Calcul intégral — Correction du Problème 11

Fonction auxiliaire, primitive, convexité et suite définie implicitement — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen national 2013 — Session de rattrapage

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Énoncé complet Étude de \(f\) Primitive \(F\) Fonction \(\varphi\) Suite \((\alpha_n)\)

Questions

1.a1.b 1.c1.d 2.a2.b 2.c2.d 2.e2.f 3.a3.b 3.c4.a 4.b

Énoncé complet

1. Étude de la fonction \(f\)

On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par :

\[ f(0)=1,\qquad f(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}\quad(x>0). \]

1. Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\). On pourra utiliser \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\ln^2x=0\).
3. Calculer \(f'(x)\) pour \(x>0\).
4. Dresser le tableau de variations de \(f\).

2. Étude de la primitive \(F\)

On pose :

\[ F(x)=\int_0^xf(t)\,dt. \]

1. Déterminer une primitive de \(\frac1{x\ln x}\) sur \([e;+\infty[\).
2. Montrer que, pour \(t\geq e\) : \[ t\ln t\leq\sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq\sqrt2\,t\ln t. \]
3. En déduire l’encadrement de l’intégrale sur \([e;x]\).
4. Montrer que \(F(x)\to+\infty\) et \(\frac{F(x)}x\to0\).
5. Déterminer les deux points d’inflexion de \(\mathcal C_F\).
6. Tracer \(\mathcal C_F\).

3. Étude de \(\varphi\)

\[ \varphi(x)=x-F(x). \]

1. Étudier la limite et les variations de \(\varphi\).
2. Montrer que \(\varphi(x)=n\) admet une unique solution \(\alpha_n\).
3. Montrer que \(\alpha_n\geq n\), puis déterminer sa limite.

4. Comportement asymptotique

1. Montrer que \[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \leq\frac{F(n)}n+f(n). \]
2. Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}\).

Partie I — Étude de la fonction \(f\)

Question 1.a — Continuité en \(0\) et limite en \(+\infty\)

Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\), puis calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\) :

\[ f(x)=\frac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}. \]

On sait que \(x\ln x\to0\) lorsque \(x\to0^+\). Ainsi :

\[ x^2\ln^2x=(x\ln x)^2\to0. \]

Donc :

\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=\frac1{\sqrt{1+0}}=1=f(0). \]

\[ \boxed{f\text{ est continue à droite en }0}. \]

Lorsque \(x\to+\infty\), on a \(x^2\ln^2x\to+\infty\). Par conséquent :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=0}. \]

Question 1.b — Dérivabilité à droite en \(0\)

Étudier \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}x\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\) :

\[ \frac{f(x)-f(0)}x = \frac1x\left(\frac1{\sqrt{1+x^2\ln^2x}}-1\right). \]

En multipliant par la quantité conjuguée :

\[ \frac{f(x)-f(0)}x = -\frac{x\ln^2x}{ \sqrt{1+x^2\ln^2x} \left(1+\sqrt{1+x^2\ln^2x}\right)}. \]

Comme \(x\ln^2x\to0\) et que le dénominateur tend vers \(2\) :

\[ \boxed{f'_d(0)=0}. \]

La courbe admet donc au point \((0;1)\) une demi-tangente horizontale d’équation \(\boxed{y=1}\).

Question 1.c — Calcul de \(f'(x)\)

Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x>0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\) :

\[ f(x)=\left(1+x^2\ln^2x\right)^{-1/2}. \]

Or :

\[ \left(x^2\ln^2x\right)' = 2x\ln^2x+2x\ln x = 2x\ln x(1+\ln x). \]

Donc :

\[ \boxed{ f'(x)= -\frac{x\ln x(1+\ln x)} {(1+x^2\ln^2x)^{3/2}} }. \]

Question 1.d — Variations de \(f\)

Étudier le signe de \(f'(x)\) et dresser le tableau de variations.

Lire la correction + Masquer la correction −

Le dénominateur de \(f'(x)\) est strictement positif. Comme \(x>0\), le signe de \(f'(x)\) est l’opposé de celui de :

\[ \ln x(1+\ln x). \]

Les valeurs critiques sont \(x=\frac1e\) et \(x=1\).

• sur \(]0;\frac1e[\), \(\ln x\lt-1\) et \(1+\ln x\lt0\), donc \(f'(x)\lt0\) ;
• sur \(]\frac1e;1[\), \(\ln x\lt0\) et \(1+\ln x>0\), donc \(f'(x)>0\) ;
• sur \(]1;+\infty[\), \(f'(x)\lt0\).

De plus :

\[ f(0)=1,\qquad f\left(\frac1e\right)=\frac{e}{\sqrt{e^2+1}}, \qquad f(1)=1. \]

\(x\)	\(0\)		\(\frac1e\)		\(1\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(1\)	\(\searrow\)	\(\frac{e}{\sqrt{e^2+1}}\)	\(\nearrow\)	\(1\)	\(\searrow\)	\(0\)

Partie II — Étude de la primitive \(F\)

Question 2.a — Primitive de \(\dfrac1{x\ln x}\)

Déterminer une primitive sur \([e;+\infty[\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Sur \([e;+\infty[\), \(\ln x>0\), et :

\[ \left(\ln(\ln x)\right)'=\frac1{x\ln x}. \]

Une primitive est : \[ \boxed{x\longmapsto\ln(\ln x)}. \]

Question 2.b — Encadrement du dénominateur

Montrer que, pour tout \(t\geq e\) :

\[ t\ln t\leq\sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq\sqrt2\,t\ln t. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(t\geq e\), on a \(t\ln t>0\) et \(t\ln t\geq e>1\).

\[ t^2\ln^2t\leq1+t^2\ln^2t \]

donne :

\[ t\ln t\leq\sqrt{1+t^2\ln^2t}. \]

De plus, \(1\leq t^2\ln^2t\), donc :

\[ 1+t^2\ln^2t\leq2t^2\ln^2t. \]

\[ \boxed{ t\ln t\leq\sqrt{1+t^2\ln^2t}\leq\sqrt2\,t\ln t }. \]

Question 2.c — Encadrement de l’intégrale

Montrer que, pour tout \(x\geq e\) :

\[ \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \ln(\ln x). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

En prenant les inverses dans l’encadrement précédent :

\[ \frac1{\sqrt2\,t\ln t} \leq \frac1{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \frac1{t\ln t}. \]

En intégrant sur \([e;x]\) :

\[ \frac1{\sqrt2}\int_e^x\frac{dt}{t\ln t} \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \int_e^x\frac{dt}{t\ln t}. \]

Or :

\[ \int_e^x\frac{dt}{t\ln t} = \left[\ln(\ln t)\right]_e^x = \ln(\ln x). \]

\[ \boxed{ \frac1{\sqrt2}\ln(\ln x) \leq \int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}} \leq \ln(\ln x) }. \]

Question 2.d — Limites de \(F\)

Montrer que \(F(x)\to+\infty\) et \(\dfrac{F(x)}x\to0\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x\geq e\), la relation de Chasles donne :

\[ F(x)=F(e)+\int_e^x\frac{dt}{\sqrt{1+t^2\ln^2t}}. \]

La minoration précédente entraîne :

\[ F(x)\geq F(e)+\frac1{\sqrt2}\ln(\ln x). \]

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}F(x)=+\infty}. \]

La majoration donne :

\[ 0\leq\frac{F(x)}x \leq \frac{F(e)}x+\frac{\ln(\ln x)}x. \]

Pour \(x\geq e\), \(0\leq\ln(\ln x)\leq\ln x\). En posant \(u=\sqrt{x}\), on a \(\ln x=2\ln u\leq2u=2\sqrt{x}\). Ainsi :

\[ 0\leq\frac{\ln(\ln x)}x\leq\frac2{\sqrt{x}}. \]

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\frac{F(x)}x=0}. \]

Question 2.e — Convexité et points d’inflexion

Montrer que \(\mathcal C_F\) possède deux points d’inflexion.

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(F'(x)=f(x)\), on a pour \(x>0\) :

\[ F''(x)=f'(x). \]

D’après le signe de \(f'\), \(F\) est concave sur \(]0;\frac1e[\), convexe sur \(]\frac1e;1[\), puis concave sur \(]1;+\infty[\).

Les points d’inflexion sont : \[ \boxed{ I\left(\frac1e;F\left(\frac1e\right)\right) } \qquad\text{et}\qquad \boxed{J(1;F(1))}. \]

Question 2.f — Tracé de \(\mathcal C_F\)

Tracer la courbe en utilisant \(F(1)\approx0{,}5\) et \(F\left(\frac1e\right)\approx0{,}4\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(F'(x)=f(x)>0\), la fonction \(F\) est strictement croissante sur \([0;+\infty[\).

\[ F(0)=0,\qquad F\left(\frac1e\right)\approx0{,}4,\qquad F(1)\approx0{,}5. \]

Enfin :

\[ F(x)\to+\infty,\qquad F'(x)\to0,\qquad \frac{F(x)}x\to0. \]

Tracé qualitatif de \(\mathcal C_F\), non réalisé à l’échelle.

Partie III — Étude de la fonction \(\varphi\)

Question 3.a — Limite et variations de \(\varphi\)

On pose \(\varphi(x)=x-F(x)\). Étudier sa limite et ses variations.

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(x>0\) :

\[ \varphi(x)=x\left(1-\frac{F(x)}x\right). \]

Comme \(\frac{F(x)}x\to0\) :

\[ \boxed{\lim_{x\to+\infty}\varphi(x)=+\infty}. \]

De plus :

\[ \varphi'(x)=1-f(x). \]

Pour tout \(x\geq0\), \(0\lt f(x)\leq1\). L’égalité \(f(x)=1\) est vérifiée pour \(x=0\) et \(x=1\). Ainsi \(\varphi'(x)>0\) sur \(]0;1[\cup]1;+\infty[\), avec \(\varphi'_d(0)=0\) et \(\varphi'(1)=0\).

\[ \boxed{\varphi\text{ est strictement croissante sur }[0;+\infty[}. \]

Question 3.b — Existence et unicité de \(\alpha_n\)

Montrer que l’équation \(\varphi(x)=n\) admet une unique solution \(\alpha_n\).

Lire la correction + Masquer la correction −

La fonction \(\varphi\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\), avec :

\[ \varphi(0)=0 \qquad\text{et}\qquad \varphi(x)\to+\infty. \]

Elle réalise donc une bijection de \([0;+\infty[\) sur \([0;+\infty[\).

\[ \boxed{ \forall n\in\mathbb N,\ \exists!\,\alpha_n\in[0;+\infty[ \text{ tel que }\varphi(\alpha_n)=n }. \]

Question 3.c — Minoration et limite de \(\alpha_n\)

Montrer que \(\alpha_n\geq n\), puis déterminer sa limite.

Lire la correction + Masquer la correction −

La relation \(\varphi(\alpha_n)=n\) donne :

\[ \alpha_n-F(\alpha_n)=n, \qquad\text{donc}\qquad \alpha_n=n+F(\alpha_n). \]

Comme \(F(\alpha_n)\geq0\) :

\[ \boxed{\alpha_n\geq n}. \]

Par comparaison :

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=+\infty}. \]

Partie IV — Comportement asymptotique de \((\alpha_n)\)

Question 4.a — Encadrement de \(\dfrac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\)

Montrer que :

\[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \leq\frac{F(n)}n+f(n). \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(n\geq1\), on a \(\alpha_n>n\). Le théorème des accroissements finis appliqué à \(F\) sur \([n;\alpha_n]\) donne un \(c_n\in]n;\alpha_n[\) tel que :

\[ F(\alpha_n)-F(n)=F'(c_n)(\alpha_n-n) =f(c_n)(\alpha_n-n). \]

La fonction \(f\) est décroissante sur \([1;+\infty[\), donc \(f(c_n)\leq f(n)\). Ainsi :

\[ F(\alpha_n)-F(n)\leq f(n)(\alpha_n-n). \]

En divisant par \(\alpha_n>0\) :

\[ \frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \leq \frac{F(n)}{\alpha_n} + f(n)\frac{\alpha_n-n}{\alpha_n}. \]

Or \(\frac{F(n)}{\alpha_n}\leq\frac{F(n)}n\) et \(0\leq\frac{\alpha_n-n}{\alpha_n}\leq1\).

\[ \boxed{ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \leq\frac{F(n)}n+f(n) }. \]

Question 4.b — Limite de \(\dfrac{\alpha_n}{n}\)

Calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}\).

Lire la correction + Masquer la correction −

D’après la question précédente :

\[ 0\leq\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \leq\frac{F(n)}n+f(n). \]

Or \(\frac{F(n)}n\to0\) et \(f(n)\to0\). Donc :

\[ \frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n}\to0. \]

La relation \(\alpha_n-F(\alpha_n)=n\) donne :

\[ \frac n{\alpha_n} = 1-\frac{F(\alpha_n)}{\alpha_n} \to1. \]

\[ \boxed{\lim_{n\to+\infty}\frac{\alpha_n}{n}=1}. \]

Méthodes à retenir

• Utiliser la quantité conjuguée pour la dérivabilité en \(0\).
• Encadrer une intégrande permet de contrôler une primitive.
• La convexité de \(F\) s’étudie avec \(F''=f'\).
• Le théorème des accroissements finis permet de comparer \(F(lpha_n)\) et \(F(n)\).

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