Calcul intégral : formes exponentielles, logarithmiques et trigonométriques composées — Exercices 4 à 6
Calcul intégral : formes exponentielles, logarithmiques et trigonométriques composées — Exercices 4 à 6
2e Bac Sciences Mathématiques — Al Moufid
Ces trois exercices approfondissent le calcul d’intégrales à partir de primitives composées. La difficulté n’est plus seulement de connaître une primitive usuelle : il faut reconnaître la structure de l’intégrande et repérer l’expression dont la dérivée apparaît, éventuellement à un facteur constant près. Selon les questions, cette reconnaissance conduit à une exponentielle composée, à une forme logarithmique \(\dfrac{u'}{u}\), à une puissance d’une fonction ou à la dérivée directe d’un produit. Certaines expressions doivent d’abord être développées ou transformées avant que leur primitive devienne visible. Enfin, lorsqu’une nouvelle variable est introduite dans une intégrale définie, les deux bornes doivent être transformées en même temps que l’expression différentielle.
Rappel de cours — Reconnaître une primitive composée
Pour une fonction dérivable \(u\), plusieurs formes usuelles permettent d’identifier directement une primitive.
Lorsque l’intégrande contient \(u'(x)e^{u(x)}\), on utilise :
\[ \left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}. \]Lorsque \(u\) ne s’annule pas sur l’intervalle considéré :
\[ \left(\ln|u(x)|\right)'=\frac{u'(x)}{u(x)}. \]De même, si une expression fait apparaître simultanément une fonction et sa dérivée, il faut chercher si elle correspond à la dérivée d’une puissance ou d’un produit déjà connu.
Dans une intégrale définie, si l’on pose \(u=\varphi(x)\), les bornes doivent être remplacées par les valeurs correspondantes de \(u\).
Exercice 4 — Primitives exponentielles et logarithmiques
Énoncé. Calculer les intégrales suivantes.
Stratégie. Avant tout calcul, on examine la structure de chaque intégrande. Il faudra selon les cas repérer la dérivée d’un exposant, reconnaître une forme \(\dfrac{u'}u\), développer l’expression ou identifier directement une primitive composée.
Intégrale \(D_1\) \[ D_1= \int_1^2 \frac1{x^2}e^{1/x}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
L’exponentielle contient l’expression \(\dfrac1x\), dont la dérivée vaut \(-\dfrac1{x^2}\). Le facteur nécessaire apparaît donc déjà dans l’intégrande, à un signe près.
Posons :
\[ u=\frac1x. \]Alors :
\[ du=-\frac1{x^2}\,dx. \]Les bornes deviennent :
\[ x=1\Longrightarrow u=1, \qquad x=2\Longrightarrow u=\frac12. \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_1 &= -\int_1^{1/2}e^u\,du\\ &= \int_{1/2}^{1}e^u\,du\\ &= \left[e^u\right]_{1/2}^{1}. \end{aligned} \]Intégrale \(D_2\) \[ D_2= \int_0^{\pi/2} \sin(2x)e^{\cos^2x}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
L’expression intérieure de l’exponentielle est \(\cos^2x\). Sa dérivée fait apparaître \(-\sin(2x)\), ce qui correspond au facteur placé devant l’exponentielle.
Posons :
\[ u=\cos^2x. \]On a :
\[ \begin{aligned} du &= 2\cos x(-\sin x)\,dx\\ &= -\sin(2x)\,dx. \end{aligned} \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=1, \qquad x=\frac{\pi}{2}\Longrightarrow u=0. \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} D_2 &= -\int_1^0e^u\,du\\ &= \int_0^1e^u\,du\\ &= \left[e^u\right]_0^1. \end{aligned} \]Intégrale \(D_3\) \[ D_3= \int_e^{e^2} \frac{\ln t}{t}\,dt. \]
Afficher la correction Masquer la correction
On reconnaît \((\ln t)'=\dfrac1t\). L’intégrande correspond donc à une fonction \(\ln t\) multipliée par sa dérivée.
On reconnaît la dérivée de \(\ln t\) :
\[ (\ln t)'=\frac1t. \]Une primitive de \(\dfrac{\ln t}{t}\) est donc :
\[ \frac12(\ln t)^2. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} D_3 &= \left[ \frac12(\ln t)^2 \right]_e^{e^2}\\ &= \frac12 \left[ (\ln(e^2))^2-(\ln e)^2 \right]\\ &= \frac12(4-1). \end{aligned} \]Intégrale \(D_4\) \[ D_4= \int_0^1 \left(2^x+3^x\right)dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
L’intégrande est une somme de deux exponentielles de bases constantes. On applique la linéarité de l’intégrale puis la primitive usuelle de \(a^x\).
Pour tout réel \(a\gt0\), avec \(a\neq1\), une primitive de \(a^x\) est :
\[ \frac{a^x}{\ln a}. \]Par linéarité :
\[ D_4= \left[ \frac{2^x}{\ln2} + \frac{3^x}{\ln3} \right]_0^1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_4 &= \frac{2-1}{\ln2} + \frac{3-1}{\ln3}\\ &= \frac1{\ln2} + \frac2{\ln3}. \end{aligned} \]Intégrale \(D_5\) \[ D_5= \int_{1/e}^{1} \left( x+\frac1x(1+\ln x) \right)dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La forme donnée masque plusieurs primitives usuelles. On commence donc par développer l’expression afin de séparer \(x\), \(\dfrac1x\) et \(\dfrac{\ln x}{x}\).
Décomposons l'intégrande :
\[ x+\frac1x(1+\ln x) = x+\frac1x+\frac{\ln x}{x}. \]Une primitive sur \(\left[\dfrac1e;1\right]\) est :
\[ F(x)= \frac{x^2}{2} + \ln x + \frac12(\ln x)^2. \]À la borne \(1\) :
\[ F(1)=\frac12. \]À la borne \(\dfrac1e\), on a \(\ln\dfrac1e=-1\), donc :
\[ \begin{aligned} F\left(\frac1e\right) &= \frac1{2e^2} -1 +\frac12\\ &= \frac1{2e^2}-\frac12. \end{aligned} \]Par conséquent :
\[ \begin{aligned} D_5 &= F(1)-F\left(\frac1e\right)\\ &= \frac12- \left( \frac1{2e^2}-\frac12 \right). \end{aligned} \]Intégrale \(D_6\) \[ D_6= \int_{e^2}^{e^4} \frac{dt}{t\ln t}. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Le dénominateur contient \(\ln t\) tandis que son facteur dérivé \(\dfrac1t\) apparaît également. On reconnaît donc une forme \(\dfrac{u'}u\).
Sur l'intervalle \([e^2;e^4]\), on a \(\ln t\gt0\).
On reconnaît une expression de la forme \(\dfrac{u'}u\), avec :
\[ u(t)=\ln t \qquad\text{et}\qquad u'(t)=\frac1t. \]Une primitive est donc :
\[ \ln(\ln t). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} D_6 &= \left[ \ln(\ln t) \right]_{e^2}^{e^4}\\ &= \ln4-\ln2. \end{aligned} \]Intégrale \(D_7\) \[ D_7= \int_1^{e^\pi} \frac{\cos(\ln x)}{x}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
L’argument du cosinus est \(\ln x\), et le facteur \(\dfrac{dx}{x}\) correspond exactement à sa différentielle.
Posons :
\[ u=\ln x. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{x}. \]Les bornes deviennent :
\[ x=1\Longrightarrow u=0, \qquad x=e^\pi\Longrightarrow u=\pi. \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_7 &= \int_0^\pi\cos u\,du\\ &= \left[\sin u\right]_0^\pi\\ &= 0. \end{aligned} \]Intégrale \(D_8\) \[ D_8= \int_{e^2}^{e^4} \frac{\ln(1+\sqrt x)} {x+\sqrt x}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La fonction principale est \(\ln(1+\sqrt x)\). On calcule sa dérivée afin de vérifier si le facteur restant de l’intégrande lui correspond.
Posons :
\[ u=\ln(1+\sqrt x). \]Calculons sa dérivée :
\[ \begin{aligned} du &= \frac1{1+\sqrt x} \cdot \frac1{2\sqrt x}\,dx\\ &= \frac{dx} {2\sqrt x(1+\sqrt x)}\\ &= \frac{dx} {2(x+\sqrt x)}. \end{aligned} \]Ainsi :
\[ \frac{dx}{x+\sqrt x}=2\,du. \]Les bornes deviennent :
\[ x=e^2 \Longrightarrow u=\ln(1+e), \]et :
\[ x=e^4 \Longrightarrow u=\ln(1+e^2). \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_8 &= 2 \int_{\ln(1+e)}^{\ln(1+e^2)} u\,du\\ &= \left[u^2\right]_{\ln(1+e)}^{\ln(1+e^2)}. \end{aligned} \]Intégrale \(D_9\) \[ D_9= \int_{e^{-1}}^{e^{-2}} \frac{dt}{t\ln^2t}. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La présence de \(\ln t\) et du facteur \(\dfrac{dt}{t}\) conduit à poser \(u=\ln t\). Il faut également conserver l’ordre des nouvelles bornes.
Posons :
\[ u=\ln t. \]Alors :
\[ du=\frac{dt}{t}. \]Les bornes deviennent :
\[ t=e^{-1}\Longrightarrow u=-1, \qquad t=e^{-2}\Longrightarrow u=-2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_9 &= \int_{-1}^{-2}\frac{du}{u^2}\\ &= \left[-\frac1u\right]_{-1}^{-2}\\ &= \frac12-1. \end{aligned} \]Intégrale \(D_{10}\) \[ D_{10}= \int_{\ln2}^{\ln3} \frac{(e^t+1)(e^t+2)} {e^t}\,dt. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La forme factorisée ne fait pas apparaître immédiatement une primitive composée utile. On développe donc le numérateur puis on simplifie par \(e^t\).
Développons et simplifions l'intégrande :
\[ \begin{aligned} \frac{(e^t+1)(e^t+2)}{e^t} &= \frac{e^{2t}+3e^t+2}{e^t}\\ &= e^t+3+2e^{-t}. \end{aligned} \]Une primitive est :
\[ F(t)=e^t+3t-2e^{-t}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} D_{10} &= \left[ e^t+3t-2e^{-t} \right]_{\ln2}^{\ln3}\\ &= \left( 3+3\ln3-\frac23 \right) - \left( 2+3\ln2-1 \right)\\ &= \frac43 + 3\ln\left(\frac32\right). \end{aligned} \]Exercice 5 — Fonctions composées et dérivées reconnaissables
Énoncé. Calculer les intégrales suivantes.
Stratégie. Plusieurs intégrales de cet exercice présentent directement une fonction accompagnée de sa dérivée. Il faut donc commencer par identifier l’expression intérieure pertinente avant de chercher une primitive. Certaines questions demandent aussi de reconnaître la dérivée d’un produit.
Intégrale \(I_1\) \[ I_1= \int_0^{\ln3} \frac{e^x-e^{-x}} {e^x+e^{-x}}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur. On reconnaît donc une forme \(\dfrac{u'}u\).
Posons :
\[ u(x)=e^x+e^{-x}. \]Alors :
\[ u'(x)=e^x-e^{-x}. \]L'intégrande est donc de la forme \(\dfrac{u'}u\). Comme \(u(x)\gt0\), une primitive est :
\[ \ln(e^x+e^{-x}). \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_1 &= \left[ \ln(e^x+e^{-x}) \right]_0^{\ln3}\\ &= \ln\left(3+\frac13\right)-\ln2\\ &= \ln\left(\frac{10}{3}\right)-\ln2. \end{aligned} \]Intégrale \(I_2\) \[ I_2= \int_2^3 (2-x)e^{x^2-4x}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
L’exposant est \(x^2-4x\). Sa dérivée vaut \(2(x-2)\), tandis que le facteur présent est \(2-x=-(x-2)\).
Posons :
\[ u=x^2-4x. \]Alors :
\[ du=(2x-4)\,dx = 2(x-2)\,dx. \]Or :
\[ (2-x)\,dx = -(x-2)\,dx = -\frac12\,du. \]Les bornes deviennent :
\[ x=2\Longrightarrow u=-4, \qquad x=3\Longrightarrow u=-3. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_2 &= -\frac12 \int_{-4}^{-3}e^u\,du\\ &= -\frac12 \left[e^u\right]_{-4}^{-3}\\ &= \frac12 \left(e^{-4}-e^{-3}\right). \end{aligned} \]Intégrale \(I_3\) \[ I_3= \int_1^e \frac{dx} {x(1+\ln x)}. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La dérivée de \(1+\ln x\) vaut \(\dfrac1x\). Le quotient est donc une nouvelle forme \(\dfrac{u'}u\).
Posons :
\[ u=1+\ln x. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{x}. \]Les bornes deviennent :
\[ x=1\Longrightarrow u=1, \qquad x=e\Longrightarrow u=2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_3 &= \int_1^2\frac{du}{u}\\ &= \left[\ln u\right]_1^2. \end{aligned} \]Intégrale \(I_4\) \[ I_4= \int_0^{\pi/3} \frac{dx} {(3\tan x+2)\cos^2x}. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La dérivée de \(\tan x\) vaut \(\dfrac1{\cos^2x}\). La présence de \(3\tan x+2\) au dénominateur indique donc la structure \(\dfrac{u'}u\).
On écrit :
\[ \frac1{\cos^2x}=1+\tan^2x. \]Posons :
\[ u=3\tan x+2. \]Alors :
\[ du= 3(1+\tan^2x)\,dx = \frac3{\cos^2x}\,dx. \]Ainsi :
\[ \frac{dx}{\cos^2x} = \frac13\,du. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=2, \]et :
\[ x=\frac{\pi}{3} \Longrightarrow u=3\sqrt3+2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_4 &= \frac13 \int_2^{3\sqrt3+2} \frac{du}{u}\\ &= \frac13 \left[ \ln u \right]_2^{3\sqrt3+2}. \end{aligned} \]Intégrale \(I_5\) \[ I_5= \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\tan x} {\ln(\cos x)}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Comme \[ (-\ln(\cos x))'=\tan x, \] on choisit \(u=-\ln(\cos x)\). Il faut auparavant contrôler son signe sur l’intervalle.
Pour tout \(x\in\left[\dfrac{\pi}{6};\dfrac{\pi}{3}\right]\), on a :
\[ 0\lt\cos x\lt1, \]donc :
\[ -\ln(\cos x)\gt0. \]Posons :
\[ u=-\ln(\cos x). \]Alors :
\[ du=\tan x\,dx \qquad\text{et}\qquad \ln(\cos x)=-u. \]Les bornes deviennent :
\[ x=\frac{\pi}{6} \Longrightarrow u= -\ln\left(\frac{\sqrt3}{2}\right) = \ln\left(\frac2{\sqrt3}\right), \]et :
\[ x=\frac{\pi}{3} \Longrightarrow u=-\ln\left(\frac12\right)=\ln2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_5 &= -\int_{\ln(2/\sqrt3)}^{\ln2} \frac{du}{u}\\ &= -\left[ \ln u \right]_{\ln(2/\sqrt3)}^{\ln2}. \end{aligned} \]Intégrale \(I_6\) \[ I_6= \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\tan x} {\ln^3(\cos x)}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Cette intégrale possède la même structure que la précédente. On réutilise donc la même substitution, ce qui évite de reprendre toute l’analyse.
Comme dans l'intégrale précédente, posons :
\[ u=-\ln(\cos x). \]Alors :
\[ du=\tan x\,dx \qquad\text{et}\qquad \ln^3(\cos x)=(-u)^3=-u^3. \]Les bornes sont :
\[ u_1=\ln\left(\frac2{\sqrt3}\right), \qquad u_2=\ln2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_6 &= -\int_{u_1}^{u_2}u^{-3}\,du\\ &= \left[ \frac1{2u^2} \right]_{u_1}^{u_2}. \end{aligned} \]Intégrale \(I_7\) \[ I_7= \int_1^3 \left( e^x\ln x+\frac{e^x}{x} \right)dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Les deux termes suggèrent la dérivée d’un produit. On vérifie donc d’abord la dérivée de \(e^x\ln x\) avant de chercher une autre transformation.
Calculons la dérivée de la fonction \(x\mapsto e^x\ln x\) :
\[ \begin{aligned} (e^x\ln x)' &= e^x\ln x + e^x\frac1x\\ &= e^x\ln x + \frac{e^x}{x}. \end{aligned} \]L'intégrande est donc exactement la dérivée de \(e^x\ln x\).
Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_7 &= \left[ e^x\ln x \right]_1^3\\ &= e^3\ln3-e\ln1. \end{aligned} \]Intégrale \(I_8\) \[ I_8= \int_0^1 \frac{(\operatorname{Arctan}x)^2} {x^2+1}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Le facteur \(\dfrac1{1+x^2}\) est la dérivée de \(\operatorname{Arctan}x\). L’intégrande correspond donc à une puissance de cette fonction multipliée par sa dérivée.
Posons :
\[ u=\operatorname{Arctan}x. \]Alors :
\[ du=\frac{dx}{1+x^2}. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=0, \qquad x=1\Longrightarrow u=\frac{\pi}{4}. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_8 &= \int_0^{\pi/4}u^2\,du\\ &= \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^{\pi/4}\\ &= \frac13 \left(\frac{\pi}{4}\right)^3. \end{aligned} \]Intégrale \(I_9\) \[ I_9= \int_0^\pi e^x(\sin x+\cos x)\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
Le produit \(e^x\sin x\) a précisément pour dérivée \(e^x(\sin x+\cos x)\). Il suffit donc de reconnaître cette dérivée.
Calculons la dérivée de \(x\mapsto e^x\sin x\) :
\[ \begin{aligned} (e^x\sin x)' &= e^x\sin x+e^x\cos x\\ &= e^x(\sin x+\cos x). \end{aligned} \]L'intégrande est donc la dérivée de \(e^x\sin x\).
Ainsi :
\[ \begin{aligned} I_9 &= \left[ e^x\sin x \right]_0^\pi\\ &= e^\pi\sin\pi-e^0\sin0. \end{aligned} \]Intégrale \(I_{10}\) \[ I_{10}= \int_0^{\pi/4} \frac{e^{\tan x}} {\cos^2x}\,dx. \]
Afficher la correction Masquer la correction
L’exposant est \(\tan x\) et sa dérivée est \(\dfrac1{\cos^2x}\). On reconnaît donc directement une exponentielle composée.
Posons :
\[ u=\tan x. \]Alors :
\[ du= \frac{dx}{\cos^2x}. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0\Longrightarrow u=0, \qquad x=\frac{\pi}{4}\Longrightarrow u=1. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I_{10} &= \int_0^1e^u\,du\\ &= \left[e^u\right]_0^1. \end{aligned} \]Exercice 6 — Transformation trigonométrique
On considère l'intégrale :
\[ I= \int_0^{\pi/4} \frac{dx}{1+\sin(2x)}. \]Idée directrice. L’intégrale donnée ne présente pas immédiatement une primitive usuelle. La première question construit précisément la transformation nécessaire : écrire l’expression en fonction de \(\tan x\) afin de faire apparaître ensuite la dérivée de cette fonction.
1) Montrer que, pour tout \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\) : \[ \frac1{1+\sin(2x)} = \frac{1+\tan^2x} {(1+\tan x)^2}. \]
Afficher la correction Masquer la correction
La forme demandée contient \(\tan x\). On exprime donc \(\sin(2x)\) en fonction de la tangente. Avant cela, on vérifie que \(\tan x\) est bien définie sur l’intervalle.
Pour tout \(x\in\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]\), on a \(\cos x\neq0\), donc \(\tan x\) est bien définie.
On utilise l'identité :
\[ \sin(2x)= \frac{2\tan x} {1+\tan^2x}. \]Ainsi :
\[ \begin{aligned} 1+\sin(2x) &= 1+ \frac{2\tan x} {1+\tan^2x}\\ &= \frac{ 1+\tan^2x+2\tan x } {1+\tan^2x}\\ &= \frac{ (1+\tan x)^2 } {1+\tan^2x}. \end{aligned} \]Sur l'intervalle considéré, \(\tan x\geq0\), donc \(1+\tan x\gt0\). On peut prendre l'inverse :
2) En déduire la valeur de l'intégrale \(I\)
Afficher la correction Masquer la correction
On réutilise le résultat précédent. Le numérateur \(1+\tan^2x\) correspond à la dérivée de \(\tan x\), tandis que le dénominateur est \((1+\tan x)^2\). On choisit donc \(u=1+\tan x\).
D'après la question précédente :
\[ I= \int_0^{\pi/4} \frac{1+\tan^2x} {(1+\tan x)^2}\,dx. \]Posons :
\[ u=1+\tan x. \]Alors :
\[ du=(1+\tan^2x)\,dx. \]Les bornes deviennent :
\[ x=0 \Longrightarrow u=1, \]et :
\[ x=\frac{\pi}{4} \Longrightarrow u=2. \]Donc :
\[ \begin{aligned} I &= \int_1^2\frac{du}{u^2}\\ &= \left[ -\frac1u \right]_1^2\\ &= -\frac12+1. \end{aligned} \]À retenir
Ces exercices montrent que le calcul d’une intégrale commence par une analyse de sa structure. Devant une exponentielle \(e^{u(x)}\), on cherche la dérivée \(u'(x)\). Devant un quotient, on vérifie si le numérateur correspond à la dérivée du dénominateur. Lorsqu’une fonction comme \(\ln x\), \(\tan x\) ou \(\operatorname{Arctan}x\) apparaît avec sa dérivée, le choix de la variable devient naturel.
Il faut également savoir transformer l’expression avant d’intégrer. L’intégrale \(D_{10}\) devient simple après développement, tandis que l’exercice 6 nécessite d’abord une identité trigonométrique. D’autres questions, comme \(I_7\) et \(I_9\), rappellent qu’il est parfois plus efficace de reconnaître directement la dérivée d’un produit que de chercher une substitution.
Le réflexe général est donc : reconnaître l’expression intérieure, vérifier la présence de sa dérivée, contrôler les conditions de définition, choisir la transformation adaptée, puis seulement effectuer le calcul et évaluer la primitive aux bornes.
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