Calcul intégral — Correction du Problème 13

Symétrie multiplicative, dérivation d’une intégrale à deux bornes variables et identité intégrale — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen national 2012 — Session de rattrapage

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Énoncé complet Étude de \(F\) Identité intégrale

Questions

Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5

Énoncé complet

On pose, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^*\) :

\[ F(x)= \int_{1/x}^{x} \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. \]

1. Calculer : \[ F(1). \]
2. Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\), puis calculer \(F'(x)\).

   En déduire que :

   \[ (\forall x\in\mathbb{R}_+^*) \qquad F'(x)=0. \]
3. En utilisant une intégration par parties, montrer que : \[ F(x)= \left( \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x \right)\ln x - \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \]
4. Montrer que, pour tout \(x>0\) : \[ \operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Arctan}x. \]
5. En déduire que, pour tout \(x>0\) : \[ \ln x = \frac2\pi \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \]

Partie I — Étude de la fonction \(F\)

Question 1 — Calcul de \(F(1)\)

Calculer : \[ F(1). \]

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Par définition : \[ F(1) = \int_{1/1}^{1} \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. \]

Or : \[ \frac11=1. \]

Les deux bornes de l’intégrale sont donc égales : \[ F(1) = \int_1^1 \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt = 0. \]

\[ \boxed{F(1)=0}. \]

Question 2 — Dérivabilité et calcul de \(F'(x)\)

Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\), puis démontrer que : \[ F'(x)=0. \]

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Continuité de l’intégrande

Posons : \[ \varphi(t)=\frac{\ln t}{1+t^2}. \]

La fonction \(t\mapsto\ln t\) est continue sur \(]0;+\infty[\), et : \[ 1+t^2>0 \qquad(t>0). \]

Par conséquent, \(\varphi\) est continue sur \(]0;+\infty[\).

Dérivation de l’intégrale

Les fonctions : \[ x\longmapsto x \qquad\text{et}\qquad x\longmapsto\frac1x \] sont dérivables sur \(]0;+\infty[\).

La fonction : \[ F(x)=\int_{1/x}^{x}\varphi(t)\,dt \] est donc dérivable sur \(]0;+\infty[\).

Pour une intégrale à deux bornes variables : \[ \left( \int_{a(x)}^{b(x)} \varphi(t)\,dt \right)' = \varphi(b(x))b'(x) - \varphi(a(x))a'(x). \]

Ici : \[ a(x)=\frac1x, \qquad a'(x)=-\frac1{x^2}, \] et : \[ b(x)=x, \qquad b'(x)=1. \]

Ainsi : \[ \begin{aligned} F'(x) &= \varphi(x) - \varphi\left(\frac1x\right) \left(-\frac1{x^2}\right)\\ &= \varphi(x) + \frac1{x^2} \varphi\left(\frac1x\right). \end{aligned} \]

Calculons chacun des termes : \[ \varphi(x) = \frac{\ln x}{1+x^2}. \]

D’autre part : \[ \begin{aligned} \varphi\left(\frac1x\right) &= \frac{ \ln\left(\frac1x\right) }{ 1+\frac1{x^2} }\\ &= \frac{ -\ln x }{ \frac{x^2+1}{x^2} }\\ &= -\frac{x^2\ln x}{x^2+1}. \end{aligned} \]

Donc : \[ \frac1{x^2} \varphi\left(\frac1x\right) = -\frac{\ln x}{x^2+1}. \]

Finalement : \[ \begin{aligned} F'(x) &= \frac{\ln x}{1+x^2} - \frac{\ln x}{1+x^2}\\ &= 0. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ (\forall x>0)\qquad F'(x)=0 }. \]

Conséquence

Puisque \(F'(x)=0\) sur l’intervalle \(]0;+\infty[\), la fonction \(F\) est constante sur cet intervalle.

Or : \[ F(1)=0. \]

\[ \boxed{ (\forall x>0)\qquad F(x)=0 }. \]

Partie II — Intégration par parties et identité intégrale

Question 3 — Intégration par parties

Montrer que : \[ F(x)= \left( \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x \right)\ln x - \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \]

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Pour tout \(x>0\) : \[ F(x)= \int_{1/x}^{x} \frac{\ln t}{1+t^2}\,dt. \]

Effectuons une intégration par parties en choisissant :

\[ u(t)=\ln t, \qquad u'(t)=\frac1t, \] \[ v'(t)=\frac1{1+t^2}, \qquad v(t)=\operatorname{Arctan}t. \]

La formule d’intégration par parties donne : \[ \begin{aligned} F(x) &= \left[ \ln t\,\operatorname{Arctan}t \right]_{1/x}^{x}\\ &\quad- \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \end{aligned} \]

Détaillons le terme de bord : \[ \begin{aligned} \left[ \ln t\,\operatorname{Arctan}t \right]_{1/x}^{x} &= \ln x\,\operatorname{Arctan}x\\ &\quad- \ln\left(\frac1x\right) \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right). \end{aligned} \]

Or : \[ \ln\left(\frac1x\right)=-\ln x. \]

Par conséquent : \[ \begin{aligned} \left[ \ln t\,\operatorname{Arctan}t \right]_{1/x}^{x} &= \ln x\,\operatorname{Arctan}x\\ &\quad+ \ln x\, \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right)\\ &= \left( \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x \right)\ln x. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ F(x)= \left( \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x \right)\ln x - \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt }. \]

Cette intégration par parties reste valable lorsque \(0<x<1\). Dans ce cas, la borne inférieure \(\frac1x\) est supérieure à la borne \(x\), et l’orientation de l’intégrale prend automatiquement en compte cet ordre.

Question 4 — Relation entre \(\operatorname{Arctan}x\) et \(\operatorname{Arctan}\frac1x\)

Montrer que, pour tout \(x>0\) : \[ \operatorname{Arctan}\frac1x = \frac{\pi}{2} - \operatorname{Arctan}x. \]

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Considérons la fonction \(A\) définie sur \(]0;+\infty[\) par : \[ A(x)= \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\left(\frac1x\right). \]

Pour tout \(x>0\) : \[ \left(\operatorname{Arctan}x\right)' = \frac1{1+x^2}. \]

D’autre part : \[ \begin{aligned} \left( \operatorname{Arctan}\frac1x \right)' &= \frac{ -\frac1{x^2} }{ 1+\frac1{x^2} }\\ &= -\frac1{1+x^2}. \end{aligned} \]

Ainsi : \[ A'(x) = \frac1{1+x^2} - \frac1{1+x^2} = 0. \]

La fonction \(A\) est donc constante sur \(]0;+\infty[\).

Calculons sa valeur en \(1\) : \[ \begin{aligned} A(1) &= \operatorname{Arctan}1+ \operatorname{Arctan}1\\ &= \frac\pi4+\frac\pi4\\ &= \frac\pi2. \end{aligned} \]

Par conséquent, pour tout \(x>0\) : \[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x = \frac\pi2. \]

\[ \boxed{ \operatorname{Arctan}\frac1x = \frac\pi2-\operatorname{Arctan}x }. \]

Question 5 — Déduction de l’identité intégrale

Montrer que, pour tout \(x>0\) : \[ \ln x = \frac2\pi \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \]

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D’après l’étude de la fonction \(F\) : \[ F(x)=0 \qquad\text{pour tout }x>0. \]

D’après l’intégration par parties : \[ F(x)= \left( \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x \right)\ln x - \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \]

Or : \[ \operatorname{Arctan}x+ \operatorname{Arctan}\frac1x = \frac\pi2. \]

On obtient donc : \[ 0= \frac\pi2\ln x - \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt. \]

Par conséquent : \[ \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt = \frac\pi2\ln x. \]

En multipliant les deux membres par \(\frac2\pi\) :

\[ \boxed{ \ln x = \frac2\pi \int_{1/x}^{x} \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt } \qquad(x>0). \]

Pour \(x=1\), les deux membres sont bien nuls : \[ \ln1=0 \] et : \[ \int_1^1 \frac{\operatorname{Arctan}t}{t}\,dt = 0. \]

Méthodes à retenir

• Pour dériver une intégrale possédant deux bornes variables, utiliser : \[ \left( \int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt \right)' = f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x). \]
• Lorsque \(F'(x)=0\) sur un intervalle, la fonction \(F\) est constante sur cet intervalle.
• Une borne de la forme \(\frac1x\) suggère souvent une symétrie multiplicative entre \(x\) et \(\frac1x\).
• L’intégration par parties transforme ici le facteur \(\ln t\) en \(\frac1t\) et fait apparaître la fonction \(\operatorname{Arctan}\).

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