Calcul intégral — Correction du Problème 14

Fonction intégrale, changement de variable, bijection et fonction réciproque — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen national 2016 — Session normale

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Énoncé complet Signe et variations Expression de \(F\) Bijection et réciproque

Questions

Question 1.a Question 1.b Question 1.c Question 2.a Question 2.b Question 3.a Question 3.b

Énoncé complet

On considère la fonction \(F\) définie sur : \[ I=]0;+\infty[ \] par :

\[ F(x)= \int_{\ln2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^t-1}}\,dt. \]

1. 1. Étudier le signe de \(F(x)\) pour tout \(x\in I\).
   2. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur \(I\) et calculer \(F'(x)\) pour tout \(x\in I\).
   3. Montrer que la fonction \(F\) est strictement croissante sur \(I\).
2. 1. En utilisant un changement de variable et en posant : \[ u=\sqrt{e^t-1}, \] montrer que, pour tout \(x\in I\) : \[ F(x) = 2\operatorname{Arctan} \sqrt{e^x-1} - \frac{\pi}{2}. \]
   2. Calculer : \[ \lim_{x\to0^+}F(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}F(x). \]
3. 1. Montrer que la fonction \(F\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.
   2. Déterminer la fonction réciproque \(F^{-1}\).

Partie I — Signe, dérivabilité et variations de \(F\)

Question 1.a — Signe de \(F(x)\)

Étudier le signe de : \[ F(x)= \int_{\ln2}^{x} \frac{1}{\sqrt{e^t-1}}\,dt. \]

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Pour tout \(t>0\), on a : \[ e^t>1. \]

Donc : \[ e^t-1>0 \] et par conséquent : \[ \frac1{\sqrt{e^t-1}}>0. \]

L’intégrande est ainsi strictement positif sur \(]0;+\infty[\).

Cas \(0<x<\ln2\)

Les bornes étant dans l’ordre inverse : \[ \begin{aligned} F(x) &= \int_{\ln2}^{x} \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}\\ &= - \int_x^{\ln2} \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}. \end{aligned} \]

L’intégrale située après le signe moins est strictement positive. Donc : \[ F(x)<0. \]

Cas \(x=\ln2\)

Les deux bornes sont égales : \[ F(\ln2) = \int_{\ln2}^{\ln2} \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}} = 0. \]

Cas \(x>\ln2\)

L’intégrande étant strictement positif et les bornes étant dans l’ordre croissant : \[ F(x)>0. \]

\[ \boxed{ \begin{cases} F(x)<0,&0<x<\ln2,\\[1mm] F(\ln2)=0,\\[1mm] F(x)>0,&x>\ln2. \end{cases} } \]

Question 1.b — Dérivabilité et calcul de \(F'(x)\)

Montrer que \(F\) est dérivable sur \(I\), puis calculer sa dérivée.

Lire la correction + Masquer la correction −

Considérons la fonction : \[ \varphi(t)=\frac1{\sqrt{e^t-1}}. \]

La fonction \(t\mapsto e^t-1\) est continue et strictement positive sur \(]0;+\infty[\).

Par conséquent, la fonction \(\varphi\) est continue sur \(I=]0;+\infty[\).

La fonction : \[ F(x)=\int_{\ln2}^{x}\varphi(t)\,dt \] est donc dérivable sur \(I\), et le théorème fondamental du calcul intégral donne : \[ F'(x)=\varphi(x). \]

\[ \boxed{ (\forall x>0)\qquad F'(x)=\frac1{\sqrt{e^x-1}} }. \]

Question 1.c — Variations de \(F\)

Montrer que \(F\) est strictement croissante sur \(]0;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x>0\) : \[ e^x-1>0. \]

Donc : \[ \sqrt{e^x-1}>0 \] et : \[ F'(x)=\frac1{\sqrt{e^x-1}}>0. \]

\[ \boxed{ F\text{ est strictement croissante sur } ]0;+\infty[ }. \]

\(x\)	\(0\)		\(\ln2\)		\(+\infty\)
\(F'(x)\)		\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(F(x)\)		\(\nearrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)

Partie II — Expression explicite et limites de \(F\)

Question 2.a — Changement de variable

En posant : \[ u=\sqrt{e^t-1}, \] montrer que : \[ F(x) = 2\operatorname{Arctan}\sqrt{e^x-1} - \frac{\pi}{2}. \]

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Soit \(x>0\). Dans l’intégrale : \[ F(x)= \int_{\ln2}^{x} \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}}, \] posons : \[ u=\sqrt{e^t-1}. \]

On a : \[ u^2=e^t-1. \]

Donc : \[ e^t=1+u^2. \]

En dérivant la relation \(u^2=e^t-1\) : \[ 2u\,du=e^t\,dt. \]

Comme \(e^t=1+u^2\), on obtient : \[ dt=\frac{2u}{1+u^2}\,du. \]

De plus : \[ \sqrt{e^t-1}=u. \]

Par conséquent : \[ \frac{dt}{\sqrt{e^t-1}} = \frac1u \times \frac{2u}{1+u^2}\,du = \frac{2}{1+u^2}\,du. \]

Transformation des bornes

Lorsque : \[ t=\ln2, \] on a : \[ u=\sqrt{e^{\ln2}-1} = \sqrt{2-1} = 1. \]

Lorsque : \[ t=x, \] on a : \[ u=\sqrt{e^x-1}. \]

L’intégrale devient donc : \[ F(x) = 2 \int_1^{\sqrt{e^x-1}} \frac{du}{1+u^2}. \]

Une primitive de : \[ u\longmapsto\frac1{1+u^2} \] est : \[ u\longmapsto\operatorname{Arctan}u. \]

Ainsi : \[ \begin{aligned} F(x) &= 2 \left[ \operatorname{Arctan}u \right]_1^{\sqrt{e^x-1}}\\ &= 2\operatorname{Arctan}\sqrt{e^x-1} - 2\operatorname{Arctan}1. \end{aligned} \]

Or : \[ \operatorname{Arctan}1=\frac{\pi}{4}. \]

\[ \boxed{ (\forall x>0)\qquad F(x) = 2\operatorname{Arctan}\sqrt{e^x-1} - \frac{\pi}{2} }. \]

Question 2.b — Limites aux bornes de \(I\)

Calculer : \[ \lim_{x\to0^+}F(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}F(x). \]

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Limite en \(0^+\)

Lorsque \(x\to0^+\) : \[ e^x\to1. \]

Donc : \[ e^x-1\to0^+ \] et : \[ \sqrt{e^x-1}\to0. \]

Par continuité de la fonction \(\operatorname{Arctan}\) : \[ \operatorname{Arctan}\sqrt{e^x-1} \to \operatorname{Arctan}0 = 0. \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to0^+}F(x) = -\frac{\pi}{2} }. \]

Limite en \(+\infty\)

Lorsque \(x\to+\infty\) : \[ e^x-1\to+\infty. \]

Donc : \[ \sqrt{e^x-1}\to+\infty. \]

Or : \[ \lim_{u\to+\infty}\operatorname{Arctan}u = \frac{\pi}{2}. \]

Par conséquent : \[ \begin{aligned} \lim_{x\to+\infty}F(x) &= 2\times\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\\ &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}F(x) = \frac{\pi}{2} }. \]

\(x\)	\(0\)		\(\ln2\)		\(+\infty\)
\(F'(x)\)		\(+\)	\(+\)	\(+\)
\(F(x)\)	\(-\dfrac{\pi}{2}\)	\(\nearrow\)	\(0\)	\(\nearrow\)	\(\dfrac{\pi}{2}\)

Les valeurs \(-\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{\pi}{2}\) sont des limites aux bornes de l’intervalle \(I\). Elles ne sont pas atteintes par la fonction \(F\).

Partie III — Bijection et fonction réciproque

Question 3.a — Bijection réalisée par \(F\)

Montrer que \(F\) réalise une bijection de \(I\) sur un intervalle \(J\) à déterminer.

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(F\) est dérivable sur \(I\). Elle est donc continue sur \(I\).

De plus, \(F\) est strictement croissante sur \(I=]0;+\infty[\).

Enfin : \[ \lim_{x\to0^+}F(x) = -\frac{\pi}{2} \] et : \[ \lim_{x\to+\infty}F(x) = \frac{\pi}{2}. \]

Une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle réalise une bijection de cet intervalle sur son image.

Ainsi : \[ F(I) = \left] -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right[. \]

\[ \boxed{ F\text{ réalise une bijection de } ]0;+\infty[ \text{ sur } J= \left] -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right[ }. \]

Question 3.b — Détermination de \(F^{-1}\)

Déterminer la fonction réciproque de \(F\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit : \[ y\in \left] -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right[. \]

Comme \(F\) est bijective, il existe un unique \(x>0\) tel que : \[ y=F(x). \]

En utilisant l’expression explicite de \(F\) : \[ y = 2\operatorname{Arctan}\sqrt{e^x-1} - \frac{\pi}{2}. \]

Donc : \[ \operatorname{Arctan}\sqrt{e^x-1} = \frac y2+\frac{\pi}{4}. \]

Puisque : \[ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}, \] on a : \[ 0 < \frac y2+\frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2}. \]

Sur cet intervalle, la fonction tangente est bien définie, strictement croissante et positive. On peut donc écrire : \[ \sqrt{e^x-1} = \tan\left( \frac y2+\frac{\pi}{4} \right). \]

Les deux membres étant positifs ou nuls, on peut les élever au carré : \[ e^x-1 = \tan^2\left( \frac y2+\frac{\pi}{4} \right). \]

Ainsi : \[ e^x = 1+ \tan^2\left( \frac y2+\frac{\pi}{4} \right). \]

En appliquant la fonction logarithme : \[ x = \ln\left( 1+ \tan^2\left( \frac y2+\frac{\pi}{4} \right) \right). \]

\[ \boxed{ F^{-1}(y) = \ln\left( 1+ \tan^2\left( \frac y2+\frac{\pi}{4} \right) \right) } \] pour : \[ \boxed{ y\in \left] -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right[ }. \]

Autre écriture

En utilisant : \[ 1+\tan^2\theta = \frac1{\cos^2\theta}, \] et comme : \[ 0<\theta<\frac{\pi}{2}, \] donc \(\cos\theta>0\), on obtient aussi : \[ \boxed{ F^{-1}(y) = -2\ln\left[ \cos\left( \frac y2+\frac{\pi}{4} \right) \right] }. \]

Tracé qualitatif de \(F\) : fonction strictement croissante, passant par \((\ln2;0)\), avec images comprises entre \(-\frac{\pi}{2}\) et \(\frac{\pi}{2}\).

Méthodes à retenir

• Le signe d’une fonction définie par une intégrale dépend du signe de l’intégrande et de l’ordre des bornes.
• Si l’intégrande est continue, alors : \[ \left( \int_a^x f(t)\,dt \right)'=f(x). \]
• Lors d’un changement de variable, il faut transformer la variable, la différentielle et les deux bornes.
• Pour déterminer une fonction réciproque, il faut tenir compte des intervalles d’appartenance afin que chaque transformation soit réversible.

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