Calcul intégral — Correction du Problème 10

Fonction intégrale composée avec \(\sqrt{x}\), dérivation et demi-tangente verticale — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen national 2014 — Session de rattrapage

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Énoncé complet Question 1.a Question 1.b Question 1.c Question 2.a Question 2.b

Organisation

Continuité et dérivation Étude en \(0\)

Énoncé complet

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ g(x)=\int_{\sqrt{x}}^{1}e^{-t^2}\,dt. \]

1. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on pose : \[ k(x)=\int_1^x e^{-t^2}\,dt. \]
   1. Vérifier que, pour tout \(x\in[0;+\infty[\) : \[ g(x)=-k(\sqrt{x}). \]
   2. Montrer que \(g\) est continue sur \([0;+\infty[\) et dérivable sur \(]0;+\infty[\).
   3. Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\), puis en déduire que \(g\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}_+^*\).
2. 1. Montrer que, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\) : \[ \frac{g(x)-g(0)}{x} < -\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}. \]
   2. En déduire que \(g\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.

Partie I — Continuité, dérivation et variations

Question 1.a — Relation entre \(g\) et \(k\)

Pour : \[ k(x)=\int_1^x e^{-t^2}\,dt, \] vérifier que : \[ g(x)=-k(\sqrt{x}) \qquad(x\geq0). \]

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Soit \(x\in[0;+\infty[\). La quantité \(\sqrt{x}\) est alors bien définie.

Par définition de \(k\) : \[ k(\sqrt{x}) = \int_1^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\,dt. \]

En inversant les bornes de l’intégrale : \[ -k(\sqrt{x}) = -\int_1^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\,dt = \int_{\sqrt{x}}^1e^{-t^2}\,dt. \]

Or : \[ g(x)=\int_{\sqrt{x}}^1e^{-t^2}\,dt. \]

\[ \boxed{ \forall x\in[0;+\infty[,\qquad g(x)=-k(\sqrt{x}) }. \]

Question 1.b — Continuité et dérivabilité de \(g\)

Montrer que \(g\) est continue sur \([0;+\infty[\) et dérivable sur \(]0;+\infty[\).

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Étude de la fonction \(k\)

La fonction : \[ t\longmapsto e^{-t^2} \] est continue sur \(\mathbb{R}\).

Par conséquent, la fonction : \[ k(x)=\int_1^x e^{-t^2}\,dt \] est dérivable sur \(\mathbb{R}\), et : \[ k'(x)=e^{-x^2}. \]

Toute fonction dérivable étant continue, \(k\) est également continue sur \(\mathbb{R}\).

Continuité de \(g\)

La fonction : \[ x\longmapsto\sqrt{x} \] est continue sur \([0;+\infty[\).

La fonction \(k\) est continue sur \(\mathbb{R}\). La fonction composée : \[ x\longmapsto k(\sqrt{x}) \] est donc continue sur \([0;+\infty[\).

Comme : \[ g(x)=-k(\sqrt{x}), \] on conclut que \(g\) est continue sur \([0;+\infty[\).

Dérivabilité sur \(]0;+\infty[\)

La fonction \(x\mapsto\sqrt{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\), et la fonction \(k\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Leur composition est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\). Par conséquent, \(g\) est dérivable sur cet intervalle.

\[ \boxed{ g\text{ est continue sur }[0;+\infty[ } \] et : \[ \boxed{ g\text{ est dérivable sur } ]0;+\infty[ }. \]

La continuité de \(\sqrt{x}\) en \(0\) suffit pour obtenir la continuité de \(g\) en \(0\). En revanche, la fonction \(x\mapsto\sqrt{x}\) n’a pas de dérivée finie à droite en \(0\). La dérivabilité de \(g\) en ce point doit donc être étudiée directement à l’aide du taux d’accroissement.

Question 1.c — Dérivée et variations de \(g\)

Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x>0\), puis en déduire les variations de \(g\).

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Pour tout \(x>0\) : \[ g(x)=-k(\sqrt{x}). \]

En utilisant la dérivée d’une fonction composée : \[ g'(x) = -k'(\sqrt{x})\times\frac1{2\sqrt{x}}. \]

Or : \[ k'(u)=e^{-u^2}. \]

En prenant \(u=\sqrt{x}\), on obtient : \[ k'(\sqrt{x}) = e^{-(\sqrt{x})^2} = e^{-x}. \]

\[ \boxed{ \forall x>0,\qquad g'(x)=-\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}} }. \]

Pour tout \(x>0\) : \[ e^{-x}>0 \qquad\text{et}\qquad 2\sqrt{x}>0. \]

Par conséquent : \[ g'(x)<0. \]

\[ \boxed{ g\text{ est strictement décroissante sur } ]0;+\infty[ }. \]

Valeurs remarquables et signe

En \(x=0\) : \[ g(0)=\int_0^1e^{-t^2}\,dt>0. \]

En \(x=1\) : \[ g(1)=\int_1^1e^{-t^2}\,dt=0. \]

Ainsi, compte tenu de la stricte décroissance : \[ \begin{cases} g(x)>0,&0\leq x<1,\\[1mm] g(1)=0,\\[1mm] g(x)<0,&x>1. \end{cases} \]

\(x\)	\(0\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(g'(x)\)		\(-\)	\(-\)	\(-\)
\(g(x)\)	\(\displaystyle\int_0^1e^{-t^2}\,dt\)	\(\searrow\)	\(0\)	\(\searrow\)

Partie II — Étude du comportement de \(g\) en \(0\)

Question 2.a — Encadrement du taux d’accroissement

Montrer que, pour tout \(x>0\) : \[ \frac{g(x)-g(0)}x < -\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}. \]

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Soit \(x>0\). On a : \[ g(x)=\int_{\sqrt{x}}^1e^{-t^2}\,dt \] et : \[ g(0)=\int_0^1e^{-t^2}\,dt. \]

En utilisant la relation de Chasles : \[ \begin{aligned} g(x)-g(0) &= \int_{\sqrt{x}}^1e^{-t^2}\,dt - \int_0^1e^{-t^2}\,dt\\ &= -\int_0^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\,dt. \end{aligned} \]

Considérons l’intervalle : \[ \left[0;\frac{\sqrt{x}}2\right]. \]

Pour tout : \[ t\in\left[0;\frac{\sqrt{x}}2\right], \] on a : \[ 0\leq t^2\leq\frac{x}{4}<x. \]

La fonction exponentielle étant strictement croissante : \[ -t^2>-x \quad\Longrightarrow\quad e^{-t^2}>e^{-x}. \]

Par conséquent : \[ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\,dt &> \int_0^{\sqrt{x}/2}e^{-x}\,dt\\ &= e^{-x} \left[ t \right]_0^{\sqrt{x}/2}\\ &= \frac{\sqrt{x}}2e^{-x}. \end{aligned} \]

En multipliant cette inégalité par \(-1\), le sens de l’inégalité change : \[ -\int_0^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\,dt < -\frac{\sqrt{x}}2e^{-x}. \]

Or : \[ g(x)-g(0) = -\int_0^{\sqrt{x}}e^{-t^2}\,dt. \]

On obtient donc : \[ g(x)-g(0) < -\frac{\sqrt{x}}2e^{-x}. \]

Comme \(x>0\), on peut diviser les deux membres par \(x\) sans changer le sens de l’inégalité : \[ \frac{g(x)-g(0)}x < -\frac{\sqrt{x}}{2x}e^{-x}. \]

Enfin : \[ \frac{\sqrt{x}}x=\frac1{\sqrt{x}}. \]

\[ \boxed{ \forall x>0,\qquad \frac{g(x)-g(0)}x < -\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}} }. \]

Question 2.b — Non-dérivabilité à droite et interprétation

En déduire que \(g\) n’est pas dérivable à droite en \(0\), puis donner une interprétation géométrique.

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Pour tout \(x>0\), nous avons : \[ \frac{g(x)-g(0)}x < -\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}}. \]

Lorsque \(x\to0^+\) : \[ e^{-x}\to1 \qquad\text{et}\qquad 2\sqrt{x}\to0^+. \]

Par conséquent : \[ \lim_{x\to0^+} \left( -\frac{e^{-x}}{2\sqrt{x}} \right) = -\infty. \]

L’inégalité précédente permet alors de conclure : \[ \boxed{ \lim_{x\to0^+} \frac{g(x)-g(0)}x = -\infty }. \]

Le nombre dérivé à droite de \(g\) en \(0\) devrait être une limite réelle finie : \[ g'_d(0) = \lim_{x\to0^+} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}. \]

Or cette limite vaut \(-\infty\). Elle n’est donc pas un nombre réel.

\[ \boxed{ g\text{ n’est pas dérivable à droite en }0 }. \]

Interprétation géométrique

Posons : \[ A\left( 0; g(0) \right) = A\left( 0; \int_0^1e^{-t^2}\,dt \right). \]

Le taux d’accroissement tend vers \(-\infty\). La courbe représentative de \(g\) admet donc, au point \(A\), une demi-tangente verticale.

Cette demi-tangente a pour équation : \[ \boxed{x=0}. \]

Puisque \(g\) est décroissante au voisinage de \(0\), la courbe descend lorsque \(x\) augmente à partir de \(0\).

Représentation schématique : la courbe admet en \(A\left(0;g(0)\right)\) une demi-tangente verticale d’équation \(x=0\).

Méthodes à retenir

• Une fonction définie par une intégrale à borne variable peut être exprimée comme la composée d’une primitive et de la borne.
• La continuité en un point ajouté au domaine ne garantit pas l’existence d’un nombre dérivé fini en ce point.
• Pour étudier la dérivabilité à droite en \(0\), il faut revenir directement au taux d’accroissement : \[ \frac{g(x)-g(0)}x. \]
• Une limite infinie du taux d’accroissement correspond géométriquement à une demi-tangente verticale.

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