Calcul intégral — Correction du Problème 15

Étude de fonction, calcul d’aire, encadrements intégraux et limite d’une suite — 2e Bac Sciences Mathématiques

Examen national 2005 — Session de rattrapage

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Énoncé complet Étude de \(f\) Aire \(A_n\) Suite \((u_n)\)

Questions

I.1.a I.1.b I.2 I.3.a I.3.b II.1 II.2 III.1 III.2.a III.2.b III.3.a III.3.b III.3.c III.4.a III.4.b III.4.c

Énoncé complet

Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb R\) par :

\[ f(x)=(1+x)e^{-2x}. \]

On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j)\).

Première partie — Étude de \(f\)

1. 1. Calculer : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x) \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x). \]
   2. Étudier les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\).
2. Étudier les variations de la fonction \(f\).
3. 1. Étudier la concavité de la courbe \(\mathcal C\).
   2. Tracer la courbe \(\mathcal C\).

Deuxième partie — Calcul d’une aire

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

On note \(A_n\) l’aire du domaine délimité par la courbe \(\mathcal C\), l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation \(x=n\).

1. Calculer \(A_n\) en fonction de \(n\).
2. Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}A_n. \]

Troisième partie — Étude de la suite \((u_n)\)

Pour tout \(n\in\mathbb N^*\), on pose :

\[ u_n=n\int_0^1\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx. \]

1. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) : \[ u_n= \int_0^n \left(1+\frac tn\right)^n e^{-2t}\,dt. \]

   On pourra poser \(t=nx\).

2. 1. Montrer que : \[ (\forall u\in[1;2])\qquad 2-u\leq\frac1u\leq1. \]
   2. En déduire que, pour tout \(x\in[0;n]\) : \[ x-\frac{x^2}{2n} \leq n\ln\left(1+\frac xn\right) \leq x. \]
3. 1. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) : \[ u_n\leq\int_0^n e^{-x}\,dx. \]
   2. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb N^*\) : \[ e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}} \int_0^{\sqrt[3]{n}}e^{-x}\,dx \leq u_n. \]
   3. En déduire que la suite \((u_n)_{n\geq1}\) est convergente et déterminer sa limite.
4. Soit \(a\in]0;1[\).
   1. Montrer que : \[ \int_a^1 n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx \leq n(1-a)\bigl(f(a)\bigr)^n. \]
   2. En déduire que : \[ \lim_{n\to+\infty} \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx=0. \]
   3. Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty} \int_0^a n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx. \]

Partie I — Étude de la fonction \(f\)

Question I.1.a — Limites aux bornes

Calculer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Limite en \(+\infty\)

On a : \[ f(x)=(1+x)e^{-2x} = \frac{1+x}{e^{2x}}. \]

L’exponentielle \(e^{2x}\) l’emporte sur le polynôme \(1+x\) lorsque \(x\to+\infty\). Donc :

\[ \boxed{ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0 }. \]

Limite en \(-\infty\)

Posons : \[ X=-x. \]

Lorsque \(x\to-\infty\), on a \(X\to+\infty\), et : \[ f(x) = (1-X)e^{2X}. \]

Or : \[ 1-X\to-\infty \qquad\text{et}\qquad e^{2X}\to+\infty. \]

Le produit est donc négatif et sa valeur absolue tend vers \(+\infty\).

\[ \boxed{ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty }. \]

Question I.1.b — Branches infinies de \(\mathcal C\)

Étudier les branches infinies de la courbe représentative de \(f\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Au voisinage de \(+\infty\)

Nous avons : \[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=0. \]

La droite d’équation : \[ y=0 \] est donc une asymptote horizontale à la courbe \(\mathcal C\) au voisinage de \(+\infty\).

Pour \(x>-1\) : \[ 1+x>0 \qquad\text{et}\qquad e^{-2x}>0. \]

Ainsi \(f(x)>0\). La courbe s’approche donc de l’asymptote \(y=0\) par-dessus.

Au voisinage de \(-\infty\)

On a : \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty. \]

Étudions : \[ \frac{f(x)}x = \left(1+\frac1x\right)e^{-2x}. \]

Lorsque \(x\to-\infty\) : \[ 1+\frac1x\to1 \] et : \[ e^{-2x}\to+\infty. \]

Donc : \[ \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}x=+\infty. \]

Au voisinage de \(-\infty\), la courbe \(\mathcal C\) possède une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.

Question I.2 — Variations de \(f\)

Calculer \(f'(x)\), étudier son signe et dresser le tableau de variations de \(f\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x\in\mathbb R\) : \[ f(x)=(1+x)e^{-2x}. \]

En utilisant la dérivée d’un produit : \[ \begin{aligned} f'(x) &= e^{-2x} +(1+x)(-2)e^{-2x}\\ &= \bigl(1-2-2x\bigr)e^{-2x}\\ &= -(2x+1)e^{-2x}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f'(x)=-(2x+1)e^{-2x} }. \]

Comme : \[ e^{-2x}>0, \] le signe de \(f'(x)\) est l’opposé de celui de \(2x+1\).

Or : \[ 2x+1=0 \iff x=-\frac12. \]

Ainsi : \[ \begin{cases} f'(x)>0,&x<-\dfrac12,\\[1mm] f'\left(-\dfrac12\right)=0,\\[1mm] f'(x)<0,&x>-\dfrac12. \end{cases} \]

Calculons la valeur au point critique : \[ \begin{aligned} f\left(-\frac12\right) &= \left(1-\frac12\right)e^1\\ &= \frac e2. \end{aligned} \]

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac12\)		\(+\infty\)
\(f'(x)\)		\(+\)	\(0\)	\(-\)
\(f(x)\)	\(-\infty\)	\(\nearrow\)	\(\dfrac e2\)	\(\searrow\)	\(0\)

\[ \boxed{ \begin{aligned} &f\text{ est strictement croissante sur } ]-\infty;-\tfrac12],\\ &f\text{ est strictement décroissante sur } [-\tfrac12;+\infty[. \end{aligned} } \]

Signe de \(f\)

Puisque \(e^{-2x}>0\), le signe de \(f(x)\) est celui de \(1+x\).

Ainsi : \[ \begin{cases} f(x)<0,&x<-1,\\ f(-1)=0,\\ f(x)>0,&x>-1. \end{cases} \]

Question I.3.a — Concavité et point d’inflexion

Calculer \(f''(x)\) et étudier la concavité de \(\mathcal C\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Nous avons : \[ f'(x)=-(2x+1)e^{-2x}. \]

En dérivant : \[ \begin{aligned} f''(x) &= -2e^{-2x} +2(2x+1)e^{-2x}\\ &= (-2+4x+2)e^{-2x}\\ &= 4xe^{-2x}. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ f''(x)=4xe^{-2x} }. \]

Comme \(e^{-2x}>0\), le signe de \(f''(x)\) est celui de \(x\).

Donc : \[ \begin{cases} f''(x)<0,&x<0,\\ f''(0)=0,\\ f''(x)>0,&x>0. \end{cases} \]

La courbe \(\mathcal C\) est : \[ \boxed{ \begin{aligned} &\text{concave sur }]-\infty;0],\\ &\text{convexe sur }[0;+\infty[. \end{aligned} } \]

La convexité change en \(x=0\). La courbe possède donc un point d’inflexion : \[ I(0;f(0)). \]

Or : \[ f(0)=1. \]

\[ \boxed{I(0;1)}. \]

De plus : \[ f'(0)=-1. \]

La tangente à \(\mathcal C\) au point \(I\) a pour équation : \[ y=f'(0)(x-0)+f(0). \]

\[ \boxed{y=-x+1}. \]

Question I.3.b — Tracé de la courbe \(\mathcal C\)

Construire la courbe en utilisant les résultats précédents.

Lire la correction + Masquer la correction −

Les éléments nécessaires au tracé sont :

• \[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty; \]
• branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(-\infty\) ;
• intersection avec l’axe des abscisses : \[ A(-1;0); \]
• maximum : \[ M\left(-\frac12;\frac e2\right); \]
• point d’inflexion : \[ I(0;1); \]
• tangente en \(I\) : \[ y=-x+1; \]
• asymptote horizontale au voisinage de \(+\infty\) : \[ y=0. \]

Tracé qualitatif de \(\mathcal C\), respectant les variations, la concavité, le point d’inflexion et l’asymptote horizontale.

Partie II — Calcul de l’aire \(A_n\)

Question II.1 — Expression de \(A_n\)

Calculer l’aire délimitée par \(\mathcal C\), les deux axes et la droite \(x=n\).

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(n\in\mathbb N^*\), on a \(n>0\).

Sur \([0;n]\) : \[ 1+x>0 \qquad\text{et}\qquad e^{-2x}>0. \]

Donc : \[ f(x)>0. \]

L’aire cherchée est alors : \[ A_n=\int_0^n(1+x)e^{-2x}\,dx. \]

Recherche d’une primitive

On vérifie que : \[ P(x) = -\frac{2x+3}{4}e^{-2x} \] est une primitive de \(f\).

En effet : \[ \begin{aligned} P'(x) &= -\frac12e^{-2x} + \frac{2x+3}{2}e^{-2x}\\ &= \frac{2x+2}{2}e^{-2x}\\ &= (1+x)e^{-2x}\\ &= f(x). \end{aligned} \]

Ainsi : \[ \begin{aligned} A_n &= \left[ -\frac{2x+3}{4}e^{-2x} \right]_0^n\\ &= -\frac{2n+3}{4}e^{-2n} + \frac34. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ A_n= \frac34- \frac{2n+3}{4}e^{-2n} }. \]

Question II.2 — Limite de \(A_n\)

Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty}A_n. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Nous avons : \[ A_n= \frac34- \frac{2n+3}{4}e^{-2n}. \]

Montrons que : \[ (2n+3)e^{-2n}\to0. \]

Pour \(n\geq1\) : \[ 2n+3\leq5n. \]

D’après l’inégalité : \[ e^{2n}\geq\frac{(2n)^3}{3!} = \frac{4}{3}n^3, \] on obtient : \[ 0\leq (2n+3)e^{-2n} \leq \frac{5n}{\frac43n^3} = \frac{15}{4n^2}. \]

Comme : \[ \frac{15}{4n^2}\to0, \] le théorème d’encadrement donne : \[ (2n+3)e^{-2n}\to0. \]

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}A_n=\frac34 }. \]

Partie III — Étude de la suite \((u_n)\)

Question III.1 — Changement de variable \(t=nx\)

Montrer que : \[ u_n= \int_0^n \left(1+\frac tn\right)^n e^{-2t}\,dt. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Par définition : \[ u_n = n\int_0^1 \bigl((1+x)e^{-2x}\bigr)^n\,dx. \]

Donc : \[ u_n = n\int_0^1 (1+x)^n e^{-2nx}\,dx. \]

Posons : \[ t=nx. \]

Alors : \[ x=\frac tn \qquad\text{et}\qquad dx=\frac{dt}{n}. \]

Transformation des bornes

• pour \(x=0\), on a \(t=0\) ;
• pour \(x=1\), on a \(t=n\).

Ainsi : \[ \begin{aligned} u_n &= n\int_0^n \left(1+\frac tn\right)^n e^{-2t}\frac{dt}{n}\\ &= \int_0^n \left(1+\frac tn\right)^n e^{-2t}\,dt. \end{aligned} \]

\[ \boxed{ u_n= \int_0^n \left(1+\frac tn\right)^n e^{-2t}\,dt }. \]

Question III.2.a — Encadrement de \(\dfrac1u\)

Montrer que, pour tout \(u\in[1;2]\) : \[ 2-u\leq\frac1u\leq1. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit \(u\in[1;2]\).

Majoration

Comme \(u\geq1\), on a : \[ \frac1u\leq1. \]

Minoration

Calculons : \[ \begin{aligned} \frac1u-(2-u) &= \frac{1-2u+u^2}{u}\\ &= \frac{(u-1)^2}{u}. \end{aligned} \]

Or : \[ (u-1)^2\geq0 \qquad\text{et}\qquad u>0. \]

Donc : \[ \frac1u-(2-u)\geq0. \]

Ainsi : \[ 2-u\leq\frac1u. \]

\[ \boxed{ (\forall u\in[1;2])\qquad 2-u\leq\frac1u\leq1 }. \]

Question III.2.b — Encadrement du logarithme

Montrer que, pour \(x\in[0;n]\) : \[ x-\frac{x^2}{2n} \leq n\ln\left(1+\frac xn\right) \leq x. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Soit \(x\in[0;n]\). Alors : \[ 0\leq\frac xn\leq1. \]

Par conséquent : \[ 1\leq1+\frac xn\leq2. \]

Pour tout : \[ u\in \left[ 1;1+\frac xn \right], \] on peut donc appliquer l’encadrement précédent : \[ 2-u\leq\frac1u\leq1. \]

En intégrant entre \(1\) et \(1+\frac xn\) : \[ \int_1^{1+x/n}(2-u)\,du \leq \int_1^{1+x/n}\frac{du}{u} \leq \int_1^{1+x/n}1\,du. \]

Le terme central vaut : \[ \int_1^{1+x/n}\frac{du}{u} = \ln\left(1+\frac xn\right). \]

Pour le membre de droite : \[ \int_1^{1+x/n}1\,du = \frac xn. \]

Pour le membre de gauche, posons : \[ y=\frac xn. \]

On obtient : \[ \begin{aligned} \int_1^{1+y}(2-u)\,du &= \left[ 2u-\frac{u^2}{2} \right]_1^{1+y}\\ &= y-\frac{y^2}{2}\\ &= \frac xn-\frac{x^2}{2n^2}. \end{aligned} \]

Ainsi : \[ \frac xn-\frac{x^2}{2n^2} \leq \ln\left(1+\frac xn\right) \leq \frac xn. \]

En multipliant par \(n>0\) :

\[ \boxed{ x-\frac{x^2}{2n} \leq n\ln\left(1+\frac xn\right) \leq x }. \]

Question III.3.a — Majoration de \(u_n\)

Montrer que : \[ u_n\leq\int_0^n e^{-x}\,dx. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour tout \(x\in[0;n]\), nous avons : \[ n\ln\left(1+\frac xn\right)\leq x. \]

La fonction exponentielle étant strictement croissante : \[ \left(1+\frac xn\right)^n = e^{\,n\ln(1+x/n)} \leq e^x. \]

En multipliant par \(e^{-2x}>0\) : \[ \left(1+\frac xn\right)^ne^{-2x} \leq e^{-x}. \]

En intégrant sur \([0;n]\) : \[ \int_0^n \left(1+\frac xn\right)^ne^{-2x}\,dx \leq \int_0^n e^{-x}\,dx. \]

Or : \[ u_n= \int_0^n \left(1+\frac xn\right)^ne^{-2x}\,dx. \]

\[ \boxed{ u_n\leq\int_0^n e^{-x}\,dx }. \]

Question III.3.b — Minoration de \(u_n\)

Montrer que : \[ e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}} \int_0^{\sqrt[3]{n}}e^{-x}\,dx \leq u_n. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Pour \(n\geq1\), on a : \[ \sqrt[3]{n}\leq n. \]

Comme l’intégrande définissant \(u_n\) est positive : \[ u_n \geq \int_0^{\sqrt[3]{n}} \left(1+\frac xn\right)^ne^{-2x}\,dx. \]

Pour tout \(x\in[0;\sqrt[3]{n}]\), l’encadrement logarithmique donne : \[ n\ln\left(1+\frac xn\right) \geq x-\frac{x^2}{2n}. \]

Donc : \[ \begin{aligned} n\ln\left(1+\frac xn\right)-2x &\geq -x-\frac{x^2}{2n}. \end{aligned} \]

Or, pour \(0\leq x\leq\sqrt[3]{n}\) : \[ x^2\leq n^{2/3}. \]

Ainsi : \[ \frac{x^2}{2n} \leq \frac{n^{2/3}}{2n} = \frac1{2\sqrt[3]{n}}. \]

Par conséquent : \[ n\ln\left(1+\frac xn\right)-2x \geq -x-\frac1{2\sqrt[3]{n}}. \]

En appliquant la fonction exponentielle : \[ \left(1+\frac xn\right)^ne^{-2x} \geq e^{-x-\frac1{2\sqrt[3]{n}}}. \]

Donc : \[ \left(1+\frac xn\right)^ne^{-2x} \geq e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}}e^{-x}. \]

En intégrant sur \([0;\sqrt[3]{n}]\) :

\[ \boxed{ e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}} \int_0^{\sqrt[3]{n}}e^{-x}\,dx \leq u_n }. \]

Question III.3.c — Convergence et limite de \((u_n)\)

Déterminer : \[ \lim_{n\to+\infty}u_n. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Les deux questions précédentes donnent : \[ e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}} \int_0^{\sqrt[3]{n}}e^{-x}\,dx \leq u_n \leq \int_0^n e^{-x}\,dx. \]

Limite du membre de droite

On a : \[ \int_0^n e^{-x}\,dx = \left[-e^{-x}\right]_0^n = 1-e^{-n}. \]

Donc : \[ \int_0^n e^{-x}\,dx\to1. \]

Limite du membre de gauche

D’une part : \[ \frac1{2\sqrt[3]{n}}\to0, \] donc : \[ e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}}\to1. \]

D’autre part : \[ \int_0^{\sqrt[3]{n}}e^{-x}\,dx = 1-e^{-\sqrt[3]{n}} \to1. \]

Par conséquent : \[ e^{-\frac1{2\sqrt[3]{n}}} \int_0^{\sqrt[3]{n}}e^{-x}\,dx \to1. \]

Le théorème d’encadrement permet de conclure :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty}u_n=1 }. \]

La suite \((u_n)_{n\geq1}\) est donc convergente.

Question III.4.a — Majoration de l’intégrale sur \([a;1]\)

Soit \(a\in]0;1[\). Montrer que : \[ \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx \leq n(1-a)\bigl(f(a)\bigr)^n. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Sur \([0;+\infty[\), on a : \[ 2x+1>0. \]

Or : \[ f'(x)=-(2x+1)e^{-2x}. \]

Donc : \[ f'(x)<0 \qquad(x\geq0). \]

La fonction \(f\) est ainsi strictement décroissante sur \([0;+\infty[\).

Pour tout \(x\in[a;1]\), on a \(x\geq a\). Par décroissance : \[ f(x)\leq f(a). \]

De plus, sur \([a;1]\), les deux membres sont positifs. Comme \(n\geq1\) : \[ \bigl(f(x)\bigr)^n \leq \bigl(f(a)\bigr)^n. \]

En multipliant par \(n>0\), puis en intégrant sur \([a;1]\) : \[ \begin{aligned} \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx &\leq \int_a^1n\bigl(f(a)\bigr)^n\,dx\\ &= n\bigl(f(a)\bigr)^n(1-a). \end{aligned} \]

\[ \boxed{ \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx \leq n(1-a)\bigl(f(a)\bigr)^n }. \]

Question III.4.b — Limite de l’intégrale sur \([a;1]\)

Montrer que : \[ \lim_{n\to+\infty} \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx=0. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Comme \(a\in]0;1[\) et \(f\) est strictement décroissante sur \([0;+\infty[\), on a : \[ 0<f(a)<f(0)=1. \]

Posons : \[ q=f(a). \]

Alors : \[ 0<q<1. \]

Montrons que : \[ nq^n\to0. \]

Posons : \[ r=\frac1q>1 \qquad\text{et}\qquad h=r-1>0. \]

Pour \(n\geq2\), la formule du binôme donne : \[ r^n=(1+h)^n \geq \frac{n(n-1)}2h^2. \]

Par conséquent : \[ 0\leq nq^n = \frac n{r^n} \leq \frac{2}{(n-1)h^2}. \]

Or : \[ \frac{2}{(n-1)h^2}\to0. \]

Donc : \[ nq^n\to0. \]

D’après la question précédente : \[ 0\leq \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx \leq n(1-a)q^n. \]

Comme \(1-a\) est constant : \[ n(1-a)q^n\to0. \]

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \int_a^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx=0 }. \]

Question III.4.c — Limite de l’intégrale sur \([0;a]\)

Calculer : \[ \lim_{n\to+\infty} \int_0^a n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx. \]

Lire la correction + Masquer la correction −

Par définition : \[ u_n= \int_0^1n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx. \]

En utilisant la relation de Chasles : \[ u_n = \int_0^a n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx + \int_a^1 n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx. \]

Donc : \[ \int_0^a n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx = u_n - \int_a^1 n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx. \]

Or : \[ u_n\to1 \] et : \[ \int_a^1 n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx\to0. \]

Par passage à la limite :

\[ \boxed{ \lim_{n\to+\infty} \int_0^a n\bigl(f(x)\bigr)^n\,dx = 1 }. \]

Méthodes à retenir

• Pour étudier une branche infinie, comparer \(f(x)\) à une constante ou examiner le quotient \(\frac{f(x)}x\).
• Une aire comprise entre une courbe positive et l’axe des abscisses est donnée par l’intégrale de la fonction.
• Un changement de variable adapté peut transformer une intégrale dépendant de \(n\) en une forme plus facile à encadrer.
• L’encadrement du logarithme est obtenu en intégrant un encadrement de la fonction \(u\mapsto\frac1u\).
• Pour déterminer la limite de \(u_n\), on encadre \(u_n\) entre deux suites ayant la même limite.
• La dernière partie montre que la contribution principale de l’intégrale se concentre au voisinage de \(0\).

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