Calcul intégral : étude complète, aire et volume — Exercice 42
Correction détaillée — 2e Bac Sciences Mathématiques
Cet exercice propose une étude complète d’une fonction définie par deux expressions : une première pour les réels négatifs ou nuls, et une seconde pour les réels strictement positifs. L’étude commence au point de raccordement, où la continuité et la dérivabilité demandent une attention particulière. Nous déterminerons ensuite les branches infinies, les variations et la tangente avant de construire la courbe. Les dernières questions utilisent les résultats précédents pour calculer trois intégrales, puis l’aire d’un domaine compris entre la courbe et une droite horizontale. Enfin, nous calculerons le volume d’un solide de révolution et sa limite. Chaque méthode est introduite par la propriété du cours concernée, ses conditions d’application et une explication du rôle des calculs. Les transformations logarithmiques, les intégrations par parties et les interprétations géométriques restent adaptées au programme de 2e Bac Sciences Mathématiques.
Repères de cours utiles
Fonction définie par morceaux. Au point où change l’expression, on calcule la valeur de la fonction et les limites à gauche et à droite. La continuité exige que ces limites soient égales à cette valeur. Toute fonction dérivable en un point y est continue.
Variations et branches infinies. On détermine les limites aux extrémités des intervalles de définition et le signe de la dérivée sur chacun d’eux. Une limite infinie en une abscisse finie indique une asymptote verticale ; une limite finie à l’infini indique une asymptote horizontale.
Intégration par parties. Pour deux fonctions continûment dérivables sur un segment, la formule permet de transformer une intégrale contenant un logarithme en une intégrale plus simple. Les valeurs aux bornes doivent être évaluées avec leurs signes.
Calcul d’aire. Si une fonction continue est située sous la droite horizontale d’ordonnée 1 sur un segment, l’aire comprise entre la courbe et cette droite est l’intégrale de la différence « 1 moins la fonction ».
Volume de révolution. Pour le domaine compris entre une courbe continue d’ordonnée positive, l’axe des abscisses et deux droites verticales, les sections perpendiculaires à l’axe sont des disques de rayon égal à l’ordonnée de la courbe. Le volume se calcule en intégrant l’aire de ces disques.
Exercice 42
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par :
\[ f(x)= \begin{cases} e^x\sqrt{1-e^x} &\text{si }x\leq0,\\[3mm] 1-\dfrac{\ln x}{x} +\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)^2 &\text{si }x>0. \end{cases} \]On note \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Objectif de l’étude. Les six premières questions établissent la forme et les positions de la courbe. Elles seront utilisées ensuite pour choisir le bon signe dans l’intégrale d’aire. L’intégration par parties fournit les expressions nécessaires, tandis que le volume repose sur la branche définie pour les abscisses négatives.
Question 1
Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).
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Méthode — Continuité au point de raccordement. Sur chacun des deux intervalles ouverts, les expressions sont composées de fonctions continues là où elles sont définies. Au point 0, il faut toutefois distinguer la valeur de f, sa limite à gauche et sa limite à droite. Nous commençons par la formule valable en 0, puis étudions séparément les deux limites. Pour la limite à droite, la présence du logarithme impose de vérifier le comportement de son quotient par x.
Comme \(0\leq0\), on utilise la première expression :
\[ f(0)=e^0\sqrt{1-e^0}=0. \]Lorsque \(x\to0^-\), on a :
\[ e^x\longrightarrow1 \qquad\text{et}\qquad 1-e^x\longrightarrow0^+. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to0^-} e^x\sqrt{1-e^x}=0=f(0). \]La fonction \(f\) est donc continue à gauche en \(0\).
Étudions maintenant la limite à droite. Posons :
\[ u(x)=\frac{\ln x}{x}. \]Lorsque \(x\to0^+\), en posant \(t=\dfrac1x\), on a \(t\to+\infty\) et :
\[ \frac{\ln x}{x} = -t\ln t \longrightarrow-\infty. \]Or, pour \(x>0\) :
\[ f(x) = u(x)^2-u(x)+1 = \left(u(x)-\frac12\right)^2+\frac34. \]Donc :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]Les limites à gauche et à droite en \(0\) sont différentes.
La fonction \(f\) n’est donc pas continue en \(0\), mais elle est continue à gauche en \(0\).
Les deux limites unilatérales ne coïncident pas : la formule de gauche rejoint le point O, tandis que les valeurs à droite deviennent arbitrairement grandes. Le point 0 n’est donc pas un point de continuité de la fonction.
Question 2
Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
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Rappel de cours — Dérivabilité et continuité. La dérivabilité en un point implique la continuité en ce point. Le résultat de la question 1 suffit donc à conclure à la non-dérivabilité en 0, sans calculer une dérivée à droite. En revanche, la continuité à gauche permet d’étudier le taux d’accroissement à gauche : une limite infinie de ce quotient caractérise une demi-tangente verticale.
La fonction \(f\) n’étant pas continue en \(0\), elle ne peut pas être dérivable en \(0\).
Pour obtenir l’interprétation géométrique du côté gauche, calculons le taux d’accroissement lorsque \(x<0\) :
\[ \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{e^x\sqrt{1-e^x}}{x}. \]Comme \(x<0\), on peut écrire :
\[ \frac{e^x\sqrt{1-e^x}}{x} = -e^x \sqrt{\frac{1-e^x}{-x}} \frac1{\sqrt{-x}}. \]Or :
\[ \lim_{x\to0^-}e^x=1, \]et, en utilisant la limite usuelle de la fonction exponentielle :
\[ \lim_{x\to0^-} \frac{1-e^x}{-x} = \lim_{x\to0^-} \frac{e^x-1}{x} = 1. \]Enfin :
\[ \lim_{x\to0^-}\frac1{\sqrt{-x}}=+\infty. \]Il vient donc :
\[ \lim_{x\to0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x} = -\infty. \]La fonction \(f\) n’est pas dérivable en \(0\).
La branche gauche de \(\mathcal C\) admet au point \(O(0;0)\) une demi-tangente verticale d’équation :
\[ \boxed{x=0}. \]La droite x=0 joue deux rôles géométriques différents : demi-tangente verticale pour la branche gauche au point O, et asymptote verticale de la branche droite. Il ne faut pas confondre ces deux propriétés.
Question 3
Déterminer les branches infinies de la courbe \(\mathcal C\).
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Méthode — Identifier chaque branche infinie. Pour une fonction définie par morceaux, les comportements à moins l’infini, au voisinage de zéro par la droite et à plus l’infini doivent être examinés séparément. Une limite finie à l’infini donne une asymptote horizontale ; une limite infinie au voisinage de zéro donne une asymptote verticale. Pour situer la courbe par rapport à une asymptote horizontale, nous étudions le signe de la différence entre l’ordonnée de la courbe et celle de l’asymptote.
Au voisinage de \(-\infty\).
Lorsque \(x\to-\infty\) :
\[ e^x\longrightarrow0 \qquad\text{et}\qquad \sqrt{1-e^x}\longrightarrow1. \]Donc :
\[ \lim_{x\to-\infty}f(x)=0. \]La droite d’équation \(y=0\) est une asymptote horizontale à \(\mathcal C\) au voisinage de \(-\infty\).
De plus, pour tout \(x<0\) :
\[ e^x\sqrt{1-e^x}>0. \]La courbe est donc située au-dessus de cette asymptote.
Au voisinage de \(0^+\).
D’après la question 1 :
\[ \lim_{x\to0^+}f(x)=+\infty. \]La droite d’équation \(x=0\) est donc une asymptote verticale à la branche droite de \(\mathcal C\).
Au voisinage de \(+\infty\).
On sait que :
\[ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0. \]Par conséquent :
\[ \lim_{x\to+\infty}f(x)=1. \]La droite d’équation \(y=1\) est une asymptote horizontale à \(\mathcal C\) au voisinage de \(+\infty\).
Pour \(x>1\), posons :
\[ u=\frac{\ln x}{x}. \]On a :
\[ 0<u\leq\frac1e<1. \]Alors :
\[ f(x)-1=u^2-u=u(u-1)<0. \]La courbe est donc située au-dessous de l’asymptote \(y=1\) pour \(x>1\).
Ces trois droites guident le tracé des deux branches : à gauche, la courbe se rapproche de l’axe horizontal ; à droite, elle monte sans borne près de zéro puis se rapproche de la hauteur 1 à l’infini.
Question 4
Étudier les variations de la fonction \(f\).
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Méthode — Étudier les variations sur deux intervalles. La fonction est dérivable sur chacun des intervalles ouverts situés de part et d’autre de 0. Sur la branche gauche, le dénominateur de f’ est positif : seul le facteur 2−3e^x commande le signe. Sur la branche droite, nous posons u(x)=ln(x)/x afin de simplifier la dérivée. Une fonction auxiliaire servira à démontrer une inégalité de signe valable pour tout x positif, sans supposer la conclusion.
Étude sur \(]-\infty;0[\).
Pour \(x<0\) :
\[ f(x)=e^x\sqrt{1-e^x}. \]La fonction est dérivable et :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= e^x\sqrt{1-e^x} - \frac{e^{2x}}{2\sqrt{1-e^x}}\\ &= \frac{ e^x\left(2-3e^x\right) }{ 2\sqrt{1-e^x} }. \end{aligned} \]Pour \(x<0\), le dénominateur et \(e^x\) sont strictement positifs. Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de :
\[ 2-3e^x. \]On a :
\[ 2-3e^x=0 \Longleftrightarrow e^x=\frac23 \Longleftrightarrow x=\ln\left(\frac23\right). \]Ainsi :
\[ f'(x)>0 \quad\text{si}\quad x<\ln\left(\frac23\right), \]et :
\[ f'(x)<0 \quad\text{si}\quad \ln\left(\frac23\right)<x<0. \]Au point critique :
\[ \begin{aligned} f\left(\ln\frac23\right) &= \frac23 \sqrt{1-\frac23}\\ &= \frac{2}{3\sqrt3}. \end{aligned} \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(\ln\left(\dfrac23\right)\) | \(0\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | + | 0 | − |
| Variations de \(f\) | \(0\) | \(\nearrow\ \dfrac{2}{3\sqrt3}\ \searrow\) | \(0\) |
Étude sur \(]0;+\infty[\).
Posons :
\[ u(x)=\frac{\ln x}{x}. \]Alors :
\[ f(x)=1-u(x)+u(x)^2. \]On a :
\[ u'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} f'(x) &= \left(2u(x)-1\right)u'(x)\\ &= \frac{ (1-\ln x)(2\ln x-x) }{x^3}. \end{aligned} \]Montrons que :
\[ 2\ln x-x<0 \qquad\text{pour tout }x>0. \]Considérons la fonction :
\[ h(x)=x-2\ln x. \]On a :
\[ h'(x)=\frac{x-2}{x}. \]La fonction \(h\) admet donc son minimum en \(x=2\), et :
\[ h(2)=2-2\ln2>0. \]Ainsi \(h(x)>0\), donc \(2\ln x-x<0\), pour tout \(x>0\).
Le signe de \(f'(x)\) est donc l’opposé de celui de \(1-\ln x\).
Il vient :
\[ f'(x)<0 \quad\text{sur}\quad ]0;e[, \] \[ f'(e)=0, \] \[ f'(x)>0 \quad\text{sur}\quad ]e;+\infty[. \]La valeur minimale est :
\[ f(e) = 1-\frac1e+\frac1{e^2}. \]| \(x\) | \(0^+\) | \(e\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|
| Signe de \(f'(x)\) | − | 0 | + |
| Variations de \(f\) | \(+\infty\) | \(\searrow\ 1-\dfrac1e+\dfrac1{e^2}\ \nearrow\) | \(1\) |
Sur \(]-\infty;0]\), la fonction est croissante puis décroissante, avec un maximum égal à :
\[ \boxed{\frac{2}{3\sqrt3}}. \]Sur \(]0;+\infty[\), elle est décroissante puis croissante, avec un minimum égal à :
\[ \boxed{1-\frac1e+\frac1{e^2}}. \]Les deux tableaux concernent des intervalles distincts : ils ne doivent pas être réunis en supposant la continuité en zéro. Le maximum à gauche et le minimum à droite serviront à placer les points remarquables.
Question 5
Écrire l’équation de la tangente à la courbe \(\mathcal C\) au point d’abscisse \(1\).
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Rappel de cours — Tangente en une abscisse donnée. La fonction est dérivable au point d’abscisse 1, qui appartient à l’intervalle où la deuxième formule s’applique. Une équation de la tangente s’obtient à partir de deux éléments : l’ordonnée du point de contact et le coefficient directeur, égal à la dérivée en cette abscisse. Nous réutilisons l’expression de f’ déjà obtenue dans l’étude des variations.
Comme \(1>0\), on utilise la deuxième expression de \(f\).
On a :
\[ f(1) = 1-\frac{\ln1}{1} + \left(\frac{\ln1}{1}\right)^2 = 1. \]D’après l’expression obtenue dans la question précédente :
\[ f'(x)= \frac{ (1-\ln x)(2\ln x-x) }{x^3}. \]Donc :
\[ f'(1) = \frac{(1-0)(0-1)}{1} = -1. \]L’équation de la tangente au point \(A(1;1)\) est :
\[ y=f'(1)(x-1)+f(1). \]Ainsi :
\[ y=-(x-1)+1. \]La tangente est décroissante, car son coefficient directeur vaut −1. Elle passe exactement par le point A(1;1), donnée indispensable pour le dessin.
Question 6
Construire la courbe \(\mathcal C\).
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Méthode — Construire la courbe à partir de l’étude. Le tracé doit respecter simultanément les trois asymptotes, les sens de variation, les deux points extrémaux et la tangente au point A. Le comportement de la branche gauche en 0 est différent de celui de la branche droite : la première arrive au point O avec une demi-tangente verticale, tandis que la seconde monte vers une asymptote verticale. Nous placerons ensuite le domaine dont l’aire sera calculée dans la question 7 b).
La construction utilise les résultats précédents :
– la branche gauche tend vers l’asymptote \(y=0\) lorsque \(x\to-\infty\) ;
– elle atteint son maximum au point :
\[ M\left( \ln\frac23; \frac{2}{3\sqrt3} \right), \]puis rejoint le point \(O(0;0)\) avec une demi-tangente verticale ;
– la branche droite admet \(x=0\) comme asymptote verticale ;
– elle passe par \(A(1;1)\), où sa tangente a pour équation \(y=2-x\) ;
– elle atteint son minimum au point :
\[ N\left( e; 1-\frac1e+\frac1{e^2} \right), \]puis se rapproche de l’asymptote \(y=1\) par-dessous.
La zone verte est située sur [1;e] entre la droite y=1 et la branche droite de la courbe. Elle correspond au domaine dont l’aire sera calculée ensuite et confirme visuellement le signe à utiliser.
Question 7 a)
On considère les intégrales :
\[ I= \int_1^e \frac{\ln x}{x^2}\,dx, \] \[ J= \int_1^e \frac{(\ln x)^2}{x^2}\,dx, \] \[ K= \int_1^e \frac{\ln x}{x}\,dx. \]Calculer \(I\) et \(K\), puis montrer que :
\[ \boxed{J=-e^{-1}+2I}. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Primitives logarithmiques et intégration par parties. Les trois intégrandes sont continues sur [1;e], puisque x reste strictement positif. Le quotient ln(x)/x possède une primitive directe, tandis que les deux fractions dont le dénominateur est x² appellent une intégration par parties. Pour I et J, le choix de la puissance de ln(x) comme fonction à dériver fait apparaître des termes plus simples. Nous vérifions particulièrement le signe de la contribution aux bornes dans la relation entre J et I.
Calcul de \(I\).
La formule d’intégration par parties donne :
\[ \begin{aligned} I &= \left[ -\frac{\ln x}{x} \right]_1^e + \int_1^e \frac{dx}{x^2}\\ &= -\frac1e + \left[ -\frac1x \right]_1^e\\ &= -\frac1e + 1-\frac1e. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \boxed{ I=1-\frac2e }. \]Calcul de \(K\).
Comme :
\[ \left( \frac12(\ln x)^2 \right)' = \frac{\ln x}{x}, \]on obtient :
\[ \begin{aligned} K &= \left[ \frac12(\ln x)^2 \right]_1^e\\ &= \frac12. \end{aligned} \]Donc :
\[ \boxed{K=\frac12}. \]Relation entre \(J\) et \(I\).
Alors :
\[ \begin{aligned} J &= \left[ -\frac{(\ln x)^2}{x} \right]_1^e\\ &\quad+ 2\int_1^e \frac{\ln x}{x^2}\,dx\\ &= -\frac1e+2I. \end{aligned} \]En remplaçant \(I\) par sa valeur :
\[ \begin{aligned} J &= -\frac1e + 2\left(1-\frac2e\right)\\ &= 2-\frac5e. \end{aligned} \]La relation obtenue contient un signe négatif devant 1/e. Les valeurs de I, J et K sont cohérentes avec la positivité de leurs intégrandes sur [1;e]. Elles sont désormais prêtes à être utilisées pour l’aire.
Question 7 b)
Calculer l’aire du domaine délimité par \(\mathcal C\) et les droites d’équations :
\[ x=1, \qquad x=e, \qquad y=1. \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Aire entre la courbe et une droite. Avant d’intégrer, nous devons établir la position de la courbe par rapport à la droite y=1 sur tout le segment [1;e]. En posant u(x)=ln(x)/x, nous obtenons une différence factorisée dont le signe est simple à établir. Comme la courbe est sous la droite, nous intégrons « 1−f(x) » et reconnaissons les deux intégrales K et J calculées à la question précédente.
Pour tout \(x\in[1;e]\), posons :
\[ u(x)=\frac{\ln x}{x}. \]Sur cet intervalle :
\[ 0\leq u(x)\leq\frac1e<1. \]Or :
\[ f(x)-1 = u(x)^2-u(x) = u(x)\bigl(u(x)-1\bigr). \]Par conséquent :
\[ f(x)-1\leq0, \]donc :
\[ f(x)\leq1 \qquad\text{sur}\qquad [1;e]. \]L’aire en unités d’aire est alors :
\[ \begin{aligned} \mathcal A &= \int_1^e \left(1-f(x)\right)dx\\ &= \int_1^e \left[ \frac{\ln x}{x} - \frac{(\ln x)^2}{x^2} \right]dx\\ &= K-J. \end{aligned} \]D’après la question précédente :
\[ K=\frac12 \qquad\text{et}\qquad J=2-\frac5e. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} \mathcal A &= \frac12 - \left( 2-\frac5e \right)\\ &= \frac5e-\frac32. \end{aligned} \]Le résultat est positif, conformément à la géométrie du domaine. Il représente une aire en unités d’aire et non une intégrale algébrique signée.
Question 8 a)
Soit \(\lambda\in\mathbb R_-^*\). On note \(V(\lambda)\) le volume engendré par la rotation, autour de l’axe des abscisses et sur un tour complet, de la courbe de la restriction de \(f\) à \([\lambda;0]\).
Calculer \(V(\lambda)\) en fonction de \(\lambda\).
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Méthode — Volume par la méthode des disques. La rotation autour de l’axe des abscisses est interprétée comme celle du domaine compris entre la branche gauche de la courbe, l’axe des abscisses et les deux droites verticales d’abscisses λ et 0. Ce domaine est bien défini pour λ négatif, car f est continue et positive sur [λ;0]. Chaque section perpendiculaire à l’axe a une aire égale à π fois le carré de sa hauteur. Il suffit alors de développer ce carré et de calculer deux primitives exponentielles.
Comme \(\lambda<0\), pour tout \(x\in[\lambda;0]\), on utilise :
\[ f(x)=e^x\sqrt{1-e^x}. \]Le volume engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses est :
\[ V(\lambda) = \pi \int_\lambda^0 \left(f(x)\right)^2dx. \]Or :
\[ \begin{aligned} \left(f(x)\right)^2 &= e^{2x}\left(1-e^x\right)\\ &= e^{2x}-e^{3x}. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} V(\lambda) &= \pi \int_\lambda^0 \left( e^{2x}-e^{3x} \right)dx\\ &= \pi \left[ \frac12e^{2x} - \frac13e^{3x} \right]_\lambda^0\\ &= \pi \left[ \frac12-\frac13 - \frac12e^{2\lambda} + \frac13e^{3\lambda} \right]. \end{aligned} \]en unités de volume.
Le volume trouvé dépend de la borne gauche λ. La formule intègre le carré de l’ordonnée de la courbe, ce qui représente les aires des sections circulaires du solide.
Question 8 b)
Calculer :
\[ \lim_{\lambda\to-\infty}V(\lambda). \]Lire la correction + Masquer la correction −
Méthode — Limite du volume. La question précédente donne une expression explicite du volume pour chaque λ strictement négatif. Nous pouvons donc calculer sa limite par les limites usuelles des exponentielles. Les termes dépendant de λ tendront vers zéro, et il restera une valeur finie positive : aucune nouvelle intégration n’est nécessaire.
Lorsque \(\lambda\to-\infty\) :
\[ e^{2\lambda}\longrightarrow0 \qquad\text{et}\qquad e^{3\lambda}\longrightarrow0. \]En utilisant l’expression obtenue dans la question précédente :
\[ \begin{aligned} \lim_{\lambda\to-\infty}V(\lambda) &= \pi \left( \frac16-0+0 \right). \end{aligned} \]La limite finie indique que le volume reste borné lorsque le domaine s’étend indéfiniment vers la gauche. Sa valeur est exprimée en unités de volume.
À retenir
Point de raccordement : étudier séparément la valeur de la fonction et ses limites unilatérales ; avant de chercher la dérivée au point considéré, vérifier la continuité.
Étude de courbe : distinguer les intervalles de dérivabilité, calculer les limites et étudier les signes des dérivées. Tracer chaque branche en respectant asymptotes, extremums et tangente.
Aire : établir d’abord la position relative de la courbe et de la droite ; réutiliser ensuite les intégrales précédemment calculées.
Volume : identifier le domaine plan qui tourne autour de l’axe, utiliser le carré du rayon et les primitives usuelles, puis interpréter la limite géométriquement.
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