alpha_{n+1})<0. \]
   4. Montrer que la suite \((\alpha_n)_{n\geq1}\) est strictement croissante, puis en déduire qu’elle est convergente.
4. On pose : \[ \ell=\lim_{n\to+\infty}\alpha_n. \]
   1. Vérifier que : \[ 0<\alpha_1\leq\ell\leq1. \]
   2. Vérifier que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) : \[ h(\alpha_n)=n, \] où : \[ h(x)= -\frac12+ \frac{\ln(-\ln x)}{\ln x}. \]
   3. Montrer que : \[ \ell=1. \]
   4. En déduire que : \[ \lim_{n\to+\infty}(\alpha_n)^n=0. \]

Deuxième partie

1. 1. Étudier le signe de : \[ \int_x^1 f(t)\,dt \] pour tout \(x\in\mathbb R_+^*\).
   2. En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[ \int_x^1f(t)\,dt = 4-4\sqrt{x}+2\sqrt{x}\ln x. \]
   3. En déduire, en \(\mathrm{cm}^2\), l’aire du domaine délimité par \(\mathcal C\) et les droites : \[ x=1,\qquad x=e^2,\qquad y=0. \]
2. Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose : \[ u_n= \frac1n\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right). \]
   1. Montrer que, pour \(n\geq2\) et \(1\leq k\leq n-1\) : \[ \frac1n f\left(\frac{k+1}{n}\right) \leq \int_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)\,dx \leq \frac1n f\left(\frac{k}{n}\right). \]
   2. Montrer que : \[ \int_{1/n}^{1}f(t)\,dt \leq u_n \leq \frac1n f\left(\frac1n\right) + \int_{1/n}^{1}f(t)\,dt. \]
   3. En déduire : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]

Partie I — Étude de \(f\) et de la suite \((\alpha_n)\)

Question I.1 — Limites et interprétations géométriques

Calculer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Limite en \(0^+\)

Posons : \[ X=\frac1{\sqrt{x}}. \]

Lorsque \(x\to0^+\), on a \(X\to+\infty\), puis : \[ x=\frac1{X^2} \qquad\text{et}\qquad -\ln x=2\ln X. \]

Ainsi : \[ f(x)=2X\ln X. \]

Comme \(X\to+\infty\), on obtient :

\[ \boxed{\lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty}. \]

La droite d’équation : \[ \boxed{x=0} \] est donc une asymptote verticale à \(\mathcal C\).

Limite en \(+\infty\)

Posons \(X=\sqrt{x}\). Alors \(X\to+\infty\) et : \[ f(x) = -\frac{2\ln X}{X}. \]

Comme : \[ \lim_{X\to+\infty}\frac{\ln X}{X}=0, \] on obtient :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}. \]

La droite d’équation : \[ \boxed{y=0} \] est donc une asymptote horizontale à \(\mathcal C\) au voisinage de \(+\infty\).

Pour \(x>1\), on a \(\ln x>0\), donc \(f(x)<0\). La courbe s’approche ainsi de l’asymptote par-dessous.

Question I.2 — Dérivée et variations de \(f\)

Calculer \(f'(x)\), puis dresser le tableau de variations.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\) : \[ f(x)=-(\ln x)x^{-1/2}. \]

En dérivant : \[ \begin{aligned} f'(x) &= -\frac1x x^{-1/2} +\frac12(\ln x)x^{-3/2}\\ &= \frac{\ln x-2}{2x^{3/2}}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f'(x)=\frac{\ln x-2}{2x^{3/2}} }. \]

Le dénominateur est strictement positif. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(\ln x-2\).

\[ \ln x-2=0 \iff x=e^2. \]

Ainsi, \(f\) est strictement décroissante sur \(]0;e^2]\), puis strictement croissante sur \([e^2;+\infty[\).

De plus : \[ f(1)=0 \qquad\text{et}\qquad f(e^2)=-\frac2e. \]

\(x\)	\(0\)		\(1\)		\(e^2\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(-\)	\(-\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)
\(f(x)\)	\(+\infty\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\searrow\)	\(-\dfrac2e\)	\(\nearrow\)	\(0\)

Tracé qualitatif corrigé : le minimum est exactement placé à l’abscisse \(e^2\), conformément au tableau de variations.

Question I.3.a — Monotonie de \(g_n\)

Montrer que \(g_n\) est strictement décroissante sur \(]0;1[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\in]0;1[\) : \[ g_n'(x)=f'(x)-nx^{n-1}. \]

Or \(x<1<e^2\), donc \(f'(x)<0\). De plus : \[ nx^{n-1}>0. \]

Par conséquent : \[ g_n'(x)=f'(x)-nx^{n-1}<0. \]

\[ \boxed{ g_n\text{ est strictement décroissante sur } ]0;1[ }. \]

Question I.3.b — Existence et unicité de \(\alpha_n\)

Montrer que l’équation \(f(x)=x^n\) admet une unique solution dans \(]0;1[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(g_n\) est continue et strictement décroissante sur \(]0;1[\).

De plus : \[ \lim_{x\to0^+}g_n(x) = \lim_{x\to0^+}\bigl(f(x)-x^n\bigr) = +\infty \] et : \[ \lim_{x\to1^-}g_n(x) = f(1)-1=-1. \]

Le théorème des valeurs intermédiaires assure donc l’existence d’un réel \(\alpha_n\in]0;1[\) tel que \(g_n(\alpha_n)=0\). La stricte décroissance assure son unicité.

\[ \boxed{ \exists!\,\alpha_n\in]0;1[ \text{ tel que } f(\alpha_n)=(\alpha_n)^n }. \]

Question I.3.c — Signe de \(g_n(\alpha_{n+1})\)

Montrer que \(g_n(\alpha_{n+1})<0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Par définition de \(\alpha_{n+1}\) : \[ f(\alpha_{n+1})=(\alpha_{n+1})^{n+1}. \]

Ainsi : \[ \begin{aligned} g_n(\alpha_{n+1}) &= f(\alpha_{n+1})-(\alpha_{n+1})^n\\ &= (\alpha_{n+1})^{n+1}-(\alpha_{n+1})^n\\ &= (\alpha_{n+1})^n(\alpha_{n+1}-1). \end{aligned} \]

Or \(0<\alpha_{n+1}<1\). Donc : \[ (\alpha_{n+1})^n>0 \qquad\text{et}\qquad \alpha_{n+1}-1<0. \]

\[ \boxed{g_n(\alpha_{n+1})<0}. \]

Question I.3.d — Monotonie et convergence de \((\alpha_n)\)

Montrer que \((\alpha_n)\) est strictement croissante, puis convergente.

Lire la correction + Masquer la correction −

Nous avons : \[ g_n(\alpha_n)=0 \qquad\text{et}\qquad g_n(\alpha_{n+1})<0. \]

Comme \(g_n\) est strictement décroissante, une valeur strictement négative est obtenue à droite de son unique zéro. Ainsi : \[ \alpha_{n+1}>\alpha_n. \]

La suite \((\alpha_n)\) est donc strictement croissante. De plus, pour tout \(n\) : \[ 0<\alpha_n<1. \]

La suite \((\alpha_n)\) est croissante et majorée par \(1\). Elle est donc convergente.

Question I.4.a — Encadrement de la limite

Vérifier que \(0<\alpha_1\leq\ell\leq1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La suite \((\alpha_n)\) est croissante. Donc : \[ \alpha_1\leq\alpha_n\leq\ell. \]

Comme \(0<\alpha_n<1\) pour tout \(n\), le passage à la limite donne :

\[ \boxed{0<\alpha_1\leq\ell\leq1}. \]

Question I.4.b — Relation \(h(\alpha_n)=n\)

Établir la relation demandée à partir de \(f(\alpha_n)=(\alpha_n)^n\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(0<\alpha_n<1\), on a \(-\ln(\alpha_n)>0\). La relation : \[ \frac{-\ln(\alpha_n)}{\sqrt{\alpha_n}} = (\alpha_n)^n \] relie donc deux nombres strictement positifs.

En prenant le logarithme : \[ \ln(-\ln\alpha_n) - \frac12\ln\alpha_n = n\ln\alpha_n. \]

Comme \(\ln\alpha_n\neq0\), on divise par \(\ln\alpha_n\) : \[ -\frac12+ \frac{\ln(-\ln\alpha_n)}{\ln\alpha_n} = n. \]

\[ \boxed{h(\alpha_n)=n}. \]

Question I.4.c — Détermination de \(\ell\)

Montrer que \(\ell=1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Supposons, par l’absurde, que : \[ \ell<1. \]

D’après la question précédente, \(\ell\geq\alpha_1>0\). La fonction : \[ h(x)= -\frac12+ \frac{\ln(-\ln x)}{\ln x} \] est donc continue au point \(\ell\in]0;1[\).

Comme \(\alpha_n\to\ell\), on aurait : \[ h(\alpha_n)\to h(\ell), \] qui est un nombre réel fini.

Mais : \[ h(\alpha_n)=n\to+\infty. \]

Cette contradiction montre que \(\ell\) ne peut pas être strictement inférieure à \(1\). Comme \(\ell\leq1\) :

\[ \boxed{\ell=1}. \]

Question I.4.d — Limite de \((\alpha_n)^n\)

Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}(\alpha_n)^n. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Par définition de \(\alpha_n\) : \[ (\alpha_n)^n=f(\alpha_n). \]

Or : \[ \alpha_n\to1 \] et \(f\) est continue en \(1\). Donc : \[ f(\alpha_n)\to f(1)=0. \]

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}(\alpha_n)^n=0 }. \]

Partie II — Intégrale, aire et sommes de Riemann

Question II.1.a — Signe de \(\displaystyle\int_x^1f(t)\,dt\)

Étudier le signe de cette intégrale pour tout \(x>0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Le signe de \(f(t)\) est celui de \(-\ln t\). Ainsi : \[ f(t)>0\text{ sur } ]0;1[, \qquad f(1)=0, \qquad f(t)<0\text{ sur } ]1;+\infty[. \]

• Si \(0<x<1\), alors : \[ \int_x^1f(t)\,dt>0. \]
• Si \(x=1\), alors : \[ \int_1^1f(t)\,dt=0. \]
• Si \(x>1\), alors : \[ \int_x^1f(t)\,dt = -\int_1^xf(t)\,dt>0, \] car \(f(t)<0\) sur \(]1;x]\).

\[ \boxed{ \int_x^1f(t)\,dt\geq0 } \] pour tout \(x>0\), avec égalité uniquement pour \(x=1\).

Question II.1.b — Calcul de l’intégrale

Établir la formule demandée par intégration par parties.

Lire la correction + Masquer la correction −

On calcule d’abord : \[ \int_1^x\frac{-\ln t}{\sqrt t}\,dt. \]

Posons : \[ u(t)=-\ln t, \qquad v'(t)=\frac1{\sqrt t}. \]

Alors : \[ u'(t)=-\frac1t, \qquad v(t)=2\sqrt t. \]

Par intégration par parties : \[ \begin{aligned} \int_1^xf(t)\,dt &= \left[-2\sqrt t\ln t\right]_1^x + 2\int_1^x\frac{dt}{\sqrt t}\\ &= -2\sqrt x\ln x+4\sqrt x-4. \end{aligned} \]

En inversant les bornes : \[ \int_x^1f(t)\,dt = -\int_1^xf(t)\,dt. \]

\[ \boxed{ \int_x^1f(t)\,dt = 4-4\sqrt x+2\sqrt x\ln x }. \]

Question II.1.c — Aire du domaine

Calculer l’aire comprise entre \(\mathcal C\), \(y=0\), \(x=1\) et \(x=e^2\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Sur \([1;e^2]\), on a \(f(x)\leq0\). L’aire cherchée est donc : \[ \mathcal A = -\int_1^{e^2}f(t)\,dt = \int_{e^2}^1f(t)\,dt. \]

En utilisant la formule précédente avec \(x=e^2\) : \[ \begin{aligned} \mathcal A &= 4-4\sqrt{e^2} +2\sqrt{e^2}\ln(e^2)\\ &= 4-4e+2e\times2\\ &= 4. \end{aligned} \]

Le repère est orthonormé et l’unité graphique vaut \(1\ \mathrm{cm}\).

\[ \boxed{\mathcal A=4\ \mathrm{cm}^2}. \]

Question II.2.a — Encadrement sur un sous-intervalle

Établir l’encadrement pour \(n\geq2\) et \(1\leq k\leq n-1\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(1\leq k\leq n-1\), on a : \[ 0<\frac{k}{n} \leq x \leq\frac{k+1}{n} \leq1. \]

La fonction \(f\) est décroissante sur \(]0;1]\). Donc : \[ f\left(\frac{k+1}{n}\right) \leq f(x) \leq f\left(\frac{k}{n}\right). \]

En intégrant sur \(\left[\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right]\), dont la longueur est \(\frac1n\), on obtient :

\[ \boxed{ \frac1n f\left(\frac{k+1}{n}\right) \leq \int_{k/n}^{(k+1)/n}f(x)\,dx \leq \frac1n f\left(\frac{k}{n}\right) }. \]

Question II.2.b — Encadrement de \(u_n\)

Sommer les inégalités précédentes.

Lire la correction + Masquer la correction −

En sommant pour \(k=1,\ldots,n-1\) : \[ \frac1n\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k+1}{n}\right) \leq \int_{1/n}^{1}f(x)\,dx \leq \frac1n\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right). \]

Comme \(f(1)=0\) : \[ \frac1n\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k+1}{n}\right) = u_n-\frac1n f\left(\frac1n\right) \] et : \[ \frac1n\sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) = u_n. \]

Ainsi : \[ u_n-\frac1n f\left(\frac1n\right) \leq \int_{1/n}^{1}f(x)\,dx \leq u_n. \]

\[ \boxed{ \int_{1/n}^{1}f(t)\,dt \leq u_n \leq \frac1n f\left(\frac1n\right) + \int_{1/n}^{1}f(t)\,dt }. \]

Question II.2.c — Limite de \(u_n\)

Déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la formule obtenue : \[ \begin{aligned} \int_{1/n}^{1}f(t)\,dt &= 4-\frac4{\sqrt n} +\frac2{\sqrt n}\ln\left(\frac1n\right)\\ &= 4-\frac4{\sqrt n} -\frac{2\ln n}{\sqrt n}. \end{aligned} \]

Comme : \[ \frac1{\sqrt n}\to0 \qquad\text{et}\qquad \frac{\ln n}{\sqrt n}\to0, \] on a : \[ \int_{1/n}^{1}f(t)\,dt\to4. \]

De plus : \[ \begin{aligned} \frac1n f\left(\frac1n\right) &= \frac1n \frac{-\ln(1/n)}{\sqrt{1/n}}\\ &= \frac{\ln n}{\sqrt n} \to0. \end{aligned} \]

L’encadrement de \(u_n\) et le théorème d’encadrement donnent :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}u_n=4}. \]

Méthodes à retenir

• Pour une fonction comportant \(\ln x\) et \(\sqrt x\), une substitution simple permet de ramener les limites à \(\frac{\ln X}{X}\).
• Une suite définie par une équation peut être étudiée à l’aide d’une famille de fonctions strictement monotones.
• Le signe de la fonction détermine directement l’expression de l’aire à l’aide de la valeur absolue de l’intégrale.
• Une somme de Riemann construite avec une fonction décroissante s’encadre par les intégrales associées aux extrémités des sous-intervalles.

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